notas de aula USP geometria analítica

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2
Sumário
1 Avisos Gerais sobre a Disciplina 5
2 Introdução 17
3 Vetores no Plano e no Espaço 19
4 Sistemas de Coordenadas em plano e espaço 161
5 A Reta no Plano e no Espaço 173
6 O Plano no Espaço 187
7 Posições Relativas 225
8 Perpendicularismo e Ortogonalidade 257
9 Ângulos 271
10 Distâncias 285
11 Mudança de Coordenadas 313
12 As Cônicas 379
13 Superfícies 423
A Matrizes 503
B Sistemas Lineares 529
3
4 SUMÁRIO
Capítulo 3
Vetores no Plano e no Espaço
3.1 Introdução
Neste capítulo apresentaremos um elemento muito importante da Geometria Analítica,no
espaço (ou no plano), a saber, o vetor.
O conjunto onde faremos nossos estudos será o espaço tridimensional (ou bidimensional),
que será indicado por R3 (ou R2) que usalamente será denominado de espaço (ou plano).
Os pontos do espaço R3 (ou do plano R2), serão indicados pelas letras latinas:
A , B , · · · .
As retas do espaço R3 (ou do plano R2), serão indicadas pelas letras latinas minúsculas:
a , b , · · · ,
e os planos do espaço R3, serão denotados pelas letras gregas minúsculas:
α , β , · · · .
Nossas atenções serão voltadas para o espaço.
Poderemos fazer um estudo análogo para o plano R2. Para tanto basta adaptar em sua
grande maioria as definições e propriedades que iremos desenvolver a seguir.
3.2 Vetor no Espaço
Começaremos introduzindo a seguinte noção:
Definição 3.2.1 Sejam A ,B dois pontos do espaço.
O par ordenado (A ,B) daremos o nome de segmento orientado.
O ponto A será dito origem e o ponto B será dito extremidade do segmento orien-
tado (A ,B).
Geometricamente, podemos representar o segmento orientado (A ,B) da seguinte
forma:
19
20 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
B
(Origem)
A
✸
(Extremidade)
Observação 3.2.1
1. Um segmento orientado da forma (A,A) será dito segmento orientado nulo (ou
simplesmente, segmento nulo).
(A,A)
2. Dois segmentos orientados serão ditos iguais se suas origens coincidem e suas
extremidades também coincidem.
Neste caso escreveremos
(A ,B) = (C ,D) .
B = D
A = C
✸
(A,B) = (C,D) se, e somente se, A = C e B = D
3. Se os pontos A e B são diferentes (isto é, A ̸= B) então
(A ,B) ̸= (B ,A) ,
isto os segmentos orientados (A ,B) e (B ,A) são diferentes.
B
A
(A ,B)
✰
✸
(B ,A)
Notação 3.2.1 Um segmento geométrico, de extremos nos pontos A e B, será indicado
AB .
O comprimento de um segmento geométrico AB será a distância do ponto A ao
ponto B e será indicado por
AB .
Com isto temos as seguintes definições:
Definição 3.2.2 Definimos o comprimento do segmento orientado (A ,B), como sendo
o comprimento do segmento de reta que une os pontos A e B, isto é
AB ,
ou ainda, a distância do ponto A ao ponto B, que será indicada por d(A ,B).
3.2. VETOR NO ESPAÇO 21
Definição 3.2.3 Sejam A ,B ,C ,D pontos do espaço.
1. Diremos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) têm mesmo comprimento
se os segmentos geométricos AB e CD têm o mesmo comprimento, ou seja, se a
distância do ponto A ao ponto B for igual a distância do ponto C ao ponto D, ou
ainda
AB = CD .
B
A
✸
✣
C
D
AB = AD
2. Suponhamos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) não são o segmento
orientado nulo.
Diremos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) determinam a mesma direção,
se a reta que contém o segmento geométricos AB e a reta que contém o segmento
geométrico CD são paralelas, incluindo-se, o caso em que as retas coincidem.
Neste caso, diremos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) são paralelos e
escreveremos
(A ,B) ∥ (C ,D) .
Caso contrário, diremos que os segmentos orientados (A,B) e (C,D) têm direções
diferentes ou não paralelos.
A
B
C
D
r
s
As retas r e s são paralelas
E
F
G
H
E , F ,G ,H estão sobre uma mesma reta t
t
✠ ✒
✒
✠
22 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Na situação da figura acima, temos que os segmentos orientados (A ,B), (C ,D)
têm mesma direção, assim como os segmentos orientados (E , F), (G ,H).
3. Suponhamos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) (diferentes do segmento
nulo) têm a mesma direção (ou seja, são paralelos).
(a) Suponhamos que as retas que contém os segmentos geométricos AB e CD são
distintas (veja a figura abaixo).
Se os segmentos geométricos
AC e BD
não se interceptam, diremos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D)
têm mesmo sentido, ou seja, unindo-se as origens e as extremidades dos
segmentos geométricos em questão, os segmentos geométricos obtidos não se
interceptam.
Caso contrário, isto é, e os segmentos geométricos
AC e BD
se interceptam, ou seja, unindo-se as origens e as extremidades dos segmentos
geométricos em questão, os segmentos geométricos obtidos, se interceptam,
diremos que os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) têm sentidos contrários
ou opostos.
A
B
C
D
As retas que contém os segmentos geométricos AB e CD são paralelas e distintas
Os segmentos AC e BD se interceptam
E
F
G
H
Os segmentos EG e FH não se interceptam
Na situação ilustrada acima, temos que os segmentos orientados (A ,B) e
(C ,D) têm mesma direção e sentidos opostos, enquanto os segmentos orien-
tados (E , F) e (G ,H) têm mesma direção e sentido.
3.2. VETOR NO ESPAÇO 23
(b) Suponhamos que as retas que contém os segmentos geométricos AB e CD
coincidem (veja a figura abaixo).
Consideremos os pontos A ′ e B ′ do espaço, tais que o ponto A ′ não pertença
àa reta que contém os segmentos geométricos em questão (a saber a reta que
contém os segmentos geométricos AB e CD) e o ponto B ′ seja tomado de
modo que o segmento orientado (A ′ , B ′) tenha mesma direção e sentido do
segmento orientado (A ,B) (como no item (a)).
Para obtermos a situação acima, basta tomar uma reta paralela à reta que
contém os pontos A e B, pelo ponto A ′ e sobre esta escolher o ponto B ′ de
modo conveniente (como no item (a)).
Se os segmentos orientados (A ′ , B ′), (C ,D) têm mesmo sentido, diremos que
os segmentos orientados (A ,B), (C ,D) têm mesmo sentido.
Caso contrário (isto é, se os segmentos orientados (A ′ , B ′), (C ,D) têm senti-
dos opostos) diremos que os segmentos orientados (A ,B), (C ,D) têm sentidos
contrários ou opostos.
Os segmentos geométricos AB e CD estão sobre uma mesma reta
A
B
C
A ′
B ′
(A ,B) e (A ′ , B ′) têm mesmo sentido
D
!
A ′ , B ′
"
e (C ,D) têm mesmo sentido
Na situação ilustrada acima, os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) terão
mesma direção e sentido.
Na situação abaixo a situação é diferente.
24 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Os segmentos geométricos AB e CD estão sobre uma mesma reta
A
B
D
A ′
B ′
(A ,B) e (A ′ , B ′) têm mesmo sentido
C
Os segmentos geométricos A ′C e B ′D se interceptam
Observação 3.2.2
1. Notemos que, só faz sentido estudar o sentido de vetores que têm a mesma direção.
2. Suponhamos que os pontos A e B, do espaço, são distintos (isto é, A ̸= B).
Então, os segmentos orientados (A ,B) e (B ,A):
(a) têm o mesmo comprimento (pois os segmentos geométricos AB e BA têm
mesmo comprimento);
(b) têm a mesma direção (pois os segmentos geométricos AB e BA estão sobre
uma mesma reta, a reta que contém os pontos A e B);
(c) e têm sentidos opostos (vide ilustração abaixo).
A
B
A ′
B ′
(A ,B) e (A ′ , B ′) têm mesmo sentido
Os segmentos geométricos A ′B e B ′A se interceptam
3.2. VETOR NO ESPAÇO 25
Definição 3.2.4 Sejam A ,B ,C ,D pontos do espaço.
Diremos que os segmentos orientados são equipolentes, indicando por
(A ,B) ∼ (C ,D)
se, e somente se:
1. ou ambos são o segmento nulo;
2. ou nenhum é o segmento nulo e têm mesmo comprimento, direção e sentido.
A
B
AB = CD, (A ,B) ∥ (C ,D) e têm o mesmo sentido
C
D
Com isto temos a:
Proposição 3.2.1 A relação ∼ tem as seguintes propriedades:
1. (A ,B) ∼ (A ,B) (reflexiva);
2. Se (A ,B) ∼ (C ,D) então (C ,D) ∼ (A ,B) (simétrica);
3. Se (A ,B) ∼ (C ,D) e (C ,D) ∼ (E , F), então (A ,B) ∼ (E , F) (transitiva),
isto é, a relação ∼ é uma relação de equivalência no conjunto formado por todos os
segmentos orientados do espaço.
Demonstração:
De 1.:
Como o segmentoorientado (A ,B) têm mesmo comprimento, direção e sentido do seg-
mento orientado (A ,B), ou seja
(A, , B) ∼ (A ,B) .
De 2.:
Como o segmento orientado (A ,B) é equipolente ao segmento orientado (C ,D), temos o
segmento orientado (A ,B) têm mesmo comprimento, direção e sentido do segmento orientado
26 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
(C ,D), ou seja, o segmento orientado (C ,D) têm mesmo comprimento, direção e sentido do
segmento orientado (A ,B),.
Portanto
(C ,D) ∼ (A ,B) .
De 3.:
Como o segmento orientado (A ,B) é equipolente ao segmento orientado (C ,D), o seg-
mento orientado (A ,B) têm mesmo comprimento, direção e sentido do segmento orientado
(C ,D).
Por outro lado o segmentos orientado (C ,D) é equipolente ao segmento orientado (E , F)
logo, o segmento orientado (C ,D) têm mesmo comprimento, direção e sentido do segmento
orientado (E , F).
Portanto o segmento orientado (A ,B) têm mesmo comprimento, direção e sentido do
segmento orientado (E , F), isto é,
(A ,B) ∼ (E , F) ,
completando a demonstração do resultado.
!
Com isto temos a:
Definição 3.2.5 Fixado um segmento orientado (A ,B) não nulo, definimos a classe de
equipolência associada ao segmento orientado (A ,B), como sendo o conjunto formado
por todos os segmentos orientados que são equipolentes ao segmento orientado (A ,B).
Neste caso diremos que o segmento orientado (A ,B) é um representante da classe
de equipolência associada ao segmento orientado (A ,B).
Observação 3.2.3
1. Todos os segmentos orientados abaixo pertencem a uma mesma classe de equipo-
lência de (A ,B)
✼
✼
✼
✼
✼
✼
✼
✼
A
B
2. Seja (A ,B) um segmento orientado, não nulo.
Dois quaisquer elementos da classe de equipolência de (A ,B) são equipolentes
entre si.
3.2. VETOR NO ESPAÇO 27
De fato, se os segmentos orientados (C ,D) e (E , F) estão na classe de equipolência
de (A ,B), então
(C ,D) ∼ (A ,B) e (E , F) ∼ (A ,B) .
Logo, da Proposição (3.2.1) item 3., segue que
(C ,D) ∼ (E , F) .
3. Se o segmento orientado (C ,D) está na classe classe de equipolência do segmento
orientado (A ,B), então o segmento orientado (A ,B) estará na classe classe de
equipolência do segmento orientado (C ,D).
De fato, se o segmentos orientado (C ,D) está na classe de equipolência de (A ,B),
então
(C ,D) ∼ (A ,B) .
Logo, da Proposição (3.2.1) item 2., segue que
(A ,B) ∼ (C ,D) ,
isto é, o segmento orientado (A ,B) estará na classe classe de equipolência do
segmento orientado (C ,D).
4. Das duas Observações acima segue que qualquer elemento da classe de equipolên-
cia pode ser tomado como um representante da respectiva classe.
Além disso, cada segmento orientado é representante de um única classe (se ele
fosse representante de duas classes essas duas classe teriam que ser iguais).
5. Conclusões:
(a) Todo segmento orientado, não-nulo, pertence a uma única classe de equipo-
lência (a classe definida por ele);
(b) Se duas classes tiverem um segmento orientado em comum, elas deverão ser
iguais, ou seja, duas classes de equipolência ou são iguais ou são disjuntas
(isto é, não têm elementos em comum).
Deste modo, o conjunto formado por todos os segmentos orientados não-nulos
fica dividido, por meio da relação de equipolência ∼, em subconjuntos não-
vazios e disjuntos dois a dois (que são as classe de equipolência, isto é, os
conjuntos formados pelos segmentos orientados equipolentes entre si).
Agora estamos preparados para introduzir o conceito mais importante deste capítulo, a
saber:
Definição 3.2.6 Um vetor do espaço (ou do plano) é uma classe de equipolência de
segmentos orientados, não nulos.
28 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Dado um segmento orientado (A ,B) não nulo, o vetor correspondente a classe de
equipolência do segmento orientado (A ,B) será indicado por
−→
AB ,
ou seja,
−→
AB
.
= {(E , F) ; (E , F) ∼ (A ,B)} . (3.1)
Em geral, denotaremos um vetor por:
a⃗ , b⃗ , · · · ,
isto é, letra latina minúscula, com uma seta em cima.
No caso acima, não estaremos interessados quem é um segmento orientado que
representa o mesmo.
O conjunto formado por todos os vetores do espaço (ou do plano, respectivamente)
será indicado por V3 (V2, respectivamente).
Para o caso de segmentos nulos temos a:
Definição 3.2.7 Definimos o vetor nulo, que será indicado por O⃗, como sendo o con-
junto formado por todos os segmentos orientado nulos, isto é,
O⃗
.
= {(A ,A) ; A pertence ao espaço (ou ao plano)} . (3.2)
Observação 3.2.4
1. Um vetor é um conjunto formado por segmentos orientados.
2. Se o vetor for o vetor nulo ,ele será formado pela coleção dos segmentos orientados
(A ,A), onde A é um ponto do espaço (ou do plano).
3. Se ele não for o vetor nulo, teremos que ele será o conjunto formado por todos os
segmentos orientado que são, dois a dois, equipolentes entre si.
Logo NÃO podemos desenhar um vetor, mas SIM um segmento orientado que o
representa (isto é, um representante da classse equipolência definida pelo vetor).
✼
✼
✼
✼
✼
✼
✼
✼
Vetor
−→
AB
A
B
Vetor O⃗
(A ,A)
3.2. VETOR NO ESPAÇO 29
Assim como fizemos com segmentos orientados podemos comparar vetores, como veremos
a seguir:
Definição 3.2.8 Sejam a⃗ e b⃗ vetores não nulos (ou seja, a⃗ , b⃗ ∈ V3 (ou V2) e a⃗ , b⃗ ̸= O⃗).
Diremos que os vetores a⃗ e b⃗ são paralelos (ou determinam uma mesma direção),
indicando por
a⃗ ∥ b⃗ ,
se um segmento orientado que é representante do vetor a⃗, for paralelo a um segmento
orientado, que é representante do vetor b⃗, isto é, se o segmento orientado (A ,B) é um
representante do vetor a⃗ e o segmento orientado (C ,D) é um representante do vetor
b⃗, então
(A ,B) ∥ (C ,D) .
✣
A
B
a⃗ ∥ b⃗ e a⃗ ∥ c⃗
(A ,B) representante de a⃗ (C ,D) representante de b⃗
✢
C
D
✢
E
F
(E , F) representante de c⃗
Por definição, o vetor nulo O⃗, é paralelo a todo vetor a⃗ e escreveremos
O⃗ ∥ a⃗ .
Observação 3.2.5 A Definição (3.2.8) acima, não depende da escolha dos representan-
tes dos vetores a⃗ e b⃗.
De fato, se tomarmos representantes diferentes dos vetores a⃗ e b⃗, por exemplo, se o
segmento orientado (E , F) é um outro representante do vetor a⃗ e o segmento orientado
(G ,H) é um outro representante do vetor B⃗, deveremos ter
(E , F) ∼ (A ,B) e (G ,H) ∼ (C ,D) ,
pois os segmetos orientados (A ,B) e (E , F) são representantes do vetor a⃗, isto é, da
mesma classe de equipolência.
De modo análogo, os segmento orientados (G ,H) e (C ,D) são representantes do
vetor b⃗.
Como
(E , F) ∥ (A ,B) ,
pois os segmentos orientados (E , F) e (A ,B) pertencem à mesma classe de equipolência,
e
(A ,B) ∥ (C ,D) e (G ,H) ∥ (C ,D) ,
30 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
pois os segmentos orientados (A ,B), (C ,D) e (G ,H), pertencem à mesma classe de
equipolência, segue
(E , F) ∥ (G ,H) ,
mostrando que a Definição acima independe dos representantes que escolhemos para
cada um dos vetores a⃗ e b⃗.
Quando os vetores têm mesma direção, podemos introduzir a seguinte:
Definição 3.2.9 Se os vetores a⃗ e b⃗ forem paralelos e não nulos, diremos que eles têm
mesmo sentido, se um segmento orientado representante do vetor a⃗ tem mesmo sentido
de um segmento orientado representante do vetor b⃗, isto é, se o segmento orientado
(A ,B) é um representante do vetor a⃗ e o segmento orientado (C ,D) é um representante
do vetor b⃗, então os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) têm mesmo sentido.
Veja ilustração abaixo.
✣
A
B
✣
C
D
a⃗ e b⃗ têm mesmo sentido
(A ,B) representante de a⃗ (C ,D) representante de b⃗
De modo análogo, se os vetores a⃗ e b⃗ forem paralelos (e diferentes do vetor nulo),
diremos que eles têm sentidos contrários ou opostos, se um segmento orientado repre-
sentante do vetor a⃗ tem sentido contrário de um segmento orientado representante do
vetor b⃗, isto é, se o segmento orientado (A ,B) é um representante do vetor a⃗ e o seg-
mento orientado (C ,D) é um representante do vetor b⃗, então os segmentos orientados
(A ,B) e (C ,D) têm sentidos contrários.
Veja ilustração abaixo.
✣
A
B
a⃗ e b⃗ têm sentidos opostos
(A ,B) representantede a⃗ (C ,D) representante de b⃗
✢
C
D
3.2. VETOR NO ESPAÇO 31
Observação 3.2.6 A Definição (3.2.9) acima, não depende da escolha dos representan-
tes dos vetores a⃗ e b⃗.
De fato, se tomarmos representantes diferentes dos vetores a⃗ e b⃗, por exemplo, o
segmento orientado (E , F) com representante de a⃗ e o segmento orientado (G ,H) com
representante de b⃗, deveremos ter
(E , F) ∼ (A ,B) e (G ,H) ∼ (C ,D) ,
pois os segmentos orientados (A ,B) e (E , F) são representantes do vetor a⃗, isto é, da
mesma classe de equipolância e, de modo análogo, os segmentos orientado (G ,H) e
(C ,D) são representantes do vetor b⃗.
Como os segmentos orientados
(E , F) e (A ,B)
têm mesmo sentido (pois pertencem a mesma classe de equipolência), se os segmentos
orientados
(A ,B) e (C ,D)
têm mesmo sentido e os segmentos orientados
(G ,H) e (C ,D)
têm mesmo sentido (pois pertencem a mesma classe de equipolência), segue que os
segmentos orientados
(E , F) e (G ,H)
têm mesmo sentido, mostrando que a Definição (3.2.9) acima, independe dos represen-
tantes que escolhemos para cada um dos vetores a⃗ e b⃗.
De modo análogo, pode-se mostrar que o mesmo ocorre no caso dos segmentos ori-
entados
(A ,B) e (C ,D)
terem sentidos opostos.
A verificação deste fato será deixada como exercício para o leitor.
Outro conceito importante é dado pela:
Definição 3.2.10 Dado um vetor a⃗, definimos a norma ou comprimento do vetor a⃗,
indicada por
∥a⃗∥ ,
como sendo o comprimento de um segmento orientado que o representa, isto é, se o
segmento orientado (A ,B) é um representante do vetor a⃗, então
∥a⃗∥ .= AB .
Observação 3.2.7
32 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
1. Notemos que, a Definição (3.2.10), acima não depende da escolha dos represen-
tantes do vetor a⃗.
De fato, se tomarmos um representante diferente dos vetor a⃗, por exemplo, se o
segmento orientado (C ,D) é um outro representante do vetor a⃗, deveremos ter
(C ,D) ∼ (A ,B) ,
pois os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) são representantes do vetor a⃗, isto
é, da mesma classe de equipolância.
Como os segmentos orientados
(C ,D) e (A ,B)
têm mesmo comprimento, pois pertencem a mesma classe de equipolência, temos
que
∥a⃗∥ = CD ,
isto é, o comprimento do vetor a⃗, independe da escolha do segmento orientado
que o representa.
2. Um vetor a⃗ tal que
∥a⃗∥ = 1
será dito vetor unitário (isto é, um vetor de comprimento 1, também chamado
de versor ).
3. Vale observar que, um vetor não nulo, fica inteiramente caraterizado se conhecer-
mos seu comprimento, sua direção e seu sentido, isto é, se fixarmos um compri-
mento, uma direção e sobre esta um sentido, existe um único vetor que satisfaz a
todos esses elementos.
4. Suponhamos que os pontos A e B são distintos.
Neste caso, como vimos anteiormente, os segmentos orientados
(A ,B) e (B ,A)
têm mesmo comprimento, direção e sentidos opostos.
Devido a estes fatos, o vetor
−→
BA será denominado vetor oposto do vetor
−→
AB.
Notemos que, estes dois vetores têm mesmo comprimento, direção e sentidos opos-
tos, e assim utilizaremos a seguinte notação:
−
−→
AB
.
=
−→
BA .
Em geral, dado um vetor a⃗, não nulo, o vetor que tem mesma norma, direção e
sentido oposto do vetor a⃗ será denominado vetor oposto do vetor a⃗ será indicado
por
−a⃗ .
As propriedades que caracterizam o vetor −a⃗ são: tem mesmo comprimento,
mesma direção e sentido oposto do vetor a⃗.
3.2. VETOR NO ESPAÇO 33
Um resultado que será muito importante ao longo deste capítulo é dado pela:
Proposição 3.2.2 Dado um vetor a⃗ e um ponto A, podemos encontrar um único ponto
B, de modo que
−→
AB= a⃗ ,
isto é, existe um único ponto B, de modo que o segmento orientado (A ,B) seja um
representante do vetor a⃗.
Demonstração:
Notemos que, se o vetor a⃗ for o vetor nulo, basta considerarmos
B
.
= A ,
e assim teremos
a⃗ = O⃗ =
−→
AA=
−→
AB ,
e o ponto
B = A
será o único com a propriedade acima.
Suponhamos agora, que a⃗ ̸= O⃗.
Construção do ponto B:
Consideremos (C ,D), um segmento orientado, que representa o vetor a⃗, isto é,
−→
CD= a⃗ .
✼
C
D
A
Encontremos um ponto B, sobre a reta paralela a reta
←→
CD, que passa pelo ponto A, de
tal modo que
(A ,B) ∼ (C ,D) .
34 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
A
B
C
D
Deste modo temos que o segmento orientado (A ,B) será um representante do vetor a⃗,
isto é,
−→
AB= a⃗ ,
pois, por construção, os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) terão mesma direção, sentido
e comprimento.
Unicidade do ponto B:
Suponhamos que os segmentos orientados
(A ,B) e (A ,B ′)
são representantes do vetor a⃗.
Então, deveremos ter
(A ,B) ∼ (A ,B ′) ,
isto é, os segmento orientados (A ,B) e (A ,B ′) têm mesmo comprimento, direção e sentido,
o que implicará que
B ′ = B ,
completando a demonstração do resultado.
✼
A
B ′ = B
3.3. ADIÇÃO DE VETORES 35
!
Observação 3.2.8 Observemos que se os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) são equi-
polentes (isto é, têm mesmo comprimento, direção e sentido) então os vetores
−→
AB e
−→
CD
são iguais, isto é,
(A ,B) ∼ (C ,D) , implicará que
−→
AB=
−→
CD .
Reciprocamente, se
−→
AB=
−→
CD
então, da Definição (3.2.6) de vetor, os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) serão
equipolentes .
Conclusão:
(A ,B) ∼ (C ,D) , se, e somente se,
−→
AB=
−→
CD . (3.3)
A seguir introduziremos várias operações com vetores que serão importantes no estudo da
Geometria Analítica.
3.a aula - 6.03.2014
3.3 Adição de Vetores
Observação 3.3.1 A seguir vamos introduzir uma operação de adição em V3 (ou V2,
respectivamente) , o conjunto formado pelos vetores do espaço (o conjunto formado
pelos vetores de V2, respectivamente), isto é, vamos associar a cada para de vetores de
V3 (ou V2), (
a⃗ , b⃗
)
,
um terceiro vetor de V3 (ou V2), que indicaremos por
a⃗+ b⃗ .
Para isto basta conhecermos um representante deste terceiro vetor.
Procedemos do seguinte modo:
Consideremos um segmento orientado (A ,B) que é representante do vetor a⃗.
Da Proposição (3.2.2), segue que existe um único ponto C, de modo que (veja a
figura abaixo)
−→
BC= b⃗ .
✼
A
B
(
C
a⃗
b⃗
36 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Deste modo fica determinado o segmento orientado (A ,C) (veja a figura abaixo).
✼
A
B
(
C
a⃗
b⃗
Com isto temos a:
Definição 3.3.1 O vetor
−→
AC, será denominado vetor soma (ou adição) dos vetores a⃗
com o vetor b⃗, isto é,
a⃗+ b⃗
.
=
−→
AC . (3.4)
Observação 3.3.2
1. A Definição (3.3.1) acima, não depende da escolha dos segmentos orientados em
questão.
De fato, se tomarmos um representante diferente do vetor a⃗, por exemplo, o
segmento orientado (A ′ , B ′) for um outro representante do vetor a⃗, deveremos ter
(A ′ , B ′) ∼ (A ,B) ,
pois (A ,B) e (A ′ , B ′) são segmentos orientados representantes do vetor a⃗, isto é,
da mesma classe de equipolência.
Da Proposição (3.2.2), fixado o ponto B ′, existe um único ponto C ′, tal que (veja
a figura abaixo)
−→
B ′C ′= b⃗ .
✼
A
B
(
C
✣
A ′
B ′
( C
′
3.3. ADIÇÃO DE VETORES 37
Deste modo, o segmento orientado (A ′ , C ′) será um outro representante para o
vetor a⃗+ b⃗, ou seja,
−→
A ′C ′= a⃗+ b⃗ .
Precisamos mostrar que:
(A ′ , C ′) ∼ (A ,C) ,
deste modo, o vetor a⃗+ b⃗, independe da escolha dos segmentos orientados envol-
vidos.
Como
(A ′ , B ′) ∼ (A ,B) ,
segue que os segmentos orientados (A ′ , B ′) e (A ,B) têm mesmo comprimento,
direção e sentido.
De modo análogo,
(B ′ , C ′) ∼ (C ,B) ,
isto é, os segmentos orientados (B ′ , C ′) e (B ,C) têm mesmo comprimento, direção
e sentido.
Logo os triângulos
∆ABC e ∆A ′B ′C ′
serão congruentes (caso LAL).
Em particular, os segmento orientados (A ,C) e (A ′ , C ′) têm mesmo comprimento
e direção e, além disso, terão o mesmo sentido, isto é,
(A ′ , C ′) ∼ (A ,C) ,
ou seja, o vetor a⃗ + b⃗, introduzido na Definição (3.3.1) acima, independe das
escolhas feitas.
✼
A
B
(
C
✣
A ′
B ′
( C
′
38 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
2. A Definição (3.3.1) nos diz que, para determinarmos um representante do vetor
a⃗+ b⃗, basta escolhermos umrepresentante do vetor a⃗ e um representante do vetor
b⃗, com origem na extremidade do representante do vetor a⃗ e "fechar"o triângulo,
ou seja (veja a figura abaixo)
a⃗+ b⃗
.
=
−→
AC .
✼
A
B
(
C
✶
a⃗
b⃗
a⃗ + b⃗
3. Podemos obter um representante do vetor a⃗+ b⃗ de outra forma, a saber:
Determinarmos um representante do vetor a⃗, da forma:
−→
AB= a⃗
e representante do vetor b⃗, da forma:
−→
AC= b⃗ ,
ou seja, com a mesma origem do vetor a⃗, isto é, o ponto A (veja a figura abaixo).
✼
A
B
③
C
a⃗
b⃗
Com os pontos A, B e C, podemos construir um paralelogramo que tenha como
três dos seus vértices, esses pontos.
Seja o ponto D o quarto vértice desse paralelogramo.
Então, um representante do vetor a⃗+ b⃗ será o segmento orientado (A ,D) (veja a
figura abaixo), isto é,
a⃗+ b⃗
.
=
−→
AD .
3.3. ADIÇÃO DE VETORES 39
✼
A
B
③
C
a⃗
b⃗
D
a⃗ + b⃗
Para mostrarmos isto, basta verificar que, como ABCD é um paralelogramo, segue
que os as retas
←→
BD e
←→
AC
são paralelas.
Logo
BD = AC
e, além disso, os segmentos orientados
(A ,C) e (B ,D)
têm mesmo sentido, pois os segmentos geométricos AB e CD não se interceptam,
ou seja,
(A ,C) ∼ (B ,D) .
Logo o segmento orientado (A ,D) será um representante para o vetor a⃗+ b⃗, como
queríamos demonstrar.
Temos as seguintes propriedades para a adição de vetores:
Proposição 3.3.1 Sejam a⃗ , b⃗ , c⃗ ∈ V3 (ou V2). Então:
1. a soma de vetores, introduzida na Definição (3.3.1), é associativa, isto é,
a⃗+
(
b⃗+ c⃗
)
=
(
a⃗+ b⃗
)
+ c⃗ .
2. a soma de vetores, introduzida na Definição (3.3.1), é comutativa, isto é,
a⃗+ b⃗ = b⃗+ a⃗ .
3. existe um elemento neutro para a adição de vetores, introduzida na Definição
(3.3.1), isto é, o vetor O⃗, tem a seguinte propriedade:
O⃗+ a⃗ = a⃗ ,
para cada a⃗ ∈ V3 (ou V2).
40 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
4. existe um elemento oposto para a adição de vetores, isto é, dado um vetor a⃗ existe
um vetor, que indicaremos por −a⃗, de tal modo que
a⃗+ (−a⃗) = O⃗ .
Demonstração:
De 1.:
Da Proposição (3.2.2), temos que existem pontos B ,C do espaço (ou do plano), tais que
os segmentos orientados
(A ,B) , (B ,C) e (C ,D)
são representantes dos vetores a⃗, b⃗ e c⃗, respectivamente (veja a figura abaixo).
✼
✲
❘a⃗
b⃗
c⃗
A
B C
D
Logo, da Definição (3.3.1), o segmento orientado (A ,C) será um representante do vetor
a⃗ + b⃗ e assim, novamente da Definição (3.3.1), teremos que o segmento orientado (A ,D) é
um representante do vetor
(
a⃗+ b⃗
)
+ c⃗.
Por outro lado, da Definição (3.3.1), o segmento orientado (B ,D) será um representante
do vetor b⃗+ c⃗ e assim, novamente da Definição (3.3.1), o segmento orientado (A ,D) será um
representante do vetor a⃗+
(
b⃗+ c⃗
)
.
Logo, da Proposição (3.2.2), temos que
(A ,D) ∼ (A ,D) ,
ou seja, (
a⃗+ b⃗
)
+ c⃗ = a⃗+
(
b⃗+ c⃗
)
,
como queríamos mostrar.
De 2.:
Consideremos os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) segmentos orientados represen-
tantes dos vetores a⃗ e, da Proposição (3.2.2), o segmento orientado (B ,C) representante do
vetor b⃗ (veja a figura abaixo).
✼
✲
a⃗
✲
b⃗
a⃗
A
B
C
D
a⃗ + b⃗
b⃗ + a⃗
3.3. ADIÇÃO DE VETORES 41
Então, da Definição (3.3.1), segue que os segmentos orientados (A ,C) e (B ,D) são repre-
sentantes dos vetores
a⃗+ b⃗ e b⃗+ a⃗ ,
respectivamente.
Como ABCD é um paralelogramo (pois (A ,C) ∼ (B ,D)), temos que os triângulos
∆ABC e ∆DCB
são congruentes (caso LAL).
Em particular, deveremos ter (A ,C) ∼ (B ,D), ou seja
a⃗+ b⃗ = b⃗+ a⃗ ,
como queríamos mostrar.
De 3.:
Suponhamos que o segmento orientado (A ,B) é um representante do vetor a⃗ e (B ,B) é
um representante do vetor nulo O⃗, isto é,
−→
AB= a⃗ e
−→
BB= O⃗ . (3.5)
Logo, da Definição (3.3.1), segue que
a⃗+ O⃗
(3.5)
=
−→
AB +
−→
BB
Definição (3.3.1)
=
−→
AB= a⃗ ,
como queríamos mostrar.
De 4.:
Suponhamos que o segmento orientado (A ,B) seja um representante do vetor a⃗, ou seja,
−→
AB= a⃗ . (3.6)
Definamos o vetor −a⃗ como sendo a classe de equipolância associada ao segmento orien-
tado (B,A), isto é,
−→
BA= −a⃗ . (3.7)
Deste modo temos, da Definição (3.3.1), segue que
a⃗+ (−a⃗)
(3.6) e (3.7)
=
−→
AB +
−→
BA
Definição (3.3.1)
=
−→
AA= O⃗ ,
isto é, existe um vetor oposto do vetor a⃗, como queríamos mostrar.
!
Observação 3.3.3 Podemos dar uma interpretação geométrica para as propriedades
acima, do seguinte modo:
42 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
1. Associativa:
✼
✲
❘✿
a⃗
b⃗
c⃗
a⃗ + b⃗
a⃗ +
#
b⃗ + c⃗
$
=
#
a⃗ + b⃗
$
+ c⃗
b⃗ + c⃗
2. Comutativa:
✼
✲
a⃗
b⃗
a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗
✲
b⃗
a⃗
3. Elemento neutro:
✼
a⃗
O⃗
O⃗ + a⃗ = a⃗
4. Elemento oposto:
✼
✴
a⃗
−a⃗
O⃗
a⃗ + (−a⃗) = O⃗
Podemos agora introduzir a:
3.4. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 43
Definição 3.3.2 Dados os vetores a⃗ e b⃗ de V3 (ou V2), definimos a diferença do vetor
a⃗ pelo vetor b⃗, indicada por a⃗− b⃗, como sendo:
a⃗− b⃗
.
= a⃗+
(
−b⃗
)
.
Observação 3.3.4
1. Geometricamente, a diferença do vetor a⃗ pelo vetor b⃗, pode ser interpretada como:
✼
a⃗
✲
b⃗
a⃗ − b⃗
2. Se os segmentos orientados (A ,B) e (C ,D) são representantes do vetor a⃗ e os
segmentos orientados (A ,C) e (B ,D) são representantes do vetor b⃗ (como na
figura abaixo), então um segmento orientado que representa o vetor a⃗ + b⃗ é o
segmento orientado (A ,D) e um segmento orientado que representa o vetor a⃗− b⃗
é o segmento orientado (C ,B), ou seja, as diagonais do palalelogramo ABCD,
orientadas corretamente.
✼
a⃗
✲
b⃗A
B
C
✲
a⃗ + b⃗
a⃗ − b⃗
D
3.
3.4 Multiplicação de um Número Real por um Vetor
A seguir introduziremos uma outra operação com vetores a saber:
Definição 3.4.1 Seja a⃗ ∈ V3 (ou V2) e α ∈ R.
Definimos a multiplicação do número real α pelo vetor a⃗, como sendo o vetor de-
notado por α · a⃗ e dado da seguinte forma:
44 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
1. Se
α = 0 ou a⃗ = O⃗ ,
definimos
α · a⃗ .= O⃗ .
2. Se
α ̸= 0 e a⃗ ̸= O⃗ ,
definimos α · a⃗ como sendo o vetor que tem as seguintes características:
(a) o vetor α · a⃗ é paralelo ao vetor a⃗, isto é,
α · a⃗ ∥ a⃗ ;
(b) os vetores α · a⃗ e a⃗ têm mesmo sentido se α > 0 e sentidos opostos de α < 0;
(c) o comprimento do vetor α · a⃗ é igual o comprimento do vetor a⃗, multiplicado
por |α|, isto é,
∥α · a⃗∥ = ∥a⃗∥ .
Observação 3.4.1
1. Se α ̸= 0 e a⃗ ̸= O⃗, resumidamente, temos que o vetor α · a⃗ satisfaz:
(a) α · a⃗ ∥ a⃗;
(b) α · a⃗ e a⃗, têm mesmo sentido se α > 0 e sentidos opostos de α < 0;
(c) ∥α · a⃗∥ = |α|∥a⃗∥.
2. Lembremos que um vetor não-nulo fica completamente determinado, se connhe-
cermos sua direção, sentido e comprimento.
Assim, existe um único vetor, que tem as três propriedades acima.
3. Se α ̸= 0 e a⃗ ̸= O⃗, geometricamente, teremos a seguinte situação:
✸
✸
a⃗
α · a⃗
α > 1
✸
✸
a⃗
α · a⃗
0 < α < 1
❃
❂
a⃗
α · a⃗
α < −1 ❃
❂
a⃗
α · a⃗
−1 < α < 0
3.4. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 45
Temos as seguinte propriedades básicas relacionadas com o produto de um número real
por um vetor:
Proposição 3.4.1 Sejam a⃗ , b⃗ ∈ V3 (ou V2) e α ,β ∈ R. Então valem:
1. (Distributiva do produto de número real pela adição de vetores)
α ·
(
a⃗+ b⃗
)
= α · a⃗+ α · b⃗ . (3.8)
2. (Distributiva da adição de números reais pela multiplicação por vetor)
(α+ β) · a⃗ = α · a⃗+ β · a⃗ . (3.9)
3. (Unidade da multiplicação de números real por vetor)
1 · a⃗ = a⃗ . (3.10)
4. (Associativa da multiplicação de números reais e da multiplicação por vetor)
(αβ) · a⃗ = α · (β · a⃗) . (3.11)
Demonstração:
De 1.:
Se α = 0, teremos:
0 ·
(
a⃗+ b⃗
)
Definição (3.4.1)
= O⃗ e 0 · a⃗+ 0 · b⃗ Definição (3.4.1)= O⃗+ O⃗ = O⃗
e assim a identidade (3.8) ocorrerá.
Se α ̸= 0 e a⃗ = O⃗, teremos
α · (O⃗+ b⃗︸ ︷︷ ︸
=b⃗
) = α · b⃗ e α · O⃗+ α · b⃗ Definição (3.4.1)= O⃗+ α · b⃗ = α · b⃗
e assim a identidade (3.8) também ocorrerá.
O caso α ̸= 0 e b⃗ = O⃗ é análogo a situação acima e sua elaboaração será deixada como
exercício para leitor.
Se α ̸= 0 e a⃗, b⃗ ̸= O⃗, fixado o ponto A, pela Proposição (3.2.2), segue que existem pontos
B,C,D, E, taisque os segmentos orientados (A ,B), (B ,C), (A ,D), (D ,E) representantes dos
vetores a⃗, b⃗, α · a⃗ e α · b⃗, respectivamente (veja ilustração abaixo).
✒
✒
❯
a⃗
b⃗
✲
a⃗ + b⃗
α > 0
A
B
C
D
α · a⃗
E
α · b⃗
❫
✛
❂
✲a⃗
b⃗
a⃗ + b⃗
α · a⃗
α · b⃗
A
B
C
D
E
α < 0
46 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Logo, da Definição (3.3.1), teremos que o segmento orientado (A ,E) será um representante
do vetor α · a⃗+ α · b⃗.
✒
✒
❯ ❫
a⃗
b⃗
✲ ✲
a⃗ + b⃗
α > 0
A
B
C
D
E
α · b⃗
α · a⃗ + α · b⃗
α · a⃗
✛
❂
❃
✲a⃗
b⃗
a⃗ + b⃗
α · a⃗ + α · b⃗
α · a⃗
α · b⃗
A
B
C
D
E
α < 0
Mostremos que o segmento orientado (A ,E) é um representante do vetor α ·
(
a⃗+ b⃗
)
.
Para isto consideremos o segmento orientado (A ,E ′) é um representante do vetor α ·(
a⃗+ b⃗
)
.
Observemos que:
(i) (A ,C) ∥ (A ,E), pois os triângulos ∆ABC e ∆ADE são semelhantes (os pontos A, B e
D estão sobre uma mesma reta e as retas
←→
BC e
←→
DE são paralelas).
Logo, os vetores
(
α · a⃗+ α · b⃗
)
e α ·
(
a⃗+ b⃗
)
são paralelos;
(ii) Por construção, o segmento orientado (A ,E) tem o mesmo sentido do segmento orien-
tado (A ,E ′).
Logo, os vetores
(
α · a⃗+ α · b⃗
)
e α ·
(
a⃗+ b⃗
)
têm mesmo sentido;
(iii) Como os triângulos ∆ABC e ∆ADE são semelhantes, segue que lados correspondentes
guardam uma mesma proporção.
Em particular, temos que:
AC
AE
=
BC
DE
=
∥∥∥b⃗
∥∥∥
∥∥∥α · b⃗
∥∥∥
=
∥∥∥b⃗
∥∥∥
|α|
∥∥∥b⃗
∥∥∥
=
1
|α|
,
isto é, ∥∥∥α · a⃗+ α · b⃗
∥∥∥ = AE = |α|AC = |α|
∥∥∥a⃗+ b⃗
∥∥∥ =
∥∥∥α · (a⃗+ b⃗)
∥∥∥ ,
ou ainda ∥∥∥α · a⃗+ α · b⃗
∥∥∥ =
∥∥∥α ·
(
a⃗+ b⃗
)∥∥∥ .
Logo de (i), (ii) e (iii) segue que os vetores
(
α · a⃗+ α · b⃗
)
e α ·
(
a⃗+ b⃗
)
têm mesma direção, sentido e comprimento, logo são iguais, ou seja
α ·
(
a⃗+ b⃗
)
= α · a⃗+ α · b⃗ ,
3.4. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 47
como queríamos mostrar.
De 2.:
Se α = 0, segue que
(0+ β︸ ︷︷ ︸
=β
) · a⃗ = β · a⃗ e 0 · a⃗︸︷︷︸
Definição (3.4.1)
= =O⃗
+β · a⃗ = O⃗+ β · a⃗ = β · a⃗ ,
e assim a identidade (3.9) ocorrerá.
De modo análogo, podemos mostrar o caso em que β = 0, cuja elaboração será deixada
como exercício para o leitor.
Se α ̸= 0 e a⃗ = O⃗, teremos
(α+ β) · O⃗ Definição (3.4.1)= O⃗ e α · O⃗︸ ︷︷ ︸
Definição (3.4.1)
= =O⃗
+ β · O⃗︸ ︷︷ ︸
Definição (3.4.1)
= =O⃗
= O⃗+ O⃗ = O⃗
e assim a identidade (3.9) também ocorrerá.
Se α ,β ̸= 0 e a⃗ ̸= O⃗, fixado o ponto A, da Proposição (3.2.2), segue que existem pontos
B, C e D, tais que os segmentos orientados (A ,B), (A ,C), (C ,D) representantes dos vetores
a⃗, α · a⃗ e β · a⃗, respectivamente (veja ilustração abaixo).
✒
✒
✒
a⃗
β · a⃗ D
C
B
A
α · a⃗
Logo, da Definição (3.3.1), o segmento orientado (A ,D) será um representante do vetor
α · a⃗+ β · a⃗.
Consideremos o segmento orientado (A ,D ′) como sendo um representante do vetor (α+
β) · a⃗.
Afirmamos que
(A ,D ′) ∼ (A ,D) .
Se isto for verdade, segue que a identidade (3.9) ocorrerá.
Observemos que:
(i) os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) são paralelos, pois os vetores α · a⃗ e β · a⃗ são
paralelos ao vetor a⃗.
Logo a adição dos mesmos, o vetor
−→
AD também será paralela ao vetor a⃗ e o vetor
−→
AD ′= (α+ β) · a⃗ é paralelo ao vetor a⃗.
48 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
(ii) os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) têm mesmo sentido, pois:
(a) Se 0 < α ≤ β, segue os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) terão mesmo sentido
do segmento orientado (A ,B);
(b) Se α ≤ β < 0, teremos que os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) terão sentidos
opostos do segmento orientado (A ,B), logo terão mesmo sentido;
(c) se β ≤ 0 e β ≤ |α|, teremos que os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) terão
sentidos opostos do segmento orientado (A ,B), logo terão mesmo sentido.
(iii) Notemos que,
AD
Definição (3.3.1)
= AC+ CD = α ∥a⃗∥+ β ∥a⃗∥ = (α+ β) ∥a⃗∥ = AD ′ .
Portanto, de (i), (ii) e (iii) segue que (A ,D ′) ∼ (A ,D) , como queríamos mostrar.
De 3.:
Se a⃗ = O⃗, teremos
1 · a⃗ Definição (3.4.1)= O⃗ = a⃗
e assim a identidade (3.10) ocorrerá.
Se a⃗ ̸= O⃗ teremos:
(i) o vetor 1 · a⃗ é paralelo ao vetor a⃗;
(ii) o vetor 1 · a⃗ tem mesmo sentido do vetor a⃗ (pois 1 > 0);
(iii) o vetor 1 · a⃗ tem o mesmo comprimento do vetor a⃗, pois
∥1 · a⃗∥ = |1| ∥a⃗∥ = ∥a⃗∥ .
Logo os vetores 1 · a⃗ e a⃗ têm mesma direção, sentido e comprimento, ou seja, são iguais,
vale a identidade (3.10), como queríamos mostrar.
De 4.:
Se α = 0, teremos
(0β) · a⃗ = 0 · a⃗ Definição (3.4.1)= O⃗ e 0 · (β · a⃗) Definição (3.4.1)= O⃗
e assim a identidade (3.11) ocorrerá.
De modo análogo podemos mostrar o caso em que β = 0, cuja elaboração será deixado
como exercíco para o leitor.
Se a⃗ = O⃗, teremos
(αβ) · O⃗ Definição (3.4.1)= O⃗ e α · (β · O⃗) Definição (3.4.1)= α · O⃗ Definição (3.4.1)= O⃗
e assim a identidade (3.11) também ocorrerá.
Se α ,β ̸= 0 e a⃗ ̸= O⃗, fixado o ponto A, da Proposição (3.2.2), segue que existem pontos B,
C e D, de modo que os segmentos orientados (A ,B), (A ,C), (A ,D) e (A ,D ′) representantes
dos vetores a⃗, β · a⃗, α · (β · a⃗) e (αβ) · a⃗, respectivamente (vide ilustração abaixo).
3.4. MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 49
❃
❃
❃
a⃗
β · a⃗
α · (β · a⃗)
A
B
C
D
Afirmamos que
(A ,D ′) ∼ (A ,D) .
Caso isto seja verdade, segue que os vetores (αβ) · a⃗ e α · (β · a⃗) serão iguais, isto é, a
identidade (3.11) ocorrerá.
Observemos que:
(i) (A ,D) e (A ,D ′) são paralelos, pois
β · a⃗ ∥ a⃗ ,
logo
α · (β · a⃗) ∥ a⃗ e (αβ) · a⃗ ∥ a⃗ ,
ou seja (A ,D) e (A ,D ′) têm mesma direção.
(ii) (A ,D) e (A ,D ′) têm mesmo sentido, pois:
(a) se αβ > 0, teremos que os vetores α · (β · a⃗) e (αβ) · a⃗ terão mesmo sentido do
vetor a⃗, , ou seja (A ,D) e (A ,D ′) têm mesmo sentido;
(b) se αβ < 0, segue que os vetores α · (β · a⃗) e (αβ) · a⃗ terão sentidos contrários ao
do vetor a⃗, ou seja (A ,D) e (A ,D ′) têm mesmo sentido.
(iii) Temos também:
AD = ∥α · (β · a⃗)∥ Definição (3.4.1)= |α| ∥β · a⃗∥ Definição (3.4.1)= |α| (|β| ∥a⃗∥)
Definição (3.4.1)
= |αβ| ∥a⃗∥ = ∥(αβ) · a⃗∥ = AD ′ ,
isto é, os segmentos orientados (A ,D) e (A ,D ′) têm mesmo comprimento.
Logo (A,D ′) ∼ (A,D), com queríamos mostrar.
!
Notação 3.4.1 Um número real será denominado escalar.
Para finalizar esta seção daremos um resultado que será importante mais adiante, a saber:
50 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Proposição 3.4.2 Sejam a⃗ e b⃗ vetores de V3 (ou V2). Então
a⃗ ∥ b⃗
se, e somente se, existe α ∈ R tal que ou
a⃗ = α · b⃗ ou b⃗ = α · a⃗ . (3.12)
Ou seja, dois vetores são paralelos se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.
Demonstração:
Observemos que se
a⃗ = α · b⃗
então, pela Definição (3.4.1), eles serão paralelos.
Analogamente, se
b⃗ = α · a⃗ .
Reciprocamente, se os vetores a⃗ e b⃗ são paralelos, então os vetores a⃗ e b⃗ têm mesma
direção.
Se a⃗ = O⃗, teremos
a⃗ = 0 · b⃗ ,
e assim α = 0.
De modo análogo, podemo mostrar se b⃗ = O⃗, poderemos teremos que
b⃗ = 0 · a⃗ .
Suponhamos que ambos são vetores não nulos, ou seja,
a⃗ , b⃗ ̸= O⃗ .
Fixado o ponto A, pela Proposição (3.2.2), existem pontos B e C, de modo que os seg-
mentos orientados (A ,B) e (A ,C) que representam os vetores a⃗ e b⃗, respectivamente (veja
a ilustração abaixo).
✸
✸
A
B
C
a⃗
b⃗
Como
a⃗ ∥ b⃗ ,
segue que os pontos A, B e C devem ser colineares.
3.5. SOMA DE UM PONTO COM UM VETOR 51
Como b⃗ ̸= O⃗, segue que
AC =
∥∥∥b⃗
∥∥∥ ̸= 0 .
Seja
α
.
=
AB
AC
=
∥a⃗∥∥∥∥b⃗
∥∥∥
> 0 . (3.13)
Assim, se os vetores a⃗ e b⃗ têm mesmo sentido, deveremos ter
a⃗ = α · b⃗ ,
caso contrário
a⃗ = −α · b⃗ ,
pois os vetores a⃗ e α · b⃗ deverão ter mesma direção e mesmo sentido, se α > 0 e sentidos
opostos, se α < 0 e, além disso,
∥a⃗∥ (3.13)=
∥∥∥α · b⃗
∥∥∥ ,
completando a demostração.
!
3.5 Soma de um Ponto com um Vetor
Observação 3.5.1 Dado um vetor a⃗ ∈ V3 (ou V2, respectivamente) e um ponto A do
espaço (ou do plano, respectivamente), a Proposição (3.2.2), garante que existe um
único ponto B do espaço (ou do plano, respectivamente) tal que o segmento orientado
(A ,B) é um representantedo vetor a⃗, ou seja,
−→
AB= a⃗ .
Isto nos permite associar a cada ponto A e a cada vetora⃗, um único ponto B, de
modo que
−→
AB= a⃗ .
Com isto temos a:
Definição 3.5.1 O ponto B obtido acima, será dito adição do ponto A com o vetor a⃗
e indicado por A+ a⃗, isto é,
A+ a⃗
.
= B . (3.14)
Observação 3.5.2
1. Resumindo temos que:
B = A+ a⃗ se, e somente se,
−→
AB= a⃗ .
52 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
✒
A
B = A + a⃗
a⃗
2. Usaremos a notação A − a⃗, para indicar a adição do ponto A com o vetor −a⃗,
isto é,
A− a⃗
.
= A+ (−a⃗) .
3. Intuitivamente podemos "ver"o ponto A + a⃗, como sendo a translação do ponto
A, pelo vetor a⃗.
A seguir temos algumas propriedades da soma de um ponto com um vetor:
Proposição 3.5.1 Sejam A e B pontos do espaço (ou do plano, respectivamente) e a⃗ , b⃗
vetores de V3 (ou V2, respectivamente). Então:
1. temos que
A+ O⃗ = A .
2. se
A+ a⃗ = A+ b⃗ , então a⃗ = b⃗ .
3. se
A+ a⃗ = B+ a⃗ , então A = B .
4. temos que
(A+ a⃗) + b⃗ = A+
(
a⃗+ b⃗
)
.
5. temos também
(A− a⃗) + a⃗ = A .
Demonstração:
De 1.:
Como
−→
AA= O⃗
segue, da Definição, (3.5.1) que
A = A+ O⃗ ,
como queríamos mostrar.
De 2.:
Seja
B
.
= A+ a⃗ = A+ b⃗ .
3.5. SOMA DE UM PONTO COM UM VETOR 53
Então, da Definição (3.5.1), temos que
a⃗ =
−→
AB= b⃗ , ou seja, a⃗ = b⃗ ,
como queríamos mostrar.
De 3.:
Seja
C
.
= A+ a⃗ = B+ a⃗ .
Então, da Definição (3.5.1), temos que
−→
AC= a⃗ =
−→
BC .
Logo, da Proposicão (3.2.2), segue que
A = B ,
como queríamos mostrar.
De 4.:
Sejam
B
.
= A+ a⃗ e C = B+ b⃗ .
Logo
C = (A+ a⃗) + b⃗ .
Então, da Definição (3.5.1), temos que
−→
AB= a⃗ e
−→
BC= b⃗ .
Assim
a⃗+ b⃗ =
−→
AB +
−→
BC=
−→
AC .
Da Definição (3.5.1), segue que
C = A+
(
a⃗+ b⃗
)
,
ou seja
(A+ a⃗) + b⃗ = C = A+
(
a⃗+ b⃗
)
,
como queríamos mostrar.
De 5.:
Observemos que
(A− a⃗) + a⃗ = [A+ (−a⃗)] + a⃗
Propriedade 4.
= A+ [(−a⃗) + a⃗]
Prop. (3.3.1) item 4.
= A+ O⃗
Propriedade 1.
= A ,
como queríamos mostrar.
!
54 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Observação 3.5.3 Se o segmento orientado (A ,B) é um representante do vetor a⃗, então
sabemos que
B = A+ a⃗ .
Devido a este fato, podemos utilizar a seguinte notação para representar o vetor a⃗,
a saber:
B−A
.
= a⃗ .
Vale observar que não estamos fazendo uma subtração entre pontos mas sim, apenas,
introduzimos uma outra notação para o vetor a⃗.
Com isto podemos denotar o vetor acima das seguintes formas:
a⃗ ,
−→
AB ou B−A .
Exemplo 3.5.1 Mostre, utilizando a noção de vetores, que as diagonais de um parale-
logramo cortam-se nos seus respectivos pontos médios.
Resolução:
Consideremos o paralelogramo ABCD, cujas diagonais são os segmentos AC e BD, como
na figura abaixo.
A B
CD
M
Indiquemos por M, o ponto médio do segmento geométrico AC.
Mostraremos que o ponto M é ponto médio do segmento DB, ou seja as diagonais do
paralelogramo cruzam-se nos seus respectivos pontos médios.
Para isto observemos que:
−→
BM =
−→
BC +
−→
CM
−→
BC=
−→
AD e
−→
MA=
−→
CM
=
−→
AD +
−→
MA=
−→
MA +
−→
AD
=
−→
MD,
isto é, o ponto M é o ponto médio do segmento BD e portanto as diagonais de um paralelo-
gramo cruzam-se nos seus respectivos pontos médios.
!
4.a aula - 11.03.2014
3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 55
3.6 Dependência Linear
Nas observações abaixo, concentraremos nossa atenção em V3.
Mais adiante incluiremos V2.
Algumas questões:
1. Precisamos de todos os vetores de V3 para determiná-lo? Talvez...
2. Podemos escolher um único vetor a⃗, de modo que com este possamos representar todos
os vetores de V3? Não tem como (vide figura abaixo).
✸
a⃗
③
b⃗
3. Podemos escolher dois vetores a⃗ e b⃗, de modo que com este possamos representar todos
os vetores de V3? Não (vide figura abaixo).
✸
c⃗
③
b⃗
✕a⃗
4. Podemos escolher três vetores a⃗, b⃗, c⃗ de modo que com estes possamos representar
todos os vetores de V3 ? Depende (veja a figura abaixo)
✸
a⃗
③
b⃗
c⃗
✸
c⃗
③
b⃗
✕a⃗
56 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
5. Podemos escolher quatro ou mais vetores, de modo que com este possamos representar
todos os vetores de V3 ? Depende...
6. Qual o número mínimo de vetores que podemos escolher, para podermos representar
todos os vetores de V3 utilizando-se somente os escolhidos? Que propriedades escolhi-
dos devem ter?
Passaremos a seguir a começar a responder estas e outras questões.
Para isto iniciaremos com a seguinte definição:
Definição 3.6.1
1. Um vetor a⃗ ∈ V3 será linearmente dependente em V3, ou abreviadamente L.D.
em V3, se
a⃗ = O⃗ .
Caso contrário, o vetor a⃗ será dito linearmente independente em V3, ou abrevi-
adamente L.I. em V3 (ou seja, se a⃗ ̸= O⃗).
Diremos que o conjunto {a⃗} é linearmente dependente em V3 , ou abreviada-
mente L.D. em V3, se
a⃗ = O⃗ .
Caso contrário, diremos que o conjunto {a⃗} é linearmente independente em V3 ,
ou abreviadamente L.I. em V3 (ou seja, se a⃗ ̸= O⃗).
O⃗
{
O⃗
}
é L.D.
✶
a⃗
{a⃗} é L.I.
2. Os vetores a⃗ , b⃗ ∈ V3 serão ditos linearmente dependente em V3, ou abreviada-
mente por L.D. em V3, se os vetores a⃗ e b⃗ forem paralelos (isto é, têm a mesma
direção).
Caso contrário, os vetores a⃗ , b⃗ ∈ V3 serão ditos linearmente independente em
V3, ou abreviadamente L.D. em V3 (ou seja, os vetores a⃗ e b⃗ não são paralelos).
Diremos que o conjunto
{
a⃗ , b⃗
}
é linearmente dependente em V3, ou abreviada-
mente L.D. em V3, se os vetores a⃗ e b⃗ são paralelos.
Caso contrário, diremos que o conjunto
{
a⃗ , b⃗
}
é linearmente independente em
V3, ou abreviadamente L.I. em V3 (ou seja, se os vetores a⃗ e b⃗ não são paralelos).
✶
✮
a⃗
✶ a⃗
{
a⃗, b⃗
}
é L.I.
b⃗
{
a⃗, b⃗
}
é L.D.
❥
b⃗
3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 57
3. Os vetores a⃗ , b⃗ , c⃗ ∈ V3 serão ditos linearmente dependente em V3, ou abrevia-
damente L.D. em V3, se os vetores a⃗, b⃗ e c⃗ forem paralelos a um mesmo plano,
isto é, existem segmentos orientados (A ,B), (A ,C) e (A ,D) tais que os pontos
A ,B ,C ,D são coplanares.
Caso contrário, os vetores a⃗, b⃗ e c⃗ serão ditos linearmente independente em V3,
ou abreviadamente L.I. em V3, ou seja, se os vetores a⃗, b⃗ e c⃗ não são paralelos a
um mesmo plano.
Diremos que o conjunto
{
a⃗ , b⃗ , c⃗
}
é linearmente dependente em V3, , ou abre-
viadamente L.D. em V3, se os vetores a⃗, b⃗, c⃗ são paralelos a um mesmo plano.
Caso contrário, diremos que o conjunto
{
a⃗ , b⃗ , c⃗
}
é linearmente independente
em V3, ou abreviadamente L.I. em V3 (ou seja, se os vetores a⃗, b⃗, c⃗ não são
paralelos a um mesmo plano).
✶
③
✕
✿
{
a⃗, b⃗, c⃗
}
é L.I.
b⃗
{
a⃗, b⃗, c⃗
}
é L.D.
❘
a⃗
c⃗
a⃗
b⃗
c⃗
4. Os vetores a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 , · · · , a⃗n ∈ V3 são linearmente dependentes em V3, ou abre-
viadamente L.D. em V3, se n ≥ 4.
Diremos que o conjunto {a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 , · · · , a⃗n} é linearmente dependente em V3, ou
abreviadamente L.D. em V3, se n ≥ 4.
✼
✶
(
✇
a⃗
b⃗
c⃗
d⃗
L.D.
Exemplo 3.6.1
1. Os vetores a⃗ e b⃗, que são representados pelos segmentos orientados apresentados
na figura abaixo, são L.D. em V3 (pois são paralelos) e os vetores c⃗ e d⃗, que são
representados pelos segmentos orientados apresentados na figura abaixo, são L.I.
em V3 (pois não são paralelos).
58 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
✒
✒
a⃗
b⃗
✗
❯
c⃗
d⃗
2. Consideremos os pontos A, B, C, D, E, F, G e H vértices do paralelepípedo retân-
gulo dado pela figura abaixo.
Logo os vetores
−→
AB ,
−→
AC e
−→
AD ,
dados pela figura abaixo, são L.D. em V3 (pois são paralelos ao plano definido
pelos pontos A, B e C).
Vale observar que os vetores
−→
AB ,
−→
AD e
−→
AE ,
dados pela figura abaixo, são L.I. em V3 (pois não são paralelos a um mesmo
plano).
A B
CD
E F
GH
3.4. Quaisquer quatro (ou mais) vetores com origem e extremidade nos vértices do
paralelogramo acima serão L.D. em V3.
Por exemplo, os vetores
−→
AB ,
−→
BC ,
−→
DE e
−→
AH
são L.D. em V3.
A seguir temos a:
3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 59
Observação 3.6.1
1. A dependência ou independência linear em V3, são propriedades inerentes ao
conjunto de vetores em questão e não a cada um dos elementosdo conjunto.
Por exemplo, se o conjunto {a⃗} é L.I. em V3 e o conjunto {b⃗} é L.I. em V3, isto
não implica que o conjunto
{
a⃗ , b⃗
}
sejam, necessariamente, L.I. em V3.
Para isto, veja o Exemplo (3.6.1) item 1., cada um dos vetores é L.I. em V3, mas
os dois são L.D. em V3.
2. O conjunto de vetores
{
O⃗ , a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 , · · · , a⃗n
}
é L.D. em V3, para qualquer coleção
de vetores a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 , · · · , a⃗n ∈ V3.
De fato, se n ≥ 3, o conjunto será L.D. em V3, pela Definição (3.6.1) item 4. (pois
o conjunto conterá mais de quatro vetores).
Se n = 1, temos que o vetor O⃗ é paralelo a qualquer vetor, em particular ao vetor
a⃗1.
Logo o conjunto {O⃗ , a⃗1} será L.D. em V3.
De modo análogo, se n = 2, temos que o vetor O⃗ é paralelo a qualquer vetor, em
particular, aos vetores a⃗1 e a⃗2.
Logo, se
a⃗1 =
−→
AB e a⃗2 =
−→
AC ,
e como
O⃗ =
−→
AA ,
ele será paralelo ao plano que contenha os pontos A, B e C, mostrando que o
conjunto {O⃗ , a⃗1 , a⃗2} será L.D. em V3 (veja a figura abaixo).
✲
✒
A B
C
a⃗1
a⃗2
0⃗
3. Observemos que, no Exemplo (3.6.1) item 2., os vetores
−→
AB,
−→
AC e A⃗D são L.D.
em V3, e podemos obter (por exemplo) o vetor
−→
AC da seguinte forma:
−→
AC =
−→
AB +
−→
AD .
Por outro lado, os vetores
−→
AB ,
−→
AD ,
−→
AE são L.I. em V3, e não existe um modo de
escrever um deles como adição de múltiplos dos outros dois.
60 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
A esse modo de escrever um vetor (como adição de múltiplos de outros vetores) será dado
um nome, como veremos a seguir.
Definição 3.6.2 Sejam a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3 e α1 ,α2 , · · · ,αn ∈ R, com n ≥ 1 fixado.
O vetor
u⃗
.
= α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 + · · ·+ αn · a⃗n =
n∑
i=1
αi · a⃗i , (3.15)
será denominado combinação linear dos vetores
a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ,
com coeficientes (ou escalares)
α1 ,α2 , · · · ,αn .
Se u⃗ ∈ V3 é uma combinação linear dos vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n, isto é, se existem
α1 ,α2 , · · · ,αn ∈ R ,
tais que (3.15) ocorre, então diremos que o vetor u⃗ é gerado pelos vetores
a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n .
Consideremos o:
Exemplo 3.6.2
1. Sejam a⃗1 , a⃗2 ∈ V3.
Então o vetor
u⃗
.
= a⃗1 − a⃗2
é uma combinação linear dos vetores a⃗1, a⃗2, ou ainda, é gerado pelos vetores a⃗1 , a⃗2.
De fato, pois
u⃗ = a⃗1 − a⃗2 = 1 · a⃗1 + (−1) · a⃗2
logo
α1 = 1 e α2 = −1
são os coeficientes da combinação linear.
✲
✒
a⃗1
a⃗2
u⃗ = a⃗1 − a⃗2
3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 61
2. O vetor nulo O⃗ é gerado por qualquer coleção de vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3.
De fato,
O⃗ = 0 · a⃗1 + 0 · a⃗2 + · · ·+ 0 · a⃗n ,
ou seja os coeficientes são todos nulos , ou ainda,
α1 = α2 = · · · = αn = 0 .
Observação 3.6.2
1. No Exemplo (3.6.2) item 2. acima, vimos que o vetor nulo O⃗ sempre pode ser
escrito como combinação linear de qualquer coleção de vetores
a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3 ,
bastanto tomar todos os coeficientes iguais a zero.
Pergunta-se: será que haveria outra combinação linear (isto é, com coeficientes
não todos nulos) desses mesmos vetores
a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3 ,
que seja igual ao vetor nulo?
Por exemplo, na figura abaixo,
✲
✒
a⃗1
a⃗2
a⃗3
temos que
a⃗3 = a⃗1 − a⃗2 , ou seja, O⃗ = a⃗1 − a⃗2 − a⃗3
e portanto
O⃗ = 1 · a⃗1 + (−1) · a⃗2 + (−1) · a⃗3 .
Neste caso, conseguimos escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores
a⃗1 , a⃗2 , a⃗3
com coeficientes não todos nulos.
No caso nenhum deles é zero, pois
α1 = 1 , α2 = −1 e α3 = −1 .
Observemos que a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 são L.D. em V3, pois são paralelos a um mesmo plano.
62 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Logo é natural pensarmos que a resposta à pergunta acima estará diretamente
relacionada com a dependência ou independência linear dos vetores
a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ,
ou seja, se eles são L.D. ou L.I. em V3.
Passaremos a seguir a tratar dessa relação.
Começaremos pela:
Proposição 3.6.1 Sejam a⃗, b⃗ vetores de V3.
Os vetores a⃗ , b⃗ ∈ V3 são L.D. em V3 se, e somente se, existe α, número real, tal
que ou
a⃗ = α · b⃗ ou b⃗ = α · a⃗ .
Demonstração:
Da Definição (3.6.1) item 2., temos que os vetores a⃗ , b⃗ ∈ V3 são L.D. em V3 se, e somente
se,
a⃗ ∥ b⃗ .
Logo, da Proposição (3.4.2) segue, a conclusão o resultado, completando a demonstração
do mesmo.
!
Observação 3.6.3
1. A Proposição (3.6.1) acima, nos diz que os vetores a⃗ , b⃗ ∈ V3 são L.D. em V3 se,
e somente se, um dos vetores é combinação linear do outro (no caso, múltiplo do
outro).
2. Um outro modo de ler a Proposição (3.6.1) acima é a seguinte: os vetores a⃗ , b⃗ ∈ V3
são L.D. em V3 se, e somente se, existe α, número real, tal ou
O⃗ = 1︸︷︷︸
̸=0
·a⃗− α · b⃗ ou O⃗ = −α · a⃗+ 1︸︷︷︸
̸=0
·b⃗ ,
ou seja, o vetor nulo pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
a⃗, b⃗, com coeficientes não todos nulos (na igualdade à esquerda, temos que o
coeficiente do vetor a⃗ é igual a 1 ̸= 0 e na igualdade à direita, temos que o
coeficiente do vetor b⃗ é igual a 1 ̸= 0).
Para um conjunto com mais vetores temos uma situação análoga, a saber:
Proposição 3.6.2 Sejam a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n vetores de V3, com n ≥ 2 fixado.
Os vetores
a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n são L.D. em V3
se, e somente se, um dos vetores da lista acima, pode ser escrito como combinação
linear dos restantes, isto, é, existe um vetor a⃗i, para algum i ∈ {1 , 2 , · · · , n}, de modo
que
a⃗i = α1 · a⃗1 + · · ·αi−1 · a⃗i−1 + αi+1 · a⃗i+1 + · · ·+ αna⃗n ,
3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 63
onde
α1 ,α2 , · · ·αi−1 ,αi+1 , · · · ,αn ∈ R .
Demonstração:
A demonstração do caso n = 2 é a Proposição (3.6.1) acima.
Passemos a demonstração do caso n = 3:
Suponhamos que os vetores a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 ∈ V3 são vetores L.D. em V3, ou seja, são paralelos
a um mesmo plano.
Dividiremos a demonstração deste caso em duas situações, a saber:
se dois dos vetores da lista a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 ∈ V3 são vetores L.D. em V3.
se quaisquer dois dos vetores da lista a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 ∈ V3 são vetores L.I. em V3.
Suponhamos que dois dos vetores da lista a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 ∈ V3 são vetores L.D. em V3.
Podemos supor, sem perdade de genralidade, que os vetores a⃗1 , a⃗2 ∈ V3 são L.D. em V3,
bstando reindexar a lista.
Com isto, da Proposição (3.6.1) acima, segue que
ou a⃗1 = α · a⃗2 ou a⃗2 = α · a⃗1 ,
para algum α ∈ R.
Como isto, podemos escrever
a⃗1 = α · a⃗2 + 0 · a⃗3 ou a⃗2 = α · a⃗1 + 0 · a⃗3 ,
isto é, o vetor a⃗1, ou o vetor a⃗2 é combinação linear dos vetores a⃗2 , a⃗3, ou dos vetores a⃗1 , a⃗3,
respectivamente.
Portanto, um dos vetores da lista é combinção linear dos vetores restantes, , como que-
ríamos mostrar.
Suponhamos agora, que quaisquer dois dos vetores da lista a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 ∈ V3 são vetores
L.I. em V3.
Logo, como os vetores a⃗1 , a⃗2 ∈ V3 são L.I. em V3, fixado o ponto A, pela Proposição
(3.2.2), podemos encontrar os pontos B, C, D, de modo que os segmento orientados (A ,B),
(A ,C) e (A ,D) sejam representantes dos vetores a⃗1, a⃗2 e a⃗3, respectivamente. (*)
Como os vetores a⃗1, a⃗2, a⃗3 são paralelos a um mesmo plano segue que os pontos A, B, C
e D pertencem a um mesmo plano (veja a ilustração abaixo).
✲
✣
✯
A B
C
D
a⃗1
a⃗2
a⃗3
64 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Como os vetores a⃗1, a⃗2 não são paralelos (pois são L.I. em V3), podemos fazer a seguinte
construção:
Consideremos a reta, que denotaremos por r, que é paralela à reta
←→
AB pelo ponto D e
reta, que denotaremos por s, paralela à reta
←→
AC pelo ponto D.
Estas retas encontrarão as retas
←→
AB e
←→
AC nos pontos E e F, respectivamente (veja a
ilustração abaixo).
✲
✣
✯
A B
C
D
E
F
Por construção AEDF é um paralelogramo, logo deveremos ter
a⃗3 =
−→
AD=
−→
AE +
−→
ED .
Observemos que os vetores
−→
AE e
−→
AB são paralelos logo, da Proposição (3.4.2), segue que
existe um número real, que denotaremos por α1, tal que
−→
AE= α1·
−→
AB= α1 · a⃗1 .
De modo semelhante, os vetores
−→
AF e
−→
AC são paralelos logo, da Proposição (3.4.2) segue
que existe um número real, que denotaremos por α2, tal que
−→
AF= α2·
−→
AC= α2 · a⃗2 .
Logo
a⃗3 =
−→
AE +
−→
ED= α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2,
ou seja, o vetor a⃗3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores a⃗1 e a⃗2, como que-
ríamos mostrar.
Reciprocamente, se, por exemplo, o vetor , como queríamos mostrar a⃗3 pode ser escrito
como combinação linear dos vetores , como queríamos mostrar a⃗1 e , como queríamos mostrar
a⃗2, temos que
a⃗3 = α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 ,
para algum
α1 ,α2
3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 65
números reais.
Podemos supor, sem perda de generalidade, que
a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 ̸= O⃗ ,
caso contrário, se um deles for o vetor nulo, pela Observação (3.6.1) item 2. segue que os três
serão L.D. em V3.
Fixando o ponto A, da Proposição (3.2.2), podemos encontrar pontos B, C, D pontos,
tais que os segmento orientados (A ,B), (A ,C) e (A ,D) sejam representantes dos vetores a⃗1,
a⃗2 e a⃗3, respectivamente.
Notemos que, se os pontos A, B, C forem colineares teremos que os pontos A, B, C, D
serão coplanares e assim os vetores a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 ∈ V3 serão L.D. em V3, pois serão paralelos ao
plano que contém os pontos A, B, D. (veja a ilustração abaixo).
✒
✒
✲
A
B
C
D
a⃗1
a⃗2
a⃗3
Por outro laod, se os pontos A, B, C forem não forem colineares, temos que estes três
pontos determinam um plano.
Sejam M e N pontos, tais que (veja a ilustração abaixo)
α1 · a⃗1 =
−→
AM e α2 · a⃗2 =
−→
AN . (3.16)
✲
✒
A M
N
α1a⃗1
α2a⃗2
Consideremos o ponto D, o ponto de intersecção das retas paralelas às retas
←→
AM e a
←→
AN
pelos pontos M e N, respectivamente (veja a ilustração abaixo).
66 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
✲
✒
A M
N
α1a⃗1
α2a⃗2
D
Como AMDN é um paralelogramo, deveremos ter que
−→
AD=
−→
AM +
−→
AN
(3.16)
= α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 = a⃗3 , ou seja,
−→
AD= α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 = a⃗3 .
Portanto −→
AD= a⃗3
e os pontos A, B, C e D são coplanares (estão no plano que contém os pontos A, B e C)
mostrando que os vetores a⃗1, a⃗2, a⃗3 ∈ V3 são L.D. em V3, como queríamos mostrar.
Caso n ≥ 4:
Se, para algum i ∈ {1 , 2 , · · · , n}, o vetor a⃗i é combinação linear dos vetores
a⃗1 , a⃗2 · · · , a⃗i−1 , a⃗i+1 , · · · , a⃗n ,
então, como n ≥ 4, segue que os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n serão L.D. em V3.
Reciprocamente, se os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3 serão L.D. em V3, mostraremos que
um deles pode ser escrito como combinação linear dos restantes.
Dividiremos a demonstração em duas situações, a saber:
se três dos vetores da lista a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3 são vetores L.D. em V3.
se quaisquer três dos vetores da lista a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3 são vetores L.I. em V3.
Suponhamos, inicialmente, que três dos vetores da lista a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3 são vetores
L.D. em V3.
Sem perda de generalidade, podemos supor que os vetores
a⃗1, a⃗2, a⃗3 são L.D. em V3 ,
caso contrário, reindexamos a lista de vetores.
Como vimos no caso n = 3, demonstrado anteriormente, temos que um desses três pode
ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Podemos supor, sem perda de generalidade (a menos de reindexação), que o vetor a⃗1
possa ser escrito como cominação linear dos vetores a⃗2 , a⃗3 ∈ V3, ou seja,
a⃗1 = α2 · a⃗2 + α3 · a⃗3 ,
para algum
α1 ,α2 ∈ R .
3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 67
Como isto, temos que
a⃗1 = α2 · a⃗2 + α3 · a⃗3 + 0 · a⃗4 + · · ·+ 0 · a⃗n ,
ou seja, o vetor a⃗1 pode ser escrito como combinação linear dos outros n−1 vetores, a saber,
dos vetores
a⃗2 , a⃗3 , · · · , a⃗n .
Por outro lado, se quaisquer três dos vetores da lista a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3 são vetores L.I.
em V3 então os vetores a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 ∈ v3 são L.I. em V3.
Fixando o ponto A, da Proposição (3.2.2), podemos encontrar pontos B, C e D, tais que
os segmento orientados (A ,B), (A ,C) e (A ,D) sejam representantes dos vetores a⃗1, a⃗2 e a⃗3,
respectivamente. (**)
Como os vetores a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 ∈ V3 são L.I. em V3, segue que os pontos A, B, C ,D não são
coplanares, ou seja, os pontos A, B, C e D serão vértices de um tetraedro (veja a ilustração
abaixo).
✲
✸✍
A B
CD
a⃗1
a⃗2 a⃗3
Pela Proposição (3.2.2), podemos encontrar um ponto E, tal que o segmento orientado
(A ,E) seja um representante do vetor a⃗4.
Com isto podemos fazer a seguinte construção:
Consideremos pelo ponto E, uma reta paralela à reta
←→
AD, que encontrará o plano que
contém os pontos A, B e C no ponto M (veja a ilustração abaixo).
✲
✸✍
A B
CD
E
M
Deste modo, temos que
a⃗4 =
−→
AE=
−→
AM +
−→
ME . (3.17)
68 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Notemos que, por construção, teremeos
−→
ME∥
−→
AD .
Logo, da Proposição (3.4.2), segue que existe um número real, que denotaremos por α3,
tal que
−→
ME= α3·
−→
AD= α3 · a⃗3 . (3.18)
Por outro lado, o ponto M pertence ao plano determinado pelos pontos A, B ,C.
Logo podemos agir como no caso n = 3 (ver (*) na página 63), isto é, traçar retas paralelas
as retas
←→
AB e
←→
AC pelo ponto M e suas intersecções com as retas
←→
AC e
←→
AB, e assim, encontrar
os pontos N e P, sobre as retas
←→
AB e
←→
AC, respectivamente, de tal modo que (vide ilustração
abaixo)
−→
AM=
−→
AN +
−→
AP . (3.19)
✲
✸✍
A B
CD
E
M
N
P
Observemos que, por construção,
−→
AN∥
−→
AB e
−→
AP∥
−→
AC .
Logo, da Proposição (3.4.2), segue que existem números reais, que inidcaremos por α1 e
α2, tais que
−→
AN= α1·
−→
AB= α1 · a⃗1 e
−→
AP= α2·
−→
AC= α2 · a⃗2 , (3.20)
ou seja,
−→
AM
(3.19)
=
−→
AN +
−→
AP
(3.20)
= α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 . (3.21)
Para finalizar, traçamos pelo ponto E, uma reta paralela ao plano que contém os pontos
A, B e C, que interceptará a reta
←→
AD no ponto Q (veja a ilustração abaixo).
✲
✸✍
A B
CD
E
M
N
P
Q
3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 69
Portanto
a⃗4
(3.17)
=
−→
AM +
−→
AQ
(3.21) e (3.18)
= α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 + α3 · a⃗3
= α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 + α3 · a⃗3 + 0 · a⃗5 + · · ·+ 0 · a⃗n ,
isto é, o vetor a⃗4, pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 , a⃗5 , · · · , a⃗n ,
como queríamos mostrar, completando a demonstração do resultado.
!
Como conseqüência da demonstração do resultado acima temos o:
Corolário 3.6.1 Sejam a⃗ , b⃗ , c⃗ ∈ V3.
Se os vetores a⃗ , b⃗ são L.I. em V3, mas os vetores a⃗ , b⃗ , c⃗ são L.D. em V3, então
o vetor c⃗, pode ser escrito como combinação linear dos vetores a⃗, b⃗, isto é, existem
escalares
α ,β ∈ R
tal que
c⃗ = α · a⃗+ β · b⃗ .
Demonstração:
A demonstração deste resultado é correspondente a demonstração da Proposição (3.6.2)
acima, para o caso n ≥ 3 com dois vetores L.I. em V3 (veja a partir de (*), página 63, na
demostração da Proposição (3.6.2) acima).
!
Também como conseqüência da demonstração da proposição acima temos o:
Corolário 3.6.2 Sejam a⃗ , b⃗ , c⃗ ∈ V3.
Se os vetores a⃗ , b⃗ , c⃗ são L.I. em V3, então todo vetor u⃗ ∈ V3, pode ser escrito como
combinação linear dos vetores a⃗ , b⃗ , c⃗, isto é, existem escalares
α ,β ,γ ∈ R ,
tal que
u⃗ = α · a⃗+ β · b⃗+ γ · c⃗ .
Demonstração:
A demonstração deste resultado é correspondente a demonstração da Proposição (3.6.2)
acima, para o caso n ≥ 4 com três vetores L.I. em V3 (veja a partir de (**), página 67, na
demostração da (3.6.2) acima).
!
5.a aula - 13.03.2014
Temos as seguintes considerações:
Observação 3.6.4
70 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
1. Ainda com relação ao Corolário (3.6.2) acima, veremos mais adiante que os es-
calares α ,β ,γ ∈ R determinados, são os únicos com a propriedade que
u⃗ = α · a⃗+ β · b⃗+ γ · c⃗ .
2. O resultado a seguir, relaciona o fato de um conjunto de vetores ser L.D ou L.I.
em V3, com o fato de podermos escrever o vetor nulo como combinação linear
não trivial (isto é, com nem todos os coeficientes nulos) dos vetores em questão.
Proposição 3.6.3 Sejam a⃗1, · · · , a⃗n ∈ V3.
Os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n serão L.D. em V3 se, e somente se, existem escalares
α1 ,α2 , · · · ,αn ∈ R ,
não todos nulos, tais que
O⃗ = α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 + · · ·+ αn · a⃗n ,
ou seja, o vetor nulo pode ser escrito, como combinação linear dos vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n
de, pelo menos, dois modos diferentes.
Demonstração:
Suponhamos que os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n são L.D.em V3.
Se n = 1, teremos
a⃗1 = O⃗ , assim O⃗ = 1 · O⃗ = 1 · a⃗1 ,
como queríamos mostrar.
Se n ≥ 2, da Proposição (3.6.2), segue que um dos vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n, pode ser escrito
como combinação linear dos restantes, isto é, existe a⃗i, tal que
a⃗i = α1 · a⃗1 + · · ·+ αi−1 · a⃗i−1 + αi+1 · a⃗i+1 + · · ·+ αn · a⃗n ,
para algum i ∈ {1 , 2 , · · · , n}, onde
α1 ,α2 , · · · ,αi−1,αi+1, · · · ,αn ∈ R .
Logo,
O⃗ = −a⃗i + α1 · a⃗1 + · · ·+ αi−1 · a⃗i−1 + αi+1 · a⃗i+1 + · · ·+ αn · a⃗n
= α1 · a⃗1 + · · ·+ αi−1 · a⃗i−1 + (−1) · a⃗i + αi+1 · a⃗i+1 + · · ·+ αn · a⃗n ,
isto é, conseguimos escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n,
com nem todos os coeficientes nulos (o coeficiente de a⃗i é −1 ̸= 0), como queríamos mostrar.
Por outro lado, se o vetor nulo pode ser como combinação linear dos vetores a⃗1, · · · , a⃗n ,
com nem todos os coeficientes nulos, então existem
α1 ,α2 , · · · ,αn ∈ R ,
3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 71
tais que existe, pelo menos um,
αi ̸= 0 .
Assim
O⃗ = α1 · a⃗1 + · · ·+ αi−1 · a⃗i−1 + αi · a⃗i + αi+1 · a⃗i+1 + · · ·+ αn · a⃗n ,
ou seja,
−αi · a⃗i = α1 · a⃗1 + · · ·+ αi−1 · a⃗i−1 + αi+1 · a⃗i+1 + · · ·+ αn · a⃗n .
Como αi ̸= 0, teremos
a⃗i =
α1
−αi
· a⃗1 + · · ·+
αi−1
−αi
· a⃗i−1 +
αi+1
−αi
· a⃗i+1 + · · ·+
αn
−αi
· a⃗n ,
ou seja, um dos vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n , é combinação linear dos restantes e assim, da Propo-
sição (3.6.2) segue que os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n são L.D. em V3, como queríamos mostrar.
!
Consideremos alguns exemplos:
Exemplo 3.6.3
1. Seja a⃗ ∈ V3.
Então os vetores a⃗ e −a⃗ são L.D. em V3.
De fato, pois
1 · a⃗+ 1 · (−a⃗) = O⃗ ,
ou seja, podemos escrever o vetor nulo como uma combinação linear dos vetores
a⃗ e −a⃗ com coeficientes não todos nulos (no caso nenhum dos coeficientes é igual
a zero).
2. Sejam a⃗ , b⃗ ∈ V3.
Então os vetores a⃗ , b⃗ ,
(
5 · a⃗− 6 · b⃗
)
são L.D. em V3.
De fato, pois
O⃗ = (−5) · a⃗+ 6 · b⃗+ 1 · (5 · a⃗− 6 · b⃗) ,
ou seja, podemos escrever o vetor nulo como uma combinação linear dos vetores
a⃗ , b⃗ ,
(
5 · a⃗− 6 · b⃗
)
, com coeficientes não todos nulos (no caso nenhum dos coefi-
cientes é igual a zero).
3. Sejam a⃗ , b⃗ ∈ V3.
Os vetores O⃗ , a⃗ , b⃗ são L.D. em V3.
De fato, pois
O⃗ = 1︸︷︷︸
̸=0
·O⃗+ 0 · a⃗+ 0 · b⃗ ,
ou seja, podemos escrever o vetor nulo como uma combinação linear dos vetores
O⃗ a⃗ , b⃗ com coeficientes não todos nulos (no caso só um deles é, necessariamente,
não zero).
72 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Este último exemplo nos motiva o seguinte resultado:
Corolário 3.6.3 Sejam a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3. Então os vetores O⃗ , a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n são L.D.
em V3.
Demonstração:
A demonstração é semelhante ao que fizemos no Exemplo (3.6.3) item 3. acima.
Basta verificar que
O⃗ = 1 · O⃗+ 0 · a⃗1 + 0 · a⃗2 + · · ·+ 0 · a⃗n ,
ou seja, podemos escrever o vetor nulo como uma combinação linear dos vetores
O⃗ , a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ,
com coeficientes não todos nulos (no caso só um deles é, necessariamente, não zero), comple-
tando a demonstração do resulado.
!
De modo análogo temos uma condição necessária e suficiente para que uma coleção de
vetores seja L.I. em V3, a saber:
Proposição 3.6.4 Sejam a⃗1, · · · , a⃗n em V3.
Os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n são L.I. em V3 se, e somente se, a única combinação
linear dos vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n que dá o vetor nulo é aquela que tem todos os escalares
(coeficientes), necessariamente, iguais a zero.
Demonstração:
Suponhamos que os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n são L.I. em V3.
Devemos mostar que se
O⃗ = α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 + · · ·+ αn · a⃗n
então deveremos , necessariamente, ter
α1 = α2 = · · · = αn = 0 .
De fato, suponhamos, por abusro, que um dos αi, para algum i ∈ {1 , 2 , · · · , n}, pudesse
ser diferente de zero.
Da Proposição (3.6.3), os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n seriam L.D. em V3, o que não pode
acontecer por hipótese.
Reciprocamente, se
O⃗ = α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 + · · ·+ αn · a⃗n ,
implicar que a única possibilidade é
α1 = α2 = · · · = αn = 0 ,
então os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n não podem ser L.D. em V3 pois, se fossem, existiriam escalares
não todos nulos satisfazendo a identidade acima, o que não pode ocorrer, por hipótese,
completando a demonstraão do resultado.
!
3.6. DEPENDÊNCIA LINEAR 73
Observação 3.6.5 Sejam a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V3.
1. A Proposição (3.6.3) nos diz que, os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n são L.D. em V3 se, e
somente se, existem escalares não todos nulos,
α1 ,α2 , · · · ,αn ∈ R ,
tais que
O⃗ = α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 + · · ·+ αn · a⃗n .
2. A Proposição (3.6.2) nos diz que, se um conjunto finito de de vetores é L.D.
em V3, podemos retirar, pelo menos, um deles do conjunto dado, que o conjunto
gerado pelos restantes será igual ao conjunto gerado por todos.
3. A Proposição (3.6.4) nos diz que, os vetores a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n são L.I. em V3 se, e
somente se, a única possibilidade para que
O⃗ = α1 · a⃗1 + α2 · a⃗2 + · · ·+ αn · a⃗n
é
α1 = · · · = αn = 0 .
4. Se um conjunto finito de vetores é L.I. em V3, não podemos retirar um deles
do conjunto, de modo que o conjunto gerado pelos restantes continue igual ao
conjunto gerado por todos.
5. Os itens 2. e 4. desta Observação, estão diretamente relacionadas com as questões
que colocamos no início desta seção.
Isto ficará mais claro a seguir.
Para V2 temos algo parecido (porém diferente), cujas propriedades serão enumeradas na
observação abaixo e cujas demonstrações são semelhantes ao caso V3 e suas redações serão
deixadas como exercício para o leitor.
Observação 3.6.6
1. Começaremos introduzindo a definição de dependência linear em V2.
(a) Um vetor a⃗ ∈ V2 será linearmente dependente em V2, ou abreviadamente
L.D. em V2, se
a⃗ = O⃗ .
Caso contrário, o vetor a⃗ será dito linearmente independente em V2, ou
abreviadamente L.I. em V2, (ou seja, se a⃗ ̸= O⃗).
Diremos que o conjunto {a⃗} é linearmente dependente em V2, ou abrevia-
damente L.D. em V2 se
a⃗ = O⃗ .
Caso contrário, diremos que o conjunto {a⃗} é linearmente independente em
V2, ou abreviadamente L.I. em V2 (ou seja, se a⃗ ̸= O⃗).
74 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
O⃗
{O⃗} é L.D.
✶
a⃗
{a⃗} é L.I.
(b) Os vetores a⃗, b⃗ ∈ V2 serão ditos linearmente dependente em V2, ou abrevi-
adamente por L.D. em V2, se os vetores a⃗ e b⃗ forem paralelos (isto é, têm a
mesma direção).
Caso contrário, os vetores a⃗ , b⃗ ∈ V3 serão ditos linearmente independente
em V2, , ou abreviadamente L.I. em V2 (ou seja, os vetores a⃗ e b⃗ não são
paralelos).
Diremos que o conjunto
{
a⃗ , b⃗
}
é linearmente dependente em V2, ou abre-
viadamente L.D. em V2, se os vetores a⃗ e b⃗ são paralelos.
Caso contrário, diremos que o conjunto
{
a⃗, b⃗
}
é linearmente independente
em V2, ou abreviadamente L.I., em V2 (ou seja, se os vetores a⃗ e b⃗ não são
paralelos).
✶
✮
a⃗
✶ a⃗
{
a⃗, b⃗
}
é L.I.
b⃗
{
a⃗, b⃗
}
é L.D.
❥
b⃗
(c) Os vetores a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 , · · · , a⃗n ∈ V2 são linearmente dependentes em V2, , ou
abreviadamente L.D. em V2, se n ≥ 3.
Diremos que o conjunto {a⃗1 , a⃗2 , a⃗3 , · · · , a⃗n} é linearmente dependente em V2,
, ou abreviadamente L.D. em V2, se n ≥ 3.
✼
✶
(
✇
a⃗
b⃗
c⃗
d⃗
L.D.
2. Podemos mostrar que, o conjunto de vetores
{
O⃗ , a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n
}
é L.D. em V2,
para qualquer coleção de vetores a⃗1 , a⃗2 , , · · · , a⃗n ∈ V2 (veja a Observação (3.6.1)
item 2.).
3. Podemos definir combinação linear para vetores de V2, do mesmo modo como
fizemos para vetores de V3 (veja Definição (3.6.2)).
3.7. BASE DE V3 75
4. Podemos provar que (veja a Proposição (3.6.1)): sejam a⃗ , b⃗ ∈ V2 .
Os vetores a⃗ , b⃗ são L.D. em V2 se, e somente se, existe α ∈ R, tal que ou
a⃗ = α · b⃗ ou b⃗ = α · a⃗ .
5. Temos também que: (veja Proposição (3.6.2)) sejam a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n ∈ V2, com
n ≥ 2 fixado.
Os vetores
a⃗1 , a⃗2 , · · · , a⃗n são L.D. em V2
se, e somente se, um dos vetores da lista pode ser escrito como combinação linear
dos restantes, isto, é, existe umvetor a⃗i, para algum i ∈ { 1, · · · , n}, de modo que
a⃗i = α1 · a⃗1 + · · ·αi−1 · a⃗i−1 + αi+1 · a⃗i+1 + · · ·+ αn · a⃗n ,
onde
α1 , · · ·αi−1 ,αi+1 , · · · ,αn ∈ R .
6. Podemos provar que (veja o Corolário (3.6.1)) se a⃗ , b⃗ , c⃗ ∈ V2 são tais que os
vetores a⃗ , b⃗ são L.I. em V2, então o vetor c⃗ pode ser escrito como combinação
linear dos vetores a⃗ , b⃗, isto é, existem escalares
α ,β ∈ R ,
tal que
c⃗ = α · a⃗+ β · b⃗ .
7. Temos também que (veja a Proposição (3.6.4)): sejam a⃗1 , · · · , a⃗n ∈ V2.
Os vetores a⃗1 , · · · , a⃗n são L.I. em V2 se, e somente se, a única combinação linear
dos vetores a⃗1 , · · · , a⃗n que dá o vetor nulo é aquela que tem todos os escalares
(coeficientes), necessariamente, iguais a zero.
Na seção a seguir voltaremos a tratar de V3 e, mais adiante, voltaremos a fazer as corres-
pondentes considerações sobre V2.
3.7 Base de V3
Começaremos pela:
Definição 3.7.1 A uma tripla ordenada formada por três vetores linearmente indepen-
dentes, isto é,
{e⃗1 , e⃗2 , e⃗3} ⊆ V3
é L.I. em V3, daremos o nome de base ou base ordenada de V3, que será indicada por:
E .= (e⃗1 , e⃗2 , e⃗3) ou (e⃗1 , e⃗2 , e⃗3)E ou E = {e⃗1 , e⃗2 , e⃗3} ou {e⃗1 , e⃗2 , e⃗3}E .
76 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Temos as seguintes observações:
Observação 3.7.1
1. Se E = (e⃗1 , e⃗2 , e⃗3) é uma base (ordenada) de V3, então, do Corolário (3.6.2), segue
que cada vetor u⃗ ∈ V3 pode ser escrito como combinação linear dos vetores
e⃗1 , e⃗2 , e⃗3 ,
isto é, existem escalares
α1 ,α2 ,α3 ∈ R ,
tais que
u⃗ = α1 · e⃗1 + α2 · e⃗2 + α3 · e⃗3 .
2. Na situação acima, os escalares
α1 ,α2 ,α3 ∈ R
são unicamente determinados, ou seja, se
u⃗ = β1 · e⃗1 + β2 · e⃗2 + β3 · e⃗3 ,
com
β1 ,β2 ,β3 ∈ R ,
deveremos ter
β1 = α1 , β2 = α2 e β3 = α3 .
De fato, como
u⃗ = α1 · e⃗1 + α2 · e⃗2 + α3 · e⃗3 e u⃗ = β1 · e⃗1 + β2 · e⃗2 + β3 · e⃗3
então, subtraindo uma identidade da outra obteremos,
O⃗ = u⃗− u⃗ = (β1 · e⃗1 + β2 · e⃗2 + β3 · e⃗3)− (α1 · e⃗1 + α2 · e⃗2 + α3 · e⃗3)
= (β1 − α1) · e⃗1 + (β2 − α2) · e⃗2 + (β3 − α3) · e⃗3 .
Mas os vetores e⃗1 , e⃗2 , e⃗3 são L.I em V3 (pois formam uma base (ordenada) de V3).
Logo deveremos, necessariamente, ter:
β1 − α1 = β2 − α2 = β3 − α3 = 0 , ou seja, β1 = α1, β2 = α2 e β3 = α3 ,
como queríamos demonstrar.
3. Conclusão: fixada uma base (ordenada) E = (e⃗1 , e⃗2 , e⃗3) de V3, a cada vetor u⃗ ∈ V3,
podemos associar uma terna ordenada
(α1 ,α2 ,α3) ∈ R3 ,
formada pelos coeficientes da combinação linear obtida quando escrevemos o vetor
u⃗ em termos dos vetores da base (ordenada) E, de V3.
3.7. BASE DE V3 77
Com isto temos a:
Definição 3.7.2 À terna ordenada
(α1 ,α2 ,α3) ∈ R3 ,
obtida acima, daremos no nome de coordenadas do vetor u⃗, em relação à base (orde-
nada) E, de V3 e escreveremos (abuso da notação)
u⃗ = (α1 ,α2 ,α3)E ∈ R
3 .
À matriz coluna ⎛
⎜⎝
α1
α2
α3
⎞
⎟⎠ ,
daremos o nome de matriz das coordenadas do vetor u⃗ em relação à base (ordenada)
E, de V3 e será denotada por (u⃗)E , ou seja,
(u⃗)E
.
=
⎛
⎜⎝
α1
α2
α3
⎞
⎟⎠ .
Observação 3.7.2
1. É fundamental a ordem dos escalares
α1 ,α2 ,α3 ∈ R ,
para encontrarmos as coordenadas ou matriz das coordenadas de um vetor em
relação a uma base (ordenada) fixada E, de V3, ou seja, a ordem como esses
escalares aparecem é determinada pela ordem como escrevemos o vetor dado em
termos dos vetores da base (ordenada) de V3 dada (na ordem que estes últimos
aparecem na base (ordenada) de V3.
Por exemplo, fixada uma base (ordenada) de V3, que indicaremos por
E = (e⃗1 , e⃗2 , e⃗3) ,
se um vetor u⃗ é dado por
u⃗ = e⃗1 − e⃗2 + e⃗3 = 1 · e⃗1 + (−1) · e⃗2 + 1 · e⃗3 , (3.22)
então as coordenadas do vetor u⃗, em relação à base (ordenada) E, de V3, serão
dadas por:
u⃗ = (1 ,−1 , 1)E .
A ordem como aparecem os vetores da base (ordenada) de V3, na combinação
linear (3.22) acima, é definida pela ordem como os vetores aparecem na base
(ordenada): 1.o o vetor e⃗1, depois o vetor e⃗2 e por último o vetor e⃗3.
78 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Sua matriz das coordenadas, em relação à base (ordenada) E, de V3, será dada
por:
(u⃗)E =
⎛
⎜⎝
1
−1
1
⎞
⎟⎠ .
2. Na situação acima, o vetor v⃗, cuja coordenadas são dadas por:
v⃗ = (−1 , 1 , 1)E ,
em relação à base (ordenada) E, de V3, será o vetor
v⃗ = (−1) · e⃗1 + 1 · e⃗2 + 1 · e⃗3 = −e⃗1 + e⃗2 + e⃗3 .
3. Quando não houver dúvidas em relação à base (ordenada) de V3 que fixamos,
escreveremos apenas
u⃗ = (α1 ,α2 ,α3) ou (u⃗) =
⎛
⎜⎝
α1
α2
α3
⎞
⎟⎠ .
4. Veremos a seguir que, fixada uma base (ordenada) de V3, as operações com vetores
podem ser feitas diretamente com suas coordenadas (ou matriz das coordenadas),
facilitando muito o trabalho que envolvem esses cálculos.
Na verdade passaremos a fazer Geometria Analítica, ou seja, cálculos numéricos
que, em muitas situações, nos levará a resultados geométricos.
Para os próximos resultados fixaremos uma base (ordenada) E = (e⃗1 , e⃗2 , e⃗3) de V3.
Proposição 3.7.1 Temos que
O⃗ = (0 , 0 , 0)E .
Em particular,
(O⃗)E =
⎛
⎜⎝
0
0
0
⎞
⎟⎠ .
Demonstração:
De fato, pois
O⃗ = 0 · e⃗1 + 0 · e⃗2 + 0 · e⃗3 ,
logo, da Definição (3.7.2), segue que
O⃗ = (0 , 0 , 0)E
e assim, teremos
(O⃗)E =
⎛
⎜⎝
0
0
0
⎞
⎟⎠ ,
3.7. BASE DE V3 79
como queríamos demonstrar.
!
Para a adição de vetores utilizando as coordenadas dos mesmo temos a:
Proposição 3.7.2 Suponhamos que as coordenadas dos vetores u⃗ , v⃗ ∈ V3, em relação à
base (ordenada) E, de V3, são dadas por
u⃗ = (α1 ,α2 ,α3)E e v⃗ = (β1 ,β2 ,β3)E ,
respectivamente.
Então
u⃗+ v⃗ = (α1 + β1 ,α2 + β2 ,α3 + β3)E , (3.23)
isto é, as coordenadas do vetor u⃗+ v⃗ em relação à base (ordenada) E, de V3, são
obtidas somando-se as coorrespondentes coordenadas dos vetores u⃗ e v⃗ em relação à
base (ordenada) E, de V3, a saber:
(α1 ,α2 ,α3)E + (β1 ,β2 ,β3)E = (α1 + β1 ,α2 + β2 ,α3 + β3)E .
Ou ainda,
(u⃗+ v⃗)E =
⎛
⎜⎝
α1 + β1
α2 + β2
α3 + β3
⎞
⎟⎠ , (3.24)
isto é, a matriz das coordenadas do vetor u⃗+ v⃗, em relação à base (ordenada) E, de
V3, é obtida somando-se as matrizes coordenadas dos vetores u⃗ e v⃗, em relação à base
(ordenada) E, de V3, resumidamente,
(u⃗+ v⃗)E = (u⃗)E + (⃗v)E . (3.25)
Demonstração:
Basta observar que se
u⃗ = (α1 ,α2 ,α3)E e v⃗ = (β1 ,β2 ,β3)E ,
então, da Definição (3.7.2), segue que
u⃗ = α1 · e⃗1 + α2 · e⃗2 + α3 · e⃗3 e v⃗ = β1 · e⃗1 + β2 · e⃗2 + β3 · e⃗3 . (3.26)
Logo
u⃗+ v⃗
(3.26)
= (α1 · e⃗1 + α2 · e⃗2 + α3 · e⃗3) + (β1 · e⃗1 + β2 · e⃗2 + β3 · e⃗3)
= (α1 + β1) · e⃗1 + (α2 + β2) · e⃗2 + (α3 + β3) · e⃗3 .
Logo, da Definição (3.7.2), segue que as coordenadas do vetor u⃗+ v⃗, em relação à base
(ordenada) E , de V3, , serão dadas por
u⃗+ v⃗ = (α1 + β1 ,α2 + β2 ,α3 + β3)E ,
como queríamos mostrar.
Para a matriz das coordenadas dos vetores em questão, temos algo semelhante e sua
demonstração será deixada como exercício para o leitor.
!
Para a multiplicação de vetor por escalar, utilizando as coordenadas do mesmo, temos a:
80 CAPÍTULO 3. VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO
Proposição 3.7.3 Suponhamos que as coordenadas do vetor u⃗ ∈ V3, em relação à base
(ordenada) E, de V3, são dadas por
u⃗ = (α1 ,α2 ,α3)E
e α ∈ R.
Então
α · u⃗ = (αα1 ,αα2 ,αα3)E , (3.27)
isto é, as coordenadas do vetor α · u⃗, em relação à base (ordenada) E de V3, são obtidas
multiplicando-se as coordenadas do vetor u⃗, em relação à base (ordenada) E de V3, pelo
número real α, ou seja:
α (α1 ,α2 ,α3)E = (αα1 ,αα2 ,αα3)E .
Ou ainda
(α · u⃗)E =
⎛
⎜⎝
αα1
αα2
αα3
⎞
⎟⎠ , (3.28)
isto é, a matriz das coordenadas do vetor α · u⃗, em relação à base (ordenada) E, de V3, é
obtida multiplicando-se a matriz coordenadas do vetor u⃗, em relação à base (ordenada)
E, de V3, pelo número real α, resumidamente,
(α · u⃗)E = α (u⃗)E . (3.29)
Demonstração:
De fati, como
u⃗ = (α1 ,α2 ,α3)E ,
segue, da Definição (3.7.2), que
u⃗ = α1 · e⃗1 + α2 · e⃗2 + α3 · e⃗3 . (3.30)
Logo
α · u⃗ (3.30)= α · (α1 · e⃗1 + α2 · e⃗2 + α3 · e⃗3)
= (αα1) · e⃗1 + (αα2) · e⃗2 + (αα3) · e⃗3 ,
isto é, as coordenadas do vetor α · u⃗, em relação à base (ordenada) E , de V3, serão