Lugar Geométrico das Raízes em Engenharia de Controle

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Engenharia de Controle 1
Aula 18: Obtenção do lugar 
geométrico das raízes: Casos 
especiais
Pedro M. G. del Foyo
 
Introdução
● Existem sistemas nos quais o ganho (K) não 
aparece como um fator multiplicativo de 
G(s)H(s). 
● Até agora contemplamos apenas sistemas 
com realimentação negativa (mais comunes) 
mas existem sistemas com realimentação 
positiva.
● Sistemas deste tipo são considerados casos 
especiais.
 
Sumário
● Determinação dos diagramas do lugar das 
raizes para sistemas com zeros.
● Determinação dos diagramas do lugar das 
raizes para sistemas onde o ganho não 
aparece multiplicando a função de 
transferência em malha aberta.
● Determinação dos diagramas do lugar das 
raizes para sistemas com realimentação 
positiva.
 
O método do lugar das raizes
● Condição de fase:
 G(s)H(s) = ±180º (2k-1), k=1,2,3,...
● Condição de magnitude:
 |G(s)H(s)| = 1
Os valores de s que cumprem as duas condições 
são as raizes da equação característica (polos de 
malha fechada).
 
Exemplo 1
● Desenhar o lugar geométrico das raizes para 
o seguinte sistema:
G(s)= K(s+2) 
 s2+2s+3
H(s) = 1
O sistema tem um zero em s=-2 e dois polos 
complexos conjugados em -1±j√2 
 
Exemplo 1: solução
1. Determinar os lugares geomêtricos das raizes 
no eixo real.
θ
1
+θ
2
=360
φ
1
=180
Pertençe ao 
lugar geométrico
 
Exemplo 1: solução
2. Determinar o ángulo de saída dos polos 
complexos conjugados.
Procurar um 
ponto de teste no 
entorno de um 
polo complexo 
conjugado que 
satisfaça a con-
dição de fase.
 
Exemplo 1: solução
3. Determinar o ponto de ingresso
O ponto de ingresso acontece onde a equação 
característica apresenta raizes reais.
Este ponto pode ser obtido a partir das raizes de 
dK/ds=0.
 
Exemplo 1: solução
4. Determinar os pontos onde o lugar 
geometrico intercepta o eixo imaginário
Estes pontos podem ser obtidos a través do 
critério de Routh.
 s2 + (K+2)s + 2K+3 = 0
Obviamente o lugar geometrico não 
intercepta o eixo imaginário
 
Ejemplo 1: solução
 
Ejemplo 1: solução
5. Selecionar um ponto de teste na vizinhança 
do ponto de ingresso e verificar se pertencem 
ao lugar geométrico através da condição de 
fase. 
Localize uma 
quantidade 
suficiente de 
pontos que 
satisfaçam a 
condição de 
fase.
 
Ejemplo 1: solução
5. Selecionar um ponto de teste na vizinhança 
do ponto de ingresso e verificar se pertencem 
ao lugar geométrico através da condição de 
fase. 
Determinar o 
ganho K em 
alguns dos 
pontos de 
teste.
 
Ejemplo 1: solução
6. Desenhar o lugar geométrico usando os 
pontos obtidos no passo anterior.
● Lembrar que o lugar 
geométrico é simétrico 
ao eixo real.
● Sinalizar o sentido do 
aumento do ganho 
para cada lugar geo-
metrico.
 
Casos Especiais (1)
● Considere o caso em que o ganho não 
aparece como fator multiplicativo de G(s)H(s)
Exemplo: Sistemas de seguimento.
● Nestes casos a função de transferência em 
malha aberta deve ser modificada de forma a 
colocar o ganho no numerador.
● Isto pode introduzir zeros fictícios na função 
de transferência em malha fechada que 
devem ser desconsiderados na análise final. 
 
Exemplo 2
● Desenhe o lugar geometrico das raizes para o 
seguinte sistema:
● Determine o ganho k que garanta um fator de 
amortecimento relativo de 0.4 para os polos 
dominantes em malha fechada.
 
Exemplo 2
● A função de transferência em malha aberta é:
= 20 
 s(s+1)(s+4)+20ks
Portanto a equação característica do sistema é:
s3 + 5s2 + 4s + 20 + 20ks = 0
Definimos 20k = K e obtemos:
s3 + 5s2 + 4s + Ks + 20 = 0
Que pode ser escrita como: 
1 + Ks = 1 + Ks = 0
 s3 + 5s2 + 4s + 20 (s-j2)(s+j2)(s+5)
 
Exemplo 2
● Desenhar o lugar das raizes do seguinte 
sistema:
 1 + Ks = 0
 (s-j2)(s+j2)(s+5)
Determinamos os polos e zeros da equação 
característica:
 p
1
=j2 p
2
=-j2 p
3
=-5 z
1
=0
 
Exemplo 2
● Desenhar o lugar das raizes do seguinte 
sistema:
 1 + Ks = 0
 (s-j2)(s+j2)(s+5)
Determinamos os polos e zeros da equação 
característica:
 p
1
=j2 p
2
=-j2 p
3
=-5 z
1
=0
 
Exemplo 2
●Determinar os lugares geo-
metricos sobre o eixo real
●Determinar as asíntotas:
●Intercepção da asíntota 
com o eixo real:
 
Exemplo 2
●Determinar ángulos de 
saída dos polos complexos 
conjugados:
●Determinar mais pontos de 
teste que perteçam aolugar 
geometrico e desenhar a 
curva.
 
Exemplo 2
●Determinar a localização 
dos polos com fator de 
amortecimento relativo igual 
a 0.4
cos-10.4=66.42º
●Determinar o ganho K nos 
pontos P e Q 
P
P
Q
 
Ejemplo 2
● Para o ponto P temos:
k=K/20=0.449 
Portanto p
1
=-1.049+j2.4065 p
2
=-1.049-j2.4065 p
3
=-2.902 
● Para o ponto Q temos:
k=K/20=1.4130 
Portanto p
1
=-2.159+j4.965 p
2
=-2.159-j4.965 p
3
=-0.6823
A função de transferência original seria:
C(s) = 20 
R(s) s(s+1)(s+4)+20(1+ks) 
 
Ejemplo 2
Para k=0.449 obtemos 
dois polos complexos 
conjugados dominantes 
em malha fechada (P).
 
Para k=1.4130 obtemos 
um polo real dominante 
em malha fechada (Q).
 
Ejemplo 2
Respostas a um degrau unitário para o sistema 
com k=0.449 e k=1.4130
 
Casos especiais (2)
● Para os sistemas com realimentação positiva 
a equação característica é:
 1 – G(s)H(s) = 0
● Portanto a condição de fase muda:
 G(s)H(s) = 0” ± 360º
● A condição de magnitude continua a mesma:
 |G(s)H(s)| = 1
 
Exemplo 3
● Desenhar o lugar geométrico das raizes para 
o seguinte sistema:
G(s)= K(s+2) 
 (s+3) (s2+2s+2)
H(s) = 1
 
Exemplo 3
1. Colocar os zeros e polos de malha aberta no 
plano s:
 
Exemplo 3
2. Determinar o lugar geometrico das raizes no 
eixo real usando a condição de fase:
●Para qualquer ponto de 
teste no eixo real a soma 
dos ángulos dos polos 
complexos conjugados é 
360º.
●Os ángulos dos zeros e 
polos no eixo real são 0º 
ou 180º dependendo da 
posição relativa do ponto 
de teste.
 
Exemplo 3
3. Determinar os pontos de ruptura e/ou 
ingresso:
●O ponto s=-0.8 se localiza no lugar 
geometrico então é um ponto de in-
gresso. Os outros pontos não satis-
facem a condição de fase.
 
Exemplo 3
4. Determinar o ángulo de saida dos polos 
complexos conjugados:
●Com a mudança na condição 
de fase agora o ponto de 
saída/entrada é calculado to-
mando como referência 0º.
 
Exemplo 3
5. Determinar mais pontos de teste que 
perteçam ao lugar geometrico:
●Desenhar o lugar geometrico 
dos polos complexos con-
jugados com a informação le-
vantada.
 
Exemplo 3
● Comparação do lugar geometrico das raizes 
com realimentação positiva e negativa:
●Os lugares geometricos das 
raizes com realimentação 
positiva complementam o 
lugar geometrico com reali-
mentação negativa.
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