Lista3 - Interpolacao e MMQ

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Universidade Federal do Vale do São Francisco
Colegiados: CCIVIL, CENEL, CPROD e CENMEC
MATM0048 - Cálculo Numérico
Prof. Sergio Floquet
Lista de Exercício - Interpolação e Mínimos Quadrados
1° Questão. Para uma dada função f obteve-se: f(−0,5) = 1,75,f(0,5) = −0,25 e f(1,5) = 3,75.
a) Determine o polinômio interpolador de f , de maior grau, usando qualquer um dos métodos estudados.
b) Usando o polinômio obtido no item (a) calcule, aproximadamente, o valor de f(1).
c) O polinômio obtido no item (a) é adequado para calcular uma aproximação para f(2)? Justifique.
2° Questão. Considere a seguinte tabela de pontos de uma função f :
xi −1 0 1 2
f(xi) −3 −2 −1 8
O polinômio P (x) = x3 − 2 interpola f , relativamente a esse tabelamento? Justifique. Caso negativo, obtenha o
polinômio interpolador pela forma de Newton e forneça uma estimativa para o erro.
3° Questão. A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
t (oC) Calor Específico (cal/g oC)
20 0,99907
25 0,99852
30 0,99826
35 0,99818
40 0,99728
45 0,99649
a) Determine o calor específico da água à 32,5oC. b) Para qual temperatura o calor específico é 0,99837.
4° Questão. Dada a tabela abaixo,
x 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8
f(x) 11,02 13,46 16,44 20,08 24,53 29,96 36,59 44,70
Calcule a função Spline Linear Interpolante, para este conjunto de dados.
5° Questão. A partir dos dados:
x 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
f(x) 0,12 0,16 0,19 0,22 0,25 0,27
Usando um polinômio interpolador de grau 3, pela forma de Lagrange, trabalhe de dois modos diferentes para obter
o valor estimado de x para o qual f(x) = 0,23. Compare os resultados obtidos.
t (oC) ρ (g/cm3)
-20 13,645
20 13,546
100 13,352
200 13,115
300 12,881
6° Questão. A tabela relaciona a temperatura com a densidade do mercúrio (Hg):
a) Determine a densidade do mercúrio à temperatura t = 25oC usando um polinômio interpolador de maior grau
possível. Estipule o erro cometido.
b) Obtenha a função Spline Linear para este conjunto de dados e estime qual deve ser a temperatura para uma densi-
dade de 13,000g/cm3.
7° Questão. Sabendo que a equação x− ex + 1,5 = 0 admite uma raiz no intervalo [0;1], determine o valor possível
desta raiz utilizando interpolação quadrática, pela forma de Lagrange.
8° Questão. O número de bactérias por unidade de volume (y), existente em uma cultura após x horas é apresentado
na tabela abaixo
horas (x) 0 1 2 3 4 5
bactérias por volume (y) 32 47 65 92 132 190
Ajuste os dados a uma constante mais uma função exponencial φ(x) = α1 +α2.ex.
9° Questão. Usando o método dos mínimos quadrados, qual é a parábola que melhor ajusta os seguintes dados:
x -1 0 1 2 3,5 4,0
f(x) 0 -1 0 7 2,5 2,7
10° Questão. Um sinal periódico pode ser ajustado por uma combinação linear de uma função seno, uma função
cosseno e uma constante φ(x) = α1 +α2.sen(x) +α3.cos(x)
x
π
4
π
2
3π
4 π
5π
4
3π
2
7π
4 2π
f(x) 126 159 191 178 183 179 176 149
Determine, utilizando o método dos mínimos quadrados, os valores que melhor ajustam a função.
11° Questão. A tabela abaixo fornece o número de habitantes do Brasil (em milhões)
Ano 1940 1950 1960 1970 1980 1990
Habitantes 41 52 70 93 119 145
Usando o método dos mínimos quadrados, determine a reta que melhor ajusta os dados habitacionais. A partir da reta
obtida, estipule a população do Brasil nos anos de 2000, 2010 e 2020.
BOA SORTE!
Lista de Exercícios - Sugestões de Respostas
1° Questão.
a) p2(x) = 3x2 −2x
b) p2(1) = 1
c) Não.
2° Questão. As raízes são:
Não. p3 =
4
3x
3 − x3 −2
E3(x) = 9x(x+ 1)(x−1)(x−2)
3° Questão.
a) Calor Específico ≈ 0.99822 cal
gºc
b) Temperatura ≈ 27.885 ºc
4° Questão.
Sp(x) =

s1(x) = 12.2x−18.26
s2(x) = 14.9x−25.28
s3(x) = 18.2x−34.52
s4(x) = 22.25x−46.67
s5(x) = 27.15x−62.35
s6(x) = 33.15x−82.75
s7(x) = 40.55x−109.39
5° Questão. Uma possibilidade:
i) p3 = −
40
3 x
3 + 12x2 − 8.93 x+ 0.39
p3(x) = 0.23, logo x= 0.3159
ii) p̄3 =
625
3 x
3 − 137.5x2 + 31.7292x
−2.2438, logo p̄3(0.23) = 0.3150
6° Questão.
a) p4 = −1.5783 × 10−13x4
−4.5770 × 10−10x3 + 4.6408 ×
10−7x2 −0.0025x+ 13.5953
ρ(25ºc) ≈ 13.5331 g
cm3
b) Sp(x) =

s1(x) = −0.0025x+ 13.5955
s2(x) = −0.0024x+ 13.5945
s3(x) = −0.0024x+ 13.5890
s4(x) = −0.0023x+ 13.5830
T ≈ 253.4783ºc
7° Questão. x= 0.8577
8° Questão.
φ(x) = 54.4906 + 0.9866 ex
9° Questão.
φ(x) = 0.7934 + 1.8492x−0.3249x2
10° Questão.
φ(x) = 167.6250 − 12.4246sen(x)
−19.9779cos(x)
11° Questão.
φ(x) = −4090.3619 + 2.1257x
φ(2000) = 161.0661
φ(2010) = 182.3232
φ(2020) = 203.5804
BOA SORTE!