Progressão Aritmética

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PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
 
Construir significados para os números natu-
rais, inteiros, racionais e reais. 
 
Identificar padrões numéricos ou princípios de con-
tagem. 
 
Resolver situação-problema envolvendo conheci-
mentos numéricos. 
 
 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico 
na construção de argumentos sobre afirmações 
quantitativas. 
 
 
 
Progressões Aritméticas 
 
Definição 
 
Progressão Aritmética, ou simplesmente P.A., é toda 
sequência ou sucessão na qual a diferença entre cada 
termo, a partir do segundo, e o seu anterior é constante. 
Chamamos esta constante de razão da progressão, e 
indicamos por r. 
Exemplo: (2, 5, 8, 11, 14, ... ) 
R = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = ... = 3 
 
Classificação 
 
Sendo, a razão de uma P.A. temos: 
Se r > 0, então a P.A. é crescente. 
Se r < 0, então a P.A. é decrescente. 
Se r = 0, então a P.A. é constante. 
 
Propriedade Fundamental 
 
A diferença entre dois termos quaisquer de uma P.A., 
an e ap (n > p), é sempre igual a (n – p) razões. 
Exemplo: (5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, ... ) 
            
 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 
 
a5 – a2 = (5 – 1) razões = 3 . 3 = 9 
a7 – a1 = (7 – 1) razões = 6· 3 = 18 
a10 – a4 = (10 – 4) razões = 6· 3 = 18 
 
Termo Geral 
 
Chamamos de termo geral de uma P.A. o termo an, 
que pode ser obtido em função de n, quando conhece-
mos um·termo qualquer da P.A., e sua razão. 
 
an = a1 + (n – 1)r 
 
 
Exemplos: 
 
1º) a5 = 11 e r = 4 
 
an – a5 = (n – 5) . r 
an – 11 = (n – 5) ·4  an = 4n – 9 
 
2º) a1 =10 e r = –2 
an – a1 = (n – 1) . r 
 an – 10 = (n – 1) . (–2)  an = –2n + 12 
 
Propriedades 
1ª) Numa P.A., dados três termos consecutivos quais-
quer, temos que o termo médio é a média aritmética dos 
outros dois. 
 
a, b, c em PA 
b = 
2
ca +
 
 
2ª) Em toda P.A. finita, a soma de dois termos equidis-
tantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplo: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) 
 
 
a4 + a 5 = a3 + a6 = a2 + a7 = a1 + 
a8 
 
3a) Em toda P.A. finita, com número ímpar de termos, 
o termo médio é a média aritmética dos extremos. 
 
Exemplo: (a1, a2, a3, a4, a5) 
a3 = 
2
aa 51 +
 
 
Soma dos Termos de uma P.A. Finita 
 
Consideremos uma P.A. finita de n termos: 
(a1, a2, a3, a4 ...., an) 
A soma dos n termos dessa PA é dada por: 
 
Sn = 
2
n)aa( n1 +
 
Artifícios 
1º) Numa P.A. de 3 termos: 
x – r, x, x + r 
   
 a1 a2 a3 
 
 
2º) Numa P.A. de 4 termos: 
 x – 3y, x – y, x + y, x + 3y (razão = 2y) 
    
a1 a2 a3 a4 
 
 
1. (UFSM) As doenças cardiovasculares são a principal 
causa de morte em todo mundo. De acordo com os da-
dos da Organização Mundial da Saúde, 17,3 milhões de 
pessoas morreram em 2012, vítimas dessas doenças. A 
estimativa é que, em 2030, esse número seja de 23,6 
milhões. 
 
Suponha que a estimativa para 2030 seja atingida e con-
sidere n(a ), n a sequência que representa o nú-
mero de mortes (em milhões de pessoas) por doenças 
cardiovasculares no mundo, com n 1= correspondendo 
a 2012, com n 2= correspondendo a 2013 e assim 
por diante. 
Se n(a ) é uma progressão aritmética, então o 8º 
termo dessa sequência, em milhões de pessoas, é 
igual a 
 19,59. 
 19,61. 
 19,75. 
 20,10. 
 20,45. 
 
 
Em 2012: a1 = 17,3 
Em 2030: a19 = 23,6 
Considerando a P.A, temos: 
19 1a a 18 r
23,6 17,3 18 r
18 r 6,3
r 0,35
= + 
= + 
 =
=
 
Portanto, o oitavo termo dessa sequência é: 
8 1
8
8
a a 7 r
a 17,3 7 0,35
a 19,75
= + 
= + 
=
 
Alternativa 
 
2. (UDESC) Um professor de matemática, após corrigir 
uma prova aplicada em uma turma de 30 alunos, perce-
beu as seguintes peculiaridades em relação às notas 
atribuídas: 
- cada aluno obteve uma nota diferente; 
- a maior nota alcançada foi 9,2; 
- ordenando as notas em uma escala crescente, a dife-
rença entre quaisquer duas notas consecutivas foi 0,3. 
Com base nessas informações, pode-se afirmar que o 
número de alunos desta turma que não alcançou, nesta 
prova, nota igual ou superior a 6,0 é igual a: 
 9 
 11 
 19 
 21 
 12 
 
 
Sabendo que n n 1a a 0,3−− = para todo 1 n 30,  com 
n natural, segue que as notas dos alunos, em ordem 
crescente, constituem uma progressão aritmética de ra-
zão 0,3. Além disso, como 30a 9,2,= vem 
1 19,2 a 29 0,3 a 0,5.= +   = 
Queremos calcular o maior valor de n para o qual se 
tem na 6. 
Logo, 
5,5
0,5 (n 1) 0,3 6 n 1
0,3
n 18,3 1
n 19,3,
+ −    − 
  +
 
 
ou seja, n 19.= 
 
Alternativa 
 
1. A tabela seguinte apresenta a média, em kg, de resí-
duos domiciliares produzidos anualmente por habitante, 
no período de 1995 a 2005. 
Produção de resíduos domiciliares 
por habitante em um país 
 
 
Se essa produção continuar aumentando, mantendo o 
mesmo padrão observado na tabela, a previsão de pro-
dução de resíduos domiciliares, por habitante no ano de 
2020, em kg, será 
 610. 
 640 
 660 
 700 
 710 
 
2. (OSEC-SP) Um jardim tem uma torneira e dez rosei-
ras dispostas em linha reta. A torneira dista 50 m da pri-
meira roseira e cada roseira dista 2m da seguinte. Um 
jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde na tor-
neira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à tor-
neira e repete a operação para cada roseira seguinte. 
Após regar a última roseira e voltar à torneira para deixar 
o balde, ele terá andado:
 1200 m 
 1180 m 
 1130 m 
 1110 m 
 1000 m 
 
3. Em 05 de junho de 2004 foi inaugurada uma pizzaria, 
que abre aos sábados. No dia da inauguração, a pizzaria 
recebeu 40 fregueses. A partir daí, o número de fregue-
ses que passaram a frequentar a pizzaria cresceu em 
progressão aritmética de razão 6, até que atingiu a cota 
máxima de 136 pessoas, a qual tem se mantido. 
O número de sábados que se passaram, excluindo o sá-
bado de inauguração, para que a cota máxima de fre-
gueses fosse atingida pela primeira vez, foi 
 
 
 15 16 17 18 26 
 
4. (Murakami) Em um projeto Urbanístico de Belém do 
Pará, um paisagista previu a urbanização do canteiro 
central da avenida Almirante Barroso, com plantio de 21 
mudas de Mangueira, todas dispostas em linha reta e 
distante 4 m uma da outra. No plantio, o caminhão des-
carregou as mudas no início do canteiro central, no local 
onde seria plantada a primeira muda. 
Um jardineiro foi designado para executar o serviço. 
Para isso, partindo do lugar onde as mudas foram colo-
cadas, ele pegou três de cada vez, plantou-as nos locais 
designados, enfileirando-as uma após uma após a outra. 
Qual a distância total mínima percorrida pelo jardineiro 
após finalizar o trabalho e voltar ao início do canteiro? 
84 m 
 160 m 
 672 m 
726 m 
 616 m 
 
5. (UNIUBE-MG) Um estacionamento cobra R$ 15,00 
pela primeira hora. A partir da segunda hora os preços 
caem em progressão aritmética, sendo que o valor da 
segunda hora é R$ 10,00 e o valor da décima segunda 
é R$ 4,00. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas 
nesse local, o seu proprietário gastará: 
 R$ 54,10 
 R$ 51,40 
 R$ 45,80 
 R$ 53,10 
 R$ 48,50 
 
6. (UEPB PB) Considerando quadrados de mesma 
área, com 4 palitos de fósforos formamos um qua-
drado, com 7 palitos de fósforo dois quadrados, com 
10 palitos de fósforos 3 quadrados. Então, com 40 pa-
litos formamos: 
 15 quadrados 
 13 quadrados 
 19 quadrados 
 11 quadrados 
 10 quadrados 
 
7. (UERJ) 
 
Na situação apresentada nos quadrinhos, as distâncias, 
em quilômetros, dAB, dBC e dCD formam, nesta ordem, 
uma progressão aritmética. O vigésimo termo dessa pro-
gressão corresponde a: 
 −50 −40 −30 −20 −10 
8. Um auditório foi construído de acordo com o esquema 
abaixo: 
 
A platéia tem 18 filas de assentos e cada fila tem 4 luga-
res a mais que a anterior.Se forem convidadas 800 pes-
soas para assistir a um evento e todas comparecerem, 
 ficarão vagos 140 lugares. 
 ficarão vagos 64 lugares. 
 faltarão 44 lugares. 
 faltarão 120 lugares. 
 não sobrarão nem faltarão lugares 
 
9. (UPE) Uma campanha entre microempresas, para 
ajudar o Hospital do Câncer, arrecadou R$16.500,00. A 
primeira microempresa, a menor entre elas, doou a 
quantia de R$ 350,00; a segunda doou R$50,00 a mais 
que a primeira, e cada uma das microempresas seguin-
tes doou R$ 50,00 a mais que a anterior. Quantas mi-
croempresas participaram dessa campanha? 
 08 
 11 
 15 
 20 
 35 
 
 
10. (ENEM) Uma professora realizou uma atividade com 
seus alunos utilizando canudos de refrigerante para 
montar figuras, onde cada lado foi representado por um 
canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura de-
pende da quantidade de quadrados (Q) que formam 
cada figura. A estrutura de formação das figuras está re-
presentada a seguir. 
 
Que expressão fornece a quantidade de canudos em 
função da quantidade de quadrados de cada figura? 
 C = 4Q 
 C = 3Q + 1 
 C = 4Q – 1 
 C = Q + 3 
 C = 4Q – 2 
 
11. (ENEM) O número mensal de passagens de uma de-
terminada empresa aérea aumentou no ano passado 
nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 
33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; em março, 
36.000. Esse padrão de crescimento se mantém para 
os meses subsequentes. Quantas passagens foram 
vendidas por essa empresa em julho do ano passado? 
 38.000 
 40.500 
 41.000 
 42.000 
 48.000 
 
 
12. (ENEM) Um ciclista participará de uma competição 
e treinará alguns dias da seguinte maneira: no primeiro 
dia, pedalará 60 km; no segundo dia, a mesma distância 
do primeiro mais r km; no terceiro dia, a mesma distância 
do segundo mais r km; e, assim, sucessivamente, sem-
pre pedalando a mesma distância do dia anterior mais r 
km. No último dia, ele deverá percorrer 180 km, comple-
tando o treinamento com um total de 1 560 km. A distân-
cia r que o ciclista deverá pedalar a mais a cada dia, em 
km, é 
 3 7 10 13 20 
 
13. (ENEM) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce 
no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e 
a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, 
afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde fí-
sica e mental, além de ser um esporte que não exige um 
alto investimento financeiro. 
Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010. 
Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, 
correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 
500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu 
médico cardiologista autorizou essa atividade até que o 
corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um 
mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomenda-
ção médica e praticar o treinamento estipulado correta-
mente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse 
planejamento de treino só poderá ser executado em, 
exatamente, 
 12 dias 14 dias 16 dias 
 13 dias 15 dias 
 
14. (ENEM) As projeções para a produção de arroz no 
período de 2012-2021, em uma determinada região pro-
dutora, apontam para uma perspectiva de crescimento 
constante da produção anual. 
 
O quadro apresenta a quantidade de arroz, em tonela-
das, que será produzida nos primeiros anos desse perí-
odo, de acordo com essa projeção. 
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá 
ser produzida no período de 2012 a 2021 será de 
 497,25. 
 500,85. 
 502,87. 
 558,75. 
 563,25 
 
15. (ENEM) Para um principiante em corrida, foi estipu-
lado o seguinte plano de treinamento diário: correr 300 
metros no primeiro dia e aumentar 200 metros por dia, a 
partir do segundo. Para contabilizar seu rendimento, ele 
utilizará um chip, preso ao seu tênis, para medir a dis-
tância percorrida nos treinos. Considere que esse chip 
armazene, em sua memória, no máximo 9,5 km de cor-
rida/caminhada, devendo ser colocado no momento do 
início do treino e descartado após esgotar o espaço para 
reserva de dados. 
Se esse atleta utilizar o chip desde o primeiro dia de trei-
namento, por quantos dias consecutivos esse chip po-
derá armazenar a quilometragem desse plano de treino 
diário? 
 7 
 8 
 9 
 12 
 13 
 
16. (ENEM) O trabalho em empresas de exige dos pro-
fissionais conhecimentos de diferentes áreas. Na se-
mana passada, todos os funcionários de uma dessas 
empresas estavam envolvidos na tarefa de determinar a 
quantidade de estrelas que seriam utilizadas na confec-
ção de um painel de Natal. 
Um dos funcionários apresentou um esboço das primei-
ras cinco linhas do painel, que terá, no total, 150 linhas. 
 
 
 
Após avaliar o esboço, cada um dos funcionários esbo-
çou sua resposta: 
 
Funcionário I: aproximadamente 200 estrelas. 
Funcionário II: aproximadamente 6 000 estrelas. 
Funcionário III: aproximadamente 12 000 estrelas. 
Funcionário IV: aproximadamente 22 500 estrelas. 
Funcionário V: aproximadamente 22 800 estrelas. 
 
Qual funcionário apresentou um resultado mais pró-
ximo da quantidade de estrelas necessária? 
 
 I 
 II 
 III 
 IV 
 V 
 
17. (ESPCEX) João e Maria iniciam juntos uma corrida, 
partindo de um mesmo ponto. João corre uniformemente 
8 km por hora e Maria corre 6 km na primeira hora e 
acelera o passo de modo a correr mais 
1
km
2
 cada hora 
que se segue. Assinale a alternativa correspondente ao 
número de horas corridas para que Maria alcance João. 
 3 5 9 10 11 
18. (IFPE) Na fabricação de mesas de reunião, uma fá-
brica trabalha com vários modelos e tamanhos. As me-
sas redondas são todas acompanhadas com uma certa 
quantidade de poltronas a depender do tamanho da 
mesa, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
O primeiro modelo acompanha 3 poltronas, o segundo 
modelo acompanha 6 poltronas, o terceiro, 9 poltronas e 
assim sucessivamente, isto é, sempre um modelo de 
mesa acompanha 3 poltronas a mais em relação ao mo-
delo anterior. 
Um cliente adquiriu uma unidade de cada um dos 10 pri-
meiros modelos de mesa circular. 
Como todo patrimônio da sua empresa é identificado a 
partir de uma etiqueta adesiva, quantos adesivos devem 
ser confeccionados para que cada uma das mesas e pol-
tronas adquiridas seja devidamente etiquetada? 
 165 
 175 
 30 
 40 
 10 
 
19. (FACULDADE ALBERT EINSTEIN) Suponha que, 
em certo país, observou-se que o número de exames 
por imagem, em milhões por ano, havia crescido se-
gundo os termos de uma progressão aritmética de razão 
6, chegando a 94 milhões / ano, ao final de 10 anos. 
Nessas condições, o aumento percentual do número de 
tais exames, desde o ano da observação até ao final do 
período considerado, foi de 
 130% 
 135% 
 136% 
 138% 
140% 
 
20. (IMED) Em uma determinada Universidade, o cro-
nograma de matrícula aos estudantes calouros é orga-
nizado de acordo com a classificação no curso da gra-
duação. No primeiro dia, são matriculados oito estudan-
tes calouros, no segundo dia, 11, no terceiro, 14 e assim 
sucessivamente, formando uma progressão aritmética. 
Nessa situação, ao final do sétimo dia, o número total de 
novos estudantes matriculados até o momento é igual a: 
 119 
 164 
 225 
 239 
 343 
 
21. (UFJF) Uma artesã fabricou um tapete bicolor for-
mado por quadrados concêntricos. Ela começou com 
um quadrado preto de lado a centímetros. Em seguida, 
costurou tecido branco em volta do preto de forma a ter 
um quadrado de lado 2a concêntrico ao inicial. Conti-
nuou o processo alternando tecido preto e branco con-
forme a figura abaixo: 
 
Sabendo que ela terminou o tapete na 50ª etapa, qual 
foi a área, em centímetros quadrados, de tecido preto 
utilizada? 
 
 2625a 
 2750a 
 21225a 
 21250a 
 22500a 
 
22. (UERN) Jorge criou um desenho a partirde segmen-
tos de reta, cuja medida de cada segmento é 3 mm 
maior do que o segmento anterior, formando a seguinte 
figura: 
 
Sabendo-se que essa figura é composta por 24 segmen-
tos, então a soma do comprimento, em centímetros, de 
todos os segmentos que formam essa figura é 
 85,2 
 86,4 
 87,6 
 90,0 
 94,0 
 
23. (PUC) Um consumidor, ao adquirir um automóvel, 
assumiu um empréstimo no valor total de R$ 42 000,00 
(já somados juros e encargos). Esse valor foi pago em 
20 parcelas, formando uma progressão aritmética de-
crescente. Dado que na segunda prestação foi pago o 
valor de R$ 3 800,00 a razão desta progressão aritmé-
tica é: 
 300− 
 200− 
 150− 
 100− 
 350− 
 
24. (UFRGS) Considere o padrão de construção repre-
sentado pelos desenhos abaixo. 
 
 
Na etapa 1, há um único triângulo equilátero. Na etapa 
2, é traçado um segmento a partir dos pontos médios de 
dois lados do triângulo da etapa 1, formando dois triân-
gulos equiláteros. Na etapa 3, é traçado um segmento a 
partir dos pontos médios de dois lados do triângulo me-
nor da etapa 2, formando três triângulos equiláteros. Na 
etapa 4 e nas etapas seguintes, o mesmo processo é 
repetido em cada um dos triângulos menores da etapa 
anterior. O número de trapézios na 6ª etapa de constru-
ção é : 
 14 15 16 17 18 
 
 
25. (UNESP) A figura indica o padrão de uma sequência 
de grades, feitas com vigas idênticas, que estão dispos-
tas em posição horizontal e vertical. Cada viga tem 0,5 
m de comprimento. O padrão da sequência se mantém 
até a última grade, que é feita com o total de 136,5 me-
tros lineares de vigas. 
 
 
 
O comprimento do total de vigas necessárias para fazer 
a sequência completa de grades, em metros, foi de 
 4877 
 4640 
 4726 
 5195 
 5162 
 
26. (UFRGS) Nas malhas de pontos da figura abaixo, 
dois pontos adjacentes, na horizontal ou vertical, encon-
tram-se a distância de 1 centímetro. 
 
 
 
Considerando a sucessão de quadriláteros desenhados 
em cada etapa da figura, a área do quadrilátero da vigé-
sima etapa, em cm2 é 
 100. 
 200. 
 400. 
 800. 
 1.600. 
27. (ENEM) Jogar baralho é uma atividade que estimula 
o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que uti-
liza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas 
com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a se-
gunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a 
quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a 
sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra 
forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas co-
lunas. 
A quantidade de cartas que forma o monte é 
 21. 
 24. 
 26. 
 28. 
 31. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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01 
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B 
06 
B 
07 
A 
08 
C 
09 
D 
10 
B 
11 
D 
12 
C 
13 
D 
14 
D 
15 
B 
16 
C 
17 
C 
18 
B 
19 
B 
20 
A 
21 
C 
22 
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23 
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