Matrizes e Sistemas Lineares

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· Pergunta 1
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um sistema pode ser resolvido pelo método da substituição isolando uma variável ou substituindo em outras. Outro método que podemos usar é a regra de Cramer, na qual podemos nos apoiar no conceito de determinante. Por fim, temos o método de escalonamento de matrizes dos coeficientes numéricos de um sistema de equações lineares, com a finalidade de simplificar o sistema por meio de operações entre os elementos pertencentes às linhas de uma matriz. Usando o conceito de escalonamento, assinale a alternativa correta referente ao resultado da seguinte matriz escalonada:
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você precisa fazer:
 
Em um primeiro momento, subtraímos os elementos da linha L2 pela metade dos elementos da linha L1. Também subtraímos os elementos da linha L3 pelo sêxtuplo dos elementos da linha L2 (após os cálculos anteriores):
	
	
	
· Pergunta 2
1 em 1 pontos
	
	
	
	As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos obter as matrizes a partir de leis de formação. Considere, por exemplo, uma matriz  , de ordem  , em que os elementos têm a seguinte lei de formação:
 
Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir:
 
I. Na matriz A, o elemento   é igual ao elemento 
II. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos.
III. Se a matriz B é  , então o produto B. A é a matriz -B.
IV. Sendo a matriz I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos iguais a 1.
 
Está coorreto o que afirma em :
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
I, II e IV, apenas.
	Resposta Correta:
	 
I, II e IV, apenas.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma:
 
Assim, percebemos que o elemento  Também pode ser verificado que a matriz tem a diagonal principal igual a zero. Se multiplicarmos essa matriz por B, teremos:
 
= 
 
Ou seja, a matriz não será -B. Por fim, se somarmos A+I, teremos
 
.
	
	
	
· Pergunta 3
0 em 1 pontos
	
	
	
	As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos obter as matrizes a partir de leis de formação. Por exemplo, uma matriz 2x2 pode ter a seguinte formação:
Nessa forma, teremos a seguinte matriz: 
Situação similar podemos pensar para uma matriz 3x3. Assim, assinale a alternativa que apresenta uma matriz 3x3 que obedeça à seguinte lei de formação:
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Sua resposta está incorreta. A alternativa está incorreta, pois você deveria escrever:
Ao olhar os índices de cada elemento, podemos aplicar as condições do problema. Por exemplo, , pois i=j e , já que . Ao fazer a mesma análise para todos os elementos, encontraremos:
 
  
	
	
	
· Pergunta 4
1 em 1 pontos
	
	
	
	Um sistema linear pode ter ou não solução, sendo denominado sistema possível ou impossível, respectivamente. Dentre os sistemas que admitem solução, existem os que têm apenas uma única solução (determinado) e outros que podem apresentar um conjunto infinito de soluções (indeterminado).
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e relação proposta entre elas.
 
 
I. O sistema linear
possui várias soluções.
Porque:
II. O determinante formado por   é diferente de zero.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	Resposta Correta:
	 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos, o determinante dos elementos  será igual a -59. Pela classificação dos sistemas lineares, o sistema linear terá apenas uma solução. Assim, se o determinante fosse igual a zero, teríamos infinitas soluções.
	
	
	
· Pergunta 5
1 em 1 pontos
	
	
	
	As matrizes obedecem a certas propriedades de álgebra. Por exemplo, o produto entre as duas matrizes, geralmente, não é comutativo,  . A única exceção seria quando  isto é, quando a matriz B for a inversa de A. Usando o conceito de propriedade de matriz inversa, assinale a alternativa correta referente à matriz 
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois você precisa calcular da seguinte forma:
Nesse caso, chegamos aos seguintes sistemas:
O outro sistema que encontramos foi:
Resolvendo esse par de sistemas, temos:
	
	
	
· Pergunta 6
1 em 1 pontos
	
	
	
	As matrizes quadradas têm sua importância, pois, por meio do cálculo do seu determinante, podemos associar o seu valor a um escalar. Por exemplo, ele tem a sua importância no uso de sistemas lineares. Uma das técnicas usadas em matriz   seria a multiplicação pelas diagonais. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o valor de  , tal que    .
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
-4 e 1.
	Resposta Correta:
	 
-4 e 1.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, colocando os valores de -4 e 1 na matriz, encontraremos:
 
	
	
	
· Pergunta 7
1 em 1 pontos
	
	
	
	A fim de calcular determinantes  , somente multiplicamos, de maneira cruzada, os elementos. Para matrizes  , empregamos a regra de Sarrus, na qual são repetidas as duas primeiras colunas e, em seguida, multiplicamos os elementos também de maneira cruzada. No caso de matrizes de ordem maior, empregados o teorema de Laplace. Considerando o emprego do conceito do teorema de Laplace, assinale a alternativa que apresenta o valor do seguinte determinante:
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
65.
	Resposta Correta:
	 
65.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você usou , onde No caso, podemos escolher a coluna 2:
 
	
	
	
· Pergunta 8
1 em 1 pontos
	
	
	
	A regra de Cramer é um dos métodos para obter soluções de sistemas lineares. A aplicação da regra de Cramer, contudo, poderá ser utilizada apenas para sistemas que apresentam número de equações iguais ao número de incógnitas. Lembre-se de que, nessa regra, usamos o conceito de determinante.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta a solução (x,y,z) do seguinte sistema linear:
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
(1, 3, 2).
	Resposta Correta:
	 
(1, 3, 2).
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando calculamos, identificamos o determinante principal formado por . A partir disso, encontramos que ,  e  Com esses resultados, fazemos as divisões  Encontramos, assim, (1, 3, 2).
	
	
	
· Pergunta 9
1 em 1 pontos
	
	
	
	Considere as seguintes informações: 1) o sistema de equações não se altera quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se altera quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão “membro a membro” dessa equação, na qual foi aplicada a transformação do Teorema II. Essas informações são concernentes aos três axiomas de Eliminação de Gauss. Assim, usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz:
 
  
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
	Resposta Correta:
	 
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está incorreta, pois, nesse caso, você deveria utilizar os seguintes passos para resolver o problema:
 
Primeiramente, na linha 2, faremos: -2L1+L2 e -3L1+L2
 
Após isso, na linha 3, faremos:  -2L2+L3
 
Depois, podemos trocar as linhas 2 e 3:
 
Por fim, na linha 3, faremos: -3L2+L3
	
	
	
· Pergunta 10
1 em 1 pontos
	
	
	
	Na modelagem de muitos sistemas físicos, encontramos sistemas lineares, tendo a quantidade de incógnitas similarà quantidade de equações. Nessa situação, sempre podemos montar uma matriz e calcular o determinante para verificarmos a solução de sistema lineares. Assim, nessa circunstância, considere que A seja uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tal que det(A).det(B)=1. Assinale a alternativa que apresenta o valor de det(3A).det(2B).
	
	
	
	
		Resposta Selecionada:
	 
72.
	Resposta Correta:
	 
72.
	Feedback da resposta:
	Resposta correta. A alternativa está correta, pois é preciso usar a seguinte propriedade de determinante:
Em que n é a ordem da matriz. No nosso problema: