Lista 1 C1

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Lista 1
Cálculo 1 - Turma CC (1/2019)
Professor: Matheus Bernardini
1. Determine o domı́nio das funções a seguir:
a) f(x) = x
x4−16 b) f(x) =
4
√
x2 − 1 c) f(x) = x
sen(x)
+
√
x3 + 8 + 3
√
x
2. Sejam f(x) =
√
4x+ 14, g(x) =
1
x
e h(x) = x2 + 1. Determine: (para os itens b, d e f, determine os
posśıveis valores de x para os quais a expressão faz sentido)
a) f(g(2)).
b) f(g(x)).
c) g(f(2)).
d) g(f(x)).
e) f(h(1)).
f) f(h(x)).
3. Em cada item abaixo, simplifique a expressão
f(x)− f(a)
x− a
, com x 6= a e a, x ∈ Df , em que
a) f(x) = x2 + 2018. b) f(x) = x5 − x. c) f(x) = 1
x
.
4. Considere a função f dada por f(x) = |x− 1|+ |x+ 1|. Reescreva f sem utilizar o módulo e esboce
seu gráfico.
5. Uma caixa de sapato sem tampa será constrúıda partir de um pedaço de papelão retangular de
dimensões 18 cm e 40 cm, conforme figura a seguir.
a) Determine o volume V da caixa, dependendo de x.
b) Só faz sentido falar da caixa se ela tiver algum volume. Usando isso, determine o domı́nio da
função V .
c) Calcule V (0, 1), V (3), V (4), V (5) e V (8, 9).
d) A função em questão é crescente? É decrescente? É constante?
6. A taxa de rendimento anual f(s) de uma aplicação pode ser calculada da seguinte forma:
f(s) =
{
T0 + 0, 7 · s, se s ≤ 0, 085
T0 + 0, 0617, se s > 0, 085,
em que T0 é uma constante positiva. A função f tem domı́nio [0,∞).
a) Calcule f(0), f(0, 085) e f(1).
b) Determine o conjunto imagem da função f .
c) Esboce o gráfico de f .
d) Analise o gráfico de f em valores próximos a s = 0, 085. O que você percebe?
1
e) Existe algum s ∈ [0, 1] tal que f(s) = T0 + 0, 06?
7. (1/2001 - adaptado) Considere um circuito elétrico com um resistor de 5 ohms ligado em paralelo a
outro de resistência variável R > 0. Nesse caso, a resistência total f(R) do circuito satisfaz:
1
f(R)
=
1
5
+
1
R
.
a) Determine f(5).
b) Obtenha a expressão de f(R) em função de R.
c) Determine o valor de R para o qual a resistência total é igual a 3 ohms.
d) Determine os valores de R para os quais a resistência total é superior a 4 ohms.
e) Mostre que f é injetiva.
f) Determine o conjunto imagem da função f .
g) Determine a função inversa de f .
8. Considere a função P̃ dada por:
P̃ (t) =
100.000
100 + 900 · 2−t
.
A população P de uma espécie em um tempo t ∈ [0,∞), dado em anos, pode ser calculada através
da função P̃ da seguinte maneira: P (t) é o maior inteiro menor que ou igual a P̃ (t).
a) Determine a população inicial, isto é, calcule P (0).
b) Mostre que a função P̃ é crescente. Conclua que essa função é injetiva.
c) A função P é crescente? Justifique.
d) Determine o conjunto imagem da função P̃ .
e) Determine a função inversa de P̃ .
9. (1/2003) Um foco de luz é colocado a uma distância de x m de um anteparo quadrado de lado igual
a 1 m, como ilustra a figura abaixo, em que o foco de luz está na origem O, o eixo Ox é ortogonal
ao anteparo e passa pelo seu centro. A figura ilustra ainda a sombra do anteparo projetada em
uma parede situada a 50 m do foco de luz e paralela ao anteparo. É claro então que a área A da
sombra depende da distância x do anteparo ao foco de luz, sendo assim uma função A = A(x), com
x ∈ (0, 50).
a) Determine a função A(x).
b) Determine os valores de x ∈ (0, 50) para os quais
A(x) < 1, 252.
c) Determine os valores de x ∈ (0, 50) para os quais
A(x) > 1002.
d) Verifique que, para qualquer número d > 1, existe
c ∈ (0, 50) tal que A(c) = d.
10. (2/2002) No sistema de eixos mostrado na figura ao abaixo, suponha que P0 = (0, 20) representa a
quina de um edif́ıcio de 20 m e que θ representa o ângulo que os raios solares fazem com a horizontal.
Para θ ∈ (0, π
2
), indique por Lθ a reta de coeficiente angular tg(θ) que passa por P0. Indique ainda
2
por x = x(θ) o ponto em que a reta Lθ intercepta o eixo Ox. Nessas condições, julgue os itens a
seguir.
(a) A reta Lθ tem equação y = tg(θ)(x− 20).
(b)
∣∣x (π
4
)∣∣ = 20.
(c) x(θ) = − 20
tg(θ)
.
(d) Se tg(θ) =
√
3
3
, então o ponto P = (5
√
3, 10) está em uma
região ensolarada.
(e) O ponto Q = (−20, 10) está em uma região ensolarada apenas
para os ângulos θ tais que tg(θ) > 1
2
.
11. (1/2007 - adaptado) Considere a função f dada por f(x) = 1√
x
. Pode-se mostrar que a inclinação
da reta ra que é tangente ao gráfico de f no ponto Pa = (a, f(a)) é igual a
−1
2a
√
a
. Sejam Qa e Ra os
pontos de interseção da reta ra com os eixos Ox e Oy, respectivamente.
a) Determine o domı́nio de f .
b) Determine a equação da reta r4.
c) Determine a equação da reta que é perpendicular a r4 e passa pelo ponto Q4.
d) Determine a equação da reta que é paralela a r4 e passa pelo ponto O.
e) Determine as áreas dos triângulos OQ4P4 e OR4P4.
12. (Unicamp 2018) Sendo c um número real, considere a função afim f(x) = 2x+ c, definida para todo
número real x.
a) Encontre todas as soluções da equação [f(x)]3 = f(x3), para c = 1.
b) Determine todos os valores de c para os quais a função g(x) = log(xf(x) + c) esteja definida
para todo número real x.
13. (2/2018) Determine o domı́nio da função dada por f(x) =
3
√
x2018 + 7√
2018− x
.
14. (2/2018) Considere um circuito elétrico com um resistor de 2 ohms ligado em paralelo a outro de
resistência variável R > 0. Nesse caso, a resistência total f(R) do circuito satisfaz:
1
f(R)
=
1
2
+
1
R
.
a) Calcule o valor da resistência total, para R = 3.
b) Obtenha a expressão de f(R) em função de R.
c) Determine, se existir, o valor de R para o qual a resistência total é igual a 3 ohms.
15. (2/2018) Seja f(x) = x2 + 2. Dado x ∈ R, com x 6= 2, simplifique a expressão
[f(x)]2 +
f(x)− 6
x− 2
.
16. (2/2018) Considere a função f dada por f(x) = x+ | − 2|+ |x− 3|.
a) Reescreva f sem utilizar o módulo.
b) Esboce o gráfico de f .
3
Gabarito (com posśıveis erros)
1. a) {x ∈ R : x 6= ±2}.
b) {x ∈ R : x ≤ −1 ou x ≥ 1}.
c) {x ∈ R : x ≥ −2 e x 6= kπ, k ∈ N0}.
2. a) 4.
b)
√
4
x
+ 14; Df◦g = {x ∈ R : x ≤ −27 ou x > 0}.
c) 1√
22
.
d) 1√
4x+14
; Dg◦f = {x ∈ R : x > −72}.
e)
√
22.
f)
√
4x2 + 18; Df◦h = R.
3. a) x+ a.
b) x4 + ax3 + a2x2 + a3x+ a4 − 1.
c) − 1
ax
.
4. f(x) =

−2x, se x ≤ −1
2, se − 1 < x ≤ 1
2x, se x > 1.
5. a) V (x) = (40− 2x) · (18− 2x) · x.
b) DV = {x ∈ R : 0 < x < 9} = (0, 9).
c) 70, 844; 1224; 1280; 1200; 39, 516 (todos em cm3).
d) Não; não; não.
6. a) T0; T0 + 0, 0595; T0 + 0, 0617.
b) Im(f) = {a ∈ R : T0 ≤ a ≤ T0+0, 0595 ou a = T0+0, 0617} = [T0, T0+0, 0595]∪{T0+0, 0617}.
c) Gráfico.
d) Análise.
e) Não.
7. a) 2, 5 ohms.
b) f(R) = 5R
R+5
.
c) 7, 5 ohms.
d) {R ∈ R : R > 20}.
e) Demonstração (se f(R1) = f(R2), o que podemos dizer sobre R1 e R2?).
f) Im(f) = {a ∈ R : 0 < a < 5}.
g) f−1(R) =
5R
5−R
.
8. a) 100.
b) Use o fato que f(x) = 2−x é decrescente.
c) Não; calcule P (10) e P (10, 1).
4
d) Im(P̃ ) = {a ∈ R : 100 ≤ a < 1000}.
e) P̃−1(t) = log2
(
900t
100.000− 100t
)
.
9. a) A(x) = 2500
x2
.
b) x ∈ (40, 50).
c) x ∈ (0, 1
2
).
d) Tome c = 50√
d
, que está no intervlo (0, 50).
10. E C C E C
11. a) {x ∈ R : x > 0}.
b) r4 : x+ 16y = 12.
c) 16x− y = 192.
d) x+ 16y = 0.
e)
3a
2
√
a
;
3a
4
√
a
.
12. a) 0 e −1.
b) {c ∈ R : 0 < c < 8} = (0, 8).
13.
14.
15.
16.
5