A2 - Marco

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Curso GRA1559 ALGEBRA LINEAR COMPUTACIONAL GR3391202 - 202020.ead-11307.01
Teste ATIVIDADE 2 (A2)
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Pergunta 1
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resposta:
A eliminação gaussiana, também conhecida como escalonamento, é um método para resolver sistemas
lineares. Esse método consiste em manipular o sistema por meio de determinadas operações
elementares, transformando a matriz estendida do sistema em uma matriz triangular (denominada matriz
escalonada do sistema). Usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta
referente à matriz triangular da seguinte matriz:
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, devemos fazer: 
 
 
 
No primeiro passo, subtraímos da segunda linha o quádruplo da primeira e subtraímos
da terceira linha o dobro da primeira: 
 
 
 
 
Assim, troca-se a segunda com a terceira linha: 
.
Pergunta 2
As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos obter as matrizes a
partir de leis de formação. Considere, por exemplo, uma matriz , de ordem , em que os
elementos têm a seguinte lei de formação:
 
 
 
 Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir:
 
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I. Na matriz A, o elemento é igual ao elemento 
II. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.
 III. Se a matriz B é , então o produto B. A é a matriz -B.
 
IV. Sendo a matriz I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a 1.
 
 Está coorreto o que afirma em :
I, II e IV, apenas.
I, II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma: 
 
 
 
Assim, percebemos que o elemento Também pode ser verificado que a matriz
tem a diagonal principal igual a zero. Se multiplicarmos essa matriz por B, teremos: 
 
 
= 
 
 Ou seja, a matriz não será -B. Por fim, se somarmos A+I, teremos 
 
 
.
Pergunta 3
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Considere as seguintes informações: 1) o sistema de equações não se altera quando permutamos as
posições das equações; 2) o sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de
uma das equações por qualquer número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma
equação por outra obtida a partir da inclusão “membro a membro” dessa equação, na qual foi aplicada a
transformação do Teorema II. Essas informações são concernentes aos três axiomas de Eliminação de
Gauss. Assim, usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à
matriz triangular da seguinte matriz:
 
 
Resposta correta. A alternativa está incorreta, pois, nesse caso, você deveria utilizar os
seguintes passos para resolver o problema: 
 
 
 
Primeiramente, na linha 2, faremos: -2L1+L2 e -3L1+L2 
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Após isso, na linha 3, faremos: -2L2+L3 
 
 
 
Depois, podemos trocar as linhas 2 e 3: 
 
 
 
Por fim, na linha 3, faremos: -3L2+L3 
Pergunta 4
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Na modelagem de muitos sistemas físicos, encontramos sistemas lineares, tendo a quantidade de
incógnitas similar à quantidade de equações. Nessa situação, sempre podemos montar uma matriz e
calcular o determinante para verificarmos a solução de sistema lineares. Assim, nessa circunstância,
considere que A seja uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tal que
det(A).det(B)=1. Assinale a alternativa que apresenta o valor de det(3A).det(2B).
72.
72.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois é preciso usar a seguinte
propriedade de determinante: 
 
 Em que n é a ordem da matriz. No nosso problema: 
Pergunta 5
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resposta:
A fim de calcular determinantes , somente multiplicamos, de maneira cruzada, os elementos. Para
matrizes , empregamos a regra de Sarrus, na qual são repetidas as duas primeiras colunas e, em
seguida, multiplicamos os elementos também de maneira cruzada. No caso de matrizes de ordem maior,
empregados o teorema de Laplace. Considerando o emprego do conceito do teorema de Laplace,
assinale a alternativa que apresenta o valor do seguinte determinante:
 
 
65.
65.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você usou 
, onde No caso, podemos escolher a coluna 2: 
 
 
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Pergunta 6
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resposta:
Um sistema pode ser resolvido pelo método da substituição isolando uma variável ou substituindo em
outras. Outro método que podemos usar é a regra de Cramer, na qual podemos nos apoiar no conceito de
determinante. Por fim, temos o método de escalonamento de matrizes dos coeficientes numéricos de um
sistema de equações lineares, com a finalidade de simplificar o sistema por meio de operações entre os
elementos pertencentes às linhas de uma matriz. Usando o conceito de escalonamento, assinale a
alternativa correta referente ao resultado da seguinte matriz escalonada:
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você precisa fazer: 
 
 
 
Em um primeiro momento, subtraímos os elementos da linha L2 pela metade dos elementos
da linha L1. Também subtraímos os elementos da linha L3 pelo sêxtuplo dos elementos da
linha L2 (após os cálculos anteriores): 
Pergunta 7
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resposta:
Suponha que você esteja analisando duas aplicações financeiras. Sua aplicação inicial foi de R$ 20000,00
por um ano em duas aplicações: A e B. A aplicação A rendeu 10% ao ano e a B rendeu 25% ao ano.
Sabe-se que o ganho proporcionado pela aplicação B foi superior ao de A em R$ 100,00. Com base
nessas informações, assinale a alternativa que apresenta em R$ a diferença dos valores aplicados em
cada investimento.
8000.
8000.
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você, primeiramente, deve escrever o
sistema linear. Lembre-se de que x seria a aplicação A e B equivale à aplicação y: 
 
 
 
 
Ao resolver o sistema linear, tem-se: e 
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Pergunta 8
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As matrizes obedecem a certas propriedades de álgebra. Por exemplo, o produto entre as duas matrizes,
geralmente, não é comutativo, . A única exceção seria quando isto é, quando a
matriz B for a inversa de A. Usando o conceito de propriedade de matriz inversa, assinale a alternativa
correta referente à matriz 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você precisa calcular da seguinte
forma: 
 
 
Nesse caso, chegamos aos seguintes sistemas: 
 
 
 O outro sistema que encontramos foi: 
 
 
 Resolvendo esse par de sistemas, temos: 
Pergunta 9
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resposta:
As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos obter as matrizes a
partir de leis de formação. Por exemplo, uma matriz 2x2 pode ter a seguinte formação:
 
 
 
Nessa forma, teremos a seguinte matriz: 
 
Situação similar podemos pensar para uma matriz3x3. Assim, assinale a alternativa que apresenta uma
matriz 3x3 que obedeça à seguinte lei de formação: 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você montou a matriz da seguinte
forma: 
 
 
 
Ao olhar os índices de cada elemento, podemos aplicar as condições do problema
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encontrando: 
Pergunta 10
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resposta:
A regra de Cramer é um dos métodos para obter soluções de sistemas lineares. A aplicação da regra de
Cramer, contudo, poderá ser utilizada apenas para sistemas que apresentam número de equações iguais
ao número de incógnitas. Lembre-se de que, nessa regra, usamos o conceito de determinante. 
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta a solução (x,y,z) do seguinte sistema
linear:
 
 
 
(1, 3, 2).
(1, 3, 2).
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos, identificamos o
determinante principal formado por . A partir disso, encontramos
que , e Com esses resultados, fazemos as divisões
 Encontramos, assim, (1, 3, 2).
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