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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA - ICTE Lista 2 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Profa.: LIDIANE SARTINI Derivadas de uma Função de uma Variável 01. Considerando que, caso exista, 0 ( ) ( ) '( ) lim x f a x f a f a x , calcule: a) f ’(2), se f(x) = x2 b) f ’(3), se 3( )f x x c) f ’(1), se 2 1, 1 ( ) 1 2 , 1 x se x f x x se x 02. Determinar a derivada das seguintes funções: a) f(x) = x3 - 2x – 1 b) ( ) 2 xf x xe c) 2 ( )f x x d) f(x) = ex cosx e) f(x) = senx +lnx f) ( ) xf x g) 1 ( ) 1 x f x x h) 33 2( )f x x x i) ( ) ln 2f x x j) ln ( ) xe x f x x k) arcctgx arctgx xf )( l) xxxf arccos.arcsen)( m) xarcxarcxf cscsec)( n) 22 6 )( ba bax xf o) xx xx xf cossen cossen )( p) xexxf x sen)1()( 03. Determine a derivada de f , utilizando a “regra da cadeia”, se: a) 6 )( c bax xf b) zarczf sen1)( c) 5 cos2sen3 )( xx xf d) xxxf 22 cossen)( e) ctgyctgyf )( f) zezf 5)( g) )72ln()( xxf h) xarcxf sec)( i) xxexf sen 2 )( j) )163sen()( 2 xxxf k) )5()( 2 ztgzf l) xxxf 22 cossen)( m) ctgyctgyf )( n) xxexf x )( o) )5cos(1 )2cos(1 )( z z zf p) 1ln)1ln()( xxxf q) tettf 2)( r) z azzf cos cos)( 04. Determine dx dy se: a) wuuy arcsen,sen e 2/1 xw b) wttarcy 2ln,cos e 3xw c) tarcuy u csc,2 e tgxxt cos 05. Determine xf se: a) xxxf sen)( 2 b) xxf cosln)( c) 2ln)( xxf 06. Determinar ' dy y dx das seguintes funções definidas implicitamente. a) 3 3 3x y a b) 3 2 2 0x x y y 07. Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou decrescentes. a) 2( ) 3 6 7f x x x b) 3 2( ) 2 4 2f x x x x c) ( ) 1 2 3f x x x x d) 1 ( )f x x x e) 2 ( ) 1 x f x x 08. Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados: a) ( ) 1 3 , [ 2,2]f x x b) 2( ) 4 3 3 , [0,3]f x x x c) 2( ) 4, [ 1,3]f x x d) 3 2( ) , [0,5]f x x x 09. Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados (usando o teste da 1ª derivada): a) 2( ) 3 6 1f x x x b) 3 2( ) 4 8f x x x c) 3 21 1( ) 6 5 3 2 h x x x x d) 1 ( ) 1 t f t t 10. Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das seguintes funções, nos intervalos indicados (usando o teste da 2ª derivada): a) 3 21( ) 3 7 9 3 h x x x x b) 2( ) 7 6 3f x x x c) 2( ) 4g x x x d) 2 4 ( ) 4 x g x x 11. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções têm concavidade voltada para cima ou para baixo. a) 3 2( ) 5 6f x x x x b) 4 3 2( ) 3 10 12 10 9f x x x x x c) 1 ( ) 4 f x x d) 3( ) 2 xf x x e 12. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R$ 380.000,00 para criar os bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter um boi. Os bois aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,00 o quilo, mais o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar seu lucro? 13. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível. 14. Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura a seguir. Se a barca tem uma velocidade de 18 km por hora, e os carros têm uma velocidade média de 50 km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais rápida possível? 15. Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos que mede 9 cm e 12 cm. Encontrar as dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada na figura a seguir. 16. Determine os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hospital. a) 2 22 4 4 lim 2x x x x x b) 2 3 22 6 lim 7 5x x x x x x c) 5 2 7 6 lim 4 2 4x x x x d) 0 lim cosxx x e x e) 2 3 12 2 3 lim ( 2) x x x RESPOSTAS 01) Definição 02) a) 2'( ) 3 2f x x b) '( ) 2( 1) xf x x e c) 2 2 '( )f x x d) '( ) (cos )xf x e x senx e) 1 '( ) cosf x x x f) '( ) .lnxf x x g) 2 1 1 '( ) . (1 ) f x x x h) 32 211'( ) 3 f x x x i) 2 '( )f x x j) 2'( ) ln ln 1 xe f x x x x x k) 2 2 '( ) (1 )( ) arctgx arcctgx f x x arcctgx l) 2 arccos arcsen '( ) 1 x x f x x m) 2 2 '( ) | | 1 f x x x n) 5 2 2 6 '( ) ax f x a b o) 2 2 '( ) (sen cos ) f x x x p) '( ) [( 1)cos sen ]xf x e x x x x 03) a) 5 6 '( ) a ax b f x c c b) 2 1 '( ) 2 1 1 f z z arcsenz c) xx xx xf cos2sen310 )sen2cos3(5 )(' d) '( ) 2 (2 )f x sen x e) 2cossec '( ) 2 cot y f x gy f) '( ) 5 zf z e g) 2 '( ) 2 7 f x x h) 1 '( ) 2 1 f x x x i) 2 '( ) (2 cos ) x senxf x x x e j) 2'( ) (6 6)cos(3 6 1)f x x x x k) 2'( ) 10. (5 ).sec (5 )f z tg z z l) Igual a letra d m) Igual a letra e n) 1 '( ) 2 x x x e xe f x xe x o) 2)]5cos(1[ )]2cos(1)[5(5)]5cos(1)[2(2 )(' z zzsenzzsen zf p) )1ln()22( )1ln(1 )(' xx x xf q) )12()(' 2 tetf t r) z azza zf z cos2 )lncos1(sen )(' cos 04) a) 12cos( ) 2 1 dy arcsen x dx x x b) 3 2 2 3 4ln 1 ln dy x dx x x c) 2 arccossec(cos t ) 2 sec 2 .ln 2. cos cos 1 x gxdy senx x dx x tgx x tgx 05) a) 2''( ) (2 ) 4 cosf x x senx x x b) 2''( ) secf x x c) 2ln 2 6ln ''( ) xf x x 06) a) 2 2 ' x y y b) 2 2 3 2 ' 2 x xy y x y 07) a) [ 1, ) crescente ( , 1] decrescente b) 2[ , ) ( , 2] crescente 3 2[ 2, ] decrescente 3 c) 7 7( , ] [ , ) crescente 3 3 7 7, decrescente 3 3 d) ( ,1] [1, ) crescente [ 1,0) (0,1] decrescente e) ( ,0] [2, ) crescente [0,1) (1,2] decrescente 08) a) 7 é máximo da função em [ 2,2] 5 é mínimoda função em [ 2,2] ( ) é decrescente em [ 2,2]f x b) 22 é máximo da função em [0,3] 13 é mínimoda função em [0,3] 4 1( ) 2 1( ) 2 f x crescente x f x decrescente x c) 5 é máximo da função em [ 1,3] 4 é mínimoda função em [ 1,3] ( ) 0 ( ) 0 f x crescente x f x decrescente x d) 100 é máximo da função em [0,5] 4 é mínimoda função em [0,5] 27 2( ) ( ,0] [ , ) 3 2( ) 0, 3 f x crescente f x decrescente 09) a) 2 é mínimoda função ( ) [ 1, ) ( ) ( , 1] f x crescente f x decrescente b) 4,74 é mínimoda função 0 é o máximo da função 4( ) ( ,0] [ , ) 3 4( ) [0, ) 3 f x crescente f x decrescente c) 373 é da função 2 72 é ponto de mínimo da função 3 ( ) ( , 3] [2, ) ( ) [ 3,2] ponto de máximo f x crescente f x decrescente d) 1 é da função 2 1 é ponto de mínimo da função 2 ( ) ( ,1] [1, ) ( ) [ 1,0) (0,1] ponto de máximo f x crescente f x decrescente 10) a) 1 é da função -7 é ponto de máximo da função ( ) ( , 7] [1, ) ( ) [ 7,1] ponto de mínimo f x crescente f x decrescente b) 3 é da função 7 3( ) 7 3( ) 7 ponto de mínimorelativo f x crescente x f x decrescente x c) 2 é ponto de máximo relativo da função ( ) 2 ( ) 2 f x crescente x f x decrescente x d) 2 é ponto de máximo -2 é ponto de mínimo ( ) 2 2 ( ) 2 2 f x crescente x ou x f x decrescente x 11) a) 5 5 , a função é côncava para cima; , a função é côncava para baixo 3 3 5 5 , é o ponto de inflexão 3 3 f b) 1 1 , (2, ) a função é côncava para cima; ,2 a função é côncava para baixo 3 3 1 1 , ; 2, 2 são pontos de inflexão 3 3 f f c) ( 4, ) a função é côncava para cima; , 4 a função é côncava para baixo Não existe pontos de inflexão, pois 4 ( )D f d) 22 , a função é côncava para cima; , a função é côncava para baixo3 3 2 2 , é o ponto de inflexão 3 3 f 12) 67 dias 13) 35; 35 14) 84,56 km da cidade. 15) 4,5 cm x 6 cm. 16) a) 0 b) 8 23 c) d) 1 e) 1
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