Análise da resposta transitória usando MATLAB

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Engenharia de Controle 1
Aula 11: Análise da resposta 
transitória usando MATLAB.
Pedro M. G. del Foyo
 
Sumário
● Uso de programas computacionais para 
análise da resposta transitória.
● Determinar os parâmetros da resposta 
temporal para sinais de entrada tipo 
impulso, degrau, rampa e parábola.
● Determinar a resposta transitória apenas 
considerando condições iniciais.
● Sistemas representados como função de 
transferência ou no espaço de estados. 
 
Representação do sistemas em 
MATLAB
● Método de entrada para sistemas 
representados pelas funções de 
transferências.
 F(s)= B(s) = b0sm + b1sm-1 + … + bm
 A(s) sn + a1sn-1 + … + an
● num = [b0 b1 b2 … bm]
● den = [1 a1 a2 … an]
 
Representação do sistemas em 
MATLAB
● Método de entrada para sistemas 
representados no espaço de estados
 ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t)
 y(t) = Cx(t) + Du(t)
● A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]
● B = [b11 b12; b21 b22; b31 b32]
● C = [c11 c12 c13]
● D = [d11; d12]
 
Obtenção da resposta à impulso 
● O MATLAB possui um comando 
 impulse(num,den) ou impulse(A,B,C,D)
● Pode explicitar uma base temporal
 t = 0:0.1:10
 valor inicial incremento valor final
● Pode-se colocar o tempo de forma explicita
 impulse(num,den,t) ou impulse(A,B,C,D,t)
 
Obtenção da resposta à impulso 
● A resposta pode ser graficada diretamente ou 
guardada numa matriz para mostra-la depois 
de forma combinada ou fazer operações sobre 
os resultados gerados.
 [y,x,t] = impulse(num,den,t)
 [y,x,t] = impulse(A,B,C,D,iu,t)
● iu é un escalar que define qual entrada será 
usada para gerar a resposta. 
● Se os resultados são guardados então a 
gráfica não é gerada automaticamente
 
Mostrando os resultados
● O MATLAB possui um comando que permite 
mostrar graficos a partir de dados em formato 
de matrices filas.
 plot(t,y,'o') para uma única curva
 plot(t,y1,'.',t,y2,'-', … ,t,yn,'o') para várias curvas 
● O comando grid produce uma grade no gráfico.
● O comando title('titulo') permite colocar um titulo 
à gráfica gerada.
 
Exemplo 1
● Obtenha a resposta a um impulso unitário do 
sistema seguinte: 
 ẋ1 0 1 x1 0
 = + u
 ẋ2 -1 -1 x2 1
 y = [1 0] x1 + [0] u
 x2 
 
Exemplo 1: solução
● Programa MATLAB
A = [0 1; -1 -1];
B = [0; 1];
C = [1 0];
D = [0];
impulse(A,B,C,D);
grid;
title('Resposta a impulso unitário ')
 
Exemplo 1: solução
 
Exemplo 2
● Obtenha a resposta a impulso do seguinte 
sistema
 G(s) = 1 
 s2 + 0.2s + 1
 
Exemplo 2: solução
● Programa MATLAB
num = [0 0 1];
den = [1 0.2 1];
impulse(num,den);
grid;
title('Resposta a impulso unitário ')
 
Exemplo 2: solução
 
Obtenção da resposta à degrau
● Para gerar a resposta à degrau unitário usar o 
comando:
 step(num,den) ou step(A,B,C,D,iu)
● Para guardar os resultados em matrices:
[y,x,t]=step(num,den) ou [y,x,t]= step(A,B,C,D,iu)
 
 saída variáveis de estado tempo
 
Exemplo 3
● Obter a resposta temporal a um degrau 
unitário da seguinte função de transferência 
em malha aberta.
G(s)= 25 
 s(s+4)
● Primeiro determinar a função de transferência 
em malha fechada supondo realimentação 
unitária
 G(s) = 25 
 1 + G(s) s2 + 4s + 25
 
Exemplo 3: solução
● Programa MATLAB 
num = [25]; 
den = [1 4 25]; 
t=0:0.1:4;
[y,x,t]=step(num,den,t);
plot(t,y,'-');
grid
 
Exemplo 3: solução
 
Exemplo 4
● Obtenha as curvas para resposta á degrau 
unitário para o seguinte sistema:
 ẋ1 -1 -1 x1 1 1 u1
 = + 
 ẋ2 6.5 0 x2 1 0 u2
 y1 = 1 0 x1 0 0 u1
 + 
 y2 = 0 1 x2 0 0 u2 
 
Exemplo 4: solução
● Programa MATLAB
A = [-1 -1; 6.5 0];
B = [1 1;1 0];
C = [1 0; 0 1];
D = [0 0; 0 0];
step(A,B,C,D,1);
grid;
title('Resposta a degrau unitário na entrada u1 ');
step(A,B,C,D,2);
grid;
title('Resposta a degrau unitário na entrada u2 ');
 
Exemplo 4: solução
 
Obtenção da resposta á rampa
● Não existe comando no MATLAB para obter a 
resposta a rampa.
● Para isto pode ser usado o comando step 
usado para obter resposta à degrau unitário.
● Para usar o comando step nas respostas à 
rampa é preciso modificar a função de 
transferência em malha fechada de forma a 
considerar a entrada rampa.
 
Obtenção da resposta á rampa
● Dado o seguinte sistema em malha fechada:
C(s) = 1 e dado R(s) = 1
R(s) s2 + s + 1 s2 
● Obter a resposta transitória usando a resposta 
à degrau
C(s) = 1 1 = 1 1 
 s2 + s + 1 s2 s(s2 + s + 1) s 
● Usar a FT modificada no comando 
step(num,den) no MATLAB
 
Obtenção da resposta á rampa
● Programa MATLAB
num1 =[1];
den1 = [1 1 1 0];
t = 0:0.1:4;
[y1,x,t]=step(num1,den1,t);
plot(t,y1,'-',t,t,'*');
grid
 
Obtenção da resposta á rampa
 
Resposta á rampa num sistema 
representado no espaço de estados
● Considere o seguinte sistema representado no 
espaço de estados:
 
 ẋ1 0 1 x1 0
 = + u
 ẋ2 -1 -1 x2 1
 y = [1 0] x1 + [0] u
 x2 
 
Resposta á rampa num sistema 
representado no espaço de estados
● A resposta à rampa unitária é a integral da 
resposta à degrau unitário com condições 
iniciais nulas portanto:
● Sendo assim temos que:
● Definindo temos 
 
Resposta á rampa num sistema 
representado no espaço de estados
● Combinando as equações anteriores obtemos 
a seguinte representação no espaço de 
estados:
 
Resposta á rampa num sistema 
representado no espaço de estados
● Modificamos as matrices do sistema A, B, C e 
D de forma a obter z que é a integral de ż que 
por sua vez é x
3
:
A saída agora passa a ser x
3
 
Resposta á rampa num sistema 
representado no espaço de estados
● Programa MATLAB
AA = [0 1 0; -1 -1 0; 1 0 0];
BB = [0; 1; 0];
CC = [0 0 1];
DD = [0];
t = 0:0.1:10;
[z,x,t] = step(AA,BB,CC,DD,1,t);
x3 = CC*x';
plot(t,x3,'o',t,t,'-'); grid;
title('Resposta a rampa unitária');
 
Resposta á rampa num sistema 
representado no espaço de estados
 
Resposta a condições iniciais
● As veces é necessário obter a resposta 
transitória de sistemas onde ele responde a 
determinadas condições iniciaispois não 
existe uma função de exitação externa.
● Exemplos destes casos são os péndulos ou 
sistemas massa mola amortecedor onde o 
sistema é tirado do ponto de equilibrio e logo 
deixado sem entrada até o mesmo voltar ao 
ponto de equilibrio. 
 
Resposta a condições iniciais
● Equação do sistema:
● Antitransformando:
● Arranjando a equação:
● Sustituindo os valores dados
 
Resposta a condições iniciais
● Usar o comando impulse pois não precisária 
alterar a função de transferência.
X(s) = 0.1s + 0.35 sendo U(s)= 1
 U(s) s2 + 3s + 2 
X(s) = 0.1s + 0.35 equação a ser 
 s2 + 3s + 2 usada no comando
 impulse(num,den)
 
Resposta a condições iniciais
● Programa MATLAB
num =[0.1 0.35];
den = [1 3 2];
impulse(num,den);
grid; 
title('Resposta transitória à cond. iniciais');
 
Resposta a condições iniciais
	Title
	Slide 2
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	Slide 6
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	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
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	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide 21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 24
	Slide 25
	Slide 26Slide 27
	Slide 28
	Slide 29
	Slide 30
	Slide 31
	Slide 32
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35