Interpretações da derivada_ tangente, taxa de variação Taxas relacionadas

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03/11/2020 bc0402 Interpretações da derivada: tangente, taxa de variação. Taxas relacionadas. | Notas de aula
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bc0402 Interpretações da derivada:
tangente, taxa de variação.
Taxas relacionadas.
Publicado em 21/03/2011
1 A reta tangente
Lembremos que a equação da reta no plano com inclinação (ou coeficiente angular) e que
contém o ponto é
Seja uma função e um ponto no gráfico de , então se é
um outro ponto no gráfico de a reta secante tem inclinação
e fazendo aproximar-se de , a reta aproxima-se da posição da reta tangente ao gráfico
de no ponto , isso é
é a inclinação da reta tangente, caso o limite exista, e nesse caso definimos a reta tangente ao
gráfico de no ponto como o reta que tem equação
Notas de aula
Jair Donadelli
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Um caso especial quando o limite não existe é o de limite infinito, como no caso da derivada da
função no , por exemplo. O limite que define a derivada em é o que pode
ser interpretado como reta tangente paralela ao eixo ; nos outros pontos a derivada é 
 e, por exemplo, a reta tangente ao gráfico no ponto tem equação 
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Já a função do exemplo 19 não é diferenciável no 0 pois, como vimos, o limite não existe e,
portanto, a reta tangente não existe; isso porque a inclinação da secante que passa por e 
 varia em quando tende a . A função do exemplo 20 é derivável no 0 e a
derivada é , isso significa que a reta tangente passa por e tem inclinação , ou seja, é o
eixo .
Exercício 63 Determine pontos de intersecção
1. do gráfico de com a reta tangente ao gráfico em ;
2. do gráfico de com a reta tangente ao gráfico em .
Note-se que a derivada foi usar para definir a reta tangente. Você pode entender mais sobre o
problema de definir a noção de reta tangente ao gráfico de um função num determinado ponto
lendo esta página.
Por fim, a reta normal ao gráfico de no ponto é a reta que passa por esse ponto e
tem inclinação tal que , em que é a inclinação da tangente (a normal é
perpendicular à tangente), portanto, quando tem como equação
Exercício 64 No cardioide, definido acima, qual é a equação da reta normal que passa pelo
ponto ? Qual a equação da normal ao gráfico de no ponto ?
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2 Taxas de variação
Velocidade Um corpo em queda livre percorreu, no instante , a distância
em que denota a aceleração da gravidade. No intervalo de tempo a velocidade média do
corpo é
mas qual é a velocidade num dado instante ? Se então 
 e a velocidade instantânea do corpo, no instante , é o limite
(nessa notação denota uma entidade única, faz o mesmo papel do na definição de
derivada).
Na discussão acima, se o tempo variar de a então a posição varia de a e
é a taxa de variação média da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade média e
é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo, ou seja, a velocidade
instantânea, no instante . Ainda,
é a taxa de variação instantânea da velocidade com relação ao tempo, isto é, é a aceleração
instantânea, que no caso de queda livre é a constante , aproximadamente.
Custo marginal Se produzir unidades de um produto tem custo então se a produção
de unidades acarreta custo ,Privacidade e cookies: Esse site utiliza cookies. Ao continuar a usar este site, você concorda com seu uso. 
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é a taxa média de aumento no custo por aumento na unidade de produção e
é chamado de custo marginal. Se o preço da venda é então a receita da produção é 
 é
é a receita marginal. Finalmente o lucro é dado por o que, adiante, nos permitirá
determinar a produção de modo a maximizar o lucro estudado a função .
Notação de Leibiniz Se a variação em é e a variação correspondente em 
 for então
é a taxa média de variação de com relação a , e quando ( ) o limite é 
 que é a taxa de variação instantânea de com relação a . Essa interpretação sugere a
notação de Leibiniz para derivada da variável dependente com relação à variável independente 
dado temos as seguintes notações para derivada
ademais, o valor da derivada num ponto tem as notações
e para as derivadas de ordens superiores a notação é
Convém ressaltar que o símbolo não denota uma divisão, razão ou quociente, embora em
muitos casos se comporte como tal. Por exemplo,
1. regra da cadeia se e então 
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http://pt.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz
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2. derivada da inversa se e então 
mas isso deve ser usado com cuidado, por exemplo: se ( ) e 
então
portanto
Mas, lembremos que que, nesse caso, resulta em
que é a derivada de .
Exercício 65 A Lei de Newton para gravitação diz que um corpo de massa a distância de
outro de massa exercem mutuamente uma força de intensidade
Qual o significado de , supondo que os corpos estão em movimento.
Exercício 66 A frequência de vibração de uma corda de violino é
em que denota o comprimento da corda, a tensão da corda, e sua densidade linear.
Encontre a taxa de variação da frequência em relação
1. ao comprimento (os outros parâmetros são constantes);
2. à tensão (os outros parâmetrossão constantes);
3. à densidade linear (os outros parâmetros são constantes).
3 Taxas relacionadas
Problemas de taxas relacionadas são problemas em que duas ou mais grandezas variáveis estão
relacionadas e leva-se em conta taxas de variação dessas grandezas.
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Exemplo 23 Ar é bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a uma taxa de
. Quão rápido o raio está crescendo quando o diâmetro for ?
A relação entre raio e volume da esfera é . É dado do problema que
e a pergunta é o valor de quando cm. Derivando a equação com relação à
variável temos
e se e então
logo quando o diâmetro for o raio cresce a .
Exemplo 24 Uma escada de de comprimento está recostada em uma parede. A base da
escada escorrega, afastando-se da parede a uma taxa de . Com que velocidade cai o topo
da escada, no momento em que a base da escada está a da parede?
Pelo teorema de Pitágoras, e derivando com relação a ficamos com 
 portanto,
e quando (dado do problema) temos (Pitágoras) logo 
metros por segundo.
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Exemplo 25 Um tanque tem a forma de um cone circular invertido, com altura e raio da
base igual a . Encontrando-se inicialmente vazio, o tanque começa a encher-se de água a uma
vazão constante de . Encontre a velocidade com que a a sobe o nível da água no
instante em que a altura do nível da água for .
As grandezas volume ( ) e altura ( ) estão relacionadas por e podemos usar a
semelhança dos triângulos na figura ao lado, a direita, , portanto, e de volta a
relação entre grandezas
Derivando com relação a cada lado da equação temos
portanto
metros por minuto.
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4 RESPOSTAS EM “BC0402 INTERPRETAÇÕES DA DERIVADA: TANGENTE, TAXA DE VARIAÇÃO. TAXAS RELACIONADAS.”
Esse post foi publicado em FUV e marcado notação de Leibiniz, tangente a curva, taxa de
variação instantânea, taxa e variação média, taxas relacionadas, velocidade por
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tangente-taxa-de-variacao-taxas-relacionadas/] .
RELACIONADO
bc0402 Máximos e
mínimos, problemas de
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L'Hôpital
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bijeções e cardinalidade
bc0402 Teorema do Valor
Médio (TVM), crescimento
e concavidade
Em "FUV"
Em "Discreta" Em "FUV"
Magno
em 15/06/2011 às 8:42 PM disse:
Gostaria de receber em meu e-mail esse material
Magno
em 15/06/2011 às 8:43 PM disse:
Achei bastante interessante essas aplicações contextualizadas de derivada.
jdonadelli
em 16/06/2011 às 9:34 AM disse:
entre em 
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e escoha 
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Thaís
em 04/04/2016 às 4:47 PM disse:
Gostei muito do material e treinei as questões. É possível ver as respostas dos exercicios
em algum local?
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