AD2-Questão 2-MÉTODOS DETERMINÍSTICOS I - 2020.2

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Gabarito da Questão 2 da AD 2 – Métodos Determińısticos I – 2020-2
Questão 2 (2,5 pontos)
(a) Se a < 0, quais devem ser os sinais de b e c para que a equação ax2 + bx + c = 0 tenha duas
ráızes positivas?
(b) Se a < 0, quais devem ser os sinais de b e c para que a equação ax2 + bx + c = 0 tenha ráızes
de sinais contrários, sendo o módulo da raiz positiva maior do que o módulo da raiz negativa?
(c) Se a < 0, qual deve ser o valor de c e o sinal de b para que a equação ax2 + bx + c = 0 tenha
uma raiz igual a 0 e uma raiz negativa?
(d) A partir da fatoração do trinômio x2 − (r1 + r2) · x + r1 · r2, com r1 < r2, explique por que a
solução da inequação x2 − (r1 + r2) · x + r1 · r2 < 0 é o intervalo (r1, r2).
(e) Qual deve ser o sinal de a e a relação que a, b e c devem satisfazer para que a solução da
inequação ax2 + bx + c < 0 seja toda a reta?
(f) Qual deve ser o sinal de a e a relação que a, b e c devem satisfazer para que a solução da
inequação ax2 + bx + c > 0 seja apenas um número real?
Solução: Primeiramente, procedendo como no EP9, se uma equação ax2 + bx+ c = 0 possui ráızes
r1 e r2, ela pode ser escrita na forma fatorada
a(x− r1)(x− r2) = 0.
Assim,
ax2 + bx + c = a(x− r1)(x− r2)
= a(x2 − r1x− r2x + r1r2)
= a(x2 − (r1 + r2)x + r1r2)
= ax2 − a(r1 + r2)x + ar1r2.
Assim, se a equação ax2 + bx + c = 0 tem ráızes r1 e r2, temos
b = −a(r1 + r2) e c = ar1r2.
(a) Se a < 0 e as ráızes r1 e r2 são positivas, temos
r1 + r2 > 0 ∴
a<0
a(r1 + r2) < 0 ∴ −a(r1 + r2) > 0 ∴ b > 0.
r1r2 > 0 ∴
a<0
ar1r2 < 0 ∴ c < 0.
Assim, b é positivo e c é negativo.
(b) Se as ráızes r1 e r2 têm sinais contrários, temos r1r2 < 0. Se o módulo da raiz positiva é maior
que o da negativa, temos r1 + r2 > 0. Assim,
r1 + r2 > 0 ∴
a<0
a(r1 + r2) < 0 ∴ −a(r1 + r2) > 0 ∴ b > 0.
r1r2 < 0 ∴
a<0
ar1r2 > 0 ∴ c > 0.
Logo, b e c são positivos.
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(c) Suponhamos r1 = 0 e r2 < 0. Temos r1r2 = 0 e r1 + r2 < 0. Com isso,
r1 + r2 < 0 ∴
a<0
a(r1 + r2) > 0 ∴ −a(r1 + r2) < 0 ∴ b < 0.
r1r2 = 0 ∴ ar1r2 = 0 ∴ c = 0.
Logo, b é negativo e c = 0.
(d) O trinômio pode ser fatorado como
x2 − (r1 + r2) · x + r1 · r2 = (x− r1)(x− r2),
logo, a inequação
x2 − (r1 + r2) · x + r1 · r2 < 0
é reescrita como
(x− r1)(x− r2) < 0.
Como r1 < r2, estudando os sinais, temos
(−∞, r1) r1 (r1, r2) r2 (r2,∞)
sinal de (x− r1) − 0 + + +
sinal de (x− r2) − − − 0 +
sinal de (x− r1)(x− r2) + 0 − 0 +
Com isso, a solução de x2 − (r1 + r2) · x + r1 · r2 < 0 é o intervalo (r1, r2).
(e) Para a solução da inequação
ax2 + bx + c < 0
ser toda a reta, precisamos que a ax2 + bx+ c seja sempre negativo. Para isto, é necessário que
a < 0 e que ax2 + bx + c = 0 não tenha ráızes, isto é, que
∆ = b2 − 4ac < 0.
Neste caso, a parábola será da forma abaixo:
Assim, precisamos ter a < 0 e b2 − 4ac < 0.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
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(f) Para a solução da equação
ax2 + bx + c > 0
ser apenas um ponto, precisamos que ax2 + bx + c seja negativo exceto para um valor de x, no
qual ax2 + bx + c = 0. Assim, é necessário que a < 0 e que
∆ = b2 − 4ac = 0.
Neste caso, a parábola será da forma abaixo:
Assim, precisamos ter a < 0 e b2 − 4ac = 0.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ