08_Momento_Linear_Impulso_e_Colisoes_Cap08

Prévia do material em texto

Curso de Física I – Fundamentos de mecânica clássica
1º semestre, 2018
1
Prof. Pedro Claudio Guaranho de Moraes
Departamento de Ciências Naturais - DCNAT
Momento linear, Impulso e Colisões – capítulo 8
Notas de Rodrigo Capaz
Momento linear (quantidade de movimento) de uma partícula:
• Grandeza vetorial
• Unidades S.I. : kg.m/s
amF 

=∑ dt
vdmF

=⇒∑
Se a massa é constante:
( )
dt
vmdF

=∑ dt
pdF

=⇒∑ Formulação original de Newton da sua 2ª Lei
(vale apenas em 
referenciais inerciais)
8.1 – Momento linear e Impulso
Momento linear e 2ª Lei de Newton:
vmp  =
Impulso de uma força entre instantes de tempo t1 e t2:
∫∑=
2
1
t
t
dtFJ

Teorema do impulso-momento linear:
∫∑=
2
1
t
t
dtFJ

∫=
2
1
t
t
dt
dt
pd
∫=
2
1
p
p
pd



12 pp

−=
pJ 

∆=
Caso particular: força resultante constante
∫∑=
2
1
t
t
dtFJ

∫∑=
2
1
t
t
dtF

( )12 ttF −=∑

tF ∆=∑

8.1 – Momento linear e Impulso
Impulso é igual à variação de 
momento linear
O conceito de impulso é útil para analisar situações onde a força 
resultante varia muito rapidamente no tempo (forças impulsivas):
(Caso 1D)
∑ xF
t1t 2t
Força média: magnitude de uma hipotética força constante que, atuando no mesmo 
intervalo de tempo, produziria o mesmo impulso
mF
tFdtFJ m
t
t
∆== ∫∑
 2
1
∫∑∆=⇒
2
1
1 t
t
m dtFt
F

8.1 – Momento linear e Impulso
∫∑=
2
1
t
t
xx dtFJ
tFJ mx ∆=
Vídeo: Physics Demonstrations in 
Mechanics: Part V, No. 7
8.1 – Momento linear e Impulso
Exemplo: Y&F 8.3
Considere um sistema isolado: Ausência de forças externas
Exemplo: Par de astronautas, onde há apenas forças internas
BAF sobre 

ABF sobre 

ABBA FF sobre sobre 

−= Pela 2ª Lei:
8.2 – Conservação do momento linear
Par ação-reação:






=
=
dt
pdF
dt
pdF
A
AB
B
BA


 sobre 
 sobre 
Assim:
Definindo o momento linear total:
Temos:
Na ausência de forças externas (sistema isolado), 
ou se a resultante das forças externas for 
nula, o momento linear total se conserva
Lei de Conservação do Momento Linear:
• Pode ser facilmente generalizada para um número qualquer de partículas
•É consequência da 3ª Lei de Newton 
8.2 – Conservação do momento linear
( ) 0 sobre sobre =
+
=+=+
dt
ppd
dt
pd
dt
pdFF BAABABBA

BA ppP

+=
0=
dt
Pd

Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part V, No. 7
Exemplo: Y&F 8.4 Exemplo: Y&F 8.5
8.2 – Conservação do momento linear
Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part V, No. 7
Exemplo: Y&F 8.6
8.2 – Conservação do momento linear
Antes
•
•
•
•
1v

2v

1v ′

2v′

1m
2m
1m
2m
Durante
Depois
Interação entre pares de partículas com duração extremamente curta. 
Muitas vezes não conhecemos os detalhes da interação, temos 
acesso apenas às velocidades logo antes e logo depois da colisão.
8.3 – Colisões
Aplicações
Física de partículas elementares
8.3 – Colisões
Rutherford (descoberta do núcleo)
Reações nucleares
8.3 – Colisões
Reações químicas: 
Algumas orientações relativas 
não favorecem a reação
Na maioria das colisões, podemos supor um sistema isolado: Forças internas 
têm tipicamente duração muito mais curta e intensidade muito maior que as 
forças externas – podemos usar a conservação do momento linear
No entanto, a energia cinética não se conserva 
necessariamente:
8.3 – Colisões
 perda de energia cinética é máxima (partículas 
ficam grudadas depois da colisão)
 energia não se conserva
 energia se conserva
Exemplo: Y&F 8.8 (pêndulo balístico)
8.3 – Colisões
Exemplo: Y&F 8.9
1. Caso geral em 1D
Av
A B
Bv
Antes
Av′
A B
Bv′
Depois
BBAABBAA vmvmvmvm ′+′=+
2222
2
1
2
1
2
1
2
1
BBAABBAA vmvmvmvm ′+′=+
Conhecendo-se as massas e as velocidades iniciais, podemos obter as 
velocidades finais (2 equações e 2 incógnitas)
8.4 – Colisões elásticas
Conservação do momento linear:
Conservação da energia:
2. Caso particular em 1D: 
uma das massas inicialmente parada 
Av
A B
0=Bv
Antes
Av′
A B
Bv′
Depois
BBAAAA vmvmvm ′+′=
222
2
1
2
1
2
1
BBAAAA vmvmvm ′+′=
Depois de alguma álgebra (quadro-negro):






+
=′
+
−
=′
A
BA
A
B
A
BA
BA
A
v
mm
mv
v
mm
mmv
2
8.4 – Colisões elásticas
Conservação do momento linear:
Conservação da energia:
2.1 - Caso ainda mais particular (1):
AvA B
0=Bv
Antes
Av′
A B
Bv′
Depois


≈′
−≈′
0B
AA
v
vv
AB mm >>



≈′
≈′
AB
AA
vv
vv
2
2.2 - Caso ainda mais particular (2):



=′
=′
AB
A
vv
v 0
2.3 - Caso ainda mais particular (3):
Demonstração: Bola de tênis e de basquete
Exemplo: Y&F 8.12 (caso 2D)
8.4 – Colisões elásticas
BA mm >>
BA mm =
Colisão elástica e velocidade relativa
Conservação do momento linear:
Conservação da energia:
Depois de alguma álgebra (quadro-negro): ( ) ( )BABA vvvv ′−′−=−
Definindo a velocidade relativa de A em relação a B: BArel vvv −=
Assim: relrel vv ′−=
Uma colisão elástica apenas inverte o 
sentido da velocidade relativa
8.4 – Colisões elásticas
BBAABBAA vmvmvmvm ′+′=+
2222
2
1
2
1
2
1
2
1
BBAABBAA vmvmvmvm ′+′=+
Posição do centro de massa de um sistema de N partículas:
Média, ponderada pelas massas, das posições das partículas
∑
∑
=
==
+++
+++
= N
i
i
N
i
ii
N
NN
cm
m
rm
mmm
rmrmrmR
1
1
21
2211
...
...


0
1
2
i
ir

Em componentes:
∑
∑
=
==
+++
+++
= N
i
i
N
i
ii
N
NN
cm
m
xm
mmm
xmxmxmX
1
1
21
2211
...
... (idem para y e z)
8.5 – Centro de massa
21
2211
mm
xmxmX CM +
+
=
(c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2:
2CM1 xXx <<
L
m
LmmX CM 3
2
3
20
=
×+×
=xxCMm
x=0
2m
x=L
2/3 1/3
(a)
2
21
21
xxxmm CM
+
=⇒= x
xCM
1x 2x
(b) 121 xxmm CM ≈⇒>> x
xCM
2x
Exemplos em 1D: 2 partículas
Kits DCNAT
8.5 – Centro de massa
Exemplo: sistema de 3 partículas em 2D
CM
CM
0×1+ 0×2 + 4×4x = m = 2,3 m
1+ 2 + 4
0×1+ 3×2 + 0×4y = m = 0,9 m
1+ 2 + 4
8.5 – Centro de massa
Distribuições contínuas de massa (qualitativo)
Objeto homogêneo com centro geométrico: CM no centro.
Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo.
Note que o CM pode estar localizado fora do objeto!
8.5 – Centro de massa
Movimento do centro de massa
N
NN
cm mmm
rmrmrmR
+++
+++
=
...
...
21
2211

N
NNcm
cm mmm
vmvmvm
dt
RdV
+++
+++
==
...
...
21
2211

NmmmM +++= ...21
PvmvmvmVM NNcm

=+++= ...2211
Momento linear total é igual à massa total multiplicada pela 
velocidade do centro de massa
8.5 – Centro de massa
Velocidade do centro de massa:
Massa total:
(momento linear total)
Como vimos na aula passada, se a resultante das forças externas 
for nula, ou se o sistema for isolado:
constante=P

constante=⇒ cmV

Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 5
Exemplo: Y&F 8.14
E se houver força externa resultante não-nula?
NNcm vmvmvmVM

+++= ...2211
Derivando mais uma vez:
dt
vdm
dt
vdm
dt
vdm
dt
VdM NNcm

+++= ...2211
NNcm amamamAM

+++= ...2211
8.5 – Centro de massa
NNcm amamamAM

+++= ...2211
Pela 2ª Lei de Newton:
∑=+++= FFFFAM Ncm

...21
∑∑∑ += intFFF ext

Como vimos na aula passada, pela 3ª Lei de Newton:
0int =∑F

8.5 – Centro de massa
Somatório de todas as forças que 
atuam sobre todas as partículas
Soma das forças 
externas
Soma das forças 
internas
(pares ação e reação se cancelam)
Assim: cmext AMF

=∑
O centro de massa se move como uma partícula que concentrasse toda a massa do 
sistema, sob ação da resultante das forças externas
Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 6
Ou: ( ) dt
Pd
dt
VMd
dt
VdMF cmcm
ext


===∑
8.5 – Centro de massa
• ausência de forças externas, velocidade do CM permanece inalterada pela colisão
• referencial do CM é inercial
Av
′
BA
Bv
′
Referencial do CM
Au
A B
Bu

Bv

Av

A B
Trajetória 
do c.m.
C.m. está 
parado
Au′

Bu′

A B
Velocidades no referencial do centro de massa:
8.5 – Centro de massa
Colisões no referencialdo centro de massa:
Mostrar applet: 
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html




−′=′
−′=′




−=
−=
cmBB
cmAA
cmBB
cmAA
Vvu
Vvu
Vvu
Vvu




Referencial do laboratório
Conservação do momento linear:
BBAABBAA vmvmvmvm ′+′=+

( ) ( ) ( ) ( )cmBBcmAAcmBBcmAA VumVumVumVum

+′++′=+++
BBAABBAA umumumum ′+′=+

Momento linear também se conserva no referencial do centro de massa 
(como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)
8.5 – Centro de massa
Energia cinética no referencial do lab:
Antes: 22
2
1
2
1
BBAAc vmvmE +=
Mudança de variáveis para velocidade do CM e velocidade relativa: 




−=−=
+
+
=
l)referencia do (independe BABArel
BA
BBAA
cm
uuvvv
mm
vmvmV


Invertendo, obtemos: 






+
−=
+
+=
rel
BA
A
cmB
rel
BA
B
cmA
v
mm
mVv
v
mm
mVv


8.5 – Centro de massa
22
2
1
2
1
BBAAc vmvmE +=
Substituindo na expressão para a energia cinética: 
22
2
1
2
1






+
−+





+
+= rel
BA
A
cmBrel
BA
B
cmAc vmm
mVmv
mm
mVmE 

Após alguma álgebra (quadro negro): 
( ) 22
2
1
2
1
rel
BA
BA
cmBAc vmm
mmVmmE
+
++=
Definindo: 
(massa total) e
(massa reduzida) 
8.5 – Centro de massa
BA mmM +=
BA
BA
mm
mm
+
=µ
Obtemos finalmente: 
22
2
1
2
1
relcmc vMVE µ+=
Análise:
1. Parece com a expressão da energia cinética de duas “partículas”
2. No referencial do c.m., temos:
Ou seja, a energia cinética depende do referencial, e a energia cinética mínima é 
aquela calculada no referencial do c.m.
0) c.m. do vel.(
2
1 2 == rel
cm
c vE µ
8.5 – Centro de massa
Energia cinética do movimento 
do centro de massa
Energia cinética do 
movimento relativo
3. Antes e depois de uma colisão, a velocidade do c.m. não varia, de modo que a 
variação da energia cinética é:
Ou seja, a variação de energia cinética não depende do referencial (como esperado)
22
2
1
2
1
relrelc vvE µµ −′=∆
4. Em uma colisão elástica, temos:
Ou seja, o módulo da velocidade relativa não é alterado pela colisão
relrelrelrelc vvvvE ′=⇒=−′=∆
0
2
1
2
1 22 µµ
8.5 – Centro de massa
5. A perda máxima de energia cinética (colisão totalmente inelástica), 
ocorre quando:
Desta forma, explica-se porque as partículas ficam “grudadas” depois de uma 
colisão totalmente inelástica
222
2
1
2
1
2
1
relrelrelc vvvE µµµ −=−′=∆
0
8.5 – Centro de massa
Exemplo de movimento de um sistema de massa variável:
v
Massa m
vdv  +
m +dm
dm < 0
exv

-dm
DVD: Filme
8.6 – Propulsão de um foguete
Instante t + dtInstante t
Velocidade de exaustão dos 
gases relativa ao foguete
Conservação do momento linear:
( )
))(()()(
)(
exvvdmdvvmdttP
vdmmtP
−++=+
+=
( ) )()( exvvdmdvvmvdmm −++=+
dmvvdmvdmmdvmvvdmmv ex−+++=+
→= dmvmdv ex
dt
dmvF
dt
dmv
dt
dvm exex −=⇒−=
Força de propulsão do foguete 
(proporcional à taxa e à velocidade de 
exaustão)
Note que, ainda que a força seja supostamente constante, a aceleração aumenta com o 
tempo, pois a massa diminui continuamente
8.6 – Propulsão de um foguete
0<
dt
dm
Cálculo da velocidade:
dmvmdv ex−= m
dmvdv ex−=⇒ ∫∫ ′
′
−=′⇒
m
m
ex
v
v m
mdvvd
00
0
0 ln m
mvvv ex−=−
m
mvvv ex 00 ln+=
Exemplo: Y&F 8.16
8.6 – Propulsão de um foguete
	Slide Number 1
	Slide Number 2
	Slide Number 3
	Slide Number 4
	Slide Number 5
	Slide Number 6
	Slide Number 7
	Slide Number 8
	Slide Number 9
	Slide Number 10
	Slide Number 11
	Slide Number 12
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Slide Number 15
	Slide Number 16
	Slide Number 17
	Slide Number 18
	Slide Number 19
	Slide Number 20
	Slide Number 21
	Slide Number 22
	Slide Number 23
	Slide Number 24
	Slide Number 25
	Slide Number 26
	Slide Number 27
	Slide Number 28
	Slide Number 29
	Slide Number 30
	Slide Number 31
	Slide Number 32
	Slide Number 33
	Slide Number 34
	Slide Number 35
	Slide Number 36
	Slide Number 37
	Slide Number 38