Exercicios Cálculo 3 SIA

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Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não.
d3ydt3+td2ydt2+(cos2(t))y=t3
		
	
	
	
	3ª ordem e linear.
	
	
	5ª ordem e não linear.
	
	
	3ª ordem e não linear.
	
	
	5ª ordem e linear.
	
	
	6ª ordem e linear.
	
Explicação: 
Ordem da ED = maior ordem presente na ED
Grau - expoente do termo que define a ordem da ED
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Resolva a seguinte equação diferencial pelo método da substituição:
Função: y
=  x416
EDO:y′=x(y12)
		
	
	
	
	x34=x316
	 são diferentes, portanto não resolve a EDO.
	
	
	x4=x4
	 são iguais, portanto resolve a EDO.
	
	
	x34=x34
	 são iguais, portanto resolve a EDO.
	
	
	x34=x34
	 são diferentes, portanto não resolve a EDO.
	
	
	x4=x16
	 são diferentes, portanto não resolve a EDO.
	
Explicação: 
y′=x34
, substituindo na EDO, encontramos a igualdade:
x34=x34
	que resolve a EDO.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo:
I - t3d3ydt3+tdydt+y=t
II - d2ydt2+tdydt+t2y=et
III - t2dydt+ty=sen(t)
		Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	Apenas a alternativa I é linear.
	
	
	Apenas a alternativa III é linear.
	
	
	I, II e III são lineares.
	
	
	Apenas a alternativa II é linear.
	
	
	I, II e III são não lineares.
	
Explicação: 
 É linear porque a variável dependente y
	 e suas derivadas aparecem em combinações aditivas de suas primeiras potências.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Identifique o valor de t entre os pontos do intervalo [-π,π], onde as funções { t,sent, cost} são linearmente dependentes.
 
	
	
	
	π
	 
	
	
	π4
	
	
	
	−π
	
	
	
	0
	
	
	π3
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Dadas as EDOs abaixo:
I - t3d3ydt3+d2ydt2+dydt+ty2=0
II - d2ydt2+sen(t+y)y´+y=sen(t)
III - (d2ydt2)2+tdydt+2y=t
		Assinale a alternativa correta.
	
	
	
	I, II e III são lineares.
	
	
	Apenas a alternativa III é linear.
	
	
	Apenas a alternativa I é linear.
	
	
	Apenas a alternativa II é linear.
	
	
	I, II e III são não lineares.
	
Explicação: 
I, II e III são não lineares, porque: as alternativas I e III possuem termos quadráticos e a alternativa II apresenta a variável multiplicada pela sua derivada.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não.
y(4)+y(3)+y(2)+y´+y=1
		
	
	
	
	4ª ordem e linear.
	
	
	5ª ordem e linear.
	
	
	3ª ordem e não linear.
	
	
	3ª ordem e linear.
	
	
	4ª ordem e não linear.
	
Explicação: 
4ª ordem - a derivada de mais alta ordem na ED é 4
linear - todas as derivadas da ED estão em expoente 1
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Dadas as equações diferenciais ordinárias abaixo:
I - (y(IV))2+3xy′+2y=e2x
II - d2ydt2+tdydt+2y=sen(t)
III - d2ydt2+dydt+ty2=0
		Assinale a alternativa verdadeira.
	
	
	
	Apenas a alternativa III é linear.
	
	
	Apenas a alternativa I é linear.
	
	
	Apenas a alternativa I e II é linear.
	
	
	Apenas a alternativa II é linear.
	
	
	I, II e III são lineares.
	
Explicação: 
I possui função exponencial e III tem o termo y2
	
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Dada a função (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será?
	
	
	
	Nenhuma das respostas anteriores
	
	
	(2t , - sen t, 3t2)
	
	
	(2 , - sen t, t2)
	
	
	(2t , cos t, 3t2)
	
	
	(t ,  sen t, 3t2)
	
	 
		
	
		1.
		 Resolva e indique a resposta correta: rsecψdr−2a2senψdψ
, sendo a
		 uma constante real positiva.
	
	
	
	r2−2a2sen3ψ=C
	
	
	
	r2+2a2cos2ψ=C
	
	
	
	r3+2a2senψ=C
	
	
	
	r2−2a2sec2ψ=C
	
	
	
	r3−2a2cos2ψ=C
	
	
Explicação: 
Uso da solução de uma ED pelo método da Separação de Variáveis e de identidades trigonométricas. Na integração, o método da substituição foi empregado.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sabendo que representa o vetor posição de uma partícula que se move em cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t).
	
	
	
	V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (cos t, - sen t , 0 )
	
	
	V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, - sen t , 0 )
	
	
	V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) = ( cos t, sen t , 0 )
	
	
	V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) = ( - cos t, - sen t, 0)
	
	
	V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e A(t) = (- cos t, sen t , 0 )
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Resolva a equação diferencial (x+1).dydx=x.(1+y2)
		. 
	
	
	
	y=sen[x−ln|x+1|+C]
	
	
	
	y=cotg[x−ln|x+1|+C]
	
	
	
	y=sec[x−ln|x+1|+C]
	
	
	
	y=tg[x−ln|x+1|+C]
	
	
	
	y=cos[x−ln|x+1|+C]
	
	
Explicação: 
Solução da ED por Separação de Variáveis com uso de métodos de integração de função arco tangente e fração imprópria.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Resolva a equação diferencial dada abaixo por separação de variáveis. 
xy´=4y
		
	
	
	
	y=cx
	
	
	
	y=cx4
	
	
	
	y=cx2
	
	
	
	y=cx3
	
	
	
	y=cx−3
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de variáveis separáveis
dydx=e−7x
		
	
	
	
	y=−e−7x+C
	
	
	
	y=−e−6x+C
	
	
	
	y=e−7x6+C
	
	
	
	y=−e−7x6+C
	
	
	
	y=−e−7x7+C
	
	
Explicação: 
A solução consiste em se colocar cada variável junto  a sua diferencial e depois realizar a integração.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A solução geral da equação diferencial xy´+y=0 é
	
	
	
	y=2x-ln(x+1)+C 
	
	
	y=x+C 
	
	
	y=ln x+C 
	
	
	y=ln 2x -1 
	
	
	y=C/x
	
Explicação: 
xy´+y=0 é
xdy/dx = -y
-dy/y = dx/x
-lny = lnx + c
-lny = lncx
lny + lncx = 0
lncxy = 0
cxy = 1
y = 1/cx
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Resolva a seguinte equação diferencial ordinária utilizando a técnica de variáveis separáveis:
dx+e3xdy=0
		
	
	
	
	y=−e−3x+c
	
	
	
	y=e−3x+c
	
	
	
	y=e−3x/3+c
	
	
	
	y=e−x+c
	
	
	
	y=−3e−3x+c
	
	
Explicação: 
 
e-3xdx = -dy
-e-3x / 3 = -y + c
y = e-3x / 3 + c
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Resolvendo a equação diferencial xdy - ydx = 0, obtemos:
	
	
	
	ln y = x + C 
	
	
	ln y = ln x + C 
	
	
	y + x = C 
	
	
	e) x = ln y + C
	
	
	y = ln x + C 
	
Explicação: 
Resposta: a) ln y = ln x + C 
Faça xdy=ydx
  separe as variáveis dy/y=dx/x
	 e integre ambos os membros
		1.
		Verifique se a função f(x,y)=x3+xy2eyx
		 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	Homogênea de grau 1.
	
	
	Homogênea de grau 4.
	
	
	Homogênea de grau 2.
	
	
	Homogênea de grau 3.
	
	
	Não é homogênea.
	
Explicação: 
Calcular f(tx, ty) e verificar que f(tx, ty) = t³f(x, y)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0
, com y(0)=1 e y'(0)=0
		
	
	
	
	y(t)=43e−t − 13e4t
	
	
	
	y(t)=43e−t+13e−(4t)
	
	
	
	y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)
	
	
	
	y(t)=53e−t+23e−(4t)
	
	
	
	y(t)=43e−t − 13e−(4t)
	
	
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: m²+5m+4=0
...(1)
Raízes: m1=−1;m2=−4
   ... A resposta típica é: y(t)=C1e−t+C2e−4t
....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
y(0)=1;y′(0)=0
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: C1=43;C2=−13
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
y(t)=
43e−t−13e−4t
	 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dada uma função de modo que f(5,6)=7  e seu grau é igual a 1, podemos afirmar que  f(20,24) é:
	
	
	
	24
	
	
	20
	
	
	287
	
	
	1
	
Explicação: 
28
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para cada condição inicial é possível encontrar uma solução particular para uma equação diferencial. 
	
	
	
	Apenas I é correta.
	
	
	Apenas I e II são corretas.
	
	
	Todas são corretas.
	
	
	Apenas I e III são corretas.
	
	
	Apenas II e III são corretas.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0:
	
	
	
	equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear;
	
	
	equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear
	
	
	equação diferencial parcial, segunda ordem, não linear.
	
	
	equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear
	
	
	equação diferencial ordinária, quarta ordem, linear
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dada a seguinte EDO Linear, ache a sua resolução particular yp
		:
	
	
	
	y(x)=ex+k
	
	
	
	y(x)=(ex+2)/2+k
	
	
	
	y(x)=−ex+k
	
	
	
	y(x)=e(2x)+k
	
	
	
	y(x)=2ex+k
	
	
Explicação: 
Trata-se de uma ED  não homogênea. Tentamos uma solução yp=Ae2x
	. Derivamos uma vez e substituimos na ED original para achar a resposta correta para a solução particular.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma função f(x,y)
é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)
.
Verifique se a função f(x,y)=7x3+2xy2
		 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	Não é homogênea.
	
	
	É homogênea de grau 3.
	
	
	É homogênea de grau 4.
	
	
	É homogênea de grau 1.
	
	
	É homogênea de grau 2.
	
Explicação: 
Aplica-se o teste descrito no texto da questão.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Uma função f(x,y)
é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)
.
Verifique se a função f(x,y)=5x4+x2y2
		 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	Não é função homogênea.
	
	
	É função homogênea de grau 4.
	
	
	É função homogênea de grau 2.
	
	
	É função homogênea de grau 3.
	
	
	É função homogênea de grau 5.
	
Explicação: 
Calculando f(tx, ty), verifica-se, no exemplo pedido f(tx, ty) = t4f(x, y)
		1.
		Verifique se a função f(x,y)=x3+xy2eyx
		 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	Homogênea de grau 1.
	
	
	Homogênea de grau 4.
	
	
	Homogênea de grau 2.
	
	
	Homogênea de grau 3.
	
	
	Não é homogênea.
	
Explicação: 
Calcular f(tx, ty) e verificar que f(tx, ty) = t³f(x, y)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0
, com y(0)=1 e y'(0)=0
		
	
	
	
	y(t)=43e−t − 13e4t
	
	
	
	y(t)=43e−t+13e−(4t)
	
	
	
	y(t)= − 43e−t − 13e−(4t)
	
	
	
	y(t)=53e−t+23e−(4t)
	
	
	
	y(t)=43e−t − 13e−(4t)
	
	
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: m²+5m+4=0
...(1)
Raízes: m1=−1;m2=−4
   ... A resposta típica é: y(t)=C1e−t+C2e−4t
....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
y(0)=1;y′(0)=0
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: C1=43;C2=−13
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
y(t)=
43e−t−13e−4t
	 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dada uma função de modo que f(5,6)=7  e seu grau é igual a 1, podemos afirmar que  f(20,24) é:
	
	
	
	24
	
	
	20
	
	
	28
	
	
	7
	
	
	1
	
Explicação: 
28
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Com relação às equações diferenciais de primeira ordem e seus tipos de soluções é SOMENTE correto afirmar que: (I) Solução Geral é a solução que contém tantas constantes arbitrárias quantas são as unidades da ordem da equação. (II) Solução Particular é toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores particulares às constantes. (III) Para cada condição inicial é possível encontrar uma solução particular para uma equação diferencial. 
	
	
	
	Apenas I é correta.
	
	
	Apenas I e II são corretas.
	
	
	Todas são corretas.
	
	
	Apenas I e III são corretas.
	
	
	Apenas II e III são corretas.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0:
	
	
	
	equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear;
	
	
	equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear
	
	
	equação diferencial parcial, segunda ordem, não linear.
	
	
	equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear
	
	
	equação diferencial ordinária, quarta ordem, linear
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Dada a seguinte EDO Linear, ache a sua resolução particular yp
		:
	
	
	
	y(x)=ex+k
	
	
	
	y(x)=(ex+2)/2+k
	
	
	
	y(x)=−ex+k
	
	
	
	y(x)=e(2x)+k
	
	
	
	y(x)=2ex+k
	
	
Explicação: 
Trata-se de uma ED  não homogênea. Tentamos uma solução yp=Ae2x
	. Derivamos uma vez e substituimos na ED original para achar a resposta correta para a solução particular.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Uma função f(x,y)
é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)
.
Verifique se a função f(x,y)=7x3+2xy2
		 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	Não é homogênea.
	
	
	É homogênea de grau 3.
	
	
	É homogênea de grau 4.
	
	
	É homogênea de grau 1.
	
	
	É homogênea de grau 2.
	
Explicação: 
Aplica-se o teste descrito no texto da questão.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Uma função f(x,y)
é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y)
.
Verifique se a função f(x,y)=5x4+x2y2
		 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta.
	
	
	
	Não é função homogênea.
	
	
	É função homogênea de grau 4.
	
	
	É função homogênea de grau 2.
	
	
	É função homogênea de grau 3.
	
	
	É função homogênea de grau 5.
	
Explicação: 
Calculando f(tx, ty), verifica-se, no exemplo pedido f(tx, ty) = t4f(x, y)
	
		
	
		1.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3yy'=exp(x) 
	
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	ordem 2 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 2
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 1 grau 3
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Classificando a equação diferencial entre: separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
x.y' +2.y = 2 + ln(x) concluimos que ela é: 
	
	
	
	não é equação diferencial
	
	
	linear de primeira ordem
	
	
	exata
	
	
	homogênea
	
	
	separável
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Dadas as EDOs abaixo, determine quais são lineares.
I - y´+4xy=x4
II - y´−2xy=x
III - y´−3y=6
		
	
	
	
	Apenas a III.
	
	
	Nenhuma alternativa anterior está correta.
	
	
	Apenas a I.
	
	
	Apenas a II.
	
	
	I, II e III são lineares.
	
Explicação: 
Uma EDO é linear quando a variável que está sendo derivada não tem, em nenhum termo, expoente diferente de 1
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Utilizando o método de resolução para EDO Linear de primeiro grau, determine a solução da equação:
y′−(y/x)=2x4/e
		
	
	
	
	y(x)=(x/2e)+ck
	
	
	
	y(x)=(x2/2e)+cx
	
	
	
	y(x)=(x5/2e)+cx
	
	
	
	y(x)=(x5/e)+k
	
	
	
	y(x)=(e/2)+k
	
	
Explicação: 
Resolver como ED linear de 1ª ordem da forma dy/dx + P(x)y = Q(x), onde P(x) = -1/x e Q(x) = 2x4/e5.
		Dada x.y´ = 4.y, resolver a equação diferencial por separação de variável.
	
	
	
	y = c.x^7
	
	
	y = c.x^5
	
	
	y = c.x^3
	
	
	y = c.x
	
	
	y = c.x^4
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear
y´−2xy=x
		
	
	
	
	y=−12+ce−x3
	
	
	
	y=−12+ce−x2
	
	
	
	y=−12+cex2
	
	
	
	y=12+cex2
	
	
	
	y=12+ce−x3
	
	
Explicação: 
y=−12+cex3
 
Uma EDO linear da forma dy/dx + p(x)y = q(x) terá como solução y = [1/u(x)] . ∫u(x)q(x)dx
 onde u(x) = e^(∫p(x)dx
	
	
	
		
	CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	 
	
	CCE1196_A6_201708128239_V1 
	
	
	
	
		Aluno: ALEX ARAGAO DAS VIRGENS 
	Matr.: 201708128239
	Disc.: CÁLCULO DIFERENCIAL   
	2020.2 - F (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não.
d2ydt2+sen(t+y)=t
	
	
	
	2ª ordem e não linear.
	
	
	1ª ordem e linear.
	
	
	2ª ordem e linear.
	
	
	3ª ordem e linear.
	
	
	1ª ordem e não linear.
	
Explicação: 
A ordem de uma ED é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação e, nesse caso, temos uma ED de segunda ordem e não linear por causa do sen(t+y)
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1 e y'(0)=0
	
	
	
	y(t)=43e−t+13e−(4t) 
	
	
	y(t)=43e−t − 13e−(4t) 
	
	
	y(t)= − 43e−t − 13e−(4t) 
	
	
	y(t)=43e−t − 13e4t 
	
	
	y(t)=53e−t+23e−(4t) 
	
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto.
Equação característica: m²+5m+4=0...(1)
Raízes: m1=−1;m2=−4   ... A resposta típica é: y(t)=C1e−t+C2e−4t....(2)
Vamos aplicar o PVI na equação (2):
y(0)=1;y′(0)=0
Teremos um sistenma com duas equações do qual calculamos: C1=43;C2=−13
Finalmente, substituindo as constantes na equação (2), teremos:
y(t)=43e−t−13e−4t
 
	
	
	
	 
		
	
		3.
		O estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes foram estudados em duas fases, a primeira tratando das EDOs deste tipo homogêneas e posteriormente as não homogêneas. A solução das homogêneas é bastante fácil, resumindo a três casos, em função das raízes da equação característica. Como podemos formar a solução particular quando após a iguadade na EDO for um polinômio ?
	
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m+h, onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o menor grau do polinômio após a igualdade na EDO.
	
	
	Nenhuma das alternativas
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m-h, onde h é a maior ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m+h, onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m-h, onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO.
	
Explicação: 
Esta questão trata de uma EDO de segunda ordem. Após a igualdade temos um polinômio de grau m. 
O h da resposta está relacionado com a menor ordem de derivada que a EDO apresenta no lado esquerdo da equação.
Então, o grau da proposta da solução particular é dada por m+h.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dinâmica populacional - Sabendo que o modelo de crescimento populacional supõe que a taxa de crescimento de uma população dy/dt é proporcional a população presente naquele instante y(t), portanto podemos descreve-lo como um problema de Valor Inicial dy/dt = k y onde y(0) = y0. Com base nessa informação, encontre a solução do problema de crescimento populacional (problema de valor inicial) sabendo que  y0 = 3 e que em 10 dias havia 240 indivíduos.
	
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 7ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 56t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) =  ekt + t. Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80 
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 3 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 3.80 t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) = 3 e4t . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 80 t/10
	
	
	O problema terá a solução y (t) = t2 ekt . Como em 10 dias a população é de 240 indivíduos teremos 45t/10
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Das alternativas a seguir identifique qual é a solução para o problema de valor inicial y''+16y = 0, y(0) = 0 e y'(0) = 1.
	
	
	
	cosx
	
	
	sen4x
	
	
	14sen4x
	
	
	senx
	
	
	cosx2
	
Explicação: 
Primeiramente se resolve a equação homogênea e encontrarás a seguinte resposta y = Acos(4t) + Bsen(4t).
Com isso, o próximo passo é calcular a primeira derivada e depois aplicar as condições iniciais fornecidas no problema.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Seja y1 = cos x e y2 = sen x soluções  particulares da equação y + y = 0. Calcule o Wronskiano.
	
	
	
	O Wronskiano será 5.
	
	
	O Wronskiano será 13.
	
	
	O Wronskiano será 3.
	
	
	O Wronskiano será 1.
	
	
	O Wronskiano será 0.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		O estudo das equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes foram estudados em duas fases, a primeira tratando das EDOs deste tipo homogêneas e posteriormente as não homogêneas. A solução das homogêneas é bastante fácil, resumindo a três casos, em função das raízes da equação característica. Como podemos formar a solução particular quando após a iguadade na EDO for um polinômio ?
	
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m-h, onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO.
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m+h, onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO.
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m+h, onde h é a maior ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO.
	
	
	Nenhuma das alternativas
	
	
	O grau do polinômio da particular será dada por  m/h, onde h é a menor ordem de derivada da EDO e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO
	
Explicação: 
Esta questão trata da forma como vai ser o formato da solução particular.
O grau do polinômio da solução particular terá o grau m+h onde h é a menor ordem de derivada da equação diferencial e m é o grau do polinômio após a igualdade na EDO.
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Encontre a função y(t), que é a solução da equação diferencial a seguir:
d2ydt2+5dydt+4y(t)=0 , com y(0)=1 e y'(0)=0
	
	
	
	y(t)=43e−t − 13e4t 
	
	
	y(t)= − 43e−t − 13e−(4t) 
	
	
	y(t)=43e−t − 13e−(4t) 
	
	
	y(t)=43e−t+13e−(4t) 
	
	
	y(t)=53e−t+23e−(4t) 
	
Explicação: 
Trata-se de um PVI - Problema de Valor Inicial, pois, as condições são no mesmo ponto. A equação característica é:
m²+5m+4=0     .....cujas raízes são: m1=−1;m2=−4.
A resposta típica é: y=C1e−t+C2e−4t
Aplicando as condições do PVI na equação acima, determina-se a resposta esperada.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
		1.
		Sabendo que y1 = cos x e y2 = sen x são soluções particulares da equação y + y = 0 utilizando o princípio de superposição podemos afirmar que:
I - y = c1 sen x + c2 cos x também é solução da equação.
II - y = c1 sen x + c2 cos x não é solução da equação.
III - y1/y2 é LI
IV - o Wronskiano nos garante que se y1 e y2 são LI, entao o W(y1,y2) é dirente de zero em cada ponto num intervalo aberto I.
	
	
	
	ApenasIV é verdadeiras
	
	
	Apenas I e II são verdadeiras.
	
	
	Todas as afirmações são verdadeiras,
	
	
	Apenas I e IV são verdadeiras.
	
	
	Apenas I, III e IV são verdadeiras.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Resolver a equação diferencial 4𝑥 − 𝑦² = 1, com a condição y(2) = 2:
	
	
	
	𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 8
	
	
	𝑦 = 2𝑥² + 𝑥 - 2
	
	
	𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 10
	
	
	𝑦 = − 𝑥 + 8
	
	
	𝑦 = 𝑥² − 𝑥 + 2
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja a função f(x,y)=2x³+xy. A derivada na direção do vetor v=3i-4j, no ponto P=(1,-2) tem valor de:
	
	
	
	18/7
	
	
	8/5
	
	
	13/4
	
	
	10/3
	
	
	11/2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Determine a solução da equação diferencial x2 y + xy + 9y = 0, x > 0
	
	
	
	y = c1 cos (3 ln x) 
	
	
	y = c1 cos ( ln x) + c2 sen (ln x)
	
	
	y = c1 cos (3 ln x) + c2 sen (3ln x)
	
	
	y =  c2 sen (3ln x)
	
	
	y = c1 sen ( ln x) + c2 sen (3ln x)
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o Wronskiano W(senx,cosx)
		
	
	
	
	1
	
	
	cos x
	
	
	0
	
	
	senx cosx
	
	
	sen x
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determine c1
e c2 de modo que f(x)=c1e2x+c2ex+2senx satisfaça as seguintes condições iniciais: f(0)=0 e f'(0)=1
		. Marque a única resposta correta.
	
	
	
	c1=e−1
c2=e+1
	
	
	
	c1=−1
c2=1
	
	
	
	c1=−1
c2=−1
	
	
	
	c1=−1
c2=2
	
	
	
	c1=−1
c2=0
	
	
Explicação: 
O chamado, problema de condição inicial, é uma condição imposta para que, dentre a família de soluções que uma ED pode admitir, escolhamos uma curva-solução, em um mesmo ponto, que atenda ao projeto/processo em estudo. 
	 
		
	
		1.
		Calcule a Transformada  Inversa de Laplace, f(t)
,  da função: F(s)=2s2+9
, com o uso adequado  da Tabela:
L(senat) =as2+a2
,
L(cosat)= ss2+a2
		
	
	
	
	f(t)=23sen(t)
	
	
	
	f(t)=sen(3t)
	
	
	
	f(t)=23sen(4t)
	
	
	
	f(t)=13sen(3t)
	
	
	
	f(t)=23sen(3t)
	
	
Explicação: 
No texto são informadas duas transformadas uma do seno e outra do cosseno. Aplicando a tabela das transformadas identificam-se os parâmetros necessários para dar a resposta correta. 
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Calcule a Transformada  Inversa de Laplace, f(t)
,  da função: F(s)=2s2+9
, com o uso adequado  da Tabela:
L(senat) =as2+a2
,
L(cosat)= ss2+a2
		
	
	
	
	f(t)=23sen(t)
	
	
	
	f(t)=sen(3t)
	
	
	
	f(t)=23sen(3t)
	
	
	
	f(t)=13sen(3t)
	
	
	
	f(t)=23sen(4t)
	
	
Explicação: 
Para resolver a questão basta comparar com as equações dadas na questão.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Calcule f(t)
 se F(s)=2(s−1)(s+1)(s−2)
		 e marque a única resposta correta.
	
	
	
	23(2e−t−e2t)
	
	
	
	23(−2e−t−e2t)
	
	
	
	23(2et+e2t)
	
	
	
	23(2e−t+e2t)
	
	
	
	23(2e−t+e−2t)
	
	
Explicação: 
Use o método das frações parciais em conjunto com o método da ocultação ou o dos coeficientes indeterminados. 
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A solução da equação diferencial é:
 
	
	
	
	x²y²+ln(y)+C=0
	
	
	x²y²+sen(x)+ln(y)+C=0
	
	
	x²y²+sen(x)+C=0
	
	
	x²+sen(x)+ln(y)+C=0
	
	
	sen(x)+ln(y)+C=0
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y'=f(x,y)
	
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 2 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 3
	
	
	ordem 1 grau 2
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
( y"')2+10y'+90y=sen(x)
	
	
	
	ordem 2 grau 3
	
	
	ordem 3 grau 2
	
	
	ordem 1 grau 4
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	ordem 1 grau 3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		A ordem e o grau da equação diferencial y'''- 4y'' + xy = 0 é:
	
	
	
	2º ordem e 2º grau
	
	
	3º ordem e 1º grau
	
	
	3º ordem e 3º grau
	
	
	3º ordem e 2º grau
	
	
	1º ordem e 3º grau
	
Explicação: 
3º ordem e 1º grau
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Calcule a Transformada  Inversa de Laplace, f(t)
,  da função: F(s)=2s2+9
, com o uso adequado  da Tabela:
L(senat) =as2+a2
,
L(cosat)= ss2+a2
		
	
	
	
	f(t)=23sen(3t)
	
	
	
	f(t)=23sen(4t)
	
	
	
	f(t)=13sen(3t)
	
	
	
	f(t)=23sen(t)
	
	
	
	f(t)=sen(3t)
	
	
Explicação: 
Solução com o uso da tabela dada na questão.
	
		
	
		1.
		A solução da equação diferencial (y-sen(x))dx + (sen(y) +ex)dy=0  é
	
	
	
	cos(x) - cos(y)+yex
	
	
	sen(x) + cos(y)+ex
	
	
	sen(x) - cos(x)+ex
	
	
	sen(y) - cos(x)+yex
	
	
	cos(y) - cos(x)+y
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O elemento químico rádio (Ra) presente em um pedaço de chumbo se decompõe a uma taxa que é proporcional à sua quantidade presente. Se 10% do Ra decompõem em 200 anos, qual é porcentagem da quantidade original de Ra que estará presente no pedaço de chumbo após 1000 anos?
	
	
	
	80,05%
	
	
	70,05%
	
	
	60,10%
	
	
	59,05%
	
	
	40,00%
	
Explicação: resolver a EDO dQ/dt=-kQ por varáveis separáveis
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja a função
 f(x)=x2cos(x)
		Podemos afirmar que f é uma função:
	
	
	
	Par
	
	
	nem é par, nem impar
	
	
	é par e impar simultâneamente
	
	
	Impar
	
	
	Dependendo dos valores de x f pode ser par ou impar.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Sabe-se que a população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 6 anos, quando ela triplicará? Sugestão: dN/dt = kN
	
	
	
	10 anos
	
	
	20 anos
	
	
	1 anos
	
	
	2 anos
	
	
	5 anos
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Determine o valor do Wronskiano do par de funções y1 = e 2t e y 2 = e3t/2.
	
	
	
	(- e7t/2 )/ 5
	
	
	(- e7t/2 )/ 2
	
	
	(- e7t/2 )/ 7
	
	
	(- e7t/2 )/ 3
	
	
	(- e7t/2 )/ 9
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Resolva a equação diferencial indicando a resposta correta: xy' + y = y²
	
	
	
	x - y = c(1 - y) 
	
	
	x + y = c(1 - y) 
	
	
	y = c(1 - x) 
	
	
	x = c(1 - y) 
	
	
	xy = c(1 - y)
		1.
		Sabe-se que a população de um determinado Estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se após dois anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de 20000 habitantes, determine a população inicial.
	
	
	
	7062 habitantes.
	
	
	9038 habitantes.
	
	
	3047 habitantes.
	
	
	2000 habitantes.
	
	
	5094 habitantes.
	
Explicação: 
dP/dt = kP -> lnP = kt + c -> P = cekt
P = P0ekt
t = 2; P = 2P0
2P0 = P0e2k -> e2k = 2 -> 2k = ln2 -> k = 0,5ln2
P = P0ekt -> P = P0e0,5tln2
P(3) = 20000
20000 = P0e1,5ln2
20000 / P0 = 21,5
P0 = 7071
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Classificando a equação diferencial entre: separável, homogênea, exata ou linear de primeira ordem. 
dy/dx = x/y + y/x +1 concluimos que ela é: 
	
	
	
	linear
	
	
	homogenea
	
	
	não é equação doiferencial
	
	
	exata
	
	
	separavel
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3y'+6y+sen(x) +(y")³=3y'+6y+tan(x) +y"'+3yy'+y' 
	
	
	
	ordem 1 grau 2
	
	
	ordem 2 grau 1
	
	
	ordem 1 grau 1
	
	
	ordem 3 grau 1
	
	
	ordem 2 grau 2
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Resolva separando as variáveis e indique a resposta correta: `e^(y).(dy/dx + 1) = 1.
	
	
	
	`y - 1 = c - x 
	
	
	`lne^(y)  = c 
	
	
	`e^(y)  = c - x 
	
	
	ln(ey−1)=c−x
	
	
	
	`e^(y)  = c - y 
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Quando um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 180ºC. Três minutos depois, sua temperatura passa para 150ºC. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 27ºC, se a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for 26ºC.
	
	
	
	30 minutos.
	
	
	50 minutos.
	
	
	1 hora e 10 minutos.
	
	
	1 hora.
	
	
	40 minutos
	
Explicação: 
Esse problema é resolvido com uma EDO da forma dT/ dt = k(T-26), resolvendo, ln(T-26) = kt + c -> T = 26 + cekt . Como T(0) = 180, c = 154
T = 26+154e-kt. Fazendo T(3) = 150, achamos 124 = 154e-3k -> k = 0,072223679
Fazendo 27= 26 + 154e-0,072223679t , achamos -0,072223679t = -5,0369526, logo t = 69,74
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100ºF em uma sala com temperatura constante de 0ºF. Se após, 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF. Determine o tempo, aproximadamente, necessário para a barra chegar a temperatura de 25ºF.
	
	
	
	30 minutos.
	
	
	50 minutos.
	
	
	20 minutos.
	
	
	1 hora.
	
	
	40 minutos.
	
Explicação: 
Esse problema é resolvido com uma EDO da forma dT/ dt = -k(T-0), resolvendo, T = 100 - ce-kt . Como T(0) = 50, c = 50
T = 100e-kt. Fazendo T(20) = 50, achamos k = -ln(0,5) / 20
Fazendo 100e-kt = 25, achamos kt = -ln0,25, logo t = 20ln0,25 / ln0,5 = 40
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Marque dentre as opções abaixo a solução da equação diferencial dydx=(1+y2).ex
para x pertencente a o inervalo [−π2,π2]
		
	
	
	
	y=sen(ex+C)
	
	
	
	y=tg(ex+C)
	
	
	
	y=2.tg(2ex+C)
	
	
	
	y=2.cos(2ex+C)
	
	
	
	y=cos(ex+C)