3. Sea f : X → Y una aplicación. Demostrar que para cualquier par de subconjuntos A1 y A2 de X se verifica: (i) f (A1 ∪A2) = f (A1) ∪ f (A2) . (ii...

Para demonstrar as propriedades (i) e (ii), vamos usar a definição de imagem de um conjunto pela função f. (i) Para demonstrar que f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2), precisamos mostrar que todo elemento em f(A1 ∪ A2) também está em f(A1) ∪ f(A2), e vice-versa. - Seja y um elemento em f(A1 ∪ A2). Isso significa que existe um elemento x em A1 ∪ A2 tal que f(x) = y. Agora, temos dois casos: - Se x está em A1, então f(x) está em f(A1), e portanto, y está em f(A1). - Se x está em A2, então f(x) está em f(A2), e portanto, y está em f(A2). Em ambos os casos, y está em f(A1) ∪ f(A2), o que mostra que f(A1 ∪ A2) está contido em f(A1) ∪ f(A2). - Agora, seja y um elemento em f(A1) ∪ f(A2). Isso significa que y está em f(A1) ou y está em f(A2). Vamos considerar os dois casos: - Se y está em f(A1), então existe um elemento x em A1 tal que f(x) = y. Como x está em A1, x também está em A1 ∪ A2. Portanto, y = f(x) está em f(A1 ∪ A2). - Se y está em f(A2), então existe um elemento x em A2 tal que f(x) = y. Como x está em A2, x também está em A1 ∪ A2. Portanto, y = f(x) está em f(A1 ∪ A2). Em ambos os casos, y está em f(A1 ∪ A2), o que mostra que f(A1) ∪ f(A2) está contido em f(A1 ∪ A2). Com isso, concluímos que f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2). (ii) Para demonstrar que f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2), precisamos mostrar que todo elemento em f(A1 ∩ A2) também está em f(A1) ∩ f(A2). - Seja y um elemento em f(A1 ∩ A2). Isso significa que existe um elemento x em A1 ∩ A2 tal que f(x) = y. Como x está em A1 ∩ A2, x está tanto em A1 quanto em A2. Portanto, y = f(x) está em f(A1) e em f(A2), o que implica que y está em f(A1) ∩ f(A2). Com isso, concluímos que f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2). Para dar um contraexemplo que mostra que em geral f(A1 ∩ A2) ≠ f(A1) ∩ f(A2), podemos considerar a função f: R → R definida por f(x) = x^2 e os conjuntos A1 = {-1, 0} e A2 = {0, 1}. Nesse caso, temos: - f(A1 ∩ A2) = f({0}) = {0^2} = {0}. - f(A1) ∩ f(A2) = {(-1)^2, 0^2} ∩ {0^2, 1^2} = {1, 0} ∩ {0, 1} = {0}. Portanto, f(A1 ∩ A2) = {0} ≠ f(A1) ∩ f(A2) = {0}, o que mostra que a igualdade não é verdadeira nesse caso específico.