AULA2_MODELAGEM2018

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Modelagem 
e 
Controle de Sistemas 
 
MCS 
Professores 
Marcos C. Hunold 
 
NA-02_v01 
O que é um sistema? 
 
 
Um sistema é um conjunto de elementos que realizam um determinado 
objetivo, como por exemplo movimentar um veículo (sistema de propulsão 
de um carro). 
Os Sistemas Físicos são classificados em mecânicos, elétricos, 
eletromecânicos, térmicos, fluídicos ,etc. 
Existem ainda os sistemas biológicos, químicos, econômicos, dentre 
outros. 
 O que é um modelo matemático? 
Um modelo consiste de um conjunto de equações matemáticas que 
descrevem o comportamento de um sistema, através de suas variáveis de 
interesse, representando os aspectos essenciais. 
O que é um sistema? 
 
 
Qual é o objetivo / utilização de um MODELO MATEMÁTICO? 
 
Um modelo matemático nos permite estudar o comportamento dinâmico de 
um sistema ao longo do tempo (tanto para o transitório como para o regime 
permanente). 
 
Este estudo é fundamental para propor um controle adequado para um 
sistema dinâmico. 
 
Nesta disciplina é utilizada a visão clássica da modelagem e simulação 
de controle de processos que enfatiza a relação entre a saída e a 
entrada de um sistema. 
Como obter a relação entre saída – entrada, partindo do Sistema Físico? 
Um modelo matemático nos permite estudar o comportamento dinâmico de um 
sistema 
Sistema 
Físico 
Modelo 
Matemático: 
Equações 
Diferenciais 
Função de 
Transferência 
Leis Físicas e 
 
Relações Constitutivas 
Transformada de Laplace 
• Tanque, com tubulações 
• Válvula 
• Forno 
• Gerador de Vapor 
• Sensor de Temperatura 
EXEMPLOS DE MODELO MATEMÁTICO: um simples modelo 
Por exemplo, ao pesquisar os efeitos da temperatura na saída de um dado 
sistema, um engenheiro obteve a relação da influência da temperatura na 
saída do sistema, conforme mostrada no gráfico abaixo. 
O modelo que descreve matematicamente essa relação é importante para 
que o engenheiro consiga desenvolver um sistema de compensação da 
temperatura e, com isso, minimizar os seus efeitos. 
 
E, assim como o engenheiro em campo, observa-se sobre tal sistema... 
Que pode representar matematicamente, considerando uma aproximação 
por uma função linear, que o efeito da temperatura na saída do sistema é 
descrito através da função: f(x) = ax + b. 
Um terceiro exemplo de Sistema: reator tipo tanque agitado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste sistema físico devem ser consideradas as relações e leis físicas do campo 
fluídico e térmico para obter o modelo matemático que representaria as 
condições de temperatura ideais para obter o produto final da reação que deve 
ocorrer no reator. 
CARACTERÍSTICAS E CLASSIFICAÇÕES DE MODELOS DE SISTEMAS 
DINÂMICOS 
TIPOS DE MODELOS 
• MODELOS A PARÂMETROS DISTRIBUÍDOS x PARÂMETROS 
CONCENTRADOS 
MODELO A PARÂMETRO DISTRIBUÍDO 
Estudo da temperatura em uma placa unidimensional em função de fluxos de 
calor de entrada e saída. 
 
 
 
 q” representa o fluxo de calor por unidade de área 
 
 
 
 
 
OBS.: 1) Condições iniciais para 0 <= x <= L; 
2) Este modelo a parâmetros distribuídos calcula a temperatura da placa 
em qualquer posição e em qualquer instante de tempo. 
 
MODELO A PARÂMETRO CONCENTRADO 
O mesmo exemplo de modelo a parâmetro concentrado: estudo da 
temperatura média em uma placa unidimensional em função de fluxos de calor 
de entrada e saída, somente ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
MODELOS LINEARES x NÃO-LINEARES 
 
MODELO NÃO-LINEAR: Movimento de um pêndulo 
 
Para obter o deslocamento angular da massa m em função do torque aplicado deve 
ser utilizada a segunda lei de Newton para movimentos oscilatórios. Obtém-se 
então a seguinte equação: 
 
 
 
 
 Com simples manipulação de variáveis, chega-se ao modelo: 
 
 
 
 
 
 
 
MODELO LINEAR: Para o mesmo movimento de um pêndulo, basta realizar o 
processo de linearização em torno de um ponto de operação. 
 
: 
 
 
Desta forma, obtém-se o seguinte modelo linear: 
 
 
 
OBS.: 1) Modelos lineares, em geral, tem restrições ( no exemplo, o ângulo teta 
deve ser próximo de zero e variar em torno deste valor) 
2) No modelo linear vale a superposição de efeitos: 
 
 
 
 
 
 
Sistema Mecânico Translacional 
Três elementos básicos: 
• Massa 
• Mola 
• Amortecedor 
 
 
 
Modelos de Sistemas Elétricos 
 
• Elementos Básicos: Resistor, Capacitor e Indutor. 
 
• Variáveis de interesse: correntes, tensão e potência. 
 
• Relações Constitutivas: 
 
 RESISTOR: vR(t) = R . i(t) 
 CAPACITOR: iC(t) = C . dvc(t)/dt 
 INDUTOR: vL(t) = L. di(t)/dt 
• Leis Físicas: Leis de Kircchoff – lei das malhas e lei dos nós 
 
 
Analogia entre sistemas Mecânicos e Elétricos: 
 
Variáveis: 
 x(t) – deslocamento equivale à q(t) carga 
 v(t) – velocidade equivale à i(t) corrente 
 F(t) – força equivale à V(t) tensão 
 
Fmola= k.x(t) é equivalente à Vcapacitor = (1/C).q(t) 
 
F amortec = b.v(t) é equivalente à Vresistor = R.i(t) 
 
Finercia = m dv(t)/dt é equivalente à Vindutor = L di(t)/dt 
 
Energia potencial: mola e capacitor armazenam 
 
Energia cinética: massa e indutor armazenam 
 
Energia dissipativa: amortecedor e resistor