RACIOCÍNIO LÓGICO - CAPÍTULO 3

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RACIOCÍNIO LÓGICO
Alessandro Ferreira Alves 
Sumário
Apresentação .................................................................................................................... 9
O autor .............................................................................................................................10
Capítulo 1 
Operações numéricas e operações algébricas ................................................................. 11
1.1 Classificação dos números ......................................................................................... 11
1.1.1 Notas históricas .......................................................................................................................................................12
1.1.2 Conjunto dos Números Naturais e Conjunto dos Números Inteiros ........................................................................12
1.1.3 Conjunto dos Números Racionais e Conjunto dos Números Irracionais .................................................................14
1.1.4 Conjunto dos Números Reais ................................................................................................................................. 16
1.2 Operações numéricas ................................................................................................16
1.2.1 Adição e Subtração ................................................................................................................................................ 16
1.2.2 Multiplicação e Divisão ...........................................................................................................................................19
1.2.3 Potenciação ........................................................................................................................................................... 23
1.2.4 Radiciação .............................................................................................................................................................. 25
1.3 Operações algébricas .................................................................................................27
1.3.1 Produtos Notáveis .................................................................................................................................................. 27
1.3.2 Fatoração ............................................................................................................................................................... 28
1.3.3 MDC e MMC .......................................................................................................................................................... 30
1.4 Equações e inequações ..............................................................................................32
1.4.1 Equações do 1.º Grau ............................................................................................................................................. 32
1.4.2 Equações do 2.º Grau ............................................................................................................................................. 34
1.4.3 Inequações do 1.º Grau .......................................................................................................................................... 35
1.4.4 Inequações do 2.º Grau .......................................................................................................................................... 37
Referências ......................................................................................................................41
Capítulo 2 
Noções de Raciocínio Lógico e Teoria de Conjuntos ........................................................43
2.1 Introdução à Lógica ...................................................................................................43
2.1.1 Aspectos introdutórios da Lógica Formal .............................................................................................................. 44
2.1.2 Lógica: uma ciência interpretativa e racional ........................................................................................................ 46
2.1.3 Tipos de argumentação ......................................................................................................................................... 48
2.1.4 Premissas, Termos, Falácias e Silogismo ................................................................................................................ 48
2.2 Resolução de problemas ...........................................................................................50
2.2.1 A resolução de problemas ..................................................................................................................................... 50
2.2.2 Classificando os problemas ....................................................................................................................................51
2.2.3 Etapas da resolução de um problema................................................................................................................... 53
2.3 Proposições e tabelas-verdade ..................................................................................54
2.3.1 Valores Lógicos e Proposições .............................................................................................................................. 55
2.3.2 Operações lógicas sobre proposições .................................................................................................................... 56
2.3.3 Construção de tabelas-verdade ............................................................................................................................ 58
2.3.4 Tautologias, contradições e contingências .............................................................................................................61
2.4 Conjuntos ...................................................................................................................64
2.4.1 Conceitos fundamentais da teoria dos conjuntos .................................................................................................. 64
2.4.2 Conjuntos Numéricos ............................................................................................................................................ 66
2.4.3 Relações e operações envolvendo conjuntos ........................................................................................................ 67
2.4.4 Diagrama de Venn e resolução de problemas ....................................................................................................... 68
Referências ......................................................................................................................72
Capítulo 3 
Razão, Proporção, Regra de Três Simples e Composta ...................................................73
3.1 Razões e Proporções ..................................................................................................73
3.1.1 Razão e Proporção .................................................................................................................................................. 73
3.1.2 Grandezas Proporcionais ........................................................................................................................................76
3.1.3 Divisão Proporcional .............................................................................................................................................. 78
3.1.4 Problemas Simulados ............................................................................................................................................ 81
3.2 Regra de Sociedade ...................................................................................................82
3.2.1 Regra de Sociedade: qual o seu significado? .........................................................................................................82
3.2.2 Regra de Sociedade Simples ................................................................................................................................. 83
3.2.3 Regra de Sociedade Composta ............................................................................................................................. 85
3.2.4 Problemas simulados diversos .............................................................................................................................. 86
3.3 Regra de Três Simples ...............................................................................................88
3.3.1 Regra de Três: qual o seu significado? ................................................................................................................... 88
3.3.2 Regra de Três Simples Direta ................................................................................................................................. 88
3.3.3 Regra de Três Simples Inversa ............................................................................................................................... 90
3.3.4 Problemas simulados diversos .............................................................................................................................. 91
3.4 Regra de Três Composta ............................................................................................92
3.4.1 Aspectos introdutórios........................................................................................................................................... 93
3.4.2 Resolvendo um problema envolvendo a Regra de Três Composta....................................................................... 94
3.4.3 Problemas simulados diversos .............................................................................................................................. 96
Referências ......................................................................................................................99
Capítulo 4 
Porcentagem, juros e descontos simples ......................................................................101
4.1 Porcentagem e aplicações .......................................................................................101
4.1.1 Porcentagem: O que é? .........................................................................................................................................101
4.1.2 Taxa percentual e elementos do cálculo percentual .............................................................................................102
4.1.3 Operações de venda envolvendo porcentagens .................................................................................................. 105
4.1.4 Outras aplicações envolvendo porcentagem ....................................................................................................... 108
4.2 Juros simples ........................................................................................................... 110
4.2.1 Aspectos introdutórios dos juros simples.............................................................................................................110
4.2.2 Fórmulas características .......................................................................................................................................110
4.2.3 Taxas proporcionais e equivalentes ......................................................................................................................116
4.2.4 Equivalência Financeira ........................................................................................................................................118
4.3 Descontos no regime simples .................................................................................121
4.3.1 Conceitos introdutórios e tipos de Títulos ............................................................................................................121
4.3.2 Desconto por Fora ou Desconto Bancário ........................................................................................................... 122
4.3.3 Desconto por Dentro ou Desconto Racional ........................................................................................................ 125
4.4 Resolvendo problemas financeiros na HP 12C ........................................................127
4.4.1 Aspectos introdutórios da HP 12C ........................................................................................................................127
4.4.2 Funções Básicas ....................................................................................................................................................128
4.4.3 Problemas envolvendo os juros simples ............................................................................................................. 130
Referências ....................................................................................................................135
3 Razão, Proporção, Regra de Três Simples e Composta
Em diversas situações, utilizamos as noções de razão e proporção de modo direto 
ou indireto, mesmo sem um modelo matemático. Por exemplo, quando observarmos 
em lojas de roupas alguns manequins fixos que um deles tem a cabeça muito grande, 
não estamos nos referindo ao tamanho absoluto desta cabeça, mas sim ao conjunto 
do próprio manequim. 
Segundo Dante (2002), razões e proporções nos levam à divisão proporcional, 
que é um aparato básico para a resolução de problemas envolvendo as regras de socie-
dade, simples e compostas. A regra de três é uma metodologia utilizada diretamente 
na solução de problemas de proporcionalidade entre grandezas, relacionando números 
conhecidos e uma incógnita. 
Assim, razão, proporção e regra de três, bem como as aplicações envolvendo es-
tes temas, serão nossos objetos de estudo neste momento. 
3.1 Razões e Proporções
Se a contribuição mensal do clube recreativo que você frequenta aos finais de se-
mana sofresse um reajuste de R$ 50,00, qual seria a sua reação? Consideraria este 
aumento baixo, muito alto ou esperado? Apesar de parecer caro no reajuste da mensali-
dade do clube, esse valor seria considerado pequeno se tratasse do seu aumento salarial, 
não é?
Note então que os R$ 50,00 nada representam se não forem comparados a um valor 
padrão e mensurados de acordo com a origem de comparação. Assim, se a mensalidade 
do clube fosse de R$ 50,00, o reajuste poderia ser considerado significativo. Já no caso de 
um salário de R$ 4.000,00, os R$ 50,00 não seriam tão significativos assim. 
Para entendermos melhor este tipo de problematização, discutiremos algumas 
regras que visam a comparação entre grandezas.
3.1.1 Razão e Proporção
Certamente, fazem parte do seu cotidiano expressões peculiares, tais como: “de 
um grupo familiar com 50 membros, nove são mulheres”, “de cada 10 engenheiros, 
dois gostam de finanças” ou “um dia de chuva para cada cinco dias de sol”. Todas elas 
fazem referência a uma comparação entre dois números, que nos leva ao que chama-
mos de razão.
Raciocínio Lógico 74
Para introduzirmos esse conceito, vamos admitir que o preço de certo produto 
teve um aumento de R$ 1,00. Esse aumento foi baixo ou elevado? Para respondermos 
a essa pergunta, precisamos de informações adicionais, como o valor do produto antes 
do aumento dado. A relação entre as informações de aumento e preço inicial é expressa 
pela divisão de um pelo outro. 
Vamos analisar duas possibilidades:
• O preço inicial era R$ 20,00. Logo, temos que:
aumento
preço
 = R$ 1,00
R$ 20,00
 = 1
20
• O preço inicial era R$ 2,00. Portanto: 
aumento
preço
 = R$ 1,00
R$ 2,00
 = 1
2
Note que, na interpretação do aumento do preço de um produto, ser baixo ou 
elevado envolve subjetividade. Entretanto, pode-se afirmar que na primeira possibili-
dade existiu um aumento relativo menor do que na segunda, já que 1
20
 < 1
2
.
A razão envolvendo dois números a e b, com b não nulo 
(b≠ 0), é o quociente a
b
.
No quociente característico da razão, o número a é dito antecedente, enquanto 
que o b é chamado de consequente. Sendo assim, também descrevemos como razões:
• Em cada 10 casas residenciais vendidas, uma é da imobiliária. Logo, a razão é 
1
10
.
• Os times A e B jogaram seis vezes e o time A venceu todas. Logo, escrevemos a 
razão 6
6
 = 1.
Chamamos de densidade demográfica o quociente do número de habitantes de uma região pela 
a área. Logo, para uma cidade com área igual a 210 km² e com 659.400 habitantes, a densida-
de demográfica é 659400 hab
210 km2
 = 3.140 hab/km².
Raciocínio Lógico 75
Agora, vamos supor que na reunião estratégica de uma empresa participaram 50 
pessoas, sendo 20 mulheres e 30 homens. Logo:
• A razão do número de mulheres para o número de homens é 20
30
 ou 2
3
.
• A razão do número de homens para o número de mulheres é 30
20
 ou 3
2
.
• A razão do número de mulheres para os participantes é 20
50
 ou 2
5
.
Duas razões são chamadas inversas (ou recíprocas) se, e so-
mente se, o produto delas é igual a 1. As razões 3
4
 e 4
3
 são in-
versas já que 3
4 
· 4
3
 são inversas já que 3
4 
· 4
3
 = 12
12
 = 1. Toda 
razão com antecedente igual a zero não possui razão inversa.
Segundo Dante (2002), é interessante observar que temos situações particulares 
no cotidiano em que as grandezas estudadas podem ser descritas através de razões, 
com antecedentes e consequentes diferentes, mas com o mesmo quociente. Logo, ao 
falarmos que de 50 engenheiros entrevistados, 25 gostam de finanças, poderemos su-
por que, se entrevistarmos 100 engenheiros, 50 deverão gostar de finanças. 
Considerando duas razões, a
b
 e 
c
d
 , com b ≠ 0 e d ≠ 0, tem-se 
uma proporção se a
b
 = 
c
d
 (onde lemos: a está para b, assim 
como c está para d). Os números b e c são chamados de meios, 
enquanto que a e d são conhecidos como extremos.
 
Assim, na proporção 3
7
 = 9
21
, temos que:
• 3 está para 7, assim como 9 está para 21;
• 3 e 9 são antecedentes; 7 e 21 são consequentes;
• 7 e 9 são meios; 3 e 21 são extremos.
Raciocínio Lógico 76
Com relação aos procedimentos algébricos envolvendo as proporções, temos duas 
propriedades que são importantes no sentido de simplificação de cálculos – ou seja, fun-
cionam como facilitadores na resolução de problemas envolvendo proporções. Vejamos 
a descrição de cada uma delas na sequência, de acordo com Paiva (2002, p. 64).
• Propriedade Fundamental: “O produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios”. Em símbolos:
a
b
 = c
d
 ⇒ a · d = b · c (b, d ≠ 0)
Assim, se 6
24
 = 24
96
, então (6) . (96) = (24) . (24) = 576.
• Adição e Subtração dos Antecedentes e Consequentes: Segundo Paiva 
(2002, p. 18), “em qualquer proporção, a soma (ou diferença) dos antecedentes 
está para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antece-
dente está para seu consequente”. Ou seja: 
Se a
b
 = c
d
, então
a + c
b + d
 = a
b
 = c
d
 e a – c
b – d
 = a
b
 = c
d
(b, d ≠ 0).
Logo, se 21
12
 = 7
4
, então
21 + 7
12 + 4
 = 28
16
 = 21
12
 = 7
4
 e 21 – 7
12 – 4
 = 14
8
 = 21
12
 = 7
4
 
A partir das descrições de razão e proporção, podemos agora discutir o tipo de 
proporção envolvendo grandezas, que é importante para a descrição da regra de três, 
um procedimento prático utilizado na resolução de problemas diversos.
3.1.2 Grandezas Proporcionais
Nos deparamos frequentemente com situações envolvendo números, como o preço 
dos produtos que compramos no supermercado, nosso peso, salário mensal, dias de tra-
balho, os índices de inflação, a velocidade, o tempo, etc. Na verdade, grande parte dos 
problemas que se apresentam no nosso cotidiano envolvem grandezas que sofrem va-
riações entre si. O salário, por exemplo, está relacionado aos dias trabalhados. 
Agora, vamos analisar dois tipos básicos de dependência entre grandezas: a pro-
porção direta e a proporção indireta. 
Raciocínio Lógico 77
Grandezas como trabalho desempenhado e salário recebido são diretamente 
proporcionais. Portanto, se Paula ganhar R$ 400,00 por contrato de seguros fechado, 
logo deverá ganhar R$ 40.000,00 por 100 contratos fechados. 
De acordo com Dante (2002), também podemos citar como grandezas direta-
mente proporcionais:
• Área e preço de empreendimentos residenciais (se aumentarmos a área de um 
dado terreno, aumentamos seu preço);
• Altura de um prédio e comprimento da sombra projetada por ele (quanto 
maior é um prédio, maior é sua sombra).
Segundo Dante (2002, p. 23), “duas grandezas são direta-
mente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) 
uma delas numa determinada razão, a outra aumenta (ou 
diminui) nessa mesma razão”.
Considere a situação de um grupo de pessoas que, em regime de férias no interior 
da Bahia, se instale num acampamento que cobra R$ 10,00 a diária por pessoa, onde a 
quantidade de comida e água é fixa no acampamento. Observemos na figura a seguir a 
relação entre o número de pessoas e a despesa diária.
Número de Pessoas 1 2 4 5 10
Despesa Diária (R$) 10 20 40 50 100
De acordo com a figura, percebe-se que a razão de aumento do número de pes-
soas é a mesma para o aumento da despesa. Ou seja, a razão é constante e igual a 0,1, 
como segue: 
1
10
 = 2
20
 = 4
40
 = 5
50
 = 10
100
 = 0,1
Assim, se dobrarmos o número de pessoas, dobraremos ao mesmo tempo o valor 
da despesa diária. Logo, as grandezas são diretamente proporcionais. 
De forma contrária, segundo Paiva (2002), grandezas como tempo de trabalho 
e número de colaboradores para uma mesma tarefa são inversamente proporcionais. 
Por exemplo, para um trabalho que 10 colaboradores realizam em 20 dias, esperamos 
que 5 colaboradores façam em 40 dias. 
Raciocínio Lógico 78
Adicionalmente, podemos citar como grandezas inversamente proporcionais:
• O número de torneiras de mesma vazão e o tempo de enchimento de um re-
servatório (quanto mais torneiras colocarmos abertas, menor será o tempo 
para encher o reservatório);
• Velocidade média e o período de uma dada viagem (se aumentarmos a veloci-
dade do veículo, consequentemente reduziremos o período da viagem).
De acordo com Dante (2002, p. 24) “duas grandezas 
são inversamente proporcionais quando, aumentando 
(ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a 
outra diminui (ou aumenta) na mesma razão”.
Retomemos a situação do grupo de pessoas acampando no interior da Bahia, em 
que o estoque de alimentos e bebidas é fixo. Suponhamos agora que a quantia a ser 
gasta pelo grupo seja sempre igual a R$ 200,00. Note, então, que o tempo de perma-
nência do grupo dependerá do número de pessoas instaladas. Vejamos a figura a seguir:
Número de Pessoas 1 2 4 5 10
Tempo de Permanência (dias) 20 10 5 4 2
Observe que se multiplicarmos por dois o número de pessoas, o tempo de perma-
nência cairá pela metade – ou seja, são grandezas inversamente proporcionais.
Tendo como base as grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, po-
demos trabalhar com a divisão proporcional, que é a maneira pela qual podemos dividir 
um determinado número em partes proporcionais.
3.1.3 Divisão Proporcional
Comumente, ficamos diante de problemas que necessitam da divisão de um nú-
mero em partes diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais a outro 
grupo de números. 
Vejamos um exemplo ilustrativo adaptado de Dante (2002). Considere que duas 
pessoas, A e B, trabalharam na produção de um mesmo componente computacional, 
sendo que A trabalhou durante o período de 6 horas e B durante 5 horas. Como elas 
deverão dividir de forma justa os R$ 660,00 conseguidos com a venda do componente 
computacional? 
Raciocínio Lógico 79
Para respondermos a essa pergunta, deve ficar claro que o que cada pessoa tem a 
receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto durante a produção. Desta 
forma, surge a divisão em partes diretamente proporcionais.
Segundo Dante (2002, p. 49), “dividir um número em 
partes diretamente proporcionaisa outros números 
dados é caracterizar parcelas desse número que são 
diretamente proporcionais a esses números dados”.
Assim, para o nosso caso, é necessário tomarmos 660 em partes diretamente pro-
porcionais aos números 6 e 5, que são os períodos em que as pessoas A e B trabalharam 
no ciclo produtivo do componente computacional. Para formalizarmos a divisão, vamos 
chamar de x o que a pessoa A tem a receber e de y o que B tem a receber. Podemos es-
crever então:
x + y = 660
x
6
 = y
5
Conforme estudamos anteriormente, sabemos que
a + c
b + d
 = a
b
 = c
d
Portanto, com o uso das propriedades da proporção, podemos resolver esse sis-
tema da seguinte maneira:
x + y
6 + 5
 = x
6 
⇒ 660
11
 = x
6
 ⇒ 11 · x = 6 · 660 ⇒ x = (6) · (660)
11
 = 360
Porém, temos que x + y = 660. Logo, 
y = 660 – 360
y = 300
Desta forma, concluímos que A deve receber R$ 360,00, enquanto B receberá 
R$ 300,00.
Mas e se o problema anterior solicitasse a divisão em partes inversamente pro-
porcionais? O que aconteceria? 
Considere que duas pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo período para 
produzir e vender R$ 160,00 em produtos. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 



Raciocínio Lógico 80
5 dias, como podemos efetuar a divisão para que ela seja justa? O problema agora se 
resume em dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e a 5, pois deve 
ser considerado que aquele que se atrasou mais deve receber um menor valor.
De acordo com Dante (2002, p. 39), “dividir um número 
em partes inversamente proporcionais a outros núme-
ros dados é descrever parcelas desse número que são 
diretamente proporcionais aos inversos desses núme-
ros dados”.
Para a nossa situação, devemos particionar o 160 em partes inversamente pro-
porcionais aos números 3 e a 5, que são exatamente os números de dias de atraso de 
A e B, de modo respectivo. Para formalizarmos essa partição, denotemos de x o que A 
tem a receber e de y o que B tem a receber. Assim, podemos escrever:
x + y = 160
x
1
3
 = 
y
1
5
Resolvendo o sistema, temos que:
x + y
1 + 1
3 5
 = x
1
3
 ⇒ x + y
8
15
 = x
1
3
 ⇒ 160
8
15
 = x
1
3
 ⇒ 8
15
 · x = 160 · 1
3
 ⇒ x = 
160
3
8
15
No caso, para efetuarmos a divisão entre as frações 1
3
 e 8
15
 devemos manter a 
primeira inalterada ( 1
3
) e multiplicarmos pelo inverso da segunda fração ( 15
8
), como 
segue:
x = 160 · 1
3
 · 15
8
 ⇒ x = 160
3
 · 15
8
 ⇒ x = 2400
24
E, portanto, 
x = 100
Porém, x + y = 160. Daí, y = 160 – 100 = 60, de onde concluímos que A deve rece-
ber R$ 100,00 e B, R$ 60,00.





Raciocínio Lógico 81
Vejamos agora a resolução de mais alguns problemas que trabalham diretamente 
com os aspectos teóricos discutidos até este momento.
3.1.4 Problemas Simulados
Vejamos agora mais alguns problemas simulados envolvendo os aspectos teóricos 
discutidos anteriormente.
Problema 1: Em uma fábrica de tecidos, água e tinta estão misturadas em uma 
quantidade que perfaz 28 litros, segundo a razão de 9 para 5, respectivamente. Qual é 
o volume de água nessa situação? E qual é o volume de tinta? 
Solução: Tomando a = volume de água e t = volume de tinta, vem que:
a
t
 = 9
5
 ou a
9
 = t
5
Então, a + t
9 + 5
 = a
9
 e como a + t = 28, segue que
a + t
9 + 5
 = a
9
 ⇒ 28
14
 = a
9
 ⇒ 14 · a = 28 · 9 ⇒ a = 252
14
Ou seja, a = 18 litros. Logo:
a + t = 28 t = 28 – 18 = 10 litros
Portanto, o volume de água é de 18 litros e o de tinta é de 10 litros.
Problema 2: Um muro deverá ser construído por 20 operários que trabalharão 
durante um dado período de tempo. Vamos analisar a natureza da proporção entre as 
grandezas tamanho do muro e número de dias de trabalho.
Solução: Primeiramente, ressaltamos que um modo prático de visualizar a depen-
dência entre as grandezas é usando setas. Quando ambas estão no mesmo sentido, 
indicam proporção direta. Para escolhermos o sentido, basta respondermos a uma per-
gunta: se a grandeza 1 aumentar, a grandeza 2 também aumentará? Observe que aqui, 
aumentando o tamanho do muro, serão necessários mais dias de trabalho, uma vez que 
o número de operários é fixo. Concluímos, então, que as grandezas analisadas são dire-
tamente proporcionais.
Raciocínio Lógico 82
Grandeza 1
Tamanho do muro
Grandeza 2
Número de dias de trabalho
A divisão proporcional nos leva ao estudo da regra de sociedade, que pode ser di-
vidida em simples e composta. Este será o nosso objeto de estudos na sequência.
3.2 Regra de Sociedade
Em termos capitalistas, chamamos de sociedade um grupo de dois ou mais indi-
víduos que se juntam, cada um com um dado capital, que deverá ser aplicado por um 
certo período de tempo em uma atividade qualquer com o objetivo de gerar lucros. 
Em sociedades mais complexas, é importante também o período de tempo em que cada sócio 
deixa o seu dinheiro investido.
Logo, é de fundamental importância o entendimento a respeito das sociedades 
através de suas regras específicas: a regra de sociedade simples e a regra de sociedade 
composta, objetos de estudo neste tópico. 
3.2.1 Regra de Sociedade: qual o seu significado?
Para entendermos a regra de sociedade, vamos considerar a situação-problema 
em que três indivíduos ganham R$ 9.000,00 na loteria como resultado da premiação 
de um jogo, cujo valor da aposta era de R$ 4,50. Desta forma, suponhamos que cada 
um dos indivíduos tenha contribuído com as seguintes quantias:
Sócios Capital (R$)
A 1,00
B 1,50
C 2,00
A dúvida que surge naturalmente e que deve ser respondida é: quanto cada um 
irá levar de premiação? Note que esta situação nada mais é do que a divisão em partes 
proporcionais às quantias investidas. Sendo assim, podemos escrever:
 ©
 F
ab
ri
CO
Raciocínio Lógico 83
A + B + C = 9000
A
1
 = B
1,5
 = C
2
Resolvendo o sistema, temos que:
A + B + C
1 + 1,5 + 2
 = A
1
 = B
1,5
 = C
2
Ou seja:
A + B + C
1 + 1,5 + 2
 = A
1
 ⇒ 9000
4,5
 = A
1
 ⇒ 4,5 · A = 9000 ⇒ A = 9000
4,5
 ⇒ A = 2000
A + B + C
1 + 1,5 + 2
 = B
1,5
 ⇒ 9000
4,5
 = B
1,5
 ⇒ 4,5 · B = 13500 ⇒ B = 13500
4,5
 ⇒ B = 3000
A + B + C
1 + 1,5 + 2
 = C
2
 ⇒ 9000
4,5
 = C
2
 ⇒ 4,5 · C = 18000 ⇒ C = 18000
4,5
 ⇒ C = 4000
A solução é A = 2000, B = 3000 e C = 4000. Desta maneira, conclui-se que o indi-
víduo A receberá R$ 2.000,00, B receberá R$3.000,00 e C receberá R$ 4.000,00. 
Vejamos agora as regras de sociedade simples e composta, sendo que essa classifi-
cação é definida pelo fato de os capitais aplicados e os períodos de tempo da aplicação 
serem iguais ou diferentes para cada sócio. 
3.2.2 Regra de Sociedade Simples
Para iniciarmos o nosso estudo a respeito da regra de sociedade simples, temos 
dois casos a serem analisados, como veremos na sequência. Em resumo, o que define 
a regra de sociedade simples é a igualdade ou diferença dos capitais, que podem ser 
aplicados durante períodos de tempos iguais ou diferentes.
1° caso: Samanez (2007, p. 26), diz que “os capitais são diferentes, mas aplicados 
durante períodos de tempo iguais. Neste caso, temos que os lucros ou prejuízos serão 
divididos em partes diretamente proporcionais aos capitais investidos”.
Vejamos tal fato através de uma ilustração prática. Alice e Túlio montaram uma 
pequena sapataria, investindo conforme a disposição de valores a seguir:
Sócios Capital (R$)
Alice 2.500,00
Túlio 2.000,00



Raciocínio Lógico 84
Ao final do primeiro ano da sociedade, o balanço financeiro da sapataria apon-
tou um lucro na ordem de R$ 13.500,00. Quanto cada um dos sócios irá receber? Neste 
caso, tomemos por x e y o que Alice e Túlio devem receber respectivamente. Logo, 
escrevemos:
x + y = 13500
x
2500
 = y
2000
Mais uma vez usando das propriedades sobre as proporções, vemos que:
x + y
2500 + 2000
 = x
2500
 ⇒ x
2500
 = 13500
4500
 = 3
e
x + y
2500 + 2000
 = y
2000
 ⇒ y
2000
 = 13500
4500
 = 3
Multiplicando-se, então, o capital pelo resultado obtido 3, temos que:
x = 2500 · 3 = 7500
e
y = 2000 · 3 = 6000
Desta forma, concluímos que Alice receberáR$ 7.500,00, enquanto que Túlio re-
ceberá R$ 6.000,00.
2° caso: Aqui, Samanez (2007, p. 28), diz que “os capitais são iguais, porém aplica-
dos durante períodos de tempo diferentes. Neste caso, podemos afirmar que os lucros 
ou prejuízos serão divididos em partes diretamente proporcionais aos períodos de tem-
po em que os capitais ficaram investidos”.
Vejamos tal fato através de uma situação prática. Três administradores recém-
-formados, denotados por A, B e C, uniram-se em uma sociedade para a montagem 
de uma empresa na área de cosméticos, com idêntica participação no capital inicial 
empregado. 
O administrador A deixou seu capital no negócio durante 4 meses, o adminis-
trador B por 6 meses e o administrador C durante 3,5 meses. Após esses períodos, os 
administradores recuperaram seu capital e a empresa prosseguiu com capital próprio. 
Sabendo-se que, ao final do primeiro ano da sociedade, a empresa de cosméticos gerou 
um lucro de R$ 162.000,00, como dividir essa quantia entre os três administradores? 



Raciocínio Lógico 85
Neste caso, primeiramente observe que existe a necessidade de transformarmos 
os períodos de tempo em uma mesma unidade (meses ou dias). Assim, de acordo com 
os dados do problema, escrevemos:
A + B + C = 162000
A
4
 = B
6
 = C
3,5
Novamente, com a aplicação das propriedades envolvendo as proporções, vem 
que:
A
4
 = B
6
 = C
3,5
 = A + B + C
13,5
A + B + C
120 + 180 + 105
 = 162000
13,5
 = 12000.
Logo:
A
4
 = 12000 ⇒ A = 48.000 B
6
 = 12000 ⇒ B = 72.000 C
3,5
 = 12000 ⇒ C = 42.000
Portanto, conclui-se que o administrador A receberá R$ 48.000,00, enquanto o 
administrador B, R$ 72.000,00 e o administrador C, a quantia de R$ 42.000,00. 
A partir do momento em que conhecemos as especificidades da regra de socie-
dade simples, devemos verificar as particularidades da regra de sociedade composta. 
Vamos lá?
3.2.3 Regra de Sociedade Composta
Nesse contexto, é levada em consideração a divisão do lucro e do prejuízo em 
partes diretamente proporcionais ao capital e tempo de investimento por cada sócio. 
Lucro significa o retorno positivo de um dado investimento. Já prejuízo é o oposto de lucro e 
ocorre quando um indivíduo ou uma empresa gasta mais do que arrecada.
Desta maneira, afirma-se que “desde que os capitais e os períodos de tempo sejam 
distintos, os lucros ou prejuízos serão fracionados em partes diretamente proporcionais 
à multiplicação dos capitais pelos períodos de tempo associados”. 
Vejamos uma ilustração prática envolvendo a regra de sociedade composta adapta-
da de Paiva (2002). Uma sociedade envolvendo dois sócios em um pequeno supermercado 
teve um lucro de R$ 117.000,00. O primeiro sócio entrou com a quantia de R$ 1.500,00 



Raciocínio Lógico 86
durante 5 meses, enquanto que o segundo sócio entrou com a quantia de R$ 2.000,00 
durante 6 meses. Qual foi o lucro obtido por cada um nesta sociedade? 
Primeiramente, é importante observar que se trata de uma regra de sociedade 
composta. Considerando que tanto os capitais quanto os períodos de tempo são di-
ferentes, é necessário multiplicar esses dois fatores, como observamos na fórmula a 
seguir. Tomando por x o que o primeiro sócio deve receber e por y o que o segundo re-
ceberá, podemos escrever:
x + y = 117000
x
(1500) · (5)
 = y
(2000) · (6)
Aplicando as propriedades, obtemos:
x + y
19500
 = 117000
19500
 = 6 = x
7500
 ⇒ x = 45000
e
x + y
19500
 = 117000
19500
 = 6 = y
12000
 ⇒ y = 72000
Portanto, o primeiro sócio tem a receber R$ 45.000,00, enquanto que o segundo 
tem a receber R$ 72.000,00.
Vamos trabalhar um pouco mais em situações práticas que envolvem as regras de 
sociedade e suas propriedades específicas de divisão em partes proporcionais.
3.2.4 Problemas simulados diversos
Vejamos agora mais alguns problemas simulados envolvendo os aspectos teóricos 
discutidos sobre as regras de sociedade.
Problema 1: Um conjunto de três sócios teve um prejuízo na ordem de 
R$ 14.400,00 referente à abertura de uma nova filial da empresa que criaram na dé-
cada de 90. Cada um deles entrou para a sociedade utilizando-se do mesmo capital 
inicial, ficando o primeiro durante o período de 11 meses, o segundo por 12 meses e o 
terceiro por 13 meses. Qual foi o prejuízo associado a cada um dos sócios da empresa 
na abertura dessa nova filial? 



Raciocínio Lógico 87
Solução: Vamos denotar por x, y e z os prejuízos do primeiro, do segundo e do 
terceiro sócio, respectivamente. Logo, escrevemos:
x + y + z = 14400
x
11
 = y
12
 = z
13
Aplicando as propriedades envolvendo as proporções, temos que:
x + y + z
11 + 12 + 13
 = 14400
36
 = 400 = x
11
 ⇒ x = 4400
x + y + z
11 + 12 + 13
 = 14400
36
 = 400 = y
12
 ⇒ y = 4800
x + y + z
11 + 12 + 13
 = 14400
36
 = 400 = z
13
 ⇒ z = 5200
Portanto, o prejuízo dos três sócios envolvidos nesta sociedade foi, respectiva-
mente, de R$ 4.400,00, R$ 4.800,00 e R$5.200,00.
Problema 2: Uma empresa no ramo logístico tem como fundadores dois sócios 
de uma mesma família. No balanço do último trimestre do ano passado, o negócio lu-
crou a quantia de R$ 6.400.000,00. Sabe-se que o primeiro sócio utilizou a quantia de 
R$ 1.000.000,00 durante o período de 16 meses, enquanto que o segundo proprietário 
a quantia de R$ 2.000.000,00 durante o período de 2 quadrimestres. Qual foi o lucro 
obtido por cada um dos proprietários? 
Solução: Chamando de x e y os lucros do primeiro e do segundo sócio, respecti-
vamente, teremos:
x + y = 6 400 000
x
(1 000 000) · (16)
 = y
(2 000 000) · (8)
Note que realizamos a transformação dos períodos de tempo para a unidade de 
meses. Sendo assim, temos que:
x + y
32 000 000
 = 6 400 000
32 000 000
 = 0,2 = x
16 000 000
 ⇒ x = 3 200 000
e
x + y
32 000 000
 = 6 400 000
32 000 000
 = 0,2 = y
16 000 000
 ⇒ y = 3 200 000
Portanto, cada sócio recebeu igualmente a quantia de R$ 3.200.000,00.






Raciocínio Lógico 88
Será de nosso interesse agora trabalhar com um procedimento prático utilizado 
comumente na resolução de problemas envolvendo grandezas e suas respectivas pro-
porções: a regra de três. 
3.3 Regra de Três Simples
A regra de três é uma metodologia muito usada em problemas vinculados à propor-
cionalidade, envolvendo números dados e uma quantidade a ser determinada (incógnita). 
Vários problemas que encontrarmos no cotidiano podem ser resolvidos mediante a regra 
de três. 
3.3.1 Regra de Três: qual o seu significado?
A regra de três trata da proporcionalidade entre grandezas, sendo que dois pon-
tos importantes a serem visualizadas na regra de três, são a natureza da proporção 
entre as grandezas envolvidas e a montagem da proporção associada. Formalmente 
entendemos a regra de três como segue.
Chamamos de regra de três os problemas nos quais figuram uma grandeza que é direta ou in-
versamente proporcional a uma ou mais grandezas.
Segundo Alves (2009, p. 58), “temos dois tipos de regra de três, a simples, que re-
laciona apenas duas grandezas, e a composta, associando mais de duas grandezas”. 
Vejamos o primeiro tipo de regra de três que temos, que é a regra de três simples 
– ou seja, quando a proporção entre duas grandezas é direta.
3.3.2 Regra de Três Simples Direta
Aqui, temos duas grandezas que são diretamente proporcionais. Exemplificando, 
vamos calcular a distância que um veículo automotivo percorrerá em 10 horas, saben-
do que, se a velocidade permanecer constante durante 5 horas, o veículo percorrerá 
1.000 km. 
Este problema pode ser resolvido de modo prático e simples. Para isso, vamos 
dispor as grandezas envolvidas (tempo e distância percorrida), bem como os valores 
envolvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la, 
como é mostrado na figura a seguir:
Raciocínio Lógico 89
Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Distância Percorrida)
5
10
1000
x
A primeira etapa na montagem do problema é colocar os valores envolvidos cor-
respondentes em uma mesma linha (5 e 1.000, bem como 10 e x). A seguir,colocamos 
as setas para indicação do tipo de proporção entre as duas grandezas do problema. 
Sendo diretamente proporcionais, as setas ficam no mesmo sentido; contrariamente, 
sendo inversamente, as setas ficam em sentidos opostos. 
Para a descrição do tipo de proporção, perguntamos: aumentando a velocidade 
do veículo, a distância percorrida por ele aumenta? Como a resposta é sim, concluímos 
que as grandezas são diretamente proporcionais. Sendo assim, temos a disposição:
Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Distância Percorrida)
5
10
1000
x
Neste caso, como a proporção entre as grandezas é direta, montamos a propor-
ção de acordo com o sentido das setas, ou seja, temos a proporção dada por 5 está 
para 10, assim como, 1000 está para x. Logo:
5
10
 = 1000
x
Portanto, como em uma proporção o produto dos meios é igual ao produto dos 
extremos, vem que:
Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Distância Percorrida)
5
10
1000
x
5
10
 = 1000
x
 ⇒ 5x = 1000 · 10 ⇒ x = 10000
5
 ⇒ x = 2000
Portanto, conclui-se que o veículo percorrerá 2.000 km em 10 horas. 
Vejamos mais uma situação ilustrativa sobre a regra de três simples direta. Lucia 
comprou 6 metros de tecido por R$ 15,00. Quanto ela gastaria se tivesse comprado 
8 metros?
Raciocínio Lógico 90
Aqui, aparecem as grandezas comprimento e preço do tecido. Note que, se o 
comprimento for multiplicado por 2, 3, ..., o preço ficará multiplicado por 2, 3, ... Logo, 
estamos diante de duas grandezas diretamente proporcionais. 
A figura a seguir nos mostra a disposição dos dados das grandezas comprimento 
e preço em forma de tabela:
Grandeza 1 (Comprimento em metros) Grandeza 2 (Preço em R$)
6
8
15
x
Logo, podemos escrever, de acordo com a disposição dos dados e do tipo de pro-
porcionalidade das grandezas, que: 
6
8
 = 15
x
 ⇒ 6 · x = 15 · 8 ⇒ x = 120
6
 ⇒ x = 20.
Portanto, conclui-se que Lucia gastará R$ 20,00 para comprar 8 metros do tecido. 
Segundo Alves (2009), é importante ressaltar que as quantidades correspondentes a uma mes-
ma grandeza devem estar expressas na mesma unidade de medida.
Vejamos agora o outro tipo de regra de três simples que temos, que é aquela que 
envolve duas grandezas – mas agora, com proporções indiretas. 
3.3.3 Regra de Três Simples Inversa
É caracterizada como sendo a regra de três simples envolvendo duas grande-
zas que são inversamente proporcionais. Vejamos um exemplo ilustrativo adaptado de 
Dante (2002). Considere que um veículo automotivo com velocidade média de 100 km/h 
percorre um certo espaço durante o período de 10 horas. Qual seria o tempo necessário 
para percorrer o mesmo espaço com uma velocidade média de 75 km/h? A figura a se-
guir nos mostra a disposição dos dados:
Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Velocidade)
10
x
100
75
Raciocínio Lógico 91
Neste sentido, é importante responder: mantendo o espaço percorrido fixo, se 
aumentarmos a velocidade, o tempo também aumentará? A resposta é não, pois como 
a velocidade estará maior, a tendência é que o tempo de percurso seja reduzido. Logo, 
as grandezas tempo e velocidade são inversamente proporcionais. 
Como a proporção é inversa, será necessário invertermos a ordem dos termos de 
uma das colunas apresentadas (coluna grandeza 2), para termos a proporção direta. 
Desta maneira, alteramos a disposição de dados anterior, conforme a figura a seguir:
Grandeza 1 (Tempo) Grandeza 2 (Velocidade)
10
x
75
100
Portanto, neste instante, escrevemos:
10
x
 = 75
100
 ⇒ 75 · x = 10 · 100 ⇒ 75 · x = 1000 ⇒ x = 13,33
Portanto, conclui-se que o tempo necessário para o veículo percorrer o mesmo 
espaço com uma velocidade média de 75 km/h é de 13,33 horas, ou seja, aproximada-
mente 13 horas e 20 minutos.
Vamos trabalhar um pouco mais com a resolução de algumas situações envolven-
do a regra de três simples direta e inversa. 
3.3.4 Problemas simulados diversos
Vejamos mais alguns problemas envolvendo a regra de três simples, direta e 
inversa.
Problema 1: Em uma classe do curso de Administração, os alunos estavam dis-
postos em 8 filas compostas de 9 estudantes cada. Porém, como eles estavam fazendo 
muito barulho, o professor resolveu mudar a posição da classe. Para isso, propôs que 
cada fila fosse composta de 12 estudantes. Após essa modificação, quantas filas foram 
preenchidas?
Solução: Neste caso, podemos montar a disposição conforme segue.
Grandeza 1 (Número de Estudantes por Fila) Grandeza 2 (Número de Filas)
9
12
8
x
Raciocínio Lógico 92
Note que o número de estudantes é fixo e as grandezas número de estudantes 
por fila e número de filas são inversamente proporcionais, pois se aumentarmos o nú-
mero de estudantes por fila, diminuirá o número de filas. Desta forma, já considerando 
a inversão das colunas, podemos escrever a proporção:
9
12
 = x
8
 ⇒ 12 · x = 9 · 8 ⇒ x = 72
12
 ⇒ x = 6
O que nos mostra que foram preenchidas 6 filas. 
Problema 2: Silvia comprou 18 kg de feijão pela quantia de R$ 360,00. Quantos 
quilos poderia comprar, se tivesse no bolso a quantia de R$ 1.500,00? 
Solução: Neste caso, temos as variáveis quantidade de feijão e preço. A disposi-
ção dos dados é mostrada na figura a seguir.
Grandeza 1 (Quantidade de feijão) Grandeza 2 (Preço)
18
x
360
1500
As grandezas do problema são diretamente proporcionais, já que, se aumentarmos 
a quantidade de feijão que vamos comprar, aumentaremos o gasto. Desta maneira, a 
proporção necessária será:
18
x
 = 360
1500
 ⇒ 360 · x = 18 · 1500 ⇒ x = 27000
360
 ⇒ x = 75
Ou seja, Silvia poderia comprar 75 kg de feijão com a quantia de R$ 1.500,00.
Como vimos, o raciocínio utilizado para a regra de três leva em consideração ape-
nas duas variáveis envolvidas em um determinado contexto. Vejamos agora as situações 
que envolvem mais de duas variáveis, que é a regra de três composta.
3.4 Regra de Três Composta
A regra de três composta pode ser considerada uma generalização para o con-
texto envolvendo duas grandezas em estudo. Especificamente falando, aqui, temos 
o aparecimento de mais de duas grandezas, ou seja, neste contexto teremos três ou 
mais grandezas relacionadas no estudo em questão, que podem ser diretamente ou in-
versamente proporcionais. 
Raciocínio Lógico 93
3.4.1 Aspectos introdutórios
Na resolução de um problema envolvendo a regra de três composta, seguimos 
um raciocínio análogo para o descrito no caso da regra de três simples. Inicialmente, 
realizamos a disposição dos dados, verificamos o tipo de proporcionalidade e a inver-
são dos dados das grandezas inversamente proporcionais.
Na sequência, de acordo com Alves (2009, p. 78), “pode-se fazer uso de uma re-
gra prática, que nos fala que o valor desconhecido x é dado pela fração que tem por 
numerador o produto do valor oposto a x pelos valores que estão na mesma linha de x 
e por denominador o produto dos valores pertencentes à outra linha e que ainda não 
foram considerados”. Por exemplo, na disposição de valores a seguir:
100 17 26
200 15 x
Teríamos o valor de x calculado pela fração com numerador (26 · 15 · 200) e deno-
minador (100 · 17).
Para ilustrarmos essa regra, vejamos um exemplo adaptado de Alves (2009). 
Considere que a gráfica Alpha usa 5 impressoras que levam 56 minutos para a impressão 
de 87.500 exemplares de um manual de leis de trânsito. Em quanto tempo 7 impressoras, 
idênticas às primeiras, conseguirão imprimir 350.000 exemplares deste material?
Vamos utilizar na resolução desta situação a regra prática colocada anteriormen-
te. Aqui, temos três grandezas envolvidas no estudo, que são o número de exemplares 
do manual, o número de impressoras e o tempo medidos em minutos. Logo, dispomos 
os dados da seguinte forma:
Número de Exemplares Número de Impressoras Tempo (minutos)
87500
350000
5
7
56
x
Nesse sentido, fixando o número de impressoras, é possível perceber que o nú-
mero de exemplares e o tempo são diretamente proporcionais, já que, aumentando o 
número de exemplares, o tempo também aumentará. De outro modo, fixando o nú-
mero de exemplares,temos que o número de impressoras e tempo são inversamente 
proporcionais. Sendo assim, dispomos os dados como segue:
Raciocínio Lógico 94
Número de Exemplares Número de Impressoras Tempo (minutos)
87500
350000
5
7
56
x
Invertendo, os valores da segunda grandeza, vemos que:
Número de Exemplares Número de Impressoras Tempo (minutos)
87500
350000
7
5
56
x
Sendo assim, de acordo com a regra prática, o valor de x é dado pela fração que 
tem por numerador o produto do valor oposto a x (56) pelos valores que estão na mes-
ma linha de x (350000 e 5) e, por denominador, o produto dos valores pertencentes à 
outra linha e que ainda não foram considerados (87500 e 7). Ou seja:
87500 7 56
350000 5 x
Portanto:
56
x
 = 87500
350000
 · 7
5
 ⇒ 87500 · 7 · x = 56 · 350000 · 5 ⇒ x = 56 · 350000 · 5
87500 · 7
 ⇒
x = 160 minutos
Assim, o tempo para que 7 impressoras imprimam 350000 exemplares do manual 
de leis de trânsito é de 2 horas e 40 minutos (ou 160 minutos).
Agora, veremos em detalhes um outro exemplo envolvendo a regra de três com-
posta. Vamos lá?
3.4.2 Resolvendo um problema envolvendo a Regra de Três Composta
Vamos considerar a seguinte situação: em que numa empresa na área automo-
tiva, 20 máquinas trabalhando por 25 dias produzem 3000 unidades de determinado 
componente. Desta forma, queremos saber: quantas máquinas serão necessárias para 
a produção de 1800 unidades desse componente em um período de 10 dias?
Raciocínio Lógico 95
O primeiro passo é similar ao que realizamos para a regra de três simples. Ou 
seja, temos que descrever a disposição das grandezas de dois valores numéricos asso-
ciados. Vejamos a figura a seguir:
Grandeza 1 (Número de Máquinas) Grandeza 2 (Dias) Grandeza 3 (Unidades do produto)
20
x
25
10
3000
1800
Segundo Alves (2009), devemos salientar que, para a descrição das setas, é ne-
cessária a comparação entre as grandezas a partir de uma delas ficando fixa. Logo, 
fixando a frequência de dias, observamos que as grandezas número de máquinas e 
unidades do produto são diretamente proporcionais. Além disso, se fixarmos agora a 
grandeza unidades do produto, perceberemos que número de máquinas e a frequência 
de dias serão inversamente proporcionais. 
Assim, para descrevermos de modo correto a proporção, devemos fazer com que 
todas estejam no mesmo sentido, com a inversão dos termos das colunas convenien-
tes. Aqui é mais simples a inversãoo dos valoes da coluna da grandeza 2, daí podemos 
dispor conforme segue:
Grandeza 1 (Número de Máquinas) Grandeza 2 (Dias) Grandeza 3 (Unidades do produto)
20
x
10
25
3000
1800
Como uma grandeza proporcional a duas outras também é proporcional ao pro-
duto delas, escrevemos:
20
x
 = 10
25
 · 3000
1800
Ou seja:
20
x
 = 30000
45000
Ou ainda: 
30.000 · x = 900.000
x = 900000
30000
x = 30
Raciocínio Lógico 96
Portanto, conclui-se que serão necessárias 30 máquinas para produzir 1800 uni-
dades do produto durante o período de 10 dias.
Vamos praticar mais um pouco a regra de três composta e suas especificidades? 
3.4.3 Problemas simulados diversos
Vejamos mais alguns problemas envolvendo a regra de três composta.
Problema 1: Uma torneira na casa de Julia ocupa por inteiro um de seus reserva-
tórios em 20 horas, com uma saída de 1 litro de água por minuto. Qual será o tempo 
necessário para que duas torneiras similares da casa, com saída de 2 litros de água por 
minuto, preencham por inteiro o volume do mesmo reservatório?
Solução: Comparando as grandezas número de torneiras e vazão com a grandeza 
número de horas, que mantém a incógnita x, percebemos que, mantendo fixo o núme-
ro de torneiras e aumentando a vazão, o tempo para encher o reservatório deverá ser 
menor. Desta forma, diminuirá o número de horas. Logo, estas grandezas são inversa-
mente proporcionais. Ou seja, as setas devem ser colocadas em sentidos contrários. 
Por outro lado, mantendo fixa a vazão e aumentando o número de torneiras, o 
tempo para encher o reservatório deverá ser menor. Deste modo, diminuirá o número 
de horas. Essas grandezas são, portanto, inversamente proporcionais. Ou seja, as se-
tas devem ser colocadas em sentidos contrários. Vejamos a figura a seguir:
Grandeza 1 (Torneiras) Grandeza 2 (Horas) Grandeza 3 (Vazão)
1
2
20
x
1
2
Desta forma, já considerando a inversão das colunas, a proporção deve ser:
20
x
 = 2
1
 · 2
1
 ⇒ 4 · x = 20 ⇒ x = 20
4
 ⇒ x = 5
Ou seja, x = 5 e, portanto, conclui-se que serão necessárias 5 horas para encher o 
reservatório.
Raciocínio Lógico 97
Problema 2: 15 colaboradores de uma construtora, trabalhando 9 horas diárias, 
construíram 36 metros de muro de arrimo em uma frequência de 16 dias. Em qual pe-
ríodo 18 operários dessa construtora conseguirão construir 60 metros do mesmo muro 
de arrimo, se trabalharem por 8 horas diárias?
Solução: Pirmeiramente, observe que temos quatro grandezas envolvidas no pro-
blema, que são os operários, as jornadas, os comprimentos e os dias. Verificando o 
tipo de proporcionalidade, com raciocínio similar aos casos anteriores, criamos a dis-
posição dos dados, conforme figura a seguir:
Grandeza 1 
(Operários)
Grandeza 2 
(Jornada)
Grandeza 3 
(Comprimentos)
Grandeza 4 
(Dias)
15
18
9
8
36
60
16
x
Invertendo os valores da primeira e da segunda grandezas, temos o seguinte 
cenário.
18 8 36 16
15 9 60 x
Pela regra prática, calculamos o valor de x pela expressão:
16
x
 = 18
15
 · 8
9
 · 36
60
 ⇒ 18 · 8 · 36 · x = 16 · 15 · 9 · 60 ⇒ x = 16 · 15 · 9 · 60
18 · 8 · 36
 ⇒ x = 129600
5184
x = 25
Logo, os operários da construção farão o muro em 25 dias.
A proporção é uma igualdade entre razões, sendo que as razões servem direta-
mente para a comparação de números e grandezas. Além disso, tendo razão e propor-
ção como alicerces, podemos resolver problemas de divisão em partes proporcionais, 
bem como relacionados às regras de sociedade. 
Raciocínio Lógico 98
O elemento-chave para a descrição da regra de sociedade é exatamente a divisão 
proporcional, seja ela em partes diretamente proporcionais ou inversamente proporcio-
nais. A regra de sociedade pode ser simples ou composta, sendo que a regra de sociedade 
simples é caracterizada da igualdade ou diferença dos capitais, aplicados durante perío-
dos de tempos iguais ou diferentes. 
Quando falamos das sociedades compostas, devemos notar que tanto os capitais 
quanto os períodos de investimento são distintos para cada um dos sócios envolvidos 
em uma sociedade. Além disso, trabalhamos com a regra de três, simples e composta, 
que é um procedimento básico para a resolução de problemas que envolvem duas ou 
mais grandezas, que podem ser diretamente ou inversamente proporcionais.