Matemática Discreta - Relações

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CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 62 
 
 
RELAÇÕES 
 
1. PRODUTO CARTESIANO 
 
 Sejam A e B conjuntos não vazios. Chama-se produto cartesiano de A por B o conjunto 
de todo os pares ordenados ( , )x y com ex A y B . 
Notação: 
( , ) | eA B x y x A y B 
Exemplo 1: 
Sejam A = { 1,2 } e B = { 2,4,6, } e C = { x | 1 ≤ x < 4 } 
i) A B = { (1,2), (1,4), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6) }e sua representação gráfica é dada por: 
0
A
B
A
1 2
 
ii) A C = {(a,c) | a A e c C } e sua representação gráfica é dada por: 
 
A
C
0
 
iii) C C = {(a,b) | a C e b C} = {(a,b) | a [1,4[ e b [1,4[}e sua representação gráfica é dada por: 
0
C
C
[1,4[ x [1,4[
 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 63 
2. RELAÇÃO BINÁRIA 
 
 Denomina-se relação binária de A em B a todo subconjunto de A B . 
Se ( , )x y indicamos por x y e ( , )x y indicamos por x y . 
 
3. DOMÍNIO E IMAGEM 
 
 Seja uma relação binária de A em B. 
 Denomina-se domínio de o subconjunto de A, dos elementos de x A para os quais existe 
algum y em B com x y . 
 Denomina-se imagem de o subconjunto de B, dos elementos de y B para os quais existe 
algum x em A com x y . 
 
 Im | :y B x A x y 
 
4. PROPRIEDADES DAS RELAÇÕES 
 
 Seja .A B 
i) Reflexiva 
 
 Dizemos que é reflexiva se ( )x x A x x ou ( ( , ) )x x A x x 
Exemplo 2: 
Mostremos que as relações dadas são reflexivas. 
a) Seja ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c a c b a sobre , ,A a b c . 
 é reflexiva, pois , ea a b b c c . 
b) Seja 
2( , ) |x y x y 
 é reflexiva, pois para ,x x x 
c) Seja 
2( , ) |r s S r s r s sendo S plano euclidiano. 
 é reflexiva, pois para ,r S r r 
 
ii) Simétrica 
 Dizemos que é simétrica se, e somente se , ( )x y A x y y x . 
 
Exemplo 3: 
Mostremos que as relações dadas são simétricas. 
a) Seja ( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b b a sobre ,A a b . 
 
 é simétrica, pois a b b a . 
 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
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b) Seja a relação de perpendicularidade definida por: 
2( , ) |r s S r s r s sendo 
 S plano euclidiano. 
 é simétrica, pois r s s r . 
 
iii) Transitiva 
 
Dizemos que é transitiva se, e somente se ( , , )(( ) )x y z x y e y z x z . 
Exemplo 4: 
Mostremos que a relação ( , ),( , ),( , ),( , )a a a b b c a c sobre , ,A a b c é transitiva. 
 é transitiva pois, ( )a b e b c a c . 
 
iv) Antissimétrica 
 
Dizemos que é antissimétrica se, e somente se , (( ) )x y A x y e y x x y ou 
equivalente , ( ( ))x y A x y x y ou y x . 
 
Exemplo 5: 
Mostremos que a relação ( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b a c sobre , ,A a b c é antissimétrica. 
 A sentença ( )a b e b a a b é verdadeira, pois F F é verdadeira. 
 
Exemplo 6: 
A relação ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b b a c c sobre , ,A a b c não é antissimétrica. 
Não é antissimétrica, pois, ( )a b a b e b a . 
Observação: 
 
Se A é um conjunto finito com poucos elementos, é possível visualizar as propriedades por meio 
dos diagramas. 
 
Reflexiva: Em cada ponto do diagrama 
deve ter um laço. 
 
 
 
 
Simétrica: Toda flecha deve ter duas pontas. 
 
 
 
Transitiva: Todo par de flechas consecutivas Antissimétrica: Não há flechas com duas 
a b
c d
a
b
c
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
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deve existir uma flecha cuja origem é a 
primeira e extremidade é a segunda. 
 
pontas. 
 
 
 
 
5. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA 
 
Uma relação sobre A não vazio denomina-se relação de equivalência sobre A se, e somente 
se, for reflexiva, simétrica e transitiva. 
 
Exemplo 7: 
A relação ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c c a a c sobre , ,A a b c é de equivalência, pois, 
valem as três propriedades: reflexiva, simétrica e transitiva. 
 
Exemplo 8: 
Seja A . A relação definida por , ,x y x y x y é de equivalência. 
 i )Reflexiva 
A relação é reflexiva, pois, ( )( )x x x x 
ii)Simétrica 
 A relação é simétrica, pois, ( , )( )x y x y y x 
 
iii) Transitiva 
 A relação é transitiva, pois, ( , , )( ) )x y z x y e y z x z 
Exemplo 9: 
 A relação de paralelismo no plano euclidiano S é uma relação de equivalência. Assim 
( , )( )r s S r s r s 
 
i )Reflexiva 
A relação é reflexiva, pois, ( )( )r r S r r 
ii)Simétrica 
 A relação é simétrica, pois, ( , )( )r s S r s s r 
iii) Transitiva 
 A relação é transitiva, pois, ( , , )( ) )r s t S r s e s t r t . 
Exercícios de Aplicação 15: 
a b
c d
a b
c d
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
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Diga quais propriedades são válidas para as relações definidas a seguir. 
 
1) ( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c c a sobre
, ,A a b c 
i )Reflexiva 
 
 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
 
 
iii) Transitiva 
 
 
 
 
 
 
iv) Antissimétrica 
 
 
 
 
 
 
 
2) ( , ),( , )a a a b sobre ,A a b 
i )Reflexiva 
 
 
 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
 
 
 
iii) Transitiva 
 
 
 
 
 
 
 
iv) Antissimétrica 
 
3) ( , ),( , ),( , )a a b b b a sobre ,A a b 
i )Reflexiva 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
 
 
 
iii) Transitiva 
 
 
 
iv) Antissimétrica 
 
 
4) ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c a b b a iii) Transitiva 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
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Sobre , ,A a b c 
i )Reflexiva 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
 
 
iv) Antissimétrica 
 
 
5) Seja 
2 2 2( , ) | 1x y x y , 
quais propriedades são válidas para as 
relação. 
i )Reflexiva 
 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
iii) Transitiva 
 
 
 
 
 
 
iv) Antissimétrica 
 
 
 
 
 
 
6. CLASSE DE EQUIVALÊNCIA 
 
Seja uma relação de equivalência sobre A. 
Dado ,a A denomina-se classe de equivalência determinada por a, o subconjunto de A, 
formado dos elementos x tal que .x a Simbolicamente 
|a x A x a 
 
7. CONJUNTO QUOCIENTE 
 
O conjunto das classes de equivalência denomina-se conjunto quociente e se indica por /A 
Exemplo 10: 
A relação ( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c c a a c sobre , ,A a b c é de equivalência. 
Determinemos suas classes de equivalência começando por a, assim: 
 
 , ,pois, a ea a c a a c e c a 
 ,pois,b b b b 
 , ,pois,c c a c c e a c e c a , logo podemos ver que a classe a c e temos duas 
classes, e indicamos por / , , ,A a b a c b 
Exemplo 11: 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 68 
Seja a relação de equivalência sobre , , , , ,A a b c d e f 
( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b b a c c d d d e e d e e e f f e f f f d d f 
Determinemos suas classes de equivalência. 
 
, ,pois, a ea a b a a b e b a 
c c ,pois, c c 
, ,d d e f ,pois, ,...d d e d f e d e e escrevemos o conjunto quociente 
 
 / , , , ,A a b c d e f 
 
8. PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO 
 
Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a classe dos subconjuntos de A é uma partição de A 
se, e somente se 
 
1) ( )( )
r
r B 
 2) Se 
r s r s
r s B B ou B B 
 3) 
1
n
r
r
B A 
 
Exemplo 12: 
 Utilizando o exemplo 10 podemos escrever que , , , , ,A a b c d e f 
e / , , , ,A a b c d e f , assim /A forma uma partição de A pois chamando de 
 
1
,B a b 
 
2
B c 
 
3
, ,B d e f , tem-se 
3
1
r
r
B A e a intersecção de dois a dois é sempre vazia e 
( )( )
r
r B 
 
Exemplo 13: 
 Sejam A e definida por ( , ) ( , )a b c d a d b c . 
a) Verifique se é uma relação de equivalência. 
b) Caso afirmativo dar a classe de (2,3) . 
Deixamos a cargo do leitor a demonstração 
 i )Reflexiva 
 
 
ii)Simétrica 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
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iii) Transitiva 
 
a) ( , ) ( , )a b c d a d b c 
 ( , ) ( , )c d e f c f d e , adicionando membro a membro e simplificando tem-se; 
 
 ( ) ( , ) ( , )a f b e a b e f , logo é transitiva, portanto, é uma relação de 
equivalência. 
b) Classe de (2,3) = , | ( , ) (2,3)x y x y = , | 3 2x y x y = 
 (2,3),(1,2),(3,4),.... 
 
Exercícios de aplicação 16: 
 
1)Sejam*A e definida por 
( , ) ( , )a b c d ad bc . 
a) Verifique se é uma relação de equivalência 
i )Reflexiva 
 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
 
iii) Transitiva 
 
 
 
 
 
b) Caso afirmativo, dar a classe de (2,3) . 
 
 
 
2) Seja a relação de equivalência sobre 
definida por , 1n mn m i i i 
a) Verifique se é uma relação de 
equivalência 
i )Reflexiva 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
 
iii) Transitiva 
 
 
 
 
 
 
b) Caso afirmativo dar / . 
 
 
 
 
 
 
 
3) Seja iii) Transitiva 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 70 
* 2: ,definida por ( ) 1f f x x . 
a) Mostre que 
*( , ) | ( ) ( )a b af b bf a é de 
equivalência. 
i )Reflexiva 
 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
 
 
 
b) Caso afirmativo dar a classe 3 . 
 
 
 
 
 
 
 
4)Sejam A e definida por 
( , ) 3/a b a b .(lê-se 3 divide a-b) 
a) Verifique se é uma relação de 
equivalência. 
i )Reflexiva 
 
 
 
ii)Simétrica 
iii) Transitiva 
 
 
 
 
b) Caso afirmativo, dar / 
 
 
 
 
 
 
5) Seja , , ,A a b c d , complete o quadro 
Relação Reflexiva Simétrica transitiva 
= ( , ),( , ),( , ),( , )a a b b c c d d 
= ( , ),( , ),( , ),( , )a c c a c c a d 
= ( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )a a b b a b b a b d d b 
 
6) Seja a relação de equivalência sobre 
(conjunto dos números complexos)definida 
por 
( ) ( ) , 1x yi z ti x y z t i 
Descreva geometricamente a classe de 
equivalência determinada por 2 3i 
 
 
 
 
 
7) Seja : ,f e a iii) Transitiva 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 71 
relação
*( , ) | ( ) ( )a b af b bf a . 
a) Mostre que é de equivalência. 
i )Reflexiva 
 
 
 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)Sendo 
2( )f x x , dar a classe 2 . 
 
 
8) Em , definimos a relação de 
equivalência por 
( , ) ( , ) |x y a b k x ka e y kb 
Descreva geometricamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de aplicação 17: 
 
1) Seja 
2{( , ) | ( 1) ( 1)}x y x x y y . 
a) Determinar 1 ,a tal que 2.a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Verifique se é antissimétrica. 
 
 
2) Seja : ,f e a relação dada por iii) Transitiva 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 72 
( , ) | ( ) ( )a b f a f b a b 
a) Verifique se é uma relação de equivalência 
i )Reflexiva 
 
 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Sendo 2( ) 1f x x , determinar 3. 
 
 
 
 
3) Em , definimos a relação de por 
1 1 1 1
( , ) ( , ) 2( )x y x y y y x x 
a) Verifique se é de equivalência 
 
i )Reflexiva 
 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
 
iii) Transitiva 
 
 
 
 
 
 
 
b) Descreva geometricamente 
 
 
 
4) Sejam 
*A e relação de equivalência definida por 2 2( , ) ( , )a b c d a b c d . 
Determine os valores de k , para que (2, ) ( 1,3)k k 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 2) Seja : ,f e a relação dada 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 73 
por ( , ) || ( ) | | ( ) |a b f a f b 
 
a) Verifique se é de equivalência 
 
i )Reflexiva 
 
 
 
 
ii)Simétrica 
 
 
 
iii) Transitiva 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Determine 2 , Sendo ( ) 1f x x 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Seja a relação de equivalência sobre definida por: 
2 2 2 2{( ),( ) | , 1}x yi z ti x y z t i 
Descreva geometricamente a classe de equivalência determinada por / . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7)Em [ 1,1] [ 1,1] , definimos a relação de equivalência por 
2 2( , ) ( , ) ( ) ( ) .x y a b x y a b Descreva geometricamente as classes de equivalência: 
(0,0), (1, 1), ( 1,1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 74 
8) Seja 
* 2: ,definida por ( ) 3f f x x x e relação de equivalência definida por: 
* 2 2( , ) | ( 1) ( ) ( 1) ( )x y x f y y f x , determine 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9)Seja *{ |1 20}.A n n Em A definimos a relação de equivalência como segue: 
( , ) têm o mesmo número de múltiplos em .x y x e y A Quantas e quais são essas classes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Em [ 2, 1] [0,3],A definimos a relação “ ” por: 
2 2 ,para e x y x y y x x y A . 
 Verifique se o conjunto { | , 1 2 }C x x A x e x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 75 
9. RELAÇÃO DE ORDEM 
 Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que a relação é de ordem parcial sobre A se, e somente 
se, for reflexiva, anti-simétrica e transitiva, isto é, são verdadeiras as propriedades: 
i) é reflexiva se ( )x x A x x 
ii) é antissimétrica se, e somente se , (( ) )x y A x y e y x x y 
iii) é transitiva se, e somente se ( , , )(( ) )x y z x y e y z x y . 
Notação: Se a b e é uma relação de ordem parcial escrevemos a b , lê-se “ a precede b” ou “ a 
antecede b” 
Se a relação é de ordem parcial sobre A, então dizemos que ( , )A é parcialmente 
ordenado. 
 
Elementos comparáveis 
Se a relação é de ordem parcial sobre A. Os elementos a e b de A, se dizem comparáveis se 
oua b b a . 
 
 
10. ORDEM TOTAL 
 
Se a relação é de ordem parcial sobre A e os elementos a e b de A, forem comparáveis isto é, 
oua b b a , então é de ordem total. Nesse caso o conjunto A se diz totalmente ordenado. 
 
Exemplo 14: 
Sejam A e a relação definida por x y x y (menor ou igual é uma relação de 
ordem total, denominada ordem habitual). 
 Mostremos que é uma relação de ordem total. 
i) é reflexiva, pois ( )x x x x 
ii) é antissimétrica, pois , (( ) )x y x y e y x x y 
iii) é transitiva, pois ( , , )(( ) )x y z x y e y z x z . Portanto é de ordem parcial 
sobre . 
Verifiquemos se é de ordem total; 
, (se , ou )x y x y x y y x , logo é de ordem total e, ( , )A se diz totalmente 
ordenado. 
 
11. LIMITES SUPERIORES E INFERIORES 
 
Seja A um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . Seja B um 
subconjunto de A . 
 
Chamamos de limite superior de B a todo elemento | ,L A x L x B 
 Chamamos de limite inferior de B a todo elemento | ,l A l x x B 
 
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 76 
12. MÁXIMO E MÍNIMO 
 
 Sejam B A e uma relação de ordem parcial. 
 
 Se ,L B então L é máximo. 
Se ,l B então l é mínimo. 
 
13. SUPREMO E ÍNFIMO 
 
Seja A um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação . Seja B um 
subconjunto de A . 
 Chama-se supremo de B o mínimo do conjunto dos limites superiores de B (caso exista) 
 Chama-se ínfimo de B o máximo do conjunto dos limites inferiores de B (caso exista). 
 
11. BOA ORDEM 
 é boa ordem sobre A se, qualquer subconjunto de A possuir mínimo e,( , )A se diz bem 
ordenado. 
Exemplo 15: 
 Sejam , ] 1,2]A e a ordem habitual. Determinar 
a) Limites superiores de A, LS(A)= | 2L L 
b) Máximo de A, Max(A)= 2 
c) Supremo de A, Sup(A)= 2 
d) Limites inferiores de A, LI(A)= | 1l l 
e) Mínimo de A, não existe Min(A) 
f) Ínfimo de A, Inf(A)= 1 
 
Exemplo 16: 
 Sejam , , , ,A a b c d e e o diagrama simplificado da pré-ordem. Determinar os conjuntos 
indicados. ( no diagrama vê-se que a c ) 
 
a) Max(A)= a b) Sup(A)= a 
c) Min(A) = não existe d) Inf(A) = não existe 
 
a
b
c
d
e
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 77 
Exemplo 17: 
Seja 1,2,3,4,5,6,7,8A e 3,6,7,B . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo 
diagrama. 
 
Determinar i) 
a) LS(B)={7} b) Max(B)={7} c) Sup(B)= {7} 
 
d) LI(B)={3,4,5,8 } c) Min(B) ={3} d) Inf(B)= {3,4,5,8} 
 
 
ii) B é parcialmente ordenado (justifique) 
 
a) Reflexiva vale, pois, é pré-ordenado. 
 
b) Transitiva: Todo par de flechas consecutivas tem uma flecha cuja origem é a primeira e extremidade 
é a segunda. 
 
c) Antissimétrica: Devemos verificar se vale a propriedade para o conjunto B. 
 
(3 7 7 3) 3 7, F F é verdadeira. Analogamente para 3 e 6 e 6 e 7. 
 
iii) B é totalmente ordenado (justifique) 
 
Como B é pré-ordenado, devemos verificarse todos os elementos de B são comparáveis. 
 3 7 7 3ou (V) 
 3 6 6 3ou (V) 
 6 7 7 6ou (V), logo,( , )B é totalmente ordenado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2 3
4
56
7
8
B
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 78 
Exercícios de aplicação 18: 
 
1) Seja 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A e 2,3,5B . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo 
diagrama. 
 
 Determinar: i) 
a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } 
d) LI(B)={ } c) Min(B) = { } d) Inf(B)= { } 
 
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? 
 
 
 iii) ( , )B é totalmente ordenado? 
 
 
 
 
2)Seja 1,2,3,4,5,6,7A e 4,5,7B . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 
 
 
Determine i) 
a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } 
d) LI(B)= { } e) Min(B) ={ } f) Inf(B)= { } 
 
 
4
1
65
32
7
B
7
1
2
3
4
6
8
5
B
9
10
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 79 
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? (justifique) 
 
 
 
iii) O que se deve fazer para ser ( , )B parcialmente ordenado 
 
 
 
 
iv) ( , )B é bem ordenado se for totalmente ordenado e se todos seus subconjuntos têm mínimo. 
Verifique se B é bem ordenado. 
 
 
 
 
 
 
3)Seja 1,2,3,4,5A e 1,3,5B . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 
 
 
Determine i) 
a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B)= { } 
d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } 
 
 
 
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? (justifique). 
 
 
ii) ( , )B é totalmente ordenado? (justifique). 
 
 
 
 
 
1
54
3
2
B
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 80 
1
3
5
6
B
2
4
 
4) Seja 0,1,2,3,4,5,6,7,8A e 0,1,2,3B . Em A consideremos a pré-ordem definida pelo 
diagrama. 
 
Determine i) 
a) LS(B)={ } b) Max(B)={ } c) Sup(B= { } 
d) LI(B)= { } c) Min(B) ={ } d) Inf(B)= { } 
 
 
ii) ( , )B é totalmente ordenado? (justifique) 
 
 
 
 
 
 
5) Seja 1,2,3,4,5,6A e 2,3,4B . 
Em A consideremos a pré-ordem definida 
pelo diagrama. 
 
 
 
Determinar i) 
 a) LS(B)= { } 
 b) Max(B)={ } 
 c) Sup(B)= { } 
 d) LI(B)= { } 
 c) Min(B) ={ } 
 d) Inf(B)= { } 
 
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? 
 
 
 
 
iii) ( , )B é totalmente ordenado? 
 
 
 
 
 
 
2
4
1 3
56
7
0
8
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 81 
 
6) Seja 1,2,3,4,5,6A e 2,4,5B . Em 
A consideremos a pré-ordem definida pelo 
diagrama. 
 
 
Determinar i) 
 a) LS(B)= { } 
 b) Max(B)={ } 
 c) Sup(B)= { } 
 d) LI(B)= { } 
 c) Min(B) ={ } 
 d) Inf(B)= { } 
 
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? 
 
 
 
iii) ( , )B é totalmente ordenado? 
 
 
 
 
 
 
 
7) Seja 1,2,3,4,5,6,7,8A e 
2,3,5,8B . Em A consideremos a pré-
ordem definida pelo diagrama. 
 
 Determinar i) 
 a) LS(B)= { } 
 b) Max(B)={ } 
 c) Sup(B)= { } 
 d) LI(B)= { } 
 c) Min(B) ={ } 
 d) Inf(B)= { } 
 
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? 
 
 
 
 
 
 
iii) ( , )B é totalmente ordenado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 4 1
3
2 B
57
8
1
2
5
6
34
B
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 82 
 
8) Seja 1,2,3,4,5,6A e 1,5,6B . Em 
A consideremos a pré-ordem definida pelo 
diagrama. 
 
 
Determinar i) 
 a) LS(B)= { } 
 b) Max(B)={ } 
 c) Sup(B)= { } 
 d) LI(B)= { } 
 c) Min(B) ={ } 
 d) Inf(B)= { } 
 
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9) Em { ,, , , , }A a c d e f , considere a pré-
ordem definida pelo diagrama que segue 
 
 
Determinar i) 
 a) LS(B)= { } 
 b) Max(B)={ } 
 c) Sup(B)= { } 
 d) LI(B)= { } 
 c) Min(B) ={ } 
 d) Inf(B)= { } 
 
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? 
 
 
 
 
 
 
iii) ( , )B não é boa ordem, eliminando qual seta 
( , )B passa a ser boa ordem? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B
a
b
c
d
e
f
64
1 3
B
5
2
CAPÍTULO 5 – Relações Paulette 
 
 83 
 
10) Seja 1,2,3,4,5,6,7,8,9A e 1,2,3B . Em A 
consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama 
 
Determinar i) 
 a) LS(B)= { } 
 b) Max(B)={ } 
 c) Sup(B)= { } 
 d) LI(B)= { } 
 c) Min(B) ={ } 
 d) Inf(B)= { } 
 
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Seja 1,2,3,4,...12,13A e 4,5,7,9B . Em 
A consideremos a pré-ordem definida pelo diagrama. 
 
 
 
 
Determinar i) 
 a) LS(B)= { } 
 b) Max(B)={ } 
 c) Sup(B)= { } 
 d) LI(B)= { } 
 c) Min(B) ={ } 
 d) Inf(B)= { } 
 
ii) ( , )B é parcialmente ordenado? 
 
 
 
 
 
 
 
iii) ( , )B é totalmente ordenado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10
1
2
3
11
6
7
5
4
9
8
12
13
2
3
6
7
1
4
5
8 9