RACIOCÍNIO LÓGICO - CAPÍTULO 4

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RACIOCÍNIO LÓGICO
Alessandro Ferreira Alves 
Sumário
Apresentação .................................................................................................................... 9
O autor .............................................................................................................................10
Capítulo 1 
Operações numéricas e operações algébricas ................................................................. 11
1.1 Classificação dos números ......................................................................................... 11
1.1.1 Notas históricas .......................................................................................................................................................12
1.1.2 Conjunto dos Números Naturais e Conjunto dos Números Inteiros ........................................................................12
1.1.3 Conjunto dos Números Racionais e Conjunto dos Números Irracionais .................................................................14
1.1.4 Conjunto dos Números Reais ................................................................................................................................. 16
1.2 Operações numéricas ................................................................................................16
1.2.1 Adição e Subtração ................................................................................................................................................ 16
1.2.2 Multiplicação e Divisão ...........................................................................................................................................19
1.2.3 Potenciação ........................................................................................................................................................... 23
1.2.4 Radiciação .............................................................................................................................................................. 25
1.3 Operações algébricas .................................................................................................27
1.3.1 Produtos Notáveis .................................................................................................................................................. 27
1.3.2 Fatoração ............................................................................................................................................................... 28
1.3.3 MDC e MMC .......................................................................................................................................................... 30
1.4 Equações e inequações ..............................................................................................32
1.4.1 Equações do 1.º Grau ............................................................................................................................................. 32
1.4.2 Equações do 2.º Grau ............................................................................................................................................. 34
1.4.3 Inequações do 1.º Grau .......................................................................................................................................... 35
1.4.4 Inequações do 2.º Grau .......................................................................................................................................... 37
Referências ......................................................................................................................41
Capítulo 2 
Noções de Raciocínio Lógico e Teoria de Conjuntos ........................................................43
2.1 Introdução à Lógica ...................................................................................................43
2.1.1 Aspectos introdutórios da Lógica Formal .............................................................................................................. 44
2.1.2 Lógica: uma ciência interpretativa e racional ........................................................................................................ 46
2.1.3 Tipos de argumentação ......................................................................................................................................... 48
2.1.4 Premissas, Termos, Falácias e Silogismo ................................................................................................................ 48
2.2 Resolução de problemas ...........................................................................................50
2.2.1 A resolução de problemas ..................................................................................................................................... 50
2.2.2 Classificando os problemas ....................................................................................................................................51
2.2.3 Etapas da resolução de um problema................................................................................................................... 53
2.3 Proposições e tabelas-verdade ..................................................................................54
2.3.1 Valores Lógicos e Proposições .............................................................................................................................. 55
2.3.2 Operações lógicas sobre proposições .................................................................................................................... 56
2.3.3 Construção de tabelas-verdade ............................................................................................................................ 58
2.3.4 Tautologias, contradições e contingências .............................................................................................................61
2.4 Conjuntos ...................................................................................................................64
2.4.1 Conceitos fundamentais da teoria dos conjuntos .................................................................................................. 64
2.4.2 Conjuntos Numéricos ............................................................................................................................................ 66
2.4.3 Relações e operações envolvendo conjuntos ........................................................................................................ 67
2.4.4 Diagrama de Venn e resolução de problemas ....................................................................................................... 68
Referências ......................................................................................................................72
Capítulo 3 
Razão, Proporção, Regra de Três Simples e Composta ...................................................73
3.1 Razões e Proporções ..................................................................................................73
3.1.1 Razão e Proporção .................................................................................................................................................. 73
3.1.2 Grandezas Proporcionais ........................................................................................................................................76
3.1.3 Divisão Proporcional .............................................................................................................................................. 78
3.1.4 Problemas Simulados ............................................................................................................................................ 81
3.2 Regra de Sociedade ...................................................................................................82
3.2.1 Regra de Sociedade: qual o seu significado? .........................................................................................................82
3.2.2 Regra de Sociedade Simples ................................................................................................................................. 83
3.2.3 Regra de Sociedade Composta ............................................................................................................................. 85
3.2.4 Problemas simulados diversos .............................................................................................................................. 86
3.3 Regra de Três Simples ...............................................................................................88
3.3.1 Regra de Três: qual o seu significado? ................................................................................................................... 88
3.3.2 Regra de Três Simples Direta ................................................................................................................................. 88
3.3.3 Regra de Três Simples Inversa ............................................................................................................................... 90
3.3.4 Problemas simulados diversos .............................................................................................................................. 91
3.4 Regra de Três Composta ............................................................................................92
3.4.1 Aspectos introdutórios........................................................................................................................................... 93
3.4.2 Resolvendo um problema envolvendo a Regra de Três Composta....................................................................... 94
3.4.3 Problemas simulados diversos .............................................................................................................................. 96
Referências ......................................................................................................................99
Capítulo 4 
Porcentagem, juros e descontos simples ......................................................................101
4.1 Porcentagem e aplicações .......................................................................................101
4.1.1 Porcentagem: O que é? .........................................................................................................................................101
4.1.2 Taxa percentual e elementos do cálculo percentual .............................................................................................102
4.1.3 Operações de venda envolvendo porcentagens .................................................................................................. 105
4.1.4 Outras aplicações envolvendo porcentagem ....................................................................................................... 108
4.2 Juros simples ........................................................................................................... 110
4.2.1 Aspectos introdutórios dos juros simples.............................................................................................................110
4.2.2 Fórmulas características .......................................................................................................................................110
4.2.3 Taxas proporcionais e equivalentes ......................................................................................................................116
4.2.4 Equivalência Financeira ........................................................................................................................................118
4.3 Descontos no regime simples .................................................................................121
4.3.1 Conceitos introdutórios e tipos de Títulos ............................................................................................................121
4.3.2 Desconto por Fora ou Desconto Bancário ........................................................................................................... 122
4.3.3 Desconto por Dentro ou Desconto Racional ........................................................................................................ 125
4.4 Resolvendo problemas financeiros na HP 12C ........................................................127
4.4.1 Aspectos introdutórios da HP 12C ........................................................................................................................127
4.4.2 Funções Básicas ....................................................................................................................................................128
4.4.3 Problemas envolvendo os juros simples ............................................................................................................. 130
Referências ....................................................................................................................135
4 Porcentagem, juros e descontos simples
Hoje, existe a necessidade contínua de redução de custos, seja em nível pessoal 
ou empresarial, o que significa uma maximização de resultados ou melhor distribuição 
dos gastos. Por isso, é importante sabermos que as ferramentas da área financeira, se 
bem interpretadas e utilizadas, podem contribuir de forma significativa para que tais 
objetivos sejam atingidos. Cabe ressaltar que este entendimento parte de conceitos e 
práticas mais simples, como porcentagem e regime de juros simples, até as mais com-
plexas, como caracterização da viabilidade de projetos a partir de indicadores.
Algumas técnicas da Matemática Financeira são muito importantes para que 
qualquer indivíduo ou empresa entenda processos específicos da gestão financeira ou 
de negócios. A Matemática Financeira atual é encarada como o ramo da Matemática 
Aplicada que estuda o valor do dinheiro ao longo da escala tempo. Logo, gerencial-
mente falando, é uma ferramenta indispensável para a tomada de decisão.
Sendo assim, serão objetos de nosso estudo neste capítulo alguns conceitos e 
técnicas específicas da Matemática Financeira, tais como porcentagem e aplicações, 
descontos simples, juros simples e cálculos algébricos, bem como a implementação de 
problemas na HP 12C, que é um importante instrumento para o tratamento da resolu-
ção de problemas no âmbito financeiro.
4.1 Porcentagem e aplicações
A porcentagem é uma forma de expressar números relativos e um tipo peculiar 
de razão que aparece comumente no nosso cotidiano, seja em nível comercial ou em-
presarial. Ela se faz presente em expressões de notícias em jornais e revistas, bem 
como na descrição de indicadores e índices econométricos, como financiamentos, 
compras a prazo, dimensionamento da inflação, etc. 
Vejamos então algumas informações iniciais envolvendo a porcentagem e os seus 
elementos fundamentais. 
4.1.1 Porcentagem: o que é?
Com certeza você já teve contato o termo porcentagem de forma direta ou indi-
reta. Você provavelmente já viu em vitrines de lojas, em programações jornalísticas e 
tantas outras situações expressões do tipo “desconto de até 50% para compra à vista 
nas ofertas de verão”, “neste ano, o salário dos colaboradores da BPL Logística terá um 
aumento na ordem de 10,45%”, “o Produto Interno Bruto (PIB) cresceu 1,1% em 2012”, 
“a inflação registrada nos últimos 12 meses superou a casa dos 10%” ou “o número de 
pessoas que se encontra na faixa de 18 a 26 anos totaliza 34% população brasileira.”
Raciocínio Lógico 102
Pode-se utilizar tanto o termo porcentagem como percentagem.
São expressões como essas, muito comum do nosso cotidiano, que trazem à tona 
o conceito de porcentagem. Por conta disso, é interessante um estudo mais detalhado 
e estruturado envolvendo o conceito de porcentagem, que também pode ser entendi-
da como uma técnica comparativa de valores.
4.1.2 Taxa percentual e elementos do cálculo percentual
Existem alguns elementos fundamentais noscálculos envolvendo as porcentagens, 
chamados de elementos do cálculo percentual. Eles permitem uma melhor visualização 
e entendimento para a resolução de questões – como, por exemplo, “quanto é 15% de 
835?” ou “quanto vale 125% de 36?” –, para a descrição de operações envolvendo lucro 
e prejuízo sobre compra e venda, situações para cálculo de imposto de renda retido em 
fonte e tantos outras. Vejamos agora cada um deles, bem como a expressão geral para 
cálculos empregada na resolução de problemas.
Primeiramente, suponhamos que um recém-formado em Administração, partici-
pando do processo de trainee de uma grande multinacional, tenha acertado 24 das 30 
questões propostas na primeira fase. Observe, de forma bem simples, que o quocien-
te entre o número de questões acertadas pelo número total de questões é dado pelas 
razões: 
24
30
 = 12
15
 = 4
5
 = 0,8 = 8
10
 = 80
100
 = ... 
Desta forma, toda vez que olharmos para uma razão cujo consequente é igual a 
100 



80
100



, ela é denominada de razão centesimal. Além disso, é interessante comentar 
que outra forma de representação das razões centesimais, frequentemente utilizadas 
no contexto econômico financeiro, é através da troca do consequente 100 pela simbo-
logia %, que lemos por cento. Sendo assim, podemos escrever: 
80
100
 = 0,80 = 80%
Este valor 80% é dito taxa percentual ou centesimal. Exemplificando, podemos ci-
tar que a razão 3
4
 escrita na forma de taxa percentual é vista como 0,75 na sua forma 
decimal ou 75% na sua forma percentual:
Raciocínio Lógico 103
3
4
 = x
100
 ⇒ 4 · x = (3) · (100) ⇒ x = (3) · (100)
4
 ⇒ x = 300
4
 ⇒ x = 75
Agora, vamos ver os elementos fundamentais do cálculo percentual. Para tal, 
note mais uma vez que:
24
30
 = 80
100
Assim, na expressão anterior, se chamarmos 24 de porcentagem, 30 de principal 
e 80 de taxa, montamos uma proporção como essa:
porcentagem
principal
 = taxa
100
Mas como podemos definir de forma simples cada um desses termos, a fim de 
utilizá-los na resolução de problemas? Desta forma, taxa, porcentagem e principal po-
dem ser entendidos como segue:
• Taxa: é o valor representativo da quantidade de unidades tomadas em cada 
centena (100);
• Porcentagem: é o valor que denota a quantidade tomada de uma outra, em li-
nhas proporcionais a uma taxa;
• Principal: representa o valor da grandeza da qual estamos determinando a 
porcentagem.
Na simbologia matemática, vamos representar o valor ou a quantidade principal 
por P, a porcentagem por p e a taxa por r. Logo, escrevemos: p
P
 = r
100
.
No cotidiano, a porcentagem aparece comumente relacionada a comissões, multas, descontos 
e abatimentos.
Vejamos alguns problemas que ilustram a aplicabilidade dos conceitos fundamen-
tais do cálculo percentual.
Raciocínio Lógico 104
Problema 1: Domingos é pai de Luciana. Ele comprou uma impressora de 
R$ 300,00 com um desconto de 16%. Luciana então pergunta ao pai por quanto saiu o 
equipamento. O que Domingos respondeu? 
Solução: A primeira coisa a ser feita é a identificação dos elementos do cálculo 
percentual dado, bem como o termo desconhecido a ser encontrado. Aqui, notamos 
que a taxa r = 16, o principal P = 300 e devemos encontrar o valor da porcentagem p. 
Logo, escrevemos:
p
300
 = 16
100
Como se trata de uma proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos ex-
tremos. Ou seja:
100 · p = (16) · (300) ⇒ 100 · p = 4800 ⇒ p = 4800
100
 ⇒ p = 48
Então, a resposta de Domingos à filha foi de que a impressora custou: R$ 300,00 – 
R$ 48,00 = R$ 252,00.
Problema 2: Uma garagem de carros usados comprou um automóvel no fi-
nal do ano passado por R$ 10.000,00 e o vendeu dois meses depois com um lucro de 
R$ 800,00. Qual foi a porcentagem de lucro nesse negócio?
Solução: Aqui, observe que P = 10000, p = 800 e devemos encontrar a taxa r. 
Logo:
800
10000
 = r
100
 ⇒ r = (800) · (100)
10000
 ⇒ r = 80000
10000
 = 8
Portanto, o lucro da garagem foi de 8%.
Problema 3: Em uma escola de ensino fundamental, 26% dos alunos são meni-
nos. Sabendo que os meninos são 182 no total, qual o número de alunos que a escola 
possui? 
Solução: Observemos que aqui devemos encontrar o valor do principal P, sendo 
dados a porcentagem p = 182 e a taxa r = 26. Daí:
182
P
 = 26
100
 ⇒ 26 · P = (182) · (100) ⇒ P = (182) · (100)
26
 ⇒ P = 700
Sendo assim, a escola possui no total 700 alunos, sendo 182 meninos e 518 
meninas. 
Raciocínio Lógico 105
Problema 4: Lucas é um vendedor de componentes computacionais na cidade de 
São Paulo e recebe uma comissão de 6% sobre cada negócio fechado. Quanto Lucas 
ganhará diante de uma venda de R$ 6.000,00 associado a venda de um computador e 
impressora? 
Solução: Neste caso, observemos que P = 6000, r = 6 e queremos encontrar p. 
Daí: 
p
6000
 = 6
100
 ⇒ 100 · p = (6) · (6000) ⇒ p = (6) · (6000)
100
 ⇒ p = 36000
100
 ⇒ p = 360
Logo, Lucas irá ganhar uma comissão de R$ 360,00 fechando R$ 6.000,00 na ven-
da do computador com impressora de acordo com o problema. 
A seguir, vamos trabalhar com a resolução de outras situações que envolvem ope-
rações com porcentagem, que são lucro sobre a venda e prejuízo sobre a venda.
4.1.3 Operações de venda envolvendo porcentagens
O conceito de porcentagem está intimamente ligado a aplicações que são fre-
quentes no nosso cotidiano. Falando de forma mais específica, são as situações que 
envolvem vendas com lucros ou prejuízos. De acordo com Samanez (2010), lucro signi-
fica retorno positivo de um certo investimento. Vamos ilustrar as operações de vendas 
com lucro envolvendo porcentagens através de problemas simulados. 
Problema 5: Um comerciante na área de calçados vendeu mercadorias com um 
lucro de 12% sobre o preço de custo. Sabendo que as mercadorias custaram R$ 600,00 
no total, qual é o valor do preço de venda? 
Solução: A primeira observação a ser feita aqui é com relação ao entendimento 
do preço de venda, que é dado por:
Preço de Venda = Preço de Custo + Lucro
Como o lucro é igual a 12% sobre o preço de custo – isto é, lucro = 12% do preço 
de custo = 12
100
 do preço de custo = 0,12 –, vem que:
Preço de Venda = Preço de Custo + 0,12 · Preço de Custo
Colocando o preço de custo em evidência, temos que:
Preço de Venda = (1 + 0,12) · Preço de Custo
Raciocínio Lógico 106
Ou seja: 
Preço de Venda = (1 + 0,12) · 600
Preço de Venda = (1,12) · 600
Preço de Venda = 672,00 
Portanto, o preço de venda das mercadorias é R$ 672,00. 
Agora, poderia surgir uma dúvida: como podemos generalizar o raciocínio utiliza-
do nesse problema para situações similares? Vamos generalizar tal procedimento? Se 
chamarmos:
V: preço de venda; C: preço de compra (ou principal); L: lucro; i: taxa unitária 
Salientamos que a taxa unitária, representada por i, é a taxa referenciada sobre a 
unidade. Sendo assim, por exemplo, para uma taxa de 25% = 25
100
 = i
1
 ⇒ i = 25
100
 = 0,25.
Podemos escrever, de acordo com a argumentação anterior, que:
V = C + L
E como:
L = i · C
Temos:
V = C + i · C
Ou seja:
V = (1 + i) · C
O que nos permite o cálculo do preço de venda, conhecendo o preço de compra e 
a taxa de lucro sobre o preço de compra. Observe que de acordo com os dados do pro-
blema anterior, escrevemos:
V = (1 + i) · C
V = (1 + 0,12) · 600
V = 1,12 · 600
V = 672,00
Que é exatamente o resultado encontrado anteriormente. Para compreendermos 
melhor, vamos analisar alguns exemplos.
Raciocínio Lógico 107
Problema 6: Leticia trabalha com vendas de calças jeans. Ela compra artigos por 
R$ 70,00 e deseja ganhar 30% sobre o preço da venda das calças. Qual o preço de ven-
da que Leticia deve praticar?
Solução: A primeira observação a ser feita aqui é que precisamos nos atentar 
para a relação entre preço de venda e preço de compra. Ou seja, sabemos que:
Preço de Venda = Preço de Compra + Lucro
Então:
Preço de Venda – Lucro = Preço de Compra
Já que o lucro é igual a 30% sobre o preço de venda:
Lucro = 30
100
 · Preço de Venda = 0,30 · Preço devenda
Obtemos:
Preço de Venda – 0,30 · Preço de Venda = Preço de Compra
Ou: 
(1 – 0,30) · Preço de Venda = Preço de Compra
Ou ainda:
Preço de Venda = Preço de Compra
0,70
 = 70
0,70
 = 100
Portanto, Leticia deve fixar o preço de venda em R$ 100,00.
Similarmente, pode-se generalizar o raciocínio utilizado no problema anterior 
como segue:
V – L = C
E como:
L = i · V
Vem que:
V – i · V = C 
Isolando V temos que: 
V · (1 – i) = C
Raciocínio Lógico 108
Então: 
V = C
1 – i
Que nos permite o cálculo do preço de venda, conhecendo o preço de compra e 
a taxa de lucro sobre preço de venda. Observemos então que de acordo com os dados 
do problema anterior, escrevemos:
V = C
1 – i
V = 70
1 – 0,30
V = 70
0,70
V = 100
Que é exatamente o resultado encontrado anteriormente.
Como fizemos com o lucro sobre o preço de compra e venda, vamos apresentar 
situações que envolvem operações de porcentagem referenciadas no prejuízo. 
4.1.4 Outras aplicações envolvendo porcentagem
De acordo com Samanez (2010), prejuízo é sinônimo de gastar mais do que se ga-
nha. Obviamente, tal definição se aplica ao nível de uma organização. De modo análogo, 
vamos trabalhar com situações envolvendo os preços de compra e venda, só que agora 
relacionados ao prejuízo. 
Problema 7: Uma empresa vendeu um de seus componentes com um prejuízo de 
28% sobre o preço de compra. Sabe-se que tal componente foi adquirido por R$ 42,00. 
Qual o preço de venda praticado pela empresa?
Solução: Primeiramente, observemos que:
Preço de Venda = Preço de Compra – Prejuízo
Já que o prejuízo foi igual a 28% do preço de compra:
Prejuízo = 28
100
 = 0,28
Raciocínio Lógico 109
Temos que:
Preço de Venda = Preço de Compra – Prejuízo
Preço de Venda = (1 – 0,28) · Preço de Compra
Preço de Venda = 0,72 · Preço de Compra
Preço de Venda = 0,72 · 42 = 30,24
Portanto, o preço de venda praticado pela empresa para esse componente foi de 
R$ 30,24.
Problema 8: Um apartamento no centro da cidade de Varginha (MG), que custa-
va R$ 96.000,00 no ano de 2012, foi vendido com um prejuízo na ordem de 20% sobre 
o preço de venda em 2013. Qual o valor de venda desse apartamento?
Solução: É sabido que:
Preço de Venda = Preço de Compra – Prejuízo
Portanto: 
Preço de Venda + Prejuízo = Preço de Compra
Como o prejuízo da venda foi da ordem de 20% sobre o preço de venda, 
escrevemos:
Prejuízo = 20
100
 = 0,20
Temos que:
Preço de Venda + 0,20 · Preço de Venda = Preço de Compra
Ou seja: 
(1 + 0,20) · Preço de Venda = Preço de Compra
Ou ainda: 
Preço de Venda = Preço de Compra
1,20
 = 96000
1,20
 = 80.000,00
A partir do momento em que discutimos a parte relacionada à porcentagem e aos 
termos do cálculo percentual, continuaremos a utilizar tais conceitos no estudo do regi-
me linear de juros ou juros simples, que é o primeiro regime trabalhado na Matemática 
Financeira. Convido você então a conhecer o regime linear de juros. Vamos lá?
Raciocínio Lógico 110
4.2 Juros simples
Inicialmente, devemos entender o conceito de juros, que é a base para a com-
preensão das operações financeiras. Juro nada mais é do que o valor pago pelo aluguel 
do dinheiro ao longo do tempo, aparecendo em operações de financiamentos e em-
préstimos pessoais em instituições financeiras. 
No âmbito financeiro, capitalizar é o processo de aplicação de determinada quantia 
monetária a uma dada taxa de juros e de crescimento por conta da adição dos mesmos ju-
ros à quantia inicialmente aplicada. Sendo assim, o regime de capitalização é o processo 
pelo qual os juros são calculados. Na prática da gestão financeira, temos dois regimes de 
capitalização, que são a capitalização simples e a capitalização composta. 
O primeiro, que será o nosso objeto de estudo neste instante, caracteriza o juro 
apenas sobre a quantia inicial, a qual chamaremos de valor presente, capital inicial ou 
principal, enquanto que o segundo gera o valor de juro sobre o montante do período 
anterior. 
4.2.1 Aspectos introdutórios dos juros simples
Não muito distante da realidade de cada um, escutamos frases como “economi-
zei por três anos, agora vou depositar tudo na poupança, pois ela me renderá juros” ou 
“vou emprestar as minhas economias a um amigo de infância, pois vou ganhar juros”. 
Questões como estas estão diretamente relacionadas ao conceito de juros simples.
É interessante observarmos que os juros são calculados de forma periódica, ou 
seja, ao final de um dia, de um mês, de um trimestre ou de um ano. Desta forma, con-
siderando a taxa fixada e os juros sendo calculados sobre a quantia inicial tomada 
emprestada ou financiada, temos o que chamamos de juros simples. Desta maneira, no 
regime de juros simples, os juros são calculados apenas sobre a quantia inicial empres-
tada ou financiada.
Logo, a seguir, vamos entender o regime de juros simples. 
4.2.2 Fórmulas características
Antes de apresentarmos uma situação para a descrição das fórmulas características 
do regime linear de juros, é necessário entender os elementos básicos de construção da 
Matemática Financeira e, consequentemente, os regimes de capitalização. 
A tabela a seguir nos traz as expressões e a notação dos conceitos característicos 
da Matemática Financeira:
Raciocínio Lógico 111
Nomenclatura Simbologia Descrição
Valor presente 
ou capital inicial
PV
Do inglês, present value, denota a quantia inicial emprestada ou 
financiada durante determinado tempo, mediante pagamento 
de uma dada remuneração.
Taxa i
Tradução do inglês interest rate, está relacionada ao seu modo de 
incidência (mensal, anual, etc.).
Juros J É o que se paga pelo aluguel do dinheiro durante certo tempo.
Prazo n
Denota a duração da operação estudada (meses, anos, dias, tri-
mestres, etc).
Valor futuro ou 
montante
FV
Do inglês, future value, é a soma entre o valor presente e os ju-
ros. Às vezes, é chamado também de valor nominal.
Vejamos então uma situação ilustrativa para gerarmos as expressões características 
dos juros simples. Para tal, vamos considerar que você procurou uma instituição financei-
ra para tomar a quantia de R$ 4.000,00 emprestada, pela qual você irá pagar 6% de juros 
simples mensalmente. Então, se você quitar a dívida ao final do primeiro mês, quanto de 
juros você pagará? E no segundo mês? E em um mês de ordem n? Vamos verificar? 
Para sabermos quanto você pagará de juros ao final do primeiro mês, determina-
mos que 
6% de R$ 4.000,00 = 4000 · 0,06 = R$ 240,00
Para o segundo mês, observe que este valor para os juros será dado por:
Juros = (4000) · 0,06 · 2 = R$ 480,00
Com relação ao terceiro mês, temos que:
Juros = (4000) · 0,06 · 3 = R$ 720,00
E assim de forma sucessiva, se você quitar a dívida ao prazo final de n meses. 
Desta maneira, como podemos descrever para um mês qualquer n? Em símbolos, po-
demos escrever que no enésimo mês, você pagaria:
Juros = 0,06 · (4000) · n
Nesta direção, note que, em termos gerais, os juros simples J obtidos sobre um 
capital PV a uma dada taxa i, durante um período n de tempo, podem ser caracteriza-
dos diretamente pela expressão característica:
J = PV · i · n
Raciocínio Lógico 112
Essa expressão representa a fórmula característica do cálculo dos juros no regime 
de capitalização simples. Outro ponto importante a ser trabalhado é o valor futuro no 
regime simples. Sabemos que:
FV = PV + J
Uma vez que: 
J = PV · i · n
Logo, substituindo o valor de J: 
FV = PV + PV · i · n
Ou seja, colocando PV em evidência, vemos que:
FV = PV · (1 + i · n)
O que nos dá a fórmula característica para o cálculo do valor futuro no regime de 
juros simples.
Para realizarmos operações algébricas envolvendo a taxa e o período, devemos ter os dois ter-
mos na mesma unidade para cada uma das grandezas. Por exemplo, tempo em meses e taxa 
de juros mensal.
Vejamos algumas situações práticas de aplicação das fórmulas descritas 
anteriormente. 
Problema 9: André investe a quantia de R$ 12.000,00 a juros simples de 15% ao 
ano. Ele realiza o resgate desse investimentoapós três meses e dez dias, a contar da 
data de execução do mesmo. Qual foi a remuneração?
Solução: A primeira observação que devemos fazer para esta situação é com re-
lação às unidades da taxa e do período da operação financeira envolvida. Assim, com 
base no ano comercial (1 mês = 30 dias e 1 ano = 360 dias), temos que:
n = 3 meses e 10 dias = (3 · 30 dias) + 10 dias = 100 dias = 100
360
 ano
i = 15% ao ano = 0,15 ao ano
PV = 12000
Raciocínio Lógico 113
Logo, vem que:
J = PV · i · n
J = 12000 · 0,15 · 100
360
J = 180000
360
 = 500
Então, André recebeu R$ 500,00 por este investimento.
Problema 10: Qual é a taxa mensal de juros simples que deverá incidir sobre o ca-
pital de R$ 4.000,00 investidos por Carlos, para que renda R$ 600,00 em cinco meses? 
Toda vez que encontrarmos termos como rendimento ou rendeu, estamos falando em juros.
Solução: Aqui, temos que PV = 4000, n = 5 meses e J = 600. Observe que como o 
período está em meses, a unidade da taxa calculada também será mês mensal. Sendo 
assim, através da expressão para o cálculo dos juros simples, vem que:
J = PV · i · n
600 = 4000 · i · 5
600 = 20000 · i
i = 600
20000
 = 0,03 ao mês ou 3% ao mês 
Portanto, a taxa necessária para que o capital de R$ 4.000,00 renda R$ 600,00 de 
juros em cinco meses é de 3% ao mês. 
Problema 11: Qual será o montante obtido sobre uma aplicação no valor de 
R$ 30.000,00, à taxa de juros simples de 1,3% ao mês durante quatro meses?
Solução: Neste caso, temos PV = 30000, i = 1,3% = 0,013 ao mês e n = 4 meses. 
Da expressão do valor futuro, pode-se escrever que:
FV = PV · (1 + i · n)
FV = 30000 · (1 + 0,013 · 4)
FV = 30000 · (1 + 0,052)
FV = 30000 · (1,052)
FV = 31560
Raciocínio Lógico 114
É importante destacar que, pela ordem de antecedência das operações algé-
bricas, primeiro se efetua a multiplicação de i por n para então somarmos a unidade. 
Lembre-se mais uma vez da ordem das operações fundamentais: primeiramente multi-
plicações e divisões, para depois trabalharmos com as somas e diferenças. 
Portanto, o montante resgatado foi de R$ 31.560,00 relativos a esta aplicação.
Problema 12: Divida R$ 360,00 em duas partes, de tal forma que a primeira pro-
duza em seis meses os mesmos juros que a segunda em três, ambas com a mesma 
taxa de aplicação, considerando o regime linear de juros. Desta maneira, podemos 
afirmar que as duas partes são iguais a?
Solução: Neste caso, ao dividir 360 em duas partes, temos:
360 = PV1 + PV2
Os juros que cada uma das partes renderia podem ser representados por:
J1 = (PV1) · i · 6 e J2 = (PV2) · i · 3
O enunciado pede que ambas as aplicações rendam os mesmos juros em períodos 
diferentes, ou seja, podemos escrever que J1 = J2. Portanto:
(PV1) · i · 6 = (PV2) · i · 3
Ou seja:
6 · PV1 = 3 · PV2
E como:
PV1 + PV2 = 360
PV1 = 360 – PV2
Substituiremos o valor de PV1 por (360 – PV2):
(PV1) · 6 = (PV2) · 3
(PV1) · 
6
3
 = (PV2) · 
3
3
(PV1) · 2 = (PV2)
(360 – PV2) · 2 = (PV2)
Raciocínio Lógico 115
Logo:
(720 – 2PV2) = (PV2)
720 = PV2 + 2PV2
3 · PV2 = 720
PV2 = 240
E, portanto:
PV1 = 360 – PV2 = 360 – 240 = 120
Logo, as duas partes são 120 e 240, respectivamente.
Problema 13: Qual é o capital que, diminuído do seu juro simples relativo a 18 
meses, à taxa de juros simples de 6% ao ano, se reduz a R$ 8.736,00?
Solução: Vamos representar o capital que queremos encontrar por PV. Desta forma, 
de acordo com o enunciado, podemos escrever que PV – (J) = 8736. Ou seja, o capital di-
minuído dos seus juros se reduz a 8736. 
Como o período foi dado em meses, porém a taxa de juros está em anos, conside-
raremos que: n = 18 meses = 1,5 ano.
Como J = PV · i · n, podemos escrever:
J = PV · 1,5 · 0,06 
J = PV · 0,09
Ou seja: 
J = 0,09 · PV 
Desta forma, como vimos anteriormente:
PV – (J) = 8736
(1) · PV – 0,09 · PV = 8736
Ou ainda: 
0,91 · PV = 8736 
PV = 8736
0,91
PV = 9600
Portanto, o capital procurado é PV = 9600.
Raciocínio Lógico 116
Problema 14: Carolina passou por alguns problemas de ordem financeira em 2014 
por conta de uma demissão. Assim, contraiu uma dívida no valor de R$ 900.000,00. 
Depois de várias conversas, essa dívida irá vencer daqui a quatro meses, mas o banco 
está oferecendo um desconto de 7% ao mês a ela, caso antecipe o pagamento. Qual é 
o valor que Caroline pagará, caso liquide sua dívida na data atual? 
Solução: Neste caso, são dados FV = 900000, n = 4 meses e i = 7,0% ao mês = 
0,07. Queremos encontrar o valor presente PV. Logo, escrevemos:
FV = PV · (1 + i · n) 
900000 = PV · (1 + 0,07 · 4)
900000 = PV · (1 + 0,28)
900000 = PV · (1,28)
PV = 900000
1,28
PV = R$ 703.125,00
Portanto, se Caroline antecipar a sua dívida para o dia de hoje, pagará 
R$ 703.125,00, economizando, então, um total de R$ 196.875,00 (R$ 900.000,00 
– R$ 703.125,00).
Vejamos agora os conceitos de taxas proporcionais e taxas equivalentes, que são 
importantes para trabalharmos com a equivalência de capitais na capitalização simples.
4.2.3 Taxas proporcionais e equivalentes
Suponhamos que você tenha R$ 5.000,00 para aplicar em uma dada operação fi-
nanceira. Logo, recorre a uma instituição financeira, que proporciona duas opções:
• Aplicar os R$ 5.000,00 durante um ano à taxa de 18% anual;
• Aplicar os R$ 5.000,00 a uma taxa mensal de 1,5% ao mês durante um ano.
Nessas condições, qual das duas opções você escolheria? Será que temos uma si-
tuação que irá render mais do que a outra? Vamos analisar o rendimento oferecido por 
cada uma e escolher qual seria a melhor para você.
Para tal, devemos calcular os juros associados de cada uma das opções e verificar 
aquela que retornou o maior valor para os juros. Note que, para a primeira opção, te-
mos PV = 5000, i = 18% ao ano = 0,18 e n = 1 ano. Logo, escrevemos:
J = PV · i · n 
J = 5000 · 0,18 · 1 
J = R$ 900,00
Raciocínio Lógico 117
Já para a segunda opção, temos que PV = 5000, i = 1,5% = 0,015 ao mês e n = 1 
ano = 12 meses. Desta maneira, vem que:
J = PV · i · n 
J = 5000 · 0,015 · 12 
J = R$ 900,00
Portanto, conclui-se que você terá o mesmo rendimento, independentemente da 
opção escolhida para aplicar o seu capital de R$ 5.000,00. Mas por que isso acontece? 
Neste caso, a igualdade dos rendimentos aconteceu porque as taxas de 18% ao ano e 
1,5% ao mês são taxas equivalentes. 
Em geral, segundo Samanez (2010), duas taxas são ditas equivalentes quan-
do, aplicadas a um mesmo capital durante um mesmo período, produzem resultados 
iguais. Portanto, tanto faz você escolher a primeira ou segunda opção, já que o capital 
é o mesmo, o tempo de aplicação é o mesmo e temos duas taxas equivalentes. De ou-
tra forma, percebe-se que, na capitalização simples:
• 48% ao ano e 4% ao mês são equivalentes
• 18% ao ano e 3% ao bimestre são equivalentes
Além disso, em qualquer operação financeira aparecem dois prazos, que são o 
da taxa e o do período da operação. Mas nem sempre as unidades desses prazos são 
coincidentes. Como exemplo, podemos citar a remuneração da tradicional caderneta 
de poupança, na qual a taxa pode ser definida como anual e os juros são capitalizados 
mês a mês. 
De acordo com Assaf Neto (2009), nos juros simples, a modificação da unidade da 
taxa para a unidade do prazo da operação em questão é feita através da taxa proporcional 
ou taxa linear. Especificamente falando, para uma taxa anual de 18% e se a capita-
lização adotada for mensal, tem-se doze vezes juros no período de um ano (1 ano = 
12 meses). Logo, a taxa proporcional será dada pelo quociente 18%
12
 = 1,5% ao mês, que 
denota o Assaf Neto (2009, p. 8), “duas taxas são proporcionais quando seus valores for-
mam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade”.
Observe também que, no caso das duas opções, que são exatamente as taxas de 
18% ao ano e 1,5% ao mês, elas também são taxas proporcionais. Neste sentido, te-
mos que no regime linear de juros, taxas proporcionais e taxas equivalentes são iguais. 
Por conta disso, podemos dividir e multiplicara taxa em operações algébricas que o re-
sultado não estará comprometido. Exemplificando, citamos:
• A taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia é dada por 2,4% ao mês, já que 
1 mês = 30 dias e, então, 30 · 0,08% = 2,4% ao mês.
Raciocínio Lógico 118
• A taxa anual proporcional a 8% ao trimestre é de 32% ao ano, pois 1 ano = 4 tri-
mestres e, então, 4 · 8% = 32%.
Já conhecemos as taxas proporcionais e equivalentes no regime linear de juros. 
Portanto, vejamos agora o aparato envolvendo a equivalência financeira, que pode ser 
considerado o ponto-chave do estudo da Matemática Financeira. 
4.2.4 Equivalência Financeira
A equivalência financeira é a essência da Matemática Financeira. Por isso, se você 
possui uma determinada quantia, por exemplo, R$1.000,00 a partir de uma comissão 
extra no trabalho, poderia ter dúvidas do tipo, aplicar ou utilizar essa quantia em uma 
compra, ou ainda, poderia se indagar: “seria melhor R$ 1.000,00 hoje ou R$ 1.200,00 
daqui dois meses?”, a resposta mais coerente é “depende”, já que jamais podemos 
comparar valores em momentos diferentes. Neste caso, a situação correta seria capi-
talizarmos R$ 1.000,00 para daqui dois meses, comparando nessa data com o valor de 
R$ 1.200,00. Ou, contrariamente, atualizamos o valor de R$ 2.000,00 para a data atual 
e comparamos nessa data com a quantia R$ 1.000,00. Deve ficar claro que só podemos 
comparar valores em uma mesma data.
Assaf Neto (2009, p. 10) nos diz que “dois ou mais capitais representativos em 
certa data são ditos equivalentes quando, colocados a certa taxa de juros, produzem 
resultados iguais numa data comum (denominada data focal ou data de comparação)”. 
Vejamos algumas situações específicas envolvendo a equivalência de capitais no regi-
me simples de juros.
Problema 15: Vamos averiguar se a quantia de R$ 438.080,00, cujo vencimento 
é para daqui oito meses, é equivalente ao recebimento na data de hoje da quantia de 
R$ 296.000,00, utilizando-se uma taxa de juros simples de 6% ao mês?
Solução: Observemos incialmente que PV = 296000, n = 8 meses e i = 6% ao mês 
= 0,06, o que nos leva ao valor futuro dado por:
FV = 296000 · (1 + 0,06 · 8) 
FV = 296000 · (1 + 0,48)
FV = 296000 · 1,48
FV = R$ 438.080,00
De modo contrário, considerando FV = 438080, n = 8 meses e i = 6% ao mês = 
0,06, podemos encontrar o valor atualizado para a data de hoje escrevendo:
Raciocínio Lógico 119
FV = PV · (1 + i · n) 
438080 = PV · (1 + 0,06 ·8)
438080 = PV · (1 + 0,48)
438080 = PV · (1,48)
PV = 438080
1,48
 = R$ 296.000,00
Portanto, podemos concluir que tais valores são equivalentes. A representação 
gráfica dessa operação é mostrada na figura a seguir:
PV = 296.000,00 FV = 296.000,00 . (1 + 0,06 . 1) = 438.080,00
PV =
438.080,00
(1+0,06.8)
= 296.000,00 Fv = 438.080,00
0 8
Problema 16: Elisa deve duas notas promissórias para um fornecedor de pro-
dutos esportivos, sendo a primeira no valor de R$ 15.000,00 e a segunda no valor de 
R$ 21.000,00. A primeira nota promissória vence daqui dois meses e a segunda em 
três. Elisa projeta alguns problemas relacionados ao seu fluxo de caixa e propõe a 
substituição destas suas obrigações por um único pagamento ao final do quinto mês. 
Considerando a taxa linear de 3% ao mês, qual seria o valor desse pagamento único 
proposto por Elisa? 
 ©
 F
ab
ri
CO
Raciocínio Lógico 120
Solução: Observe que devemos usar mais uma vez a noção de capitais equivalentes, 
já que esse pagamento único proposto por Elisa deve ser equivalente às duas obrigações 
iniciais de pagamento. Por conveniência, é interessante fixarmos a data focal como sendo 
a data cinco (ou quinto mês). Ou seja, devemos capitalizar os dois capitais de R$ 15.000,00 
e R$ 21.000,00 para o momento 5 e devemos encontrar o pagamento único que denotare-
mos por M, que será composto pela soma de (FV1) + (FV2), conforme nos mostra o esque-
ma a seguir:
15.000,00 21.000,00
0 2 3 5
M
Na figura anterior, note também que a linha horizontal denota o tempo, enquanto 
as flechas apontadas para cima representam a entrada de caixa e as flechas apontadas 
para baixo as saídas de caixa. Sendo assim, considerando o enunciado, temos que:
PV1 = 15000 PV2 = 21000
n1 = 3 meses n2 = 2 meses
i = 3% = 0,03 i = 3% = 0,03
Desta maneira, podemos escrever que o valor desse pagamento único será:
M = FV1 + FV2
M = PV1 · (1 + i · n1) + PV2 · (1 + i · n2)
M = 15000 · (1 + 0,03 · 3) + 21000 · (1 + 0,03 · 2)
M = 15000 · (1 + 0,09) + 21000 · (1 + 0,06)
M = 15000 · (1,09) + 21000 · (1,06)
M = 16350 + 22260
M = 38.610,00
Portanto, o valor desse pagamento único proposto por Elisa é de R$ 38.610,00.
Conhecendo o regime linear de juros simples, é de nosso interesse agora os proce-
dimentos teóricos e as características fundamentais envolvendo os descontos simples. 
 ©
 F
ab
ri
CO
Raciocínio Lógico 121
4.3 Descontos no regime simples
Você já pediu alguma forma de desconto quando foi realizar uma compra? Já pediu 
um abatimento para pagar menos na antecipação de uma dívida? Saberia descrever o 
significado da palavra desconto no nosso cotidiano? Perguntas como estas é que vamos 
responder agora. 
De acordo com Assaf Neto (2009), desconto é sinônimo de abatimento com re-
lação ao valor a ser pago de um título de crédito com vencimento em data futura. A 
utilização do desconto simples (baseado nos juros simples) é amplamente adotado em 
operações de curto prazo. Com relação ao regime linear de juros, podem ser identifica-
dos dois tipos de desconto, que são: 
• Desconto “por fora” (também chamado de desconto bancário ou desconto 
comercial);
• Desconto “por dentro” (também chamado de desconto racional). 
Desconto é uma palavra que faz parte do nosso cotidiano, principalmente em pe-
ríodos de dificuldades financeiras, no sentido de termos um abatimento com relação a 
uma dívida a ser paga, antecipando o pagamento da mesma. Sendo assim, o desconto 
simples é uma aplicação direta da capitalização simples, que será o nosso objeto de es-
tudos na sequência.
4.3.1 Conceitos introdutórios e tipos de Títulos
De acordo com Assaf Neto (2009), ao adquirirmos uma dívida a ser paga em uma 
data futura, é comum o devedor oferecer ao credor um documento ao qual chamamos 
de título, que é o comprovante da respectiva operação financeira realizada. 
Desta maneira, temos que todo título de crédito tem uma data de vencimento. 
Entretanto, o devedor pode resgatá-lo de modo antecipado, obtendo com isso um 
abatimento, ao qual chamamos de desconto. Uma das aplicações mais frequentes dos 
juros é exatamente o desconto. 
A fim de entendermos a teoria envolvendo o desconto no regime simples, devemos 
definir os conceitos introdutórios, que são o valor nominal, o desconto e o valor líquido. 
Segundo Assaf Neto (2009), definimos: 
• Valor Nominal: é o valor futuro de um título, de acordo com a data de venci-
mento especificada.
• Desconto: é a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atuali-
zado apurado n períodos antes de seu vencimento.
Raciocínio Lógico 122
• Valor Líquido (ou Valor Descontado): é o seu valor atual na data do desconto, 
sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto. Ou seja, 
Valor Líquido = Valor Nominal – Desconto.
Em algum momento você já assinou algum documento, significando que em uma 
você teria que efetuar um pagamento em uma data futura? Já ouviu falar em nota pro-
missória? Ela é um dos títulos de crédito mais frequentes que temos. Dentre outros, 
citamos a duplicata e a letra de câmbio, que podem ser vistas como segue:
• Nota promissória: usada entre pessoas físicas ou entre pessoas físicas e ban-
cos. É uma espécie de título de crédito que traz seu valor, a data de vencimento, 
o nome e a assinatura de quem contraiu a dívida e o nome do credor.
• Duplicata: usada entre pessoa jurídica e pessoa física ou entre pessoa jurídica 
e pessoa jurídica. Nesse título de crédito, aparece a aceitação do cliente, o va-
lor do título, a data de vencimento e osdados de quem fará o pagamento.
• Letra de Câmbio: emitido por um banco em operações de crédito envolvendo 
pessoas físicas ou jurídicas, tendo como informações o valor nominal acrescido 
dos juros, a data de vencimento e os dados do devedor.
Com os conceitos fundamentais e tipos de títulos de crédito envolvendo o descon-
to, chegou a hora de trabalharmos de forma específica com os dois tipos de desconto 
no âmbito dos juros simples. 
4.3.2 Desconto por Fora ou Desconto Bancário
Segundo Assaf Neto (2009), o desconto por fora é aquele em que a taxa de des-
conto incide apenas no valor nominal, sendo muito usado no mercado financeiro, em 
operações de crédito a curto prazo. Ás vezes é conhecido como desconto comercial.
Em termos práticos, as expressões relacionadas ao cálculo do desconto bancá-
rio são bem parecidas às utilizadas nos juros simples. Assim, usaremos os seguintes 
elementos: 
• D = desconto; 
• N = valor nominal; 
• L = valor líquido recebido após o desconto;
• i = taxa;
• n = período de tempo.
Então, pela definição, vem que:
D = N · i · n
Raciocínio Lógico 123
Ou ainda, temos que: 
L = N – D
Portanto:
L = N – N · i · n
Logo:
L = N (1 – i · n)
Vejamos algumas situações que envolvem o desconto simples por fora.
Problema 17: Cristiano possui uma duplicata no valor de R$ 800,00 que irá vencer 
daqui a três meses. Prevendo problemas de caixa, ele decide antecipar e pagar a mes-
ma no dia de hoje. Sendo a taxa de juros de 5% ao mês, qual o valor do desconto obti-
do por Cristiano?
Solução: Neste caso, podemos observar que N = 800, n = 3 meses e i = 5% = 0,05 
ao mês. Desta forma, vem que: 
D = N · i · n
D = 800 · 3 · 0,05
D = 120
Portanto, o desconto que Cristiano deverá ter é igual a R$ 120,00.
Problema 18: Uma nota promissória no valor de R$ 1.200,00 foi paga cinco me-
ses antes de seu vencimento, reduzindo-se ao valor R$ 900,00. Qual foi a taxa mensal 
utilizada aqui? 
Solução: Neste caso, inicialmente identificamos que N = 1200, n = 5 meses e 
L = 900. Aqui, podemos desenvolver a resolução do problema de duas formas distin-
tas: levando em consideração a expressão do desconto ou através da expressão do va-
lor líquido. Vejamos então como podemos descrever a solução. 
Raciocínio Lógico 124
Primeira Forma: Através do cálculo de desconto, escrevemos:
D = N – L 
D = 1200 – 900 
D = 300
Sabendo que:
D = N · i · n
Então:
300 = 1200 · 5 · i
6000 · i = 300
i = 300
6000
i = 0,05 ou 5% ao mês
Segunda Forma: Através do valor líquido, escrevemos:
L = N · (1 – i · n) 
900 = 1200 · (1 – i · 5)
900
1200
 = 1 – 5 · i 
0,75 = 1 – 5 · i
5 · i = 1 – 0,75
i = 0,25
5
i = 0,05 ou 5% ao mês
Portanto, a taxa mensal utilizada nesta operação foi de 5% ao mês. 
Agora, vamos trabalhar com o outro tipo de desconto praticado no contexto dos 
juros simples, que é o desconto por dentro ou desconto racional.
Raciocínio Lógico 125
4.3.3 Desconto por Dentro ou Desconto Racional
Segundo Assaf Neto (2009, p. 38), o desconto por dentro é “aquele em que a taxa 
de desconto incide sobre o valor líquido”. É interessante notarmos que o desconto por 
dentro utiliza-se de uma taxa sobre um valor desconhecido, como ocorre em lucros so-
bre vendas.
Desta forma, denotando o desconto racional por Dr , temos que a sua expressão 
característica é dada por: 
Dr = L · i · n
E como:
L + Dr = N
Segue que o valor líquido pode ser visto como:
L = N
1 + i · n
Vejamos algumas situações que envolvem o desconto simples por dentro. Vamos 
exercitar?
Problema 18: Consideremos uma duplicata no valor de R$ 7.500,00, contraída no 
ano passado. Qual o valor do desconto por dentro desta duplicata? Sabe-se que a taxa 
era de 2,5% ao mês e que ela foi paga três meses antes do vencimento.
Solução: Neste caso, visualizamos que N = 7500, i = 2,5% = 0,025 ao mês e n = 3 
meses. Logo, escrevemos:
L = N
1 + i · n
L = 7500
1 + 0,025 · (3)
L = 7500
1 + 0,075
L = 7500
1,075
L = 6.976,74
Raciocínio Lógico 126
Agora, podemos caracterizar o valor do desconto através da diferença do valor 
nominal pelo valor líquido. Ou seja, temos que: 
D = N – L
D = R$ 7.500,00 – R$ 6.976,74 
D = R$ 523,26.
Problema 19: Vamos encontrar a taxa a ser utilizada em um desconto por dentro 
em uma promissória de R$ 1.500,00, de modo que dois meses antes do vencimento ela 
se reduza a R$ 1.100,00.
Solução: Neste caso, temos que: N = 1500; L = 1100 e n = 2 meses. Logo:
L = N
1 + i · n
1100 = 1500
1 + i · (2)
1100 · (1 + 2 · i) = 1500
1100 + 2200 · i = 1500 
2200 · i = 1500 – 1100 
2200 · i = 400 
i = 400
2200
i = 0,1818 
i = 18,18% ao mês 
Portanto, a taxa a ser aplicada deve ser igual a 18,18% ao mês. 
Até o presente momento, fizemos cálculos baseados em termos algébricos, o que 
nem sempre é uma tarefa simples. Com o objetivo de simplificar os cálculos envolvidos, 
podemos trabalhar com a calculadora HP 12C ou com os seus simuladores associados, 
conforme veremos a seguir. 
Raciocínio Lógico 127
4.4 Resolvendo problemas financeiros na HP 12C
A HP 12C é considerada atualmente 
uma importante ferramenta para cálcu-
los financeiros. De acordo com Samanez 
(2010), foi criada em 1981, dentro da família 
clássica de calculadoras 10C, composta pe-
las máquinas HP 10C, 11C, 12C, 15C e 16C, 
todas lançadas nos anos 1980.
Além de se utilizar da notação tradicio-
nal das calculadoras científicas, ela utiliza a 
Notação Polonesa Reversa (NPR), que permite uma entrada mais rápida de dados. É com-
posta por 120 funções específicas de cunho financeiro, com tamanho pequeno e conve-
niente, bem como programação via teclado.
É interessante observamos que temos uma série de aplicativos gratuitos para 
notebooks, tablets e smartphones, que você pode baixar sem grandes dificuldades e 
que propiciam o mesmo manuseio HP 12C. Sendo uma ferramenta relevante para o 
tratamento de problemas financeiros, vejamos agora as funções introdutórias envol-
vendo essa calculadora para que possamos nos familiarizar com ela.
4.4.1 Aspectos introdutórios da HP 12C
A diferença principal entre uma HP 12C e as calculadoras tradicionais está no 
modo de inserirmos os dados. As calculadoras científicas conhecidas desenvolvem 
cálculos de forma direta, obedecendo às regras matemáticas. Sendo assim, em uma 
tradicional, por exemplo, a soma 3 mais 4 é feita teclando primeiro o número 3, em se-
guida + depois 4. Por fim, clicamos em =, aparecendo o valor 7. 
Como a HP 12C usa a notação NPR, este mesmo cálculo seria realizado na seguin-
te sequência:
1º Passo: Clicar em 3
2º Passo: 4
3º Passo: O sinal de +
Aparecendo então no visor o valor 7. 
©
 M
ar
ci
o 
Eu
ge
ni
o 
// 
Sh
ut
te
rs
to
ck
Raciocínio Lógico 128
Salientamos ainda que a HP 12C possui quatro memórias, denotadas por X, Y, Z e 
T, que se comportam como uma espécie de tambor rotativo. Ela também possui vinte 
memórias secundárias que podem ser indexadas de 0.0 até 0.9, servindo para armaze-
namento de valores.
Similarmente às calculadoras tradicionais, na HP 12C, uma mesma tecla pode 
operar três tipos de funções diferentes, caracterizadas como função normal (escrita na 
face superior da tecla), função laranja (prefixo f, escrito na parte superior da tecla) e 
função azul (prefixo g, escrito na face lateral inferior da tecla). 
Vejamos as suas funções básicas a seguir, para que possamos então trabalhar 
com a resolução envolvendo problemas no regime linear de juros.
4.4.2 Funções Básicas
A HP 12C possui uma série de funções, desde as mais básicas, como a que per-
mite a troca de sinal de um valor, até as que determinam parcelas de financiamento 
e amortização em operações de empréstimos e financiamentos. A figura a seguir nos 
mostra algumas funções, suas respectivas teclas e descrições, que podem ser utiliza-
das em cálculos financeiros diversos.
Função Tecla Descrição
Trocar sinal É a função que permite trocarmos o sinal de um valor.
Guardar valor Permite armazenarmos valores nas memórias secundárias.
Chamar valor
Permite buscarmosvalores definidos nas memórias 
secundárias.
Limpar visor É a função que limpa o valor colocado no visor.
Limpar 
registros
Permite limparmos todos os registros colocados na HP 
12C.
Porcentagem Permite o cálculo da porcentagem de um número.
Raciocínio Lógico 129
Função Tecla Descrição
Porcentagem 
Total
Possibilita encontrarmos quanto um número representa, 
percentualmente, em relação a outro número.
Diferença 
percentual
Permite o cálculo da diferença percentual entre dois 
números. 
Vejamos algumas situações envolvendo cálculos a partir de algumas das funções 
básicas da HP 12C.
Problema 20: Um eletrodoméstico adquirido por R$ 980,00 foi vendi-
do com um lucro de 22,50% sobre o preço de compra. Qual o preço de venda desse 
eletrodoméstico?
Solução: Neste caso, a resolução via HP 12C, com a sequência de passos a serem 
realizados, é mostrada a seguir:
Qual Tecla Usar? O que temos no Visor? Descrição do Passo
0,00 Limpa os registradores
980 
 
980,00 Preço de compra
22.50 
 
1.200,50 Preço de venda
Problema 21: Vamos determinar a porcentagem de prejuízo de um aplicador que 
investiu R$ 1.800,00 em um Certificado de Depósito Bancário CDB a prazo fixo e, an-
tes do resgate, vendeu por R$ 1.600,00.
O Certificado de Depósito Bancário (CDB) é uma espécie de depósito a prazo frequentemente 
oferecido pelas instituições bancárias e vendida as pessoas como maneira de captar recursos 
monetários.
Raciocínio Lógico 130
Solução: Neste caso, a resolução via HP 12C, com a sequência de passos a serem 
realizados, é mostrada na figura a seguir. 
Qual Tecla Usar? O que temos no Visor? Descrição do Passo
0,00 Limpa os registradores
1800 
 
1.800,00 Valor da aplicação 
1600 – 11,11 % de prejuízo
A partir do momento em que estamos familiarizados com algumas funções bási-
cas da HP 12C, podemos trabalhar na resolução de problemas envolvendo o regime de 
capitalização simples via HP 12C.
4.4.3 Problemas envolvendo os juros simples
Vejamos agora como podemos utilizar a HP 12C na resolução de problemas en-
volvendo o regime de juros simples. Vamos praticar um pouco mais?
Problema 22: Vamos determinar o valor dos juros simples correspondentes a um 
financiamento de R$ 2.500,00 pelo prazo de 18 meses à taxa linear de 5% ao mês, rea-
lizado por uma microempresa em determinado ano.
Solução: Neste caso, a resolução via HP 12C, com a sequência de passos a serem 
realizados, é mostrada na figura a seguir.
Raciocínio Lógico 131
Qual Tecla Usar? O que temos no Visor? Descrição do Passo
0,00 Limpa os registradores
2500 
 
2.500,00 Valor do empréstimo 
5 125,00 Valor mensal dos juros
18 2.250,00 Valor total dos juros
Problema 23: Daniel realiza uma aplicação de R$ 19.000,00 pelo prazo de 120 
dias, obtendo uma remuneração igual a R$ 1.825,00. Qual a taxa linear anual?
Solução: Neste caso, a resolução via HP 12C, com a sequência de passos a serem 
realizados, é mostrada na figura a seguir.
Qual Tecla Usar? O que temos no Visor? Descrição do Passo
0,00 Limpa os registradores
120 
 
120,00 Prazo em dias
360 0,33 Prazo em anos
19000 6.333,33 Valor Aplicado x Prazo
Raciocínio Lógico 132
Qual Tecla Usar? O que temos no Visor? Descrição do Passo
 1825 0,29 Taxa Anual (forma unitária)
100 28,82 Taxa Anual (forma percentual)
Problema 24: Um gerente de recursos humanos aplicou R$ 2.700,00 a uma taxa 
de juros simples de 2,8% ao mês, pelo prazo de três meses. Quanto ele conseguiu 
resgatar?
Solução: Neste caso, a resolução via HP 12C, com a sequência de passos a serem 
realizados, é mostrada na figura a seguir.
Qual Tecla Usar? O que temos no Visor? Descrição do Passo
0,00 Limpa os registradores
2700 
 
2.700,00 Valor da aplicação 
2.8 
 
75,60 Valor mensal dos juros
3 
 
2.926,80 Valor resgatado
Problema 25: Para montar uma pequena empresa, Roberta contraiu um emprés-
timo em uma instituição financeira pública, ao custo de 24% ao ano no regime linear 
de juros. Roberta pagou a dívida um ano após, pelo montante de R$35.500,00. Qual o 
valor do empréstimo feito por ela? Qual a quantia paga de juros?
Raciocínio Lógico 133
Solução: Neste caso, a resolução via HP 12C, com a sequência de passos a serem 
realizados, é mostrada na figura a seguir.
Qual Tecla Usar? O que temos no Visor? Descrição do Passo
0,00 Limpa os registradores
35500 
 
35.500,00
Montante da dívida armazenado 
na memória secundária 
indexada por 1
24 100 1 1,24 1 + a taxa na forma unitária 
28.629,03 Valor do empréstimo
 
 1 6.870,97 Valor do juro pago 
Observe então que a calculadora HP 12C é uma importante ferramenta voltada 
para cálculos financeiros, já que é um facilitador e simplificador para os cálculos envol-
vendo os parâmetros n, i, J, PV e FV no regime de capitalização simples, evitando assim 
cálculos demasiados feitos manualmente ou com a calculadora científica tradicional. É 
interessante salientarmos que a HP 12C possui mais de 120 funções específicas da área 
financeira, podendo trabalhar com vinte diagramas de fluxos de caixa, se utilizando da 
notação polonesa reversa (NPR) que permite uma entrada mais rápida de dados.
Ao longo deste capítulo, vimos que o conceito de porcentagem reside na divisão 
por cem, ou seja, é uma razão peculiar com consequente igual a 100. Além disso, para a 
resolução de problemas diversos envolvendo porcentagens, pode-se utilizar os elemen-
tos fundamentais do cálculo percentual, que são a taxa, a porcentagem e o principal. Na 
prática, é muito comum empregarmos termos como desconto, comissão, multa, parte, 
quota, abatimento, prejuízo e lucro, quantificando-os por meio de percentuais.
Verificamos também que o esquema pelo qual os juros são calculados é o que 
chamamos de regime de capitalização. Temos dois tipos de regimes de capitalização: o 
regime de capitalização simples, onde os juros incidem apenas sobre a quantia inicial, 
e o regime de capitalização composto, em que os juros são calculados sobre o montan-
te do período anterior. 
Raciocínio Lógico 134
No regime linear de juros, temos dois tipos importantes de taxas, que são as ta-
xas proporcionais e as taxas equivalentes. Salienta-se que nos juros simples, estes dois 
tipos de taxas são iguais, ou seja, independem de falarmos proporcionais ou equivalen-
tes. Além disso, associados aos juros simples, temos dois tipos de descontos, que são 
o desconto por fora ou bancário e o desconto por dentro ou racional, cada um com as
suas particularidades.