FUNÇÕES

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FUNÇÃO 
 
Olá meu querido aluno, vamos começar nossa disciplina? Vamos falar então sobre 
FUNÇÕES... 
Como motivação a esse conteúdo em que iremos entrar, vou lhe contar uma 
história um tanto quanto engraçada sobre mim. Eu, aluna de escola pública, um dos 
conteúdos que eu mais tinha dificuldade era a famosa FUNÇÃO. Não entrava na minha 
cabeça o que representava o “x” e o “y” e quando entrou o f(x)? Ai que piorou a minha 
vida (risos), mas como sou brasileira e não desisto nunca, qual foi o vestibular que decidi 
fazer? Isso mesmo né, Matemática. Quando entrei na faculdade e fui estudar a tal função 
novamente, descobri que toda aquela dúvida se resumia a uma única coisa, o y era o f(x)! 
Parece engraçado? Mas de fato é se não fosse trágico! Que uma coisa tão simples seja 
algo tão complexo para muita gente. Eu lhe pergunto, você sabia que o y e o f(x) eram a 
mesma coisa? 
Agora sem mais delongas, vamos falar da tão famosa, FUNÇÃO. Uma função 
propriamente dita é tudo aquilo que podemos associar que para fazer uma coisa eu preciso 
de outra, ou ainda, tudo que uma coisa implica em outra coisa é uma função. Por exemplo, 
em um programa, precisamos da um valor de entrada para ter um valor de saída, isso é 
função. Por isso chamamos de conjuntos de “saída” e de “entrada”, pois teremos valores 
que influenciarão em outros. Em primeiro lugar vamos esclarecer o que é um produto 
cartesiano e estender isso a função. 
 
PRODUTO CARTESIANO 
 
Dados dois conjuntos não vazios A e B, o produto cartesiano de A por B é o 
conjunto formado pelos pares ordenados, nos quais o primeiro elemento pertence a A e o 
segundo elemento pertence a B. 
 = { , | ∈ � ∈ } 
 
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O que isso quer dizer? A e B são dois conjuntos, tais que x e y são elementos desses 
conjuntos, onde ∈ e ∈ , respectivamente. Podemos dizer que o conjunto A é o 
conjunto de saída e o conjunto B será o conjunto de chegada, como mostrado abaixo. 
 
 
 
Perceba que temos saindo do conjunto A uma seta que leva ao conjunto B, mas 
mais do que isso, temos essa seta saindo de x que está em A e está indo até y que está em 
B. Podemos dizer com isso que existe uma função “f” que associa o elemento x que está 
no conjunto A ou elemento y que está no conjunto B. Vamos ver um exemplo? 
 
Exemplo 
 
Se A={1,2} e B={a,b,c}, então o produto cartesiano de A em B será: 
 = { , ; , ; , ; , ; , ; , } 
 
Perceba ainda que o produto cartesiano de A em B “AxB” é diferente do produto 
artesiano de B em A “BxA”, já que: 
 = { , ; , ; , ; , ; , ; , } 
 
 
Se pararmos para pensar é uma coisa bem lógica, não é? Se pensarmos que pagamos a 
conta de luz em função do gasto de energia, não faz sentido dizer que o gasto de energia 
é em função do valor da conta, ou seja, você gasta e paga e não paga e gasta. 
 
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1) De modo geral ≠ 
 
2) Se = ∅ ou = ∅, por definição = ∅, isto é, ∅ = ∅ ou ∅ = ∅ 
 
3) Se A=B podemos escrever o produto cartesiano AxA como ², isto é, = . 
 
 
O que eu quero dizer com isso? Que toda função é uma relação, mas nem toda relação é 
uma função. Por quê? Porque para ser uma função só pode existir um elemento no 
conjunto de partida associado a um elemento no conjunto de chegada. Vamos considerar 
o exemplo anterior: 
 = { , ; , ; , ; , ; , ; , } 
 
Falamos que o produto cartesiano de A em B é uma relação, porém não é uma função, já 
que temos elementos do conjunto de partida A, associado a dois elementos distintos do 
conjunto de chegada e isso não pode ser aceito em função. Vamos a definição de função 
de fato: 
 
“Dados dois conjuntos A e B não vazios, chama-se função (ou aplicação) de A em B, 
representada por f: A → B; y = f(x), a qualquer relação binária que associa a cada 
elemento de A, um único elemento de B.” 
 
Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função, exige-se que a cada 
x  A esteja associado um único y  B, podendo, entretanto, existir y  B que não esteja 
associado a nenhum elemento pertencente a A. Falando assim parece até complicado, mas 
não é. Uma forma clássica de representarmos diagramaticamente as funções é através do 
diagrama de Venn, o mesmo visto na figura 1. O diagrama de Venn e muito utilizado em 
conjuntos, onde cada conjunto possui o seu diagrama e muitas vezes esses conjuntos 
interagem entre si através de uma condição. Em função teremos a mesma ideia, porém 
teremos um conjunto de partida que será chamado de domínio da função e um conjunto 
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de chegada que será chamado de imagem ou contradomínio da função e f será a condição 
de “transformação” desse número que está no domínio que o levará ao contradomínio. 
 
DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM 
 
 Já que falamos sobre domínio, contradomínio e imagem, vamos entender melhor 
o que representa cada um deles. 
 
• Domínio 
 
Dada uma função f de A em B, chama-se domínio de f ao conjunto D de todos os 
elementos de A que aparecem como os primeiros elementos nos pares ordenados (x,y). 
 ∈ � ↔ ∃ , ∈ | , ∈ 
 
O que essa expressão acima quer dizer é que, seja x um número pertencente ao domínio 
(D), então existe um número y pertencendo a B, onde o par ordenado (x,y) pertence ao 
conjunto dois números reais. 
 
• Imagem 
 
Denominamos imagem ou contradomínio da função ao conjunto Im de todos os elementos 
de B que aparecem como segundos elementos nos pares ordenados (x,y). 
 ∈ � ↔ ∃ , ∈ | , ∈ 
 
O que essa expressão acima quer dizer é que, seja y um número pertencente a imagem 
(Im), então existe um número x pertencendo a A, onde o par ordenado (x,y) pertence ao 
conjunto dois números reais. Mas qual a diferença entre Imagem e contradomínio? 
Podemos resumir da seguinte maneira: 
 
5 
 
IMAGEM (Im) : é cada elemento do contradomínio que está relacionado a um elemento 
do domínio, ou seja, quando associa-se um elemento do domínio através de uma relação 
ou função, chegamos a um elemento (imagem) que pertence ao contradomínio. 
 
CONTRADOMÍNIO (CD) : é o conjunto onde estão todos os elementos que podem ou 
não ser imagens dos elementos que estão no domínio. 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Sejam A = {0, 1, 2}, B = {−1, 1, 2,−2, 6} e R = {(0,−1), (0, 1), (2, 2), (2,−2)}. 
 
 
 
Temos que: 
 
D = {0, 2} e Im = {−1, 1, 2,−2} e CD={−1, 1, 2,−2, 6} 
 
Ou seja, a imagem sempre será um número “espelhado” do domínio, já o contradomínio 
são todos os valores existentes no conjunto de chegada. 
 
Exercício 
1. Considere a função f: → representada pelo diagrama a seguir: 
 
6 
 
 
 
Determine: 
a) o domínio (D) de f; 
b) f(1), f(-3), f(3) e f(2); 
c) o conjunto imagem (Im) de f; 
c) o contradomínio (CD) de f; 
 
Resolução: 
 
a) O domínio é igual ao conjunto de partida, ou seja, D=A. 
 
D={1, -3, 3, 2} 
 
b) f(1)=1, f(-3)=9, f(3)=9 e f(2)=4. 
 
c) O conjunto imagem é formado por todas imagens dos elementos do domínio, portanto: 
Im = {1, 4, 9}. 
 
d) O contradomínio da função será: 
CD = {1, 4, 5, 9}. 
 
Exemplo 
Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}; vamos considerar a função f : A 
→ B definida por y = x + 1, ou seja, f(x) = x + 1 
 
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a) Essa relação é função? 
b) Determine f(2), caso seja uma função. 
2) Dada a função f(x)= -2x-7, definida nos reais, calcule f(0)+f(-3)- f(-6). 
 
3 ) Dados os conjuntos A={0,−2, −1, 3} e G={0,−3, 1, 2, −1, −9} e a função f:A→G 
definida pela equação f(x)= −2x−3, com xA e yG. Determine o domínio, contra-
domínio e o conjunto imagem da função 
 
4) O diagrama de flechas representa uma função f de A em B. Determine: 
 
a) D (f) 
b) CD (f) 
c) Im (f) 
d) f (3) 
e) f (5) 
 
5) Explicite o domínio das funções reais definidas por: 
 
a) 
6x
1
)x(f −= 
b) 
9x
x
)x(f
2 −= 
c) y = x² + 1 
d) 
5x4x
1
)x(f
2 −+= 
e)
x8
1
)x(f −= 
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Gabarito 
 
1. a) É uma função 
b) = − 
 
2.-3 
 
3. D(f) = {0,−2, −1, 3} 
Ct(f) = {0,−3, 1, 2, −1, −9} 
Im(f) = {-3,1,-1,-9} 
 
4. a) D (f) = {2,3,5} 
b) CD (f) = {0,2,4,6,8} 
c) Im (f) = {4,6,10} 
d) f (3) = 6 
e) f (5) = 10 
 
5. a) � = ℝ − { } 
b) � = ℝ − {− , } 
c) � = ℝ 
d) � = ℝ − {− , } 
e) � = { ∈ ℝ| } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ESBOÇO DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
Para esboçarmos o gráfico cartesiano de uma função f, temos que atribuir valores 
convenientes a x no domínio da função e determinamos os correspondentes valores de y 
= f(x). O gráfico, então, é constituído pelos pontos representativos dos pares (x, y). 
 
Exemplo: 
Se a função f : A → B, é tal que x → y = 2x, onde A = {0, 1, 2, 3}, B = {−1, 0, 2, 4, 6}. 
É possível calcular todos os pontos do gráfico cartesiano de f. Veja a tabela de valores 
abaixo. 
 
 
 
Nesta situação, representamos, ponto a ponto, a função. 
 
 
 Veja que nesse caso como comentado anteriormente, atribuímos valores para x 
que é a variável independente e de acordo com esses valores obtemos os valores de y que 
é a variável dependente. Entenda que podemos escolher qualquer valor para x, mas de 
forma a facilitar nossos cálculos escolhemos valores inteiros que sejam próximos a 0. 
 
Exemplo 
 
Seja f : R → R onde x → y = 2x. Para esta função é impossível construir uma tabela 
indicando explicitamente todos os pontos do gráfico. No entanto podemos, com alguns 
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pontos auxiliares, deduzir a forma do gráfico f. Usando os valores já calculados no 
primeiro exemplo, esboçamos o gráfico. 
 
 
Exercício Resolvido 
 
Seja a função f : R → R 
 
x → y = x² – x 
 
a) Calcular f(6), 
b) Determinar os elementos de D(f) cuja imagem pela f vale 2. 
 
Resolução 
a) Para calcularmos a imagem de 6 pela f, basta substituir x por 6 em 
f(x) = x² − x 
f(6) = 6² − 6 = 30. 
 
Do igual forma ( ) = ( ) − = − = − 
 
b) = → − = − − = 
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= − ± √ − 
= ± √ + = ± = = − 
São os dois valores da função. 
 
DETERMINAÇÃO DE DOMÍNIO DE FUNÇÕES NUMÉRICAS 
 
Em geral, quando se define uma função f através de uma fórmula subentende-se 
que o domínio de definição de f, D(f), é o maior subconjunto de R, no qual a definição 
faz sentido (ou onde a função pode operar). Algumas funções apresentam pontos que não 
pertencem ao seu domínio e é de extrema importância que consigamos identificá-los pois 
futuramente iremos utilizar essa ideia em limites. Vamos falar de algumas delas. 
 
Função Polinomial 
 
 Normalmente escrevemos f : D → B para informar que f leva os elementos do 
conjunto D em elementos do conjunto B. Chamamos o conjunto origem D de domínio de 
f, ou seja, o conjunto dos valores que a variável independente de f pode assumir. Quando 
o conjunto D não é explicitado, convenciona-se tomar o maior subconjunto possível para 
o qual f está definida, portanto normalmente adotamos como domínio da função o 
conjunto dos números reais “ℝ”. 
 
Função Racional 
 
Uma função racional, y = f(x), é uma função que pode ser expressa como uma razão 
(quociente) de dois polinômios P(x) e Q(x). = 
Nesta função não podemos ter o denominador igual a zero, já que uma fração não admite 
divisão por zero, em virtude disso temos que tê-lo diferente de zero. Ao contrário dos 
polinômios, cujos gráficos são curvas contínuas (sem interrupções), o gráfico de uma 
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função racional pode apresentar interrupções (descontinuidades) nos pontos onde o 
denominador é igual a zero. 
Exemplo 
 
Vamos definir o domínio da função abaixo. = +− 
Essa função é uma função racional, portanto devemos impor que o denominador não pode 
ser nulo, logo: − ≠ ⇔ ≠ 
 
Portanto, � = { ∈ | ≠ } = − { }. 
 
Observe que nesse caso o nosso grande problema é o denominador. O numerador pouco 
nos importa nesse caso, portanto não precisamos nos preocupar com ele. 
 
Função Raiz 
 
 Dentro da função raiz, temos duas opções para definirmos o domínio dessa função, 
a primeira quando o índice for par e a segunda quando o índice for ímpar. Vamos falar 
primeiro do índice par. Uma raiz que apresenta o índice par, (2,4,6,...) não pode admitir 
valores do domínio que tornam essa função negativa, já que a raiz par não possui solução 
dentro do conjunto dos reais para esse caso, tal situação só admite solução no conjunto 
dos números complexos, que no nosso caso não será objeto de estudo. Faça um teste, 
tente resolver na calculadora o valor √− , você irá observar que o valor não possui 
solução. Vamos ver um exemplo: 
 
Exemplo 
 
Vamos definir o domínio da função abaixo. = √ − 
Em R, o radicando de uma raiz quadrada não pode ser negativo. Portanto, 
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 − ⇔ ⇔ 
Portanto, � = { ∈ | } = [ , +∞ . 
Quando falamos em raiz impar a situação muda um pouco já que tal função admite 
solução para números negativos, portanto não temos problemas quando nossa função é 
negativa. A ideia é análoga para qualquer função, sempre devemos prensar quando se 
quer determinar o domínio de uma função a seguinte coisa: “Quais são os valores de x 
que esta função admite?” ou então “Existe algum ponto em x que esta função não está 
definida?”. Como se trata de uma função polinomial, sabe-se que ela admite todos os 
valores reais, logo seu domínio são todos os reais, � = −∞, +∞ ou � = ℝ . 
 
Exemplo 
Vamos definir o domínio da função abaixo. = √ − 
 
O radicando de uma raiz de índice ímpar pode ser negativo ou nulo ou positivo, ou seja, 
2x − 1 pode assumir todos os valores reais. Portanto, D(f) = ℝ. 
 
Agora vamos ver um caso de uma junção de ambas funções: 
 
Exemplo 
Vamos definir o domínio da função abaixo. = √ −√ − 
 
Como as raízes envolvidas são todas de índice par, é exigência que os radicandos sejam 
não negativos. Além disso, o denominador deve ser não nulo. Logo: 
 
3 – x² ≥ 0 e 2x + 1 > 0 
 
Ou seja: 
 − − − � � � � − 
 √ 
 
e 
 
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+ > > − > − 
. 
Veja as representações gráficas: 
 
 
Portanto a interseção destes conjuntos determina o domínio. Ou seja: 
 � = { � ℝ | < √ } 
 
Exercício 
 
 
1. Nos gráficos abaixo, representar o domínio e o conjunto imagem: 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
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2. Defina os máximos subconjuntos de números reais que são domínios das funções 
abaixo: 
 
 
Gabarito 
 
1. a) Dom f = [-2;1]; Im f = [0;4] 
b) Dom f = [-2;4]; Im f =[0,5;5] 
 
2. a) � = ℝ − { } 
b) � = { ∈ ℝ| > − } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Uma função exponencial é uma função f : ℝ → ℝ definida por = � , onde 
a é um número real fixo, a > 0 e ≠ . O domínio da função exponencial é Dom(f) = 
R, pois, para todo x ∈ ℝ, � é um número real bem definido, mas nesse caso devemos 
olhar com cautela para a imagem já que a imagem de uma função exponencial é Im(f) = 
(0,∞), pois � > , para todo ∈ ℝ. 
 
GRÁFICO 
 
Como = = , o gráfico da função sempre passa pelo ponto (0, 1). 
Para o gráfico temos duas situações diferentes, de acordo com os valores de a. 
 
Se a > 1 então a = � é uma função crescente. 
 
 
Se 0 < a < 1 então = � é uma função decrescente. 
 
Como mencionado anteriormente, o domínio da função é ℝ, ou seja, podemos assumir 
qualquer valor para x, porém, observando os dois gráficos vemos que a imagem, ou seja, 
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o eixo y, permanece somente acima do eixo x o que nos diz que a imagem da função 
exponencial é sempre positiva. Vamos ver um exemplo. 
 
Exemplo 
Esboce os gráficos das funções = � e = − � 
 
Para a função exponencial traçamos de igual forma a qualquer outro gráfico, atribuindo 
valores para x e obtendo valores em y, logo: 
 
x -2 -1 0 1 2 
y 0,25 0,5 1 2 4 
 
 
Observe que podemos assumir qualquer valor para x, positivo ou negativo, mas a imagem 
sempre será positiva. Vamos ao segundo. 
x -2 -1 0 1 2 
y 403,42 20,08 1 0,04978 0,002478 
 
 
O número é igual ao número � possui umvalor fixo de aproximadamente ≅ , , 
logo podemos observar que o nosso gráfico é decrescente. Além das funções 
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exponenciais, temos as equações e a inequações exponenciais. Como resolvemos? 
Através das operações básicas que valem para os três casos de igual forma. 
 
Exercício 
1. Determine o domínio da função = √ � − 
 
2. (CESGRANRIO-RJ) O gráfico que melhor representa a função = � é: 
 
 
Gabarito 
1. � = [ , ∞[ 
2. c