08 - Variáveis Aleatórias

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Capítulo 2
Variáveis Aleatórias
2.1 Conceito
Informalmente, uma variável aleatória é um característico numérico do resultado de
um experimento. Por exemplo:
Exemplo 34 Seja o lançamento de duas moedas e a observação do número de caras
obtido. Então 
 = f(Ca;Ca); (Ca;Co); (Co;Ca); (Co;Co)g. Se de�nirmos X =
número de caras observadas, e !1 = (Ca;Ca), !2 = (Ca;Co), !3 = (Co;Ca),
!4 = (Co;Co), temos
X(!1) = 2;
X(!2) = X(!3) = 1;
X(!4) = 0.
Exemplo 35 Escolher ao acaso um ponto em [0; 1]. Seja X o quadrado do ponto
obtido. Então 
 = [0; 1] e
X(!) = !2.
Exemplo 36 Escolher ao acaso um ponto no círculo unitário. Seja X a distância
entre o ponto escolhido e a origem. Então 
 = f(x; y) : x2 + y2 � 1g e, com
! = (x; y), temos
X(!) =
p
x2 + y2.
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Exemplo 37 Joga-se um dado e observa-se a face superior. Então 
 = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
e
X(!) = !.
Entretanto, nem toda função de 
 em R traduz uma variável aleatória.
De�nição 9 Uma variável aleatória X em um espaço de probabilidade (
;A; P ) é
uma função real de�nida no espaço 
 tal que o conjunto [! 2 
 : X(!) � x] (daqui
para frente escrito de forma simpli�cada [X � x]) é evento aleatório para todo x 2 R;
isto é,
X : 
! R
é uma variável aleatória se [X � x] 2 A para todo x 2 R.
Exemplo 38 Sejam 
 = f1; 2; 3; 4g e A = f;; f1; 2g; f3; 4g;
g e considere os con-
juntos A = f1; 2g e B = f1; 3g. Então 1A é variável aleatória em (
;A), mas 1B
não é.
2.2 Função de Distribuição
De�nição 10 A função de distribuição (acumulada) da variável aleatória X,
representada por FX , ou simplesmente por F quando não houver confusão, é de�nida
por
FX(x) = P (X � x), x 2 R. (2.1)
Exemplo 39 Duas moedas honestas são lançadas. Seja a variável X que conta o
número de caras observadas. Construa a função de distribuição da variável aleatória
X e represente-a gra�camente.
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Exemplo 40 Seja um experimento que consiste em selecionar um ponto no círculo
unitário. Seja X a distância entre o ponto escolhido e a origem. Construa a função
de distribuição da variável aleatória X e represente-a gra�camente.
Proposição 1 Propriedades da Função de Distribuição. Se X é uma variável
aleatória, sua função de distribuição F tem as seguintes propriedades:
F1) Se x1 � x2 então F (x1) � F (x2); isto é, F é não-decrescente.
F2) Se xn # y, então F (xn) # F (y); isto é, F é contínua à direita.
F3) limx!�1 F (x) = 0 e limx!+1 F (x) = 1.
Prova. (Em aula)
Tendo em mente que FX(x) = P (X � x), podemos observar que
1. P (X > a) = 1� P (X � a) = 1� FX(a)
2. P (a < X � b) = P (X � b) � P (X � a) = P (X � b) � P (X � a) =
FX(b)� FX(a)
3. P (X = a) = P (X � a) � P (X < a) = FX(a) � FX(a
�). Ou seja, P (X = a)
é o tamanho do salto da função de distribuição em x = a. Se a função for
contínua no ponto x = a então P (X = a) = 0.
4. P (a < X < b) = P (a < X � b)� P (X = b)
= P (X � b)� P (X � a)� P (X = b) = FX(b)� FX(a)� [FX(b)� FX(b
�)]
= FX(b
�)� FX(a).
5. P (a � X < b) = P (a < X < b) + P (X = a)
= FX(b
�)� FX(a) + [FX(a)� FX(a
�)] = FX(b
�)� FX(a
�).
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6. P (a � X � b) = P (a < X � b) + P (X = a)
= FX(b)� FX(a) + [FX(a)� FX(a
�)] = FX(b)� FX(a
�).
Exemplo 41 Um dado tendencioso é tal que a probabilidade de um ponto é propor-
cional ao próprio ponto. Seja X a variável aleatória que representa a parte inteira
da raiz quadrada do dobro da face obtida. Pede-se:
(a) O espaço de probabilidade (
;A; P ) e o espaço de probabilidade induzido pela
variável aleatória X.
(b) A função de distribuição da variável aleatória X, esboçando o seu grá�co.
Exemplo 42 Um ponto é selecionado aleatoriamente do intervalo (0; 1). Seja X a
variável aleatória de�nida como X(!) = � ln!, com ! o ponto obtido no experi-
mento. Pede-se:
(a) O espaço de probabilidade (
;A; P ) e o espaço de probabilidade induzido pela
variável aleatória X.
(b) A função de distribuição da variável aleatória X, esboçando o seu grá�co.
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