10a Aula Métodos numéricos 2020 1

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Métodos Numéricos - 10a aula - Prof Cristiane Mota 
 
Tensão na barra (i): 
 
 i = 
 
 
 . [ -cos . d(i) 
 
Ei é o modulo de elasticidade da barra (i) 
Li é o comprimento da barra (i) 
 é o angulo entre a barra (i) e o eixo X 
d(i) é um vetor coluna 4 x 1 com os deslocamentos dos nós da barra (i) 
 
Exemplo: Na figura abaixo temos que d(1) = 
 
 
 
 
 e d(2) = 
 
 
 
 
 
 
 
Se a tensão for positiva, então a barra está sofrendo tração. 
Se a tensão for negativa, então a barra está sofrendo compressão. 
 
 
 
Exercícios da 9a aula 
 
1) Calcule as tensões das barras representadas na figura abaixo: 
 
 
As extremidades direita e esquerda estão fixas. 
Fi representa a força aplicada no nó i e que F1 = F2 = 1N. 
E = 10
3
 N/m
2
 é o módulo de elasticidade do material de todas as barras. 
Ai representa a área da seção transversal da barra (i) : 
A1 = 15 . 10
-2
 m
2
, 
A2 = 25 . 10
-2
 m
2
, 
A3 = 30 . 10
-2
 m
2
 
A4 = 15 . 10
-2
 m
2
 
A5 = 10. 10
- 2
 m
2 
Li representa o comprimento da barra (i): 
L1 = 1,5m 
L2 = 2,5m 
L3 = 3m 
L4 = 1,5m 
L5 = 1m. 
 
Solução: 
Tensão da barra (1): 
 1 = 
 
 
 . [ -cos . d(1) 
 1 = 
 
 
 . [ -cos . 
 
 
 
 
 
 
Como a barra é alinhada horizontalmente, o angulo entre o eixo X e a barra 
é zero. 
Como não há deslocamento no sentido do eixo Y, então d3y = d2y = 0. 
O valor de d3x e de d2x foram calculados na 6a aula: 
d3x = 0, porque o nó 3 está fixo. 
d2x = 0,005 m ( na 6a aula esse deslocamento foi chamado de d2) 
 1 = 
 
 
 . [ -cos 0 
 
 
 
 
 = 
= 
 
 
 [ -1 0 1 0 ] 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 
 0,005 = 3,333333... 
Como a tensão da barra (1) é positiva, ela está sofrendo tração. 
 
Tensão da barra (2): 
 = 
 
 
 [ -cos . d(2) 
 = 
 
 
 [ -cos . 
 
 
 
 
 
O ângulo entre a barra (2) e o eixo X é zero. 
Como a barra é alinhada horizontalmente, o angulo entre o eixo X e a barra 
(2) é zero. 
Como não há deslocamento no sentido do eixo Y, então d2y = d4y = 0. 
O valor de d3x e de d2x foram calculados na 6a aula: 
d4x = 0, porque o nó 4 está fixo. 
d2x = 0,005 m ( na 6a aula esse deslocamento foi chamado de d2) 
 2 = 
 
 
 . [ -cos 0 
 
 
 
 
 = 
= 
 
 
 [ -1 0 1 0 ] . 
 
 
 
 
 = 
= 
 
 
 . (-0,005) = -2 
Como a tensão da barra (2) é negativa, ela está sofrendo compressão. 
 
 
Tensão da barra (3): 
 3 = 
 
 
 . [ -cos . d(3) 
 
= 
 
 
 . [ -cos . 
 
 
 
 
 
O ângulo entre a barra (3) e o eixo X é zero. 
Como não há deslocamento no sentido do eixo Y, então d3y = d1y = 0. 
O valor de d3x e de d1x foram calculados na 6a aula: 
d3x = 0, porque o nó 3 está fixo. 
d1x = 0,005 m ( na 6a aula esse deslocamento foi chamado de d1) 
 
= 
 
 
 . [ -cos 0 
 
 
 
 
 = 
= 
 
 
 [ -1 0 1 0 ] . 
 
 
 
 
 = 
= 
 
 
 0,005 = 1,66666... 
Como a tensão da barra (3) é positiva, ela está sofrendo tração. 
 
Tensão da barra (4): 
 = 
 
 
 [ -cos . d(4)= 
= 
 
 
 [ -cos . 
 
 
 
 
 = 
= 
 
 
 . [ -cos 0 
 
 
 
 
 = 
 
= 
 
 
 [ -1 0 1 0 ] 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 (-0,005 -0,005) = 0 
A barra (4) não está sofrendo nem tração e nem compressão. 
 
Tensão da barra (5): 
 = 
 
 
 [ -cos . d(5) 
= 
 
 
 [ -cos . 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 . [ -cos 0 
 
 
 
 
 = 
= . [ -1 0 1 0 ] 
 
 
 
 
 
 
= . (-0,005) = - 5 
 
Como a tensão da barra (5) é negativa, ela está sofrendo compressão. 
 
2) Na estrutura representada abaixo, só há força aplicada no nó 3. 
Os nós 1 e 2 estão fixos. 
P = 500 Kgf e E = 21000 Kgf /mm
2 
para o material de todas as barras. 
A barra (5) tem comprimento L = 1000 mm e a área da seção 
transversal é A = 300 mm
2
. 
As barras (1) e (3) são paralelas ao eixo X e cada uma tem área da 
seção transversal igual a 0,6 A. 
As barras (2) e (4) são perpendiculares ao eixo X e cada uma tem área 
da seção transversal igual a 0,8 A. 
 
 
Use valores com pelo menos 5 casas decimais e arredondamento para 
responder os itens a seguir: 
a) Encontre a matriz de rigidez de cada elemento finito 
b) Encontre a matriz de rigidez da estrutura. 
c) Monte o sistema [F] = [K].[d] que relaciona as forças com os 
deslocamentos da estrutura. 
d) Escreva as equações obtidas da partição do sistema. 
e) Calcule os deslocamentos nodais. 
f) Escreva o vetor de deslocamentos. 
g) Calcule as forças de reação. 
h) Escreva o vetor de forças. 
i) Calcule a tensão em cada barra e diga se a barra está sofrendo tração 
ou compressão. 
 
Algumas respostas: 
a) 
 
[1] [2] 
 
1 0 -1 0 
MATRIZ K1 6300 0 0 0 0 
 
-1 0 1 0 
 
0 0 0 0 
 
 
 
 
 
[2] [3] 
 
0 0 0 0 
MATRIZ K2 6300 0 1 0 -1 
 
0 0 0 0 
 
0 -1 0 1 
 
 
 
 
 
[4] [3] 
 
1 0 -1 0 
MATRIZ K3 6300 0 0 0 0 
 
-1 0 1 0 
 
0 0 0 0 
 
 
 
 
 
[1] [4] 
 
0 0 0 0 
MATRIZ K4 6300 0 1 0 -1 
 
0 0 0 0 
 
0 -1 0 1 
 
 
 
 
 
[2] [4] 
 
0,36 -0,48 -0,36 0,48 
MATRIZ K5 6300 -0,48 0,64 0,48 -0,64 
 
-0,36 0,48 0,36 -0,48 
 
0,48 -0,64 -0,48 0,64 
 
cos 5 = -0,6 e sen 5 = 0,8 
O cosseno de 5 é negativo porque o angulo 5 é um angulo obstuso, 
ele está no 2o quadrante. 
f) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) Tensão da barra (1): 
 1 = 
 
 
 . [ -cos . d(1) 
 = 
 
 
 . [ -cos . 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 . [ -1 0 1 0 ]. 
 
 
 
 
 = 0 
A barra (1) não está sofrendo nem tração e nem compressão. 
 
 
Tensão da barra (2): 
 = 
 
 
 [ -cos . d(2) 
 
O ângulo entre a barra (2) e o eixo X é 90. 
 = 
 
 
 [ -cos . 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 [ 0 -1 0 1] . 
 
 
 
 
 = 
= 
 
 
 . = 0,208333332375 
Como a tensão da barra (2) é positiva, ela está sofrendo tração. 
 
 
Tensão da barra (3): 
O cálculo da tensão da barra (3) é parecido com a o calculo da tensão 
da barra (1): 
 
Tensão da barra (4): 
O cálculo da tensão da barra (4) é parecido com a o calculo da tensão 
da barra (2): 
 
Tensão da barra (5): 
 = 
 
 
 [ -cos . d(5) 
 
O angulo 5 é desconhecido, mas sabemos que 
cos 5 = -0,6 e e sen 5 = 0,8. 
 
O angulo 5 é negativo porque ele é um angulo do 2o quadrante. 
 
 = 
 
 
 [ -cos . 
 
 
 
 
 = 
 
= 
 
 
 . [-0,6 -0,8 0,6 0,8] 
 
 
 
 
 = 
= 21 (0,4338624336 + 0,1693121696) = 21 . 0,6031746032 = 12,6666666672 
Como a tensão da barra (5) é positiva, ela está sofrendo tração. 
 
Exercício 
 
Fazer a questãoabaixo manuscrito, escanear e postar no Microsoft 
Teams, na pasta Tarefas. 
Observe o sistema de barras representadas na figura abaixo: 
 
 
As extremidades direita e esquerda estão fixas. 
Fi representa a força aplicada no nó i e que F1 = F2 = 1N. 
E = 10
3
 N/m
2
 é o módulo de elasticidade do material de todas as barras. 
Ai representa a área da seção transversal da barra (i) : 
A1 = 15 . 10
-2
 m
2
, 
A2 = 25 . 10
-2
 m
2
, 
A3 = 30 . 10
-2
 m
2
 
A4 = 15 . 10
-2
 m
2
 
A5 = 10. 10
- 2
 m
2 
Li representa o comprimento da barra (i): 
L1 = 1,5m 
L2 = 2,5m 
L3 = 3m 
L4 = 1,5m 
L5 = 1m. 
 
Use valores com pelo menos 5 casas decimais e arredondamento para 
responder os itens a seguir: 
a) Encontre a matriz de rigidez de cada elemento finito 
b) Encontre a matriz de rigidez da estrutura. 
c) Monte o sistema [F] = [K].[d] que relaciona as forças com os 
deslocamentos da estrutura. 
d) Escreva as equações obtidas da partição do sistema. 
e) Calcule os deslocamentos nodais. 
f) Escreva o vetor de deslocamentos. 
g) Calcule as forças de reação. 
h) Escreva o vetor de forças. 
i) Calcule a tensão em cada barra e diga se a barra está sofrendo tração 
ou compressão.