Lista de Geometria Plana

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Danielly de Gois Santos – ETEC Abdias do Nascimento – 2° Administração ETIM
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Lista de Geometria Plana
Exercício 1. Sabe-se que dois ângulos, AÔB e CÔD, são congruentes e que medida(AÔB) = 2x + 10° e medida(CÔD) = 130°.  Qual é o valor de x ? 
 A B
// C
 O 
 D
Se AÔB e CÔD são congruentes, logo, o tamanho dos ângulos são iguais. Sabe-se que CÔD tem ângulo igual a 130°, e, portanto, AÔB também deve ter o ângulo nesse valor. Portanto, usaremos o ângulo de CÔD para achar o valor de x.
Exercício 2.  Quando traçamos a bissetriz de um ângulo de 50° graus, obtemos dois ângulos congruentes. Quanto mede cada um desses ângulos? x
 x 
 
Se uma bissetriz é a divisão do ângulo total em dois, e o ângulo total é 50, dividimos 50 por 2 e achamos a resposta. 
Exercício 3.  Encontre o valor de x  e depois determine o valor, em graus, de a  e de b , sabendo que:
· a = 4x + 30°
A soma dos ângulos internos de um triangulo vale 180, então, ao usar esse valor na equação, pode-se saber o valor de x.
· b = x
· a + b = 180°
Exercício 4. Descubra o valor, em graus, da medida  x em cada uma das figuras a seguir.
Esse é um triângulo retângulo, e, portanto, tem o ângulo equivalente a 90°. Para achar o valor de x:
Aqui se vê uma representação de ângulo raso, ou seja, com valor equivalente a 180°. Sabe-se que dois ângulos valem 60, então, só precisamos achar o x. Para fazer isso, subtrairemos 180 pelos dois ângulos informados.
Exercício 5. Determine a medida do:
a) complemento do ângulo de 47º.
Um ângulo complementar, é um ângulo que somado a outro dá 90. Portanto, para saber o complemento do ângulo de 47°, se subtrai o ângulo informado por 90°. 
b) complemento do ângulo de 20º.
Um ângulo complementar, é um ângulo que somado a outro dá 90. Portanto, para saber o complemento do ângulo de 20°, se subtrai o ângulo informado por 90°. 
c) suplemento do ângulo de 135º.
Um ângulo suplementar, é um ângulo que somado a outro dá 180. Portanto, para saber o suplemento do ângulo de 135°, se subtrai o ângulo informado por 180°. 
d) suplemento do ângulo de 6º.
Um ângulo suplementar, é um ângulo que somado a outro dá 180. Portanto, para saber o suplemento do ângulo de 6°, se subtrai o ângulo informado por 180°. 
Exercício 6 Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo CDA. Qual o valor de x?
Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo CDA, seus ângulos internos têm o mesmo valor. Para descobrir o valor x, usaremos o valor do ângulo A.
Exercício 7 Qual o valor de x nos triângulos a seguir?
Se o triângulo ABC tinha o cateto adjacente equivalente a 18 cm, e no triângulo DEF, o cateto adjacente vale 36, sabemos que esse triângulo DEF aumentou de tamanho duas vezes. Usaremos o conceito do triângulo áureo para descobrir o valor de x, já que no triângulo ABC:
Podemos descobrir o valor do x no triangulo ABC com o raciocínio do triângulo áureo de maneira simples, fazendo: 
Se sabemos que o triângulo DEF apenas dobrou de tamanho, multiplicamos também o valor do cateto oposto de ABC por 2 e achamos o resultado do x. 
Exercício 8 Na imagem a seguir, é possível perceber dois triângulos que compartilham parte de dois lados. Sabendo que os segmentos BA e DE são paralelos, qual a medida de x?
Nesta imagem, pode-se perceber dois triângulos, assim, iremos fazer a semelhança de triângulos, pois sabe-se que a altura do triângulo grande dividido pelo lado, é igual a altura do triângulo pequeno dividido pelo lado. Depois, aplica-se a regra de três.
Exercício 9 Para descobrir a altura de um prédio, Luiz mediu a sombra do edifício e, em seguida, mediu sua própria sombra. A sombra do prédio media 7 metros, e a de Luiz, que tem 1,6 metros de altura, media 0,2 metros. Qual a altura desse prédio?
h
7 m
0,2 m
Para descobrir a altura do prédio, usaremos a regra de semelhança de triângulos (altura do triângulo maior dividido pela base = altura do triângulo menor dividido pela base) e depois aplicar regra de três.
Exercício 10 Existem alguns procedimentos que podem ser usados para descobrir se dois triângulos são semelhantes sem ter de analisar a proporcionalidade de todos os lados e, ao mesmo tempo, as medidas de todos os ângulos desses triângulos. A respeito desses casos, assinale a alternativa correta:
a) Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham três ângulos correspondentes congruentes.
b) Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que eles tenham dois lados proporcionais e um ângulo congruente, em qualquer ordem.
c) Para que dois triângulos sejam congruentes, basta que eles tenham os três lados correspondentes com medidas proporcionais.
d) Dois triângulos que possuem dois lados correspondentes proporcionais não serão semelhantes em qualquer hipótese.
e) Dois triângulos que possuem apenas dois ângulos correspondentes congruentes não podem ser considerados semelhantes.
	Exercício 11 Calcule o valor de x para os triângulos abaixo:
Sabemos que o triângulo ABC tem medidas equivalentes a:
Hipotenusa:15 cm, Base: 9 cm
Usando o conceito do triângulo áureo, é simples chegar aos valores do triângulo ABC
Sabendo que as medidas estão corretas, é necessário analisar que a base do triângulo DEF tem o dobro da medida da base do ABC. Portanto, para chegar ao valor de X, é só dobrar os valores de ABC.
	
	Exercício 12  Determine a medida do lado AB.
Analisando a figura, percebe-se que o triângulo ABC é a metade do triângulo DEF. Por isso, iremos dividir os valores de DEF por dois para achar o valor da hipotenusa de ABC.
Agora, com os valores de ABC, iremos fazer Pitágoras de forma a achar o valor do cateto.
	
	Exercício 13 Determine a altura do prédio da imagem a seguir, sabendo que os lados EC e FG são perpendiculares a CD; e EC e FG são paralelos entre si.
Para solucionar esse problema, precisamos visualizar a presença de dois triângulos. Então, faremos a semelhança de triângulos e posteriormente regra de três, de modo a achar a altura do prédio.
	
	Exercício 14 Sabendo que os triângulos ABC e DEF são semelhantes, determine x e y.
Usando a técnica da semelhança de triângulos, temos: 
	
 x 6 
 y 2,5 y 
 5 5 8
	Exercício 15 (Etec Abdias) Para calcular a altura de uma caixa d’agua o prof. Gildásio, com a ajuda do Prof Renatão, verificam que, em certa hora do dia, sua sombra mede 0,75 m, enquanto a sombra da caixa d’agua mede 2,5 m. Se Gildásio mede 1,65 m, qual é a altura da caixa?
	
 h
 2,5 m 0,75
Para resolucionar esse problema, usaremos a semelhança e posteriormente usar regra de três. Levaremos a altura de Gildásio em consideração como a altura de um triângulo.
	Exercício 16 Sabe-se que o triângulo ABC é isóscele de base BC.
	É verdade que:
a. x = 58º e y = 122º
b. x = y = 67,5º
c. x = 122º e y = 58º
d. x = 85º e y = 50º
e. = 45º e y = 85º
	Esse triângulo tem base num ângulo raso, portanto, de 180°. Para descobrir o valor de x e y, igualaremos as equações a 180.
Exercício 17 Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:
Utilize 1,7 como aproximação para raiz quadrada de três. O valor de R, em centímetros.
	
	Exercício 18 O triângulo ABC a seguir é equilátero: Qual o valor de x e y, respectivamente?
Se é um equilátero, se tem que todos lados são iguais, portanto, para conseguir obter o resultado do BC e AB, é só igualar as equações a 9 para descobrir o valor de x e y.
	a. 9 e 9
b. 6 e 8
c.8 e 6
d.1 e 24
e. 24 e 1
	Exercício 19 Na figura ao lado está representada a fachada de um prédio. Os segmentos de reta [AB] e [CD] são perpendiculares a [BE] e os segmentos de reta [AB] e [CD] são paralelos. Determine a altura deste prédio.
Para resolver esse exercício, se aplica a semelhança de triângulos, e depois, regra de três. 
	
	Exercício 20 (ENEM) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura. Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em centímetros, deve ser:
D=5 LMax.=60 LMin.=30
Para facilitar a obtenção do resultado, vamos usar Progressão Aritmética.
		
	a) 144
b) 180
c) 210
	d) 225
e) 240
	 Exercício 21 Enem-2013 O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
		
	a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 √6 m