matematica_financeira_5

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 5
PRESTAÇÕES/RENDAS
Ø Conceito
Os pagamentos são sucessões de capitais exigíveis em períodos pré-
estabelecidos, seja para amortizar uma dívida ou com o intuito de formar 
um fundo de reserva.
Ø Os pagamentos podem ser:
 è Constantes
Quando os valores forem iguais.
 è Periódicas
Quando os períodos forem iguais.
Ø Os pagamentos ou recebimentos podem ser:
 è Postecipados
Quando os valores são pagos no final de um primeiro período determinado.
 è Antecipados
Quando os valores são pagos no início do período determinado.
APRESENTAÇÃO
Organização
Rodrigo Borsatto 
Sommer da Silva
Reitor da 
UNIASSELVI
Prof. Hermínio Kloch
Pró-Reitora do EAD
Prof.ª Francieli Stano 
Torres
Edição Gráfica 
e Revisão
UNIASSELVI
Autor
Emerson 
Strutz
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
PRESTAÇÕES/
RENDAS
.05
Ø Conceito
Os pagamentos são sucessões de capitais exigíveis em períodos pré-
estabelecidos, seja para amortizar uma dívida ou com o intuito de formar 
um fundo de reserva.
Ø Os pagamentos podem ser:
 è Constantes
Quando os valores forem iguais.
 è Periódicas
Quando os períodos forem iguais.
Ø Os pagamentos ou recebimentos podem ser:
 è Postecipados
Quando os valores são pagos no final de um primeiro período determinado.
 è Antecipados
Quando os valores são pagos no início do período determinado.
Prestações postecipadas
(Montante de uma renda)
Se você deseja encontrar o valor futuro de um financiamento ou 
recebimentos iguais, de forma composta, podemos realizá-la da seguinte 
forma:
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
Imagine que você realiza depósitos mensais de R$ 1.000,00, em uma 
aplicação, pelo período de 4 meses, sabendo que a taxa praticada é de 5% ao 
mês. Qual é o montante a ser recebido no final dessa aplicação?
Fluxo de Caixa
0 1
1.000,00 x (1 + 0,05)
1.050,00
2.050,00 x (1 + 0,05)
3.152,50 x (1 + 0,05)
3.310,13
4.310,13
2.152,50
2 3 4 meses
1.000,001.000,001.000,001.000,00
Verifique que no 1º depósito de R$ 1.000,00 são calculados juros do 1º 
mês, em seguida é somado o 2º depósito e é calculado os juros de mais 
um mês, e assim por diante, até o último depósito da aplicação que será 
somado. Perceba que para esse último não haverá juros, devido o montante 
ser calculado nesta data.
Observe a sequência dos cálculos:
Fórmula FV = PV (1 + i)n
Vamos considerar que para esse caso o n é 1, devido estarmos calculando 
mensalmente
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
1º mês → FV = 1.000,00 ( 1+ 0,05) = 1.050,00
Depósito da 2º parcela → 1.000,00 
 2.050,00
 2º mês → FV = 2.050,00 ( 1+ 0,05) = 2.152,50
Depósito da 3º parcela → 1.000,00 
 3.152,50
3º mês → FV = 3.152,50 ( 1+ 0,05) = 3.310,13
Depósito da 4º parcela → 1.000,00 
 4.310,13
Realizamos a resolução desse exercício mês a mês para que você 
compreende o passo a passo realizado, porém há uma fórmula específica 
para encontrar o montante de uma aplicação/financiamento de parcelas 
iguais.
Fórmula
( )
( )
n
4
n
1 i 1
FV PNT
i
1 i 1
FV 1.000,00
i
FV R$ 4.310,13
  + −  = ⋅  
  
  + −  = ⋅  
  
=
Digitando na HP:
1.000 ENTER
 1 ENTER
 0,05 +
 4 yx
 1 –
 0,05 ÷
 x è 4.310,13
Podemos ainda utilizar as teclas financeiras da calculadora HP12C, 
simplificando ainda mais o cálculo.
Utilizando as funções financeiras temos:
1000,00 CHS PMT
4 n
5 i
FV → R$ 4.310,13
Valor presente de uma renda
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
Quando há a necessidade de trazer todos os pagamentos ou prestações 
para o valor inicial realizamos a seguinte operação:
Exemplo: 
Imagine que você deseja saber quanto necessita aplicar na data de hoje, 
para que receba todo mês a quantia de R$ 1.000,00, pelo período de 4 meses, 
sabendo que a taxa praticada é de 5% ao mês? 
Fluxo de Caixa
0 1 2 3 4 meses
1.000,001.000,001.000,001.000,00
( )
( )
( )
( )
4
3
2
1
1.000,00
PV 822,70
1 0,05
1.000,00
PV 863,84
1 0,05
1.000,00
PV 907,03
1 0,05
1.000,00
PV 952,38
1 0,05
= =
+
= =
+
= =
+
= =
+
PV = R$ 3.545,95
Perceba que, para realizar o cálculo do valor presente, precisamos abater 
da prestação a taxa de juros que se encontra embutida nela. Quando estamos 
tratando de parcelas, temos que ter ciência que cada uma possui uma data de 
vencimento diferente. Sendo assim, os juros inseridos são diferentes em cada 
vencimento. Para que possamos efetuar os cálculos conforme verificamos 
anteriormente, é possível aplicar a seguinte fórmula:
( )n
FV
PV
1 i
=
+
Lembrando que utilizamos a fórmula acima para cada parcela, desta 
forma:
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
( ) ( ) ( ) ( )2 3 4
1.000,00 1.000,00 1.000,00 1.000,00
PV
1 0,05 1 0,05 1 0,05 1 0,05
PV 952,38 907,03 863,84 822,70
PV 3.545,95
= + + +
+ + + +
= + + +
=
Temos também uma fórmula que podemos aplicar para essa situação, 
simplificando o cálculo, para calcularmos o valor presente podemos aplicar 
a fórmula a seguir:
Fórmula
( )
( )
n
4
1 1 i
PV PMT
i
1 1 0,05
PV 1.000,00
0,05
−
−
  − +  = ⋅  
  
  − +  = ⋅  
  
Na HP:
1.000 E
 1 E
 1 E
 0,05 +
 4 CHS 
 yx
 –
 0,05 ÷
 x è 3.545,95
Podemos utilizar ainda o teclado financeiro da HP12C, assim:
1000,00 CHS PMT
4 n
5 i
PV → R$ 3.545,95
Valor da prestação ou renda
Vamos verificar agora, quando queremos saber o valor de uma prestação 
ou o valor da renda referente aos períodos.
Exemplo: 
Imagine que você adquiriu um empréstimo no valor de R$ 3.545,95, 
em 4 prestações mensais a uma taxa de 5% ao mês, qual é o valor de cada 
parcela que deverá ser paga?
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
Fórmula
( )
( )
n
4
i
PMT PV
1 1 i
0,05
PMT 3.545,95
1 1 0,05
PMT 1.000,00
−
−
 
 =  
 − +   
 
 =  
 − +   
=
Na HP:
0,05 E
 1 E
 1 E
 0,05 +
 4 CHS yx 
 – ÷
3.545,95 x è 1.000,00
PV = 3.545,95
i = 5% a.m.
PMT = ?
0 1 2 3 4
Da mesma forma que realizamos nos exemplos anteriores, podemos 
utilizar o teclado financeiro, assim: 
3545,95 CHS PV
4 n
5 i
PMT → R$ 1.000,00
AUTOATIVIDADE
1) Você deseja comprar uma geladeira, para isso foi até uma loja de 
eletrodomésticos e o vendedor propôs as seguintes formas de pagamento. 
À vista no valor de R$ 1.300,00 ou em 3 vezes sem entrada de R$ 468,45. 
Portanto, qual foi a taxa de juros cobrada por essa loja?
2) Você quer realizar uma aplicação em uma poupança no “NOSSO BANCO”. 
Você quer saber qual é o valor do capital que é necessário aplicar na data 
hoje para que receba parcelas de R$ 150,00 mensais, durante o período 
de 10 anos, sabendo que a taxa paga juros reais de 0,5% a.m. para esse 
tipo de aplicação.
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
3) Agora você comprou um veículo no valor de R$ 18.900,00 em 4 vezes 
iguais, pagas mensalmente sabendo que a taxa de juros é de 5% ao mês, 
qual será o valor das parcelas para esse financiamento?
Prestações antecipadas (Valor da Prestação ou Renda)
Quando você realiza uma compra ou um financiamento e o primeiro 
pagamento é no ato, ou seja, como entrada, tal operação é conhecida como 
“prestações antecipadas”.
Vamos verificar no exemplo a seguir:Você adquire uma moto no valor de R$ 5.000,00, esse valor você financia 
em 12 meses, à taxa de juros praticada para esse financiamento é de 1,5% ao 
mês. Portanto, qual é o valor das prestações, sendo que uma delas você deu 
no ato da compra? 
Fluxo de Caixa
PV = 5.000,00
i = 1,5% a.m.
PMT = ?
1 2 3 12 meses. . .
Exemplo pelo teclado financeiro:
Mas você deve se perguntar: “O que significa Begin”?
“Begin” quer dizer “início do período”, ou seja, no momento em que o 
tipo de operação financeira é dado com a prestação é antecipada, logo, paga 
no início do financiamento.
Ao utilizar esse recurso, não há a necessidade de você descontar a 
parcela de entrada do capital, mas deverá informar o número de parcelas 
incluindo a entrada. 
É importante salientar que as teclas g BEG devem ser usadas 
somente quando as prestações forem iguais, ou seja, o valor de entrada é 
igual às prestações. 
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
Assim, sua calculadora financeira estará programada para cálculos 
com prestações antecipadas. Quando tratar de situações de prestações 
forem postecipadas, você deve retirar este recurso do visor, com o seguinte 
comando: g 8 
Vamos realizar o exemplo anterior utilizando a calculadora financeira 
assim:
g BEG 
5000 CHS PV
12 n
1,5 i
PMT → 451,63
Nas instituições financeiras, a maior parte das operações são postecipadas 
(empréstimos, financiamentos etc.), lembre-se de tirar o “begin” do visor, 
após sua utilização.
Um liquidificador possui um preço à vista de R$ 145,45 ou em 1 + 2 de 
R$ 54,07. Qual é a taxa de juros mensal cobrada pela loja?
PV = 145,45
PMT = 54,07 54,07 54,07
0 1 2 meses
Como a 1ª parcela é paga no ato, ou seja, na entrada, a loja não financiou 
o valor total do objeto e sim somente R$ 91,38, ou seja R$ 145,45 - R$ 54,07. 
Logo o valor que inclui os juros é de R$ 91,38. 
É possível fazer essa operação, descontando do capital o valor da parcela, 
ou utilizando o comando Begin, vamos verificar as duas formas:
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Sem “Begin” Utilizando a função “Begin”
91,38 CHS PV g BEG
 2 n 145,45 CHS PV 
54,07 PMT 2 n
 i → 12% 54,07 PMT 
 i → 12% 
Resposta: Como o período é em meses, a taxa é 12% ao mês.
Taxa Interna de Retorno (TIR)
A Taxa Interna de Retorno conhecida como TIR é a taxa que busca 
medir o retorno de um investimento. Ela retorna todas as parcelas sejam elas 
entradas e saídas de um fluxo de caixa para a data atual (hoje) e igualando 
ao valor presente.
A equação que calcula a TIR é a seguinte:
( ) ( ) ( ) ( )0 2 3 n
Fc1 Fc2 Fc3 Fcn
CF
1 i 1 i 1 i 1 i
= + + + +
+ + + +

Para calcular algebricamente esse tipo de cálculo nos dá muito trabalho. 
Note que o resultado da incógnita ( i ) somente será possível através da 
tentativa e erro. Para isso seria necessário a substituição dos termos e por 
meio de tentativas iríamos nos aproximando da taxa ( i ).
Para isso a calculadora financeira nos traz uma forma mais objetiva para 
encontrarmos a solução.
Exemplo:
Você recebeu uma proposta para entrar como sócio numa empresa que 
possui a seguinte previsão de lucro:
1º mês - R$ 5.700,00 
2º mês - R$ 6.300,00 
3º mês - R$ 7.200,00
4º mês - R$ 7.200,00
Para isso você terá que investir inicialmente a quantia de R$ 20.000,00, 
sendo assim você quer saber qual a taxa interna de retorno para esse 
investimento.
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
Fluxo de Caixa:
(entrada)
5.700,00
– 20.000,00
(saída)
(entrada)
6.300,00
(entrada)
7.200,00
(entrada)
7.200,00
0
1º mês 2º mês 3º mês 4º mês
Inserir os dados na HP12C
f CLX
20.000,00 CHS g CF
0
(armazena o capital investido com sinal 
negativo, pois é um desembolso para o investidor)
5.700,00 g CFj (valor da parcela – entrada de caixa)
6.300,00 g CFj (valor da parcela – entrada de caixa)
7.200,00 g CFj (valor da parcela – entrada de caixa)
2 g Nj (número de vezes que a parcela anterior ocorre)
f IRR (nos traz a Taxa Interna de Retorno)
è 11,57% a.m.
Resposta: Encontramos o valor de 11,57% a.m. e a unidade é ao mês 
devido aos períodos das parcelas serem mensais.
Note que para o cálculo de fluxos de caixa utilizamos as seguintes 
funções:
CF0 Indica o fluxo de caixa do momento zero (fluxo de caixa inicial)
CFj Fluxo de caixa nos períodos seguintes
Nj Repete fluxos iguais e consecutivos
IRR Taxa interna de retorno (ou TIR)
NPV Valor presente líquido
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
É importante você verificar as funções de cada tecla, quando desejamos as 
funções com cor azul devemos inicialmente digitar a tecla g se queremos 
as funções de cor amarela, devemos pressionar previamente ao comando 
a tecla f
No ramo financeiro, a TIR é muito utilizada para avaliar a viabilidade de 
projetos, porém quando possuímos um fluxo irregular utilizamos o mesmo 
critério com que se calcula a taxa de juros.
Vamos supor que você adquiriu um empréstimo no valor de R$ 20.000,00, 
que será pago em 4 parcelas trimestrais conforme as condições a seguir:
1º período: R$ 8.000,00
2º período: R$ 5.000,00
3º período: R$ 5.000,00
4º período: R$ 6.000,00
Assim, nosso fluxo de caixa fica da seguinte maneira:
8.000,00
20.000,00
5.000,00 5.000,00 6.000,00
0
1º trim 2º trim 3º trim 4º trim
Vamos calcular a taxa de juros.
Digitando na HP:
8,1745% a.t.
f CLX
20.000 CHS g CF
0
8.000 g CFj
5.000 g CFj
2 g CFj
6.000 g Nj
f IRR
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
Resposta: Note que a taxa encontrada refere-se ao trimestre devido aos 
períodos serem trimestrais.
Utilizando o mesmo exemplo, caso você queira calcular a taxa mensal, 
é necessário informar as entradas e saídas mensais. Para os meses que não 
possuem entrada nem saída você deve informar “zero”, conforme segue:
f CLX
20.000 CHS g CF
0
0 g CFj
2 g Nj
8.000 g CFj
0 g CFj
2 g Nj
5.000 g CFj
0 g CFj
2 g Nj
5.000 g CFj
0 g CFj
2 g Nj
6.000 g CFj
f IRR 2,65% a.m.
4 - Um automóvel à vista é vendido por R$ 28.000,00 ou pode ser adquirido 
pela seguinte forma de pagamento:
6.000,00
28.000,00
12.000,00 16.000,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 meses
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
Qual é a taxa de juros praticada para esse tipo de pagamento?
5 - Na aquisição de uma máquina de café expresso, se comprada à vista, 
pode ser adquirida por R$ 15.000,00. Porém, a loja oferece a seguinte 
forma de pagamento: 
R$ 1.500,00 no 1º mês
R$ 4.500,00 no 3º mês
R$ 9.000,00 no 4º mês
R$ 6.000,00 no 6º e último mês.
 
Sendo assim, calcule a taxa de juros (IRR) cobrada pelo lojista:
1.500,00
15.000,00
4.500,00 9.000,00
0 6º mês5º mês4º mês3º mês2º mês1º mês
6.000,0000
Valor Presente Líquido (NPV)
O valor presente líquido conhecido como VPL é uma forma para analisar 
o fluxo de caixa. Sua técnica é calcular o valor presente de uma série de 
pagamentos (ou recebimentos) iguais ou diferentes, a uma taxa conhecida.
Desta forma, o critério deste modelo diz que, quando o valor presente 
das entradas for maior que o valor presente das saídas, o projeto deve ser 
recomendado do ponto de vista econômico.Exemplo:
A transportadora “Carregue Bem” está analisando a possibilidade de 
compra de um veículo para compor a sua frota no valor de R$103.000,00. Ela 
realizou uma projeção, que demonstrou que as receitas líquidas provenientes 
da utilização desse caminhão nos próximos cinco anos são estimadas 
em R$30.000,00, R$35.000,00, R$32.000,00, R$28.000,00 e R$20.000,00, 
respectivamente. Ao findar o período de 5 anos a empresa pretende vender o 
veículo por R$ 17.000,00. Sendo assim, a empresa espera uma taxa de retorno 
de 15% a.a., qual é o valor presente líquido para essa operação?
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
30.000,00
103.000,00
35.000,00 32.000,00 28.000,00
17.000,00
20.000,00
0 1 2 3 4 5 anos
Fórmula:
Resolução:
( ) ( ) ( ) ( ) 02 3 n
Fc1 Fc2 Fc3 Fcn
VPL CF
1 i 1 i 1 i 1 i
= + + + + −
+ + + +

2 3 4 5
30.000,00 35.000,00 32.000,00 28.000,00 37.000,00
VPL 103.000,00
1,15 1,15 1,15 1,15 1,15
VPL 26.086,95 26.465,03 21.040,52 16.009,09 18.395,54 103.000,00
VPL 107.997,13 103.000,00 4.997,13
= + + + + −
= + + + + −
= − =
Solução pela HP12C
103.000,00 CHS g CF
0
30.000,00 g CFj
35.000,00 g CFj
32.000,00 g CFj
28.000,00 g CFj
37.000,00 g CFj
15 i
f NPV R$ 4.997,13
Quando vamos calcular o VPL devemos respeitar o sinal dos números, 
sejam eles negativos ou positivos para saídas e entradas, respectivamente. 
É através do sinal que vamos interpretar o resultado. O valor obtido sempre 
será em valor monetário.
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
No exemplo, podemos verificar que o VPL é positivo, a taxa efetiva de 
retorno é superior à taxa mínima de 15% a.a., portanto, o investimento é viável.
Como a TIR, o recurso do VPL, pode exercer inúmeras utilidades além 
de avaliar possíveis projetos. 
Verifique a forma de cálculo da TIR que realizamos anteriormente (pág 
XX), vamos calcular o presente valor (que se refere ao valor do empréstimo 
utilizando a taxa de juros encontrada que na situação foi de 8,1745% a.t.).
8.000,00 5.000,00 5.000,00 6.000,00
PV=?
i = 8,1745% a.t.
0 1 2 3 4º trim.
Calculando na Calculadora HP12C
f CLX
8.000 g CFj
5.000 g CFj
2 g Nj
6.000 g CFj
8,1745 i
f NPV 20.000,00
6 - Uma empresa celebrou um contrato de financiamento da seguinte 
forma: 
1º mês R$ 5.000,00
2º mês R$ 1.200,00
3º mês R$ 3.500,00
4º mês R$ 2.000,00
Sabe-se que a taxa utilizada para esse empréstimo foi de 6,5% a.m., calcule 
o Valor Presente Líquido (NPV).
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
Desconto
O desconto refere-se ao valor que a instituição financeira cobra por 
descontar (antecipar títulos), para os clientes que possuem cheques, títulos 
ou duplicatas a receber.
Nas operações envolvendo o desconto, já se conhece o valor futuro do 
título e é calculado o valor presente.
Para realizar o cálculo do desconto utilizamos a seguinte fórmula:
d
D FV n
30
= ⋅ ⋅
Sendo que:
D = Valor Monetário do Desconto
FV = Valor do Título no seu Vencimento
d = Taxa de Desconto (será dividida por 30, pois o Banco divulga a taxa 
mensal)
n = Prazo (número de dias corridos entre a data da operação e do 
vencimento da duplicata).
Exemplo:
A empresa “Costura Bem” deseja saber qual é o valor de desconto de um 
cheque no valor de R$ 30.000,00 (FV) na data de hoje ao banco que possui 
conta, este título possui vencimento para 25 dias (n). A taxa de desconto (d) 
é de 3,80% a.m.
Substituindo na fórmula:
0,0380
D R$ 30.000,00 25
30
= ⋅ ⋅
Lembramos que a taxa de 3,80% foi transformada para forma unitária.
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
Realizando o cálculo na Calculadora HP
30.000 E
0,0380 E
30 g
25 x
x 950,00
Ø Cálculo para se obter o Valor Presente de um título descontado:
Em uma operação de desconto, o Valor Presente ou Valor Atual é aquele 
que será creditado na conta do cliente.
Para encontrarmos o Valor Atual (PV) basta diminuir do valor do título 
o valor de desconto, utilizando a seguinte fórmula:
PV = FV – D
Onde:
PV = Valor Presente (valor que o título assume na data de hoje)
FV = Valor Futuro (valor do título no vencimento)
D = Valor Monetário do Desconto
Ao retomar o exemplo anterior: 
PV = FV – D
PV = 30000,00 – 950,00
PV = R$ 29.050,00
Logo, o valor a ser creditado na conta do cliente será de R$ 29.050,00.
7 – Você possui uma duplicata de R$ 38.000,00 com vencimento daqui a 
16 dias, sabendo que a taxa de desconto é de 4,2 % a.m. Qual é o valor de 
desconto e o valor que será creditado na conta do cliente? 
8 - Você possui uma duplicata de R$ 15.000,00 com vencimento daqui a 
37 dias, sabendo que a taxa de desconto é de 4% a.m. Qual é o valor de 
desconto e o valor que será creditado na conta do cliente? 
 CURSO LIVRE – MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 – PRESTAÇÕES/RENDAS
Taxa Efetiva em operações de desconto
A taxa efetiva refere-se à taxa de juros decorrentes de operações de 
desconto.
Para se calcular a taxa efetiva de juros levamos como base o valor que 
será creditado ao cliente (PV), já a taxa de desconto é encontrada a partir 
do valor do título no seu vencimento (FV), sendo assim em operações de 
desconto, a taxa de desconto é menor que a taxa efetiva de juros, considerando 
um mesmo prazo.
D
i x 100
PV
=
Onde:
i = Taxa Efetiva de Juros
D = Valor do Desconto (já sabemos calcular)
PV = Valor que será creditado ao cliente
Exemplo: 
Um cliente deseja saber qual é a taxa efetiva mensal de juros que ele 
pagou numa operação de desconto de um título de R$ 17.000,00, vencendo 
daqui a 45 dias, sofre uma taxa de desconto de 4% a.m.
Primeiramente é necessário encontrarmos o valor de desconto e qual 
o valor que será creditado ao cliente através da utilização da fórmula do 
desconto e do valor presente.
Portanto, o valor do desconto será de R$ 1.020,00.
PV = 17.000,00 – 1.020,00
PV = R$ 15.980,00
Logo, o valor a ser creditado na conta do cliente é R$ 15.980,00.
Encontrando esses valores, basta substituir na fórmula da taxa efetiva:
0,04
D 17.000,00 45
30
D R$ 1.020,00
= ⋅ ⋅
=
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i = 6,38 a.p. note que calculamos a taxa no período de 45 dias, porém é 
necessário calcular a taxa mensal, para isso vamos calcular a taxa equivalente.
Substituindo na fórmula de taxas equivalente temos:
D
i x 100
PV
=
1.020,00
i x 100
15.980,00
=
Portanto, a taxa efetiva mensal para essa operação é de 4,21% a.m.
( )
( )
q
t
30
45
iq 1 it 1 x 100
im 1 0,0638 1 x 100
i 4,21% a.m.
 = + −  
 = + −  
=
9 - Calcule a taxa efetiva numa operação de desconto, sabendo-se que o 
valor do título é de R$ 35.000,00, prazo 1 mês, em que a taxa de desconto 
é de 3,80% a.m.
10 - Calcule a taxa efetiva de juros do período e também mensalmente de 
uma operação de desconto, em que o valor do título é de R$ 9.500,00, por 
um prazo de 21 dias, sabendo que a taxa de desconto de 3,5% a.m.
Taxa de Juros
Ø Taxa Nominal
A taxa nominal é a taxa que encontramos nas operações correntes como, 
por exemplo, em empréstimos, aplicações etc. Geralmente, a taxa nominal vem 
descrita no contrato de empréstimos. Na taxa nominal é inclusa a expectativa 
de inflação e o ganho estimado pela instituição financeira.
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A taxa nominal é dada pela fórmula:
iN = [ (1 + iR) x (1 + INFL) – 1 ] x 100
onde:
iN = Taxa Nominal
iR = Taxa Real
INFL = Índice de Inflação
Exemplo:
Sabendo que uma taxa de juros real é de 3,80% a.m. e um índice de 
inflação deste mês é de 3,22%, qual é a taxa nominal?
Substituindo na fórmula:
iN = [ (1 + iR) x (1 + INFL) – 1 ] x 100
iN = [(1 + 0,038) x (1 + 0,0322) – 1] x 100
iN = 7,14% a.m.
Exemplo 2: 
Vamos supor que uma determinada aplicação rendeu no 1º quadrimestre 
do ano 2,02%, 2,24%, 3,16% e 2,17%, respectivamente.
Ao substituir na fórmula:
i = [(1 + 0,0202) x (1 + 0,0224) x (1 + 0,0316) x (1 + 0,0217) – 1] x 100
Realizando o cálculo, o rendimento acumulado no período foi de 
9,94% a.m.
Taxa Real
Já a taxareal é obtida a partir da taxa nominal, descontando-se os 
efeitos inflacionários. O intuito é encontrar o valor que o investidor ganhou 
ou perdeu, desconsiderando a inflação.
Fórmula:
1 iN
iR 1 x 100
1 INFL
+ = − + 
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Onde:
iR = Taxa Real
iN = Taxa Nominal
INFL = Índice de Inflação
Considere uma taxa nominal de 7,14% a.m. e um índice de inflação de 
3,22% no mês, calcule a taxa real.
Resolução:
1 iN
iR 1 x 100
1 INFL
1 0,0714
iR 1 x 100
1 0,0322
+ = − + 
+ = − + 
Resposta: A taxa real desta situação é de 3,8% ao mês.
11 - Você possui uma aplicação no “Nosso Banco” e sabe-se que ela rendeu 
2,58% no mês e a inflação deste período foi 0,38%, qual foi o ganho real 
obtido?
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
Os sistemas de amortização mais utilizados são: o Sistema de Amortização 
Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Francês, conhecido como Price.
SISTEMA SAC
No sistema SAC, as amortizações são sempre constantes, em que os 
valores das parcelas são variáveis, geralmente, utilizadas em financiamentos 
de imóveis.
Vamos supor que você deseja realizar um financiamento de um imóvel 
de R$ 300.000,00 a ser pago em 5 parcelas a uma taxa de juros de 4% a.m.
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Sistema de Amortização Constante (SAC)
n Juros
Amortização do 
Saldo devedor
Pagamento Saldo devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0
Totais 36.000,00 300.000,00 336.000,00 
12) Você sabendo que necessita de um financiamento de R$300.000,00, 
taxa de 4% ao mês, a ser quitado durante 5 meses, deseja realizá-lo no 
sistema SAC, construa a tabela demonstrando a evolução destes valores:
Período Juros Amortização Parcela
Saldo 
devedor
Sistema Francês (PRICE)
No Sistema de Amortização Price, as parcelas são fixas, variando o valor 
de juros e da amortização, geralmente utilizadas em financiamentos em geral. 
Para isso calculamos o valor da prestação (parcelas) P através da fórmula:
Vamos supor que você deseja financiar o valor de R$ 300.000,00 a ser 
quitado em 5 parcelas onde a taxa de juros é de 4% a.m., logo para dar início 
é necessário calcular o coeficiente K para em seguida calcularmos a parcela 
assim:
P = K × Vf = 67.388,13
( )
( )
n
n
i 1 i
K
1 i 1
+
=
+ −
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Sistema Price (ou Sistema Francês)
n Juros
Amortização do 
Saldo devedor
Pagamento
Saldo 
devedor
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0
Totais 36.940,65 300.000,00 336.940,65 
13) Você deseja realizar um financiamento para sua empresa no valor 
de R$300.000,00, taxa de 4% ao mês, para ser quitado durante 5 meses, 
sabendo que o sistema de amortização é o sistema Price, construa a tabela 
demonstrando a evolução destes valores:
Período Juros Amortização Parcela
Saldo 
devedor
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GABARITO
Questão 1: 4% a.m.
Questão 2: R$ 13.511,02
Questão 3: R$ 5.330,02
Questão 4: IRR ou TIR = 2,86% a.m.
Questão 5: TIR ou IRR 8,64% a.m.
Questão 6: NPV = R$ 10.204,94 (este foi o valor financiado)
Questão 7: Desconto: R$ 851,20. Valor a ser creditado: R$ 37.148,80.
Questão 8: Desconto: R$ 740,00. Valor a ser creditado: R$ 14.260,00.
Questão 9: 3,95% a.m.
Questão 10: 2,51% a.p. e 3,61% a.m.
Questão 11: 2,19% a.m.
Questão 12: 300000 / 5 = 60 000 o valor da amortização para o sistema SAC 
será de R$ 60000,00
Período Juros Amortização Parcela
Saldo 
devedor
0 300000
1 12000 60000 72000 240000
2 9600 60000 69600 180000
3 7200 60000 67200 120000
4 4800 60000 64800 60000
5 2400 60000 62400 0
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Período Juros Amortização Parcela
Saldo 
devedor
0 300000
1 12000 55388 67388 244612
2 9784 57604 67388 187008
3 7480 59908 67388 127100
4 5084 62304 67388 64796
5 2592 64796 67388 0
Questão 13: 300 000 CHS PV
5 n
4 i
PMT
67388,00
A parcela será de 67 388,00