01 MA Matemática financeira

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MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
Professor Fábio Pereira de Andrade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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SUMÁRIO 
BLOCO 1: Juros simples e compostos: análise, diferenciação e aplicação ................... 03 
BLOCO 2: Fatores de conversão; equivalência de taxas e série uniforme de 
pagamentos .................................................................................................................. 09 
BLOCO 3: Sistemas de amortização .............................................................................. 16 
BLOCO 4: Indicadores nominais e reais ........................................................................ 22 
BLOCO 5: fluxo circular da renda, origem dos recursos para investimento e 
spready ......................................................................................................................... 29 
BLOCO 6: Técnicas de análise de investimento - valor presente líquido, payback 
descontado e taxa interna de retorno (tir) ................................................................... 35 
 
 
 
 
 
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BLOCO 1: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: ANÁLISE, DIFERENCIAÇÃO E 
APLICAÇÃO 
JUROS 
CONTEXTUALIZAÇÃO 
Cotidianamente ouvimos o termo Juros. Através da imprensa somos informados sobre a 
variação da taxa de Juros Selic, ouvimos também que os juros do limite para conta corrente é 
muito alto, que os juros para o rotativo do cartão de crédito estão entres os mais altos do mundo 
no Brasil. 
A partir desse volume de informação, é necessário conhecermos os significados desses termos! 
Esse conhecimento é útil para o planejamento financeiro pessoal, bem com, para enfrentar 
desafios profissionais. 
Considerando tais motivações, a etapa inicial consiste em apresentar dos conceitos inicias da 
matemática financeira! 
DEFINIÇÃO GERAL 
Segundo Lapponi (2014) a taxa de juros é uma remuneração, que expressa o resultado de uma 
transferência de recursos financeiros, o qual gera um devedor e um credor. O autor supracitado 
fundamenta as razões para essa remuneração da seguinte forma: “Se uma pessoa física ou 
jurídica empresta certa quantia de dinheiro, ela deixa de dispor desse capital por certo prazo e 
compensação recebe uma recompensa por esse sacrifício temporário” (LAPPONI, 2014, p. 2). 
Ou seja, em termos simples as taxas de juros são uma premiação por abrir mão do consumo no 
presente, para obter um valor maior no futuro. 
Para efeito de cálculo, em uma abordagem geral é possível estruturar o cálculo a partir da 
seguinte base: 
VALOR FUTUTO = CAPITAL INICIAL + JUROS 
 
 
 
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A fórmula acima permite identificar o total recebido de juros, porém, como destaca Lapponi 
(2014) para efeito de cálculo, é importante trabalhar com os juros na forma de taxa. Em termos 
de cálculo, é possível determinar essa taxa através da seguinte expressão: 
TAXA DE JUROS = JUROS / CAPITAL INICIAL. 
Exemplo Ilustrativo: 
João emprestou R$ 1.000,00 para Alex, o acordo celebrado previa o pagamento de R$ 100,00 
de Juros. Supondo que a devolução é feita em único pagamento, qual a taxa de juros? 
TAXA DE JUROS = 100 / 1000 = 0,10 
Alternativamente, 0,10 x 100 = 10%. 
A definição de uma fórmula aplicável precisa incorporar a variável tempo, pois é bastante 
razoável pensar que quanto maior o período de pagamento do empréstimo, maior será o valor 
dos Juros a ser pago. 
A incorporação da variável tempo precisa considerar a forma como a Taxa de Juros incidem 
sobre o Capital Inicial. Nesse sentido, as principais referências em matemática financeira 
apontam duas possibilidades de capitalização: simples e composta. 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 
Em uma abordagem inicial, a capitalização simples é um regime em que a remuneração incide 
apenas sobre o Capital Inicial, como consequência, o valor gerado pela taxa de juros varia de 
maneira linear ao longo tempo. 
Em uma definição técnica LAPPONI (2014, p. 47) afirma “no regime de juros simples os juros 
sempre são calculados sobre o capital inicial da operação e, por não ser reinvestido, o resgate 
será menor que no regime de juros compostos”. 
Como consequência da evolução linear dos valores gerados pelos juros, a fórmula que 
operacionaliza Valor Futuro, Capital Inicial, Juros e Tempo é: 
VALOR FUTURO = CAPITAL INICIAL X 1 + (TAXA DE JURO X PERÍODO) 
OU 
VF = CI x 1 + (i x n) 
 
 
 
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EXEMPLO ILUSTRATIVO: 
Carlos aplicou R$ 10.000,00 em um título financeiro pré-fixado, o rendimento deste título é de 
1% ao mês, considerando que essa quantia esteve aplicada durante 24 meses, qual será o valor 
recebido por Carlos? 
1% = 1/100 = 0,01 
VF = 10000 x 1 + (0,01 x 24) 
VF = 10000 x 1 + 0,24 
VF = 10000 x 1,24 
VF = 12400 
Ou seja, após 24 meses, Carlos poderá sacar R$ 12.400,00! 
A Tabela 1 ilustra a linearidade dos juros: 
Mês Capital Inicial Juros Juros Acumulado Valor Futuro 
1 R$ 10.000,00 R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 10.100,00 
2 R$ 10.000,00 R$ 100,00 R$ 200,00 R$ 10.200,00 
3 R$ 10.000,00 R$ 100,00 R$ 300,00 R$ 10.300,00 
4 R$ 10.000,00 R$ 100,00 R$ 400,00 R$ 10.400,00 
 
CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
Em uma abordagem inicial, no regime de juros compostos, o valor gerado pelos juros é 
incorporado ao capital inicial, de tal forma que os valores de juros são crescentes e o valor futuro 
cresce de maneira exponencial. 
A possibilidade de reaplicar o valor ganho com juros é destacada por LAPPONI (2014, p. 69): 
“Apreendemos que a remuneração de certa quantia reinvestindo os juros periódicos, durante o 
prazo da operação é maior que a mesma quantia sem reinvestir os juros. Com esse conceito, 
foram desenvolvidos os regimes de remuneração nas operações financeiras com dois capitais, 
com juros simples e com juros composto”. 
 
 
 
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Em termos técnicos, GITMAN (2009, p. 151) apresenta a seguinte definição “falamos de juros 
compostos para indicar que o valor dos juros obtidos sobre um determinado depósito tornou-
se parte do principal ao fim de um período qualquer”. 
A fórmula que orienta a capitalização composta é: 
 niVPVF  1 
VF = Valor Futuro 
VP = Valor Presente ou Capital Inicial 
i = Taxa de Juros 
n = Período 
EXEMPLO ILUSTRATIVO: 
Para notar as diferenças entre os sistemas de capitalização, vamos retomar o exemplo anterior. 
Carlos aplicou R$ 10.000,00 em um título financeiro pré-fixado, o rendimento deste título é de 
1% ao mês, considerando que essa quantia esteve aplicada durante 24 meses, qual será o valor 
recebido por Carlos? 
VF = 10000 x (1,01)24 
VF = 10000 x 1,27 
VF = 12700 ou R$ 12.700,00 
Para fim de demonstrar que os juros não são lineares foi construída a tabela a seguir: 
A Tabela 2: 
Mês Capital Inicial Juros Juros Acumulado Valor Futuro 
1 R$ 10.000,00 R$ 100,00 R$ 100,00 R$ 10.100,00 
2 R$ 10.100,00 R$ 101,00 R$ 201,00 R$ 10.201,00 
3 R$ 10.201,00 R$ 102,01 R$ 303,01 R$ 10.303,01 
4 R$ 10.303,01 R$ 103,03 R$ 406,04 R$ 10.406,04 
 
INSTRUMENTO DE CÁLCULO: CALCULADORA FINANCEIRA 
 
 
 
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A fórmula da capitalização composta sugere que cálculos financeiros podem ser complexos e 
lentos, dessa forma, os procedimentos de cálculos podem ser agilizados. Em termos técnicos, 
LAPPONI (2014, p. 9) aponta que “A ferramenta tecnológica é uma ferramenta que automatiza 
procedimentos de resolução algébrica, por meio de um programa cujas instruções são 
executadas numa calculadora como a HP-12C, ou uma função do Excel, um modelo como 
Operação Elementar, etc.”. 
A calculadora financeira HP12-C é apresentada na imagem a baixo: 
IMAGEM 1 
 
Lapponi (2014) apresenta um conjunto de orientações para utilização desse instrumento, dentre 
os quais se destacas: 
• Apertar simultaneamente [.] e [ON], para deixa-la no padrão brasileiro, com vírgula nos 
centavos 
• Apertar a tecla [ f ] e o número de casas que se deseja trabalhar para os cálculos. 
• PV (Valor Presente) ou C (Capital): será a expressão usada normalmente, no recurso 
investido ou emprestado 
• FV (Valor Futuro) ou M(Montante): será o valor apurado no final de cada período 
analisado, acrescido do capital mais juros 
• PMT (Periodic payMenT): será a expressão dada, ao valor de Parcelas ou de Prestações. 
• BEGIN (quando o pmt for apurado no início de cada n) 
 
 
 
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• END (quando o pmt for apurado no final de cada n) 
• i = Taxa de Juros: será aplicada em cada período de capitalização 
• n = expressa o número dos períodos de tempo 
• INT = Valor de juros pagos ou recebidos no período 
Retomando o exemplo adotado previamente: Carlos aplicou R$ 10.000,00 em um título 
financeiro pré-fixado, o rendimento deste título é de 1% ao mês, considerando que essa quantia 
esteve aplicada durante 24 meses, qual será o valor recebido por Carlos? 
10000 – CHS – PV 
1 – i 
24 – n 
FV – 
FV = R$ 12.700,00 
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES E COMPOSTA: ANÁLISE E APLICAÇÕES 
Como foi possível verificar no exemplo, há duas principais diferenças entre os regimes de 
capitalização: 
- Regularidade no valor dos juros, exclusivo na capitalização simples 
- Crescimento do Valor Futuro, na capitalização simples o crescimento é linear, enquanto na 
capitalização composto, o crescimento é exponencial. 
Segundo Lapponi (2014), há diferença quanto ao desdobramento prático, pois os juros simples 
sustentam as operações de desconto simples, enquanto as demais operações de investimento 
e financiamento do mercado financeiro brasileiro são regidas por juros compostos. 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2009. 
LAPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. 
 
 
 
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BLOCO 2: FATORES DE CONVERSÃO; EQUIVALÊNCIA DE TAXAS E SÉRIE 
UNIFORME DE PAGAMENTOS 
 
FATORES DE CONVERSÃO 
Considerando o cotidiano das operações financeiras, em algumas situações temos de apresentar 
taxas de juros equivalentes. Uma aplicação prática está na necessidade de apresentar a taxa de 
rendimento de uma aplicação em um período único, em posição as taxas fracionadas, 
geralmente mensais, que são informadas pelas diferentes instituições financeiras. 
Uma segunda aplicação está na apresentação de rentabilidade total, a qual pode ser demanda 
em apresentação de projetos e solicitação de aporte de recursos. 
Em termos técnicos, LAPPONI (2014, p. 95) estabelece que “duas taxas de juros com períodos 
diferentes são equivalentes se sobre um mesmo capital e num determinado prazo produzirem 
o mesmo juro composto”. 
A partir da definição apresentada é possível perceber que o foco das operações de conversão 
está no valor gerado pelos juros, assim a conversão é uma operação que busca identificar uma 
taxa de juros que para um período diferente da operação original gera o mesmo valor de juros. 
Em termos de fórmula, a conversão é: 
i = (1 + i)n – 1 
Aplicação: 
Matilde precisa apresentar os resultados financeiros gerados por sua carteira de investimento. 
Ao iniciar a operação ela dispunha de R$ 100.000,00 ao final de 16 meses o montante era R$ 
141.649,27. Qual a rentabilidade mensal? Qual a taxa de rentabilidade do período? 
Nesse exemplo, a etapa inicial consiste em descobrir a taxa de juros (rentabilidade) mensal. 
Assim, aplica-se a fórmula: 
VF = VP x (1 + i)n 
 
 
 
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141649,27 = 100000 x (1 + i)16 
141649,27 : 100000 = (1 + i)16 
1,4164927 = (1 + i) 16 
1,41649271/16 = 1 + i, o termo 1,41649271/16 designa a raiz a 16° 
1,022 = 1 + i 
1,022 – 1 = i 
0,022 = i 
0,022 x 100 = 2,2% i 
Para descobrir a taxa equivalente: 
1 + i = (1 + 0,022) 16 
1 + i = 1,4164927 
i = 1,4164927 – 1 
i = 0,4164927 x 100 = 41,65% 
Ou seja, ao longo de todo o período a rentabilidade gerada foi de 41,65%. 
Como destaca a literatura, as calculadoras financeiras são instrumentos que auxiliam na 
resolução dessas questões, assim, vejamos como resolver a questão da equivalência de taxa na 
calculadora HP 12c. 
1) Para determinação da taxa mensal 
100000 – CHV – VP 
141649,27 – FV 
16 – N 
i = 2,2 
2) para determinação da taxa para o período 
100000 – CHV – VP 
 
 
 
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141649,27 – FV 
1 – N 
i = 41,65 
 
EQUIVALÊNCIA DE TAXA 
 
 
 
 
 
 
A Figura acima chama-se Fluxo de Caixa, é utilizada na Matemática Financeira para tratar a 
equivalência entre Valor Presente e Valor Futuro ou a soma de Valores Futuros. Além dessa 
figura ilustrativa, a equivalência entre valores opera com uma adaptação da fórmula central da 
Matemática Financeira, especificamente: 
VP = VF : (1+i)n 
Nesses casos, segundo Gitman (2010) o valor do fluxo é trazido a Valor Presente. Ainda segundo 
esse autor, a correspondência pode se restringir a um único valor ou a soma de valores futuros. 
Do ponto de vista prático, o Fluxo de Caixa permite fornece base para operações que envolvem 
a equivalência entre dois valores, como em um empréstimo liquidado em um único pagamento, 
alternativamente, esse instrumento possibilita organizar operações que financeiras que 
envolvem a equivalência entre o saque (ou recebimento) de um valor presente e o pagamento 
em diversos valores futuros. Essa segunda situação é denominada Série Uniformes de 
Pagamentos e será tema da última parte desse bloco. 
Exemplo: 
 
 
 
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Raymundo recebeu um bônus de sua empresa, parte desse valor será investido. Raymundo tem 
como objetivo comprar um veículo SUV no espaço de 10 meses, considerando que ele tem 
acesso a uma aplicação com rendimento mensal de 0,9% e que o valor veículo é R$ 145.000,00, 
qual o valor deverá ser poupado hoje? 
 
 R$ 145.000,00 
 
 
 
 
 
 
 VP = ? 
 
VP = 145000 : (1,009)11 
VP = 145000 : 1,1036 
VP = R$ 131.390,87 
RESOLUÇÃO NA CALCULADORA FINANCEIRA HP12C 
145000 – FV 
11 – n 
0,9 – i 
VP 
Resposta: - 131.390,87. 
 
 
 
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O sinal negativo na frente do resultado designa que por se tratar de um Valor Presente, esse 
valor se refere a contração de uma dívida ou um desembolso de caixa. 
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS 
Em uma abordagem ampla e inicial, Séries Uniformes de Pagamento designam operações 
financeiras que se caracterizam pelo pagamento (ou recebimento) de prestações de valores 
idênticos durante um período de tempo pré-estabelecido. 
Gitman (2010) denomina Série Uniforme de Pagamentos por anuidade, em termos específicos: 
“Anuidade é uma série de fluxos de caixa periódicos iguais, ao longo de um determinado tempo. 
Esses fluxos de caixa costumam ser anuais, mas podem ocorrer a intervalos diferentes, como 
mensais (aluguel, prestação do carro). Os fluxos de caixa de uma anuidade podem ser entradas 
(os $ 3.000 recebidos ao fim de cada ano pelos próximos 20 anos) ou saídas (os $1.000 investidos 
ao fim de cada ano pelos próximos cinco anos) de caixa” GITMAN (2010, p. 157) 
Ainda segundo esse autor, nas Séries Uniformes de Pagamentos o valor das parcelas é 
denominado PMT, isto é, Periodic Payment. 
A fórmula matemática para determinação do PMT é: 
 
 
 
Como é possível deduzir, a aplicação da fórmula demanda tempo, bem como, amplia a 
possibilidade de erro, dessa forma, os cálculos relativos as Séries Uniformes de pagamento são 
facilitados com o uso de planilhas eletrônicas ou calculadora financeira. 
Em uma abordagem mais detalhista, Gitman (2010) informa que existem duas categorias de 
Séries Uniformes de Pagamento: ordinária e antecipada. As Séries Uniformes Ordinárias se 
caracterizam pelo fato do pagamento ocorrer no fim de cada período do pagamento, enquanto 
as Séries Uniformes Antecipadas se caracterizam pelo fluxo de caixa estar estruturado no início 
do período. 
 
 
 
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Cabe destaca que as distinções precisam ser informadas para a calculadora financeira. Assim, ao 
iniciar um cálculo o primeiro procedimento consiste em: 
- No caso de uma Série Uniforme de Pagamentos Ordinária deve-se digitar g(tecla azul) e 8 
(END). 
- No caso de uma Série Uniforme de Pagamentos Antecipada deve-se digitar g (tecla azul) e 7 
(BEG). 
EXEMPLO 
Suponha que João deseja poupar R$ 1.000.000,00, ele espera ter esse valor em 15 anos, para 
isso, identificou uma aplicação cujos rendimentos são de 1% ao mês. Quais seriam os valores 
dos depósitos mensais que João precisa fazer, considerando Séries Uniformes Ordinárias e 
Antecipadas. 
 
Resolução para Série Uniforme Ordinária 
g 8 (END) 
1000000 – FV 
1 – i 
180 – n 
PMT: -2.001,68 
O sinal negativo na frente ilustra que João precisará retirar R$ 2.001,68 de seu orçamento 
mensal para dispor de R$ 1.000.000,00 após 15 anos. 
 
Resolução para Série Uniforme Antecipada 
g 7 (BEG) 
1000000 – FV 
1 – i 
 
 
 
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180 – n 
PMT: - 1.981,86 
O sinal negativo na frente ilustra que João precisará retirar R$ 1.981,86 de seu orçamento 
mensal para dispor de R$ 1.000.000,00 após 15 anos. 
Ou seja, se o poupador tiver a oportunidade de aplicar de maneira antecipada, ele conseguira o 
mesmo valor com menor desembolso! 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2009. 
LAPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. 
 
 
 
 
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BLOCO 3: SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO 
Em termos introdutórios, Sistemas de Amortização consistem em tabelas que visam organizar a 
incidência de juros sobre operações financiamento, como desdobramento, os diferentes 
sistemas geram diferentes formas de pagamento e velocidade na quitação das dívidas. 
Em uma perspectiva geral, Lapponi (2014) apresenta duas características dos sistemas de 
amortização: 
1) As prestações são periódicas. 
2) Os juros incidem sobre o saldo devedor. 
Independente da forma de organização da tabela, a fórmula que fornece a base é: 
Valor da Parcela = Juros + Amortização 
A amortização é o valor que se destina a quitação do saldo devedor, isto é, o saldo devedor 
diminui em virtude da quantia periodicamente destinada à amortização. 
Sistema de Amortização Francês: Tabela Price 
Segundo Lapponi (2014), a principal característica do Sistema de Amortização Francês é que o 
valor da parcela é constante. 
Assim, o cálculo se inicia pela determinação do valor da parcela fixa, retomando o conceito PMT 
(Peridioc Payment). 
O segundo procedimento para estruturação da Tabela Price consiste na determinação do valor 
correspondente aos juros, calculado sobre o saldo devedor. 
O terceiro procedimento é determinar a amortização, através da subtração do valor dos juros 
em relação ao PMT. Especificamente: 
Amortização = PMT – Juros. 
O quarto e útimo procedimento consiste na atualização do Saldo Devedor, que implica em 
diminuir do valor da dívida a amortização, isto é: 
 
 
 
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Saldo Devedor = Dívida Anterior – Juros. 
Como último apontamento, cumpre destacar que a Tabela Price é a modalidade mais utilizada 
nas operações de empréstimos e financiamentos dentro do sistema financeiro brasileiro. 
Exemplo: 
Gabriela fez um empréstimo na cooperativa de crédito de sua empresa, ela captou R$ 10.000,00 
para pagar em 5 anos, com parcelas anuais sob 6% de juros ao ano. A forma de pagamento é 
estruturada sob Tabela Price. A partir dessas informações, estrutura-se a tabela. 
Resolução na Caluladora HP 12c 
1) Determinação do Valor da Parcela 
10000 – CHS – VP 
5 – n 
6 – i 
PMT = R$ 2.373,96 
1.1) Montagem da Tabela 
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 
1 R$ 10.000,00 R$ 1.773,96 R$ 600,00 R$ 2.373,96 
2 R$ 8.226,04 R$ 1.880,40 R$ 493,56 R$ 2.373,96 
3 R$ 6.345,64 R$ 1.993,22 R$ 380,74 R$ 2.373,96 
4 R$ 4.352,42 R$ 2.112,81 R$ 261,15 R$ 2.373,96 
5 R$ 2.239,58 R$ 2.239,58 R$ 134,38 R$ 2.373,96 
 
2) Determinação do valor dos juros: 
6% de R$ 10.000,00 
10000 x 0,06 = 600 
3) Determinação do valor da Amortização: 
2373,96 – 600 = R$ 1.773,96 
 
 
 
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4) Determinação do Saldo Devedor: 
10000 – 1773,96 = R$ 8.226,04 
Para finalizar, cabe registrar que nessa operação, a captação de R$ 10.000,00 corresponde ao 
pagamento de R$ 11.869,80. 
Assim, o total de juros nessa operação é de R$ 1.869,80. 
 
Sistema de Amortização Constante – Tabela SAC 
Segundo registra Lapponi (2014), o Sistema de Amortização Constante se caracteriza pelo fato 
do valor da amortização ser constante, de tal forma, que a determinação desse valor constituí a 
primeira atividade. Em termos de cálculo, o primeiro cálculo é: 
Amortização = Dívida Total: número de parcelas. 
Após determinação do valor de amortização, o passo seguinte consiste na determinação do 
valor dos juros. Cálculo feito a partir da aplicação da taxa de juros sobre o saldo devedor. 
A terceira etapa consiste na determinação do valor da prestação, que consiste na soma entre o 
valor da amortização e o valor dos juros. 
Por fim, a atualização do saldo devedor é feita através subtração da amortização em relação ao 
saldo devedor. Especificamente: 
Saldo Devedor Atual = Saldo Devedor Anterior – Amortização. 
Antes de passar ao exemplo, cabe destacar que no mercado brasileiro o Sistema de Amortização 
Constante (SAC) é aplicado no crédito imobiliário, em especial, na aquisição de imóveis novos e 
usados pelo Sistema Financeiro da Habitação. 
Exemplo: 
Gabriela fez um empréstimo na cooperativa de crédito de sua empresa, ela captou R$ 10.000,00 
para pagar em 5 anos, com parcelas anuais sob 6% de juros ao ano. A forma de pagamento é 
estruturada sob o Sistema de Amortização Constante. A partir dessas informações, estrutura-se 
a tabela. 
Resolução na Calculadora HP 12c 
 
 
 
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1) Determinação do Valor da Amortização 
Amortização = 10.000: 5 = 2.000 
Amortização = R$ 2.000,00 
1.1) Montagem da Tabela 
Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 
1 R$ 10.000,00 R$ 2.000,00 R$ 600,00 R$ 2.600,00 
2 R$ 8.000,00 R$ 2.000,00 R$ 480,00 R$ 2.480,00 
3 R$ 6.000,00 R$ 2.000,00 R$ 360,00 R$ 2.360,00 
4 R$ 4.000,00 R$ 2.000,00 R$ 240,00 R$ 2.240,00 
5 R$ 2.000,00 R$ 2.000,00 R$ 120,00 R$ 2.120,00 
 
2) Determinação do valor dos juros: 
6% de R$ 10.000,00 
10000 x 0,06 = 600 
3) Determinação do valor da Prestação: 
2000,00 + 600 = R$ 2.600,00 
4) Determinação do Saldo Devedor: 
10000 – 2000,00 = R$ 8.000,00 
Para finalizar, cabe registrar que nessa operação, a captação de R$ 10.000,00 corresponde ao 
pagamento de R$ 11.800,00. 
Assim, o total de juros nessa operação é de R$ 1.800,00. 
Comparação entre Tabela Price e SAC 
A partir dos resultados encontrados, é possível observar as seguintes distinções: 
- Os valores das Prestações são inicialmente maiores na tabela SAC 
- Os valores da Prestação são inicialmente mais altos na tabela SAC 
 
 
 
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- A tabela SAC propicia gera um valor menor para o pagamento de juros. 
- O saldo devedor declina mais rapidamente na Tabela SAC 
A última característica ajuda a explicar porque a Tabela SAC é utilizada no Financiamento de 
Imóveis, pois a rápida redução do Saldo Devedor é uma característica que interessa ao Credor e 
ao Devedor. 
Gráfico I 
 
 Fonte: elaboração própria. 
Esses resultados sacramentam que a Tabela SAC é superior a Tabela Price? 
Segundo LAPPONI (2014, p.257) não é possível estabelecer uma comparação definitiva, pois ao 
contratar crédito o devedor conhece as informações acerca dos juros e da forma de evolução 
de seu saldo devedor. Por outro lado, o credor precisa ser recompensado pelo recurso aplicado. 
Esse autor destaca ainda que há oportunidade de reinvestimento de valores, fato que faz com 
que a rentabilidade exigida seja alta. 
 
 
 
 
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1 2 3 4 5
Comparação SAC x PRICE
PRICE SAC
 
 
 
21 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2009. 
LAPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014.22 
 
 
BLOCO 4: INDICADORES NOMINAIS E REAIS 
Indicadores e Indexação 
Taxas de juros e rentabilidade afeta decisões estratégicas para empresas e pessoas, além desses 
números, pessoas e empresas precisam ficar atenta a conjuntura econômica, em especial a 
forma com que os preços evoluem. Atentar-se a essa dimensão é importante, pois existe uma 
relação juros e inflação. 
Segundo Assaf Neto e Lima (2008) mostram que as receitas de uma empresa são influenciadas 
pela ampliação de vendas e/ou preços, em contextos econômicos em que os preços sobem 
muito rapidamente (contexto inflacionário) os resultados são explicados por essa mudança, ao 
invés de serem explicado pela melhoria nas vendas. 
A partir dessa consideração, é preciso destacar que a história brasileira é marcada por processos 
de inflação e hiperinflação (Paulani e Braga, 2007), como resultado desse histórico, em uma 
abordagem inicial e ampla, cumpre destacar que o processo de determinação das taxas de juros 
embute índices de inflação. 
Em termos específicos, ASSAF NETO e LIMA (2008, p.86) a relação entre taxas de juros e inflação 
é denominado de indexação, definido como: “O processo de indexação consiste em transformar 
determinados valores nominais em moeda representativa de um mesmo poder aquisitivo 
posterior, isto é, a indexação supõe a transformação de dados, disponíveis no início de um 
período, em valores compatíveis com a capacidade de compra verificada posterior”. 
Em termos mais simples, a partir da explicação dos autores é possível concluir que a Indexação 
implica é procedimento que permite embutir a inflação dentro de outros indicadores, sobretudo 
juros! 
Inflação 
Em uma abordagem inicial, a inflação é uma medida numérica da variação de preços de um dado 
conjunto de mercadorias e serviços em um intervalo de tempo fixo. Dessa forma, ainda que em 
um texto inicial, é possível entender porque a imprensa divulga diferentes siglas e resultados 
 
 
 
23 
 
para inflação, a diversidade é resultado dos diferentes tipos e quantidades de serviços 
considerados em cada um dos índices. 
Em termos específicos, HOFFMAN (2006, p. 311) explica que a inflação é medida através de 
índices de preços, cuja definição é: 
“O índice simples de preços agregados ou índice agregativo de preços para um conjunto de 
mercadorias em um período t é a relação entre o somatório dos preços das mercadorias no 
período t e o somatório dos preços da mercadoria no período escolhido como base”. 
Ainda segundo HOFFMAN (2006, p. 309-310) as diferenças entre os índices de inflação refletem 
o seu processo de construção, o qual implica em escolher em três etapas: 
a) escolha de uma amostra. Dificilmente se pode operar com todos os 
elementos integrantes do fenômeno que se investiga, sendo portanto, 
necessário escolher uma amostra representativa do conjunto... b) 
Escolha do período base. Costuma-se dizer que ao escolher a base para 
o cálculo de um índice, deve-se evitar os “anos anormais”... c) Escolha 
do método de cálculo, feita tendo em vista a finalidade do índice e a 
disponibilidade de dados. 
A presente apresentação técnica mostra que critérios científicos fundamentam a existência de 
diferentes indicadores, mais do que isso, como destacado na terceira dimensão de escolha, os 
diferentes índices se relacionam com os diferentes objetivos almejados para cada um deles. 
Voltemos à abordagem simples, porém prática, para efeito de mensuração do custo mensal, os 
produtos e serviços consumidos por famílias e empresas são muito diferentes, bem como, o 
conjunto de elementos trabalhados em um mês é muito diferente entre empresas, posto as 
diferentes atividades que elas podem exercer. 
Como consequência, há diferenças significativas nos tipos de amostras selecionadas para 
estruturar os índices. 
Índices de Inflação no Brasil 
Segundo Carmo (2004), no Brasil os índices de inflação são produzidos por três instituições: 
Fundação Instituto de Pesquisa Econômica (FIPE); Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística 
(IBGE) e Fundação Getúlio Vargas. 
 
 
 
24 
 
Índices de Inflação do IBGE: 
Ainda segundo CARMO (2004, p.354-355) toda base a base de cálculo do IBGE remete a o 
Sistema Nacional de Índices de Preço ao Consumidor. O desdobramento é o Índice Nacional de 
Preço ao Consumidor Restrito (INPC restrito). 
Conforme destaca o auto supracitado, a base amostral do INPC foi construída a partir dos 
resultados da Pesquisa de Orçamentos Familiares (POF), tendo em vista alcançar família cuja 
renda é fruto do trabalho assalariado, com rendimentos entre 1 e 8 salários mínimos em 9 
regiões metropolitanas. 
Segundo o IBGE (2006) essas nove regiões são: Rio de Janeiro; Porto Alegre; Belo Horizonte; 
Recife; São Paulo; Brasília; Belém; Fortaleza; Salvador; Curitiba e Goiânia. CARMO (2004, p.355) 
argumenta que a definição de um índice de inflação representativo do trabalhador assalariado 
está relacionada com a necessidade de criar um índice oficial para reajuste do salário mínimo. 
A coleta de preços é feita mensalmente, após a coleta, os preços são comparados com o período 
de base de cálculo. 
A imagem abaixo sintetiza as informações acerca dos produtos e serviços considerados para o 
cálculo desse índice: 
 
Imagem 1 
 
 
 
25 
 
 
Fonte: IBGE (2006, p.38). 
 
 
 
 
 
26 
 
Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) 
Segundo Carmo (2004), INPC e IPCA possuem a mesma cobertura geográfica e método de 
cálculo. 
Como principal elemento diferenciador é a base analítica, mais ampla, pois considera família 
cuja renda familiar está entre 1 e 40 salários mínimos. Em termos de objetivo, esse índice foi 
desenvolvido para ser um indexador do mercado financeiro, em especial para correção 
monetária para as Demonstrações Financeiras. Como ressaltam Assaf Neto & Lima (2008) desde 
1999 esse índice é utilizado como referência para definir os juros dentro do regime de metas de 
inflação do Banco Central. 
A Tabela 1 ilustra o peso (percentual %) de cada produto e serviço consumido: 
 
Fonte: www.portalbrasil.net acesso em 04.11.2018 
 
http://www.portalbrasil.net/
 
 
 
27 
 
Indicador da FIPE: 
O Índice de Preço ao Consumidor (IPC-FIPE) é calculado para o município de São Paulo, com 
famílias cuja renda familiar varia entre 1 e 20 salários mínimos. A Tabela 2 ilustra a cesta de 
consumo que compõe o IPC: 
 
Tabela 2: 
Produto ou Serviço Poderação (%) 
Habitação 32,7925 
Alimentação 22,7305 
Transportes 16,0309 
Despesas Pessoais 12,2985 
Saúde 7,0756 
Vestuário 5,2893 
Educação 3,72827 
Fonte: CARMO (2004, p.358). 
Indicadores de Inflação da Fundação Getúlio Vargas: 
O Índice de Preços no Atacado (IPA) destina-se à fornecedores, especificamente, busca indexar 
contratos. 
Segundo CARMO (2004, p. 360-361) é calculada a partir de uma amostra de 477 produtos, 1.651 
informantes cadastrados e 1.600 preços de matéria-prima agrícolas e industriais. 
Ainda seguindo os apontamentos do autor supracitado, os coeficientes são calculados com base: 
no valor de transformação industrial; valor da transformação agropecuária. 
O Índice de Preços ao Consumidor para o Brasil (IPC-BR) mensura a evolução dos preços em 11 
municípios brasileiros, em relação ao IPC do IBGE esse índice incorpora o município de 
Florianópolis (Carmo, 2004), considerando famílias cuja renda entre 1 e 33 salários mínimos. 
O IPC-BR incorpora 480 mercadorias e serviços, o sistema de coleta de preços é feita por donas 
de casa que recebem treinamento prévio na FGV. 
 
 
 
28 
 
Por fim, o Índice Geral de Preços (IGP-DI) um índice muito utilizado como indexador, em 
especial, em contratos de aluguel e prestação de serviços em geral. Diferentemente dos demais, 
esse índice é calculado através da seguinte fórmula: 
IGP = 0,6 x IPA + 0,3 x IPC-BR + 0,1 x INCC 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
ASSAF NETO, Alexandre; LIMA, Fabiano Guasti. Curso de AdministraçãoFinanceira. 1. ed. São 
Paulo: Editora Atlas, 2009. 
CARMO, Heron Carlos Esvael. Como Medir Inflação: os números-índices de preços. In: Pinho, 
Dina Benevides e Vasconcellos, Marco Antônio. Manual de Economia – Equipe de Professores 
da USP, 5. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2004. 
HOFFMANN, R. Estatística para Economistas. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thpomson Learning. 
LAPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014. 
 
 
 
 
29 
 
 
BLOCO 5: FLUXO CIRCULAR DA RENDA, ORGEM DOS RECURSOS PARA 
INVESTIMENTO E SPREADY 
Introdução 
Os materiais produzidos para ensino de Matemática Financeira costumam se concentrar na 
apresentação e aplicação de fórmulas. Apesar de parecer óbvia, essa postura suscita bastante 
resistência e dificuldades para aprendizado. Tendo em vista este problema, optou-se por 
adicionar ao presente material uma seção para abordar uma dimensão ampla acerca da 
formação de recursos para investimento. 
Nesse sentido, as relações econômicas serão exploradas a partir do fluxo circular da renda. 
Fluxo Circular da Renda 
Em uma primeira dimensão, o Fluxo Circular da Renda é um modelo de representação da 
movimentação de recursos econômicos, que estrutura as entradas e saídas de diferentes atores 
econômicos, como resultado complementar, as movimentações permitem a definição de 
diferentes tipos de mercado. 
Segundo FONSECA (2004, p.269) a representação do Fluxo Circular da Renda permite entender 
os componentes da economia em um determinado período de tempo, especificamente: “Ao 
optar por medir o desempenho econômico pelo produto nacional, estamos decidindo fazê-lo 
por meio do valor total das transações como bens finais durante um certo período de tempo”. 
Ou seja, as negociações de bens finais dão origem aos recursos financeiros abordados pela 
matemática financeira. No entanto, o rastreamento apontado possui apenas um caráter inicial, 
para aprimorar a identificação das fontes dos recursos é necessário abordar os atores deste 
sistema, bem como, os mercados formados. 
Nesse sentido, FONSECA (2004, p.269) aponta que os dois agentes básicos são as firmas 
(empresas) e os indivíduos, enquanto, as interações desses agentes criariam dois mercados, o 
mercado monetário e o mercado real, este último subdividido em dois, a saber, o mercado de 
fatores de produção e o mercado de bens e serviços. 
 
 
 
30 
 
Figura 1: Mercado Real 
 
Fonte: Elaboração própria a partir de Fonseca (2004) 
 
No Mercado de Fatores de Produção são negociados elementos que permitem que a produção 
ocorra, especificamente: mão-de-obra e equipamentos. Considerando as duas unidades 
analisadas, as famílias ofertam mão-de-obra, enquanto as empresas demandam esse fator. 
Como desdobramento imediato dessa estrutura, a remuneração da mão-de-obra dependerá das 
condições de oferta e demanda. Em situações de excesso de demanda, a remuneração deverá 
aumentar, por outro lado, em situações em que a oferta de mão-de-obra é superior à demanda 
geram queda na remuneração desse fator. 
No Mercado de Bens e Serviços são negociados os produtos gerados pelas empresas, assim, as 
famílias assumem a posição de demandantes, enquanto as empresas assumem a posição de 
demandantes, enquanto as empresas assumem a função de ofertantes. A partir dessa 
estruturação, o preço de bens e serviços variará seguindo os princípios de mercado, ou seja, 
diante de excesso de demanda os preços subirão, em situação de excesso de oferta os preços 
cairão. 
Após ilustrar como esses mercados operam individualmente, cabe relacioná-los. Uma vez que 
essa interação propiciará identificar a fonte dos recursos para investimento financeiro. 
Em termos gerais, a função das famílias faz com que os recursos financeiros sejam adquiridos 
no mercado de fatores e gastos no mercado de bens e serviços, como consequência, a 
disponibilidade de recursos para aplicações financeiras dependerá de os recebimentos serem 
 
 
 
31 
 
superiores aos gastos, assim, a predisposição a poupança, consumo e as condições desse 
mercado ajudam a explicar as fontes de recursos para investimento das famílias. 
Por sua vez, a função das empresas faz com que com que os recursos financeiros sejam oriundos 
do mercado de bens e serviços, por conseguinte, a disponibilidade de recursos para aplicações 
financeiras dependerá de as receitas serem superiores aos custos, assim, a predisposição ao 
investimento em novas máquina e equipamentos, a estrutura de custos de produção e as 
condições desse mercado ajudam a explicar as fontes de recursos para aplicação financeira das 
famílias. No entanto, cabe ressaltar uma dimensão, a realização de investimento em máquinas 
e equipamentos diminui de maneira imediata as fontes para aplicação financeira, no entanto, 
essa postura implica em ampliação da demanda por trabalho, fato que aumenta a renda das 
famílias e, potencialmente, amplia a possibilidade de consumo e, por conseguinte a receita das 
empresas. 
A interligação entre as funções de famílias e empresas é elucidada na abordagem do mercado 
monetário do fluxo circular da renda. 
Figura 2: Mercado Monetário 
 
Fonte: Elaboração própria a partir de Fonseca (2004) 
Como é possível depreender da Figura 2, no Mercado Monetário o fluxo de moeda segue as 
remunerações determinadas no Mercado de Fatores de Produção, para o caso das famílias, bem 
como, a receita de vendas do Mercado de Bens e Serviços. Dessa forma, a origem de 
investimento não pode ser explicada pela posse de moeda, mas como visto previamente, pela 
dinâmica no Mercado Real (Fatores de Produção e Bens e Serviços). 
A união do Mercado Real e do Mercado Monetário compõem a ilustração completa do Fluxo 
Circular da Renda. 
Figura 3: Fluxo Circular da Renda 
 
 
 
32 
 
 
Fonte: Elaboração própria a partir de Fonseca (2004) 
Por fim, para efeito de síntese, as fontes para as aplicações financeiras que caracterizam a 
economia e a matemática financeira são: 
- Os recursos poupados pelas Famílias. 
- Os recursos poupados pelas Empresas. 
- Uma parcela dos recursos direcionados para investimentos produtivos das empresas. 
Spread e Spread Bancário 
Além de explicar a origem dos recursos para aplicação financeira, é necessário abordar uma 
segunda questão de ordem prática pouco explorada nos livros de matemática financeira. Qual 
seja? As significativas diferenças entre juros para aplicação e juros para empréstimos. 
Essa diferença está relacionada ao Spread e Spread praticado pelos bancos. A figura abaixo 
propicia um entendimento inicial sobre o assunto. 
 
Figura 3: Spread 
 
 
 
33 
 
 
Fonte: Elaboração própria a partir de Assaf Neto (2015) 
 
Em termos estritos, ASSAF NETO (2015, p. 389) define Spread da seguinte forma: 
“Margem de ganho medida pela diferença entre a taxa de aplicação e a taxa de captação. Pode 
ser entendido também como um acréscimo de risco às taxas de juros. Por exemplo, um 
empréstimo pode ser concedido cobrando-se uma taxa de juro mais um percentual 
representativo do risco de operação”. 
 Em termos ilustrativos: 
Figura 4: Exemplo de Spread 
 
Fonte: Elaboração própria a partir de Assaf Neto (2015) 
Segundo ASSAF NETO (2015, p. 150) os fatores que explicam o Spread Bancário são: 
- Taxa de captação paga pelo banco. 
- Impostos indiretos e contribuições sociais, especificamente, IOF e COFINS. 
- Despesas administrativas e judiciais pagas pelo banco. 
- Inadimplência, isto é, percentual de operações de empréstimos que não são quitados. 
Captação Spread Rentabilidade
Captação
Poupança
Spread (diferença)
Rentabilidade
Empréstimo
 
 
 
34 
 
- Imposto de Renda sobre Lucro Líquido do banco. 
- Contribuição Social do Lucro Líquido do banco 
- Margem de Lucro desejada pelo Banco. 
- Despesas Operacionais do banco. 
Por fim, apesar da literatura não registrar, cabe destacar que o mercado bancário brasileiro se 
caracteriza por uma estruturaoligopolista. Como consequência, há pouco incentivo para os 
bancos adotarem margens de lucros baixa, como estratégia de diferencial competitivo. 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
ASSAF NETO, Alexandre. Mercado Financeiro. 13. ed. São Paulo: Editora Atlas, 2015. 
FONSECA, Marcos Giannetti. Medidas da Atividade Econômica. In: Pinho, Dina Benevides e 
Vasconcellos, Marco Antônio. Manual de Economia – Equipe de Professores da USP, 5. ed. São 
Paulo: Editora Saraiva, 2004. 
 
 
 
 
35 
 
 
BLOCO 6: TÉCNICAS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTO - VALOR PRESENTE 
LÍQUIDO, PAYBACK DESCONTADO E TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) 
 
Introdução 
Em uma perspectiva prática, o cotidiano das organizações demanda tomadas de decisões, 
dentre as quais se destacam às relativas a aquisição de novos equipamentos e/ou contratação 
de novos serviços. 
A partir dessa demanda, a matemática financeira propõe um conjunto de técnicas que 
possibilita aos gestores tomarem decisões com embasamento técnico. 
Considerando essa abordagem técnica, segundo Gitman (2010), a análise deve tomar por base 
o fluxo de caixa da empresa. Ainda em conformidade com os apontamentos do autor 
supracitado, o fluxo de caixa pode ser entendido de duas formas complementares, porém 
distintas. O critério de demarcação para os dois significados se relaciona com o prazo. 
No curto-prazo, o fluxo de caixa contempla a elaboração da Demonstração de Fluxo de Caixa 
(DFC) e a montagem de Orçamento de Capital. A DFC relaciona-se com a necessidade de explicar 
as variações da conta caixa do Balanço Patrimonial de Empresas. Enquanto o Orçamento de 
capital se relaciona com o monitoramento do fluxo de recursos de curto-prazo e com as 
projeções de recebimentos e pagamentos. 
A possibilidade de projetar o fluxo de caixa é extremamente importante para as técnicas de 
análise de investimento, pois, em uma abordagem inicial, as técnicas se fundamentam em uma 
comparação entre o valor investido para aquisição de um equipamento e os fluxos de caixa 
gerados por esse equipamento. Assim, a comparação é criada a partir de um valor de 
desembolso conhecido, com valores esperados a partir do investimento. 
Segundo Gitman (2010) a possibilidade de projeção a partir do Orçamento de Capital se 
fundamenta pelo registro histórico de três fluxos de recursos: 
1) Fluxos Operacionais, os quais sintetizam as entradas e saídas relativas à produção ou 
venda de produtos e serviços. 
 
 
 
36 
 
2) Fluxos de Investimentos, os quais sintetizam as entradas e saídas relativas à venda de 
ativos imobilizados ou investimentos em participações societárias. 
3) Fluxos de Financiamentos, os quais sintetizam as entradas e saídas relacionadas ao 
capital social da empresa. 
Valor Presente Líquido 
Após a abordagem introdutória, cabe apontar as especificidades da comparação. Dessa forma, 
a técnica do Valor Presente Líquido (VPL) consiste em um cálculo cujo resultado expressa a 
diferença entre o montante gasto com o investimento e a soma dos valores presentes dos fluxos 
de caixa gerados (exclusivamente) pelo investimento. 
Em termos específicos, Gitman (2010) define VPL como a soma dos valores presentes dos fluxos 
de caixa subtraído o valor do investimento inicial e dos investimentos incrementais. 
 
A fórmula a baixo rege o cálculo do VPL: 
 
NPV = VPL em inglês, Net Present Value 
FC = Fluxo de Caixa do Período, isto é, o saldo líquido de entrada e saída. 
K = Taxa de Juros 
I0 = Investimento Inicial, valor desembolsado à vista para entrada ou pagamento único para 
compra de equipamento ou contratação de serviço. 
Ii = Investimentos incrementais, isto é, novos investimentos, realizados após o I0. 
Cabe destacar que o fato de os valores serem divididos por (1 + K)i ilustra o desconto da taxa de 
juros! 
O resultado da aplicação dessa fórmula é um valor em unidade monetária. Como critério de 
decisão, se o VPL gerado for maior ou igual a zero o investimento deve ser realizado. Pois a 
 
 
 
37 
 
aquisição do equipamento/serviço cobre todos os custos envolvidos e gera valor para a 
empresa. 
Exemplo: 
A Gráfica FFA precisa adquirir um novo equipamento, cujo custo é R$ 145.000,00, a partir de um 
orçamento de caixa, é possível prever que serão gerados os seguintes fluxos de caixa ao longo 
de 4 anos: 
1° Ano : R$ 71.000,00 
2° Ano : R$ 74.000,00 
3° Ano : R$ 80.000,00 
4° Ano : R$ 50.000,00 
Considerando que o equipamento é vendido exclusivamente pelo fabricante, que trabalha com 
juros de 20% ao ano para o financiamento. 
Diante dessas informações, pergunta-se: é recomendável realizar esse investimento? 
 
Ano Fluxo de Caixa Valor Presente Valor Presente Líquido 
0 - R$ 145.000 - R$ 145.000 - R$ 145.000 
1 R$ 71.000 71000/1,20 = R$ 59.166,67 -145000 + 59166,67 = 
- R$ 81.833,33 
2 R$ 74.000 74000/(1,2)2 =R$ 51.388,89 - R$ 81.833,33 + 51389,89 = 
- R$ 30.444,44 
3 R$ 80.000 80000/(1,2)3 = R$ 49.296,30 - R$ 30.444,44 + 49296,30 = 
R$ 18.851,86 
4 R$ 50.000 50000/(1,2)4 = R$ 24.112,65 R$ 18.851,86 + 24112,65 = 
R$ 42.964,51 
 
O resultado da fórmula aplicada à tabela mostra que o VPL desse equipamento é R$ 42.964,51. 
Assim, por ser superior a zero, indica-se o investimento, em termos específicos, após descontar 
o pagamento de juros em relação aos fluxos de caixa gerados pelo equipamento verifica-se que 
o equipamento agrega R$ 42.964,51 para a empresa. 
 
 
 
38 
 
É possível gerar o mesmo resultado através da calculadora financeira HP12C, nesse caso: 
71000 CHS g PV (CF0) 
74000 g PMT (CFj) 
80000 g PMT (CFj) 
50000 g PMT (CFj) 
20 i 
f PV (NPV) 
PayBack Descontado 
Em termos iniciais, a decisão de investimento, além de considerar o valor gerado por 
equipamentos e serviços precisa considerar o tempo para obter esse retorno. Quanto maior for 
o tempo para obter o retorno de um investimento, menos interessante será a alocação de 
recursos para essa finalidade. 
Tendo em vista esse problema, a matemática financeira oferece uma ferramenta que possibilita 
descobrir o tempo necessário para que o investimento realizado e as despesas com juros sejam 
cobertas pelos valores gerados. 
Em termos técnicos, segundo Gitman (2010) o Payback descontado mensura o tempo 
necessário para que os fluxos de caixa sejam iguais ao investimento realizado. 
O critério de avaliação varia conforme os objetivos organizacionais, em termos amplos, quanto 
menor o prazo, mais favorável para aprovação. 
Retomando o Exemplo: 
A Gráfica FFA precisa adquirir um novo equipamento, cujo custo é R$ 145.000,00, a partir de um 
orçamento de caixa, é possível prever que serão gerados os seguintes fluxos de caixa ao longo 
de 4 anos: 
1° Ano : R$ 71.000,00 
2° Ano : R$ 74.000,00 
3° Ano : R$ 80.000,00 
 
 
 
39 
 
4° Ano : R$ 50.000,00 
Considerando que o equipamento é vendido exclusivamente pelo fabricante, que trabalha com 
juros de 20% ao ano para o financiamento. 
Diante dessas informações, pergunta-se: qual o payback descontado? 
 
Ano Fluxo de Caixa Valor Presente Valor Presente Líquido 
0 - R$ 145.000 - R$ 145.000 - R$ 145.000 
1 R$ 71.000 71000/1,20 = R$ 59.166,67 -145000 + 59166,67 = 
- R$ 81.833,33 
2 R$ 74.000 74000/(1,2)2 =R$ 51.388,89 - R$ 81.833,33 + 51389,89 = 
- R$ 30.444,44 
3 R$ 80.000 80000/(1,2)3 = R$ 49.296,30 - R$ 30.444,44 + 49296,30 = 
R$ 18.851,86 
4 R$ 50.000 50000/(1,2)4 = R$ 24.112,65 R$ 18.851,86 + 24112,65 = 
R$ 42.964,51 
 
A tabela mostra que o retorno do investimento ocorreu durante o terceiro ano, ou seja, o 
payback descontado ocorreu ao longo do terceiro ano. 
Para atribuir maior especificidade, é possível trabalhar como uma regra de três para definir a 
quantidade de meses após o segundo ano. 
Primeiro procedimento: 
1) Dividir o VPL do último ano negativo pelo Fluxo de Caixa do primeiro período positivo: 
R$ 30.444,44 : R$ 49.296,30 =0,617 
2) Multiplicar o resultado gerado por 12 
0,617 x 12 = 7,5 meses 
Resposta específica: o payback descontadoocorre em 2 anos e 7 meses. 
Taxa Interna de Retorno (TIR) 
 
 
 
40 
 
A Taxa Interna de Retorno (TIR) é uma técnica que mensura em taxa o retorno gerado pelo 
investimento. 
Segundo Gitman (2010) a TIR é uma taxa que iguala as entradas e saídas de caixa de um 
investimento. 
Como critério de decisão, a TIR deve ser comparada com taxa de juros gerada. Caso a TIR seja 
maior ou igual a taxa de Juros, o investimento será viável. 
Retomando o exemplo: 
A Gráfica FFA precisa adquirir um novo equipamento, cujo custo é R$ 145.000,00, a partir de um 
orçamento de caixa, é possível prever que serão gerados os seguintes fluxos de caixa ao longo 
de 4 anos: 
1° Ano : R$ 71.000,00 
2° Ano : R$ 74.000,00 
3° Ano : R$ 80.000,00 
4° Ano : R$ 50.000,00 
Considerando que o equipamento é vendido exclusivamente pelo fabricante, que trabalha com 
juros de 20% ao ano para o financiamento. 
Diante dessas informações, pergunta-se: qual a Taxa Interna de Retorno (TIR)? Considerando a 
taxa de juros cobrada o investimento é viável? 
É possível gerar o resultado através da calculadora financeira HP12C, nesse caso: 
71000 CHS g PV (CF0) 
74000 g PMT (CFj) 
80000 g PMT (CFj) 
50000 g PMT (CFj) 
20 i 
f PV (IRR) 
 
 
 
41 
 
TIR = 85,46% 
Assim, a Taxa de Retorno é 85,46%, assim, como a taxa de juro é inferior a TIR, o investimento 
é viável! 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2009. 
LAPONI, Juan Carlos. Matemática Financeira. 2. ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2014.