Anotações de Probabilidades ULA 2º Ano 2020 Eng Informática

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ULA – Universidade Lusíadas de Angola 
Probabilidades - 2º Ano Engenharia Informática 
Prof.: EngAer Bennevithes Mariano Machado Fündanga 
PALAVRAS INICIAIS 
Neste curso é apresentado uma abordagem de Probabilidades, sob o ponto de vista em 
Ciências gerais, e os exemplos que resolveremos procurarão abordar casos reais das 
diversas áreas da sociedade que servirão de suporte para os encontrados no dia-a-dia de 
cada profissional. 
No desenvolvimento do curso são abordados os tópicos que constam no programa da 
cadeira Probabilidades e alguns casos recorrer ao suporte de ferramentas ou funções que 
o Excel disponibiliza. 
Como tal, o presente texto representa uma tentativa de incluir num único local os 
apontamentos teóricos essenciais a compreensão da matéria de Probabilidades, tal como 
ela será ensinada nesse ano letivo. Por isso, não deve ser entendido como um texto 
completo, mas sim como uma coleção de resumos teóricos que não dispensam o estudo 
mais aprofundado da matéria por um dos textos referenciados na bibliografia indicada 
no programa da cadeira. 
Vale enfatizar que o facto de muitas coisas parecerem óbvias quando demonstradas por 
outros, ficamos com a impressão de que tudo é muito fácil e que saberemos também 
fazer as demonstrações com a mesma facilidade. Isto tem trazido para muitos uma 
surpresa bastante desagradável na hora de verificar os conhecimentos assimilados. 
SUGESTÃO: ESTUDE E FAÇA OS EXERCÍCIOS. TENHA CONSIGO SEMPRE UM DISCIONÁRIO 
DE LÍGUA PORTUGUESA ENQUANTO ESTUDA. 
SÓ ASSISTIR AS AULAS NÃO BASTA! 
NB: O autor da presente apostila não se responsabiliza por eventuais danos mentais causados pela não perceção 
dos conteúdos abordados! 
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Instrumental Matemático 
Arredondamento de dados 
Muitas vezes, é necessário ou conveniente suprimir unidades inferiores às de determinada 
ordem. Esta técnica é denominada arredondamento de dados. 
De acordo com as convenções Estatísticas, o arredondamento é feito da seguinte maneira: 
1 – Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0,1,2,3 ou 4, fica inalterado o último 
algarismo a permanecer. 
Ex: 53,24 passa a 53,2 ; 44,03 passa a 44,0 
 2 – Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6,7,8, ou 9, aumenta-se de uma 
unidade o algarismo a permanecer. 
Ex: 53,87 passa a 53,9 ; 44,08 passa a 44,1 ; 44,99 passa a 45,0 
 3 – Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há duas soluções: 
a) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma 
unidade ao algarismo a permanecer. 
Ex: 2,352 passa a 2,4 ; 25,6501 passa a 25,7 ; 76,250002 passa a 76,3 
b) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só se seguirem zeros, o último algarismo a ser 
conservado só será aumentando de uma unidade se for ímpar. 
Exemplos: 
• 24,75 passa a 24,8 
• 24,65 passa a 24,6 
• 24,75000 passa a 24,8 
• 24,6500 passa a 24,6 
Obs.: Não devemos nunca fazer arredondamentos sucessivos. Exemplo: 17,3452 passa a 
17,3 e não para 17,35 e depois para 17,4. 
Compensação 
Suponhamos os dados abaixo, aos quais aplicamos as regras do arredondamento: 
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25,32 + 17,85 + 10,44 + 31,17 = 84,78 
25,3 + 17,8 + 10,4 + 31,2 = 84,7 
Verificamos que houve uma pequena discordância: a soma é exatamente 84,7 quando, 
pelo arredondamento, deveria ser 84,8. Entretanto, para a apresentação dos resultados, é 
necessário que desapareça tal diferença, o que é possível pela prática do que 
denominamos compensação, conservando o mesmo número de casas decimais. 
Usamos "descarregar" a diferença na(s) maior(es) parcela(s). Veja: 
25,3 + 17,8 + 10,4 + 31,3 = 84,8 
Obs.: Se a maior parcela é igual ou maior que o dobro de qualquer outra parcela, 
"descarregamos" a diferença apenas na maior parcela. 
 Exercícios: 
1 – Arredonde cada um dos numerais abaixo, conforme a precisão pedida: 
a – Para o décimo mais próximo: 
• 23,40 = 
• 234,7832 = 
• 45,09 = 
• 48,85002 = 
• 120,4500 = 
b - Para o centésimo mais próximo: 
• 46,727 = 
• 123,842 = 
• 45,65 = 
• 28,255 = 
• 37,485 = 
c – Para a unidade mais próxima: 
• 46,727 = 
• 123,842 = 
• 45,65 = 
• 28,255 = 
• 37,485 = 
d - Para a dezena mais próxima: 
• 42,3 = 
• 123,842 = 
• 295 = 
• 2995,000 = 
• 59 = 
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2 – Arredonde para o centésimo mais próximo e compense, se necessário: 
0,060 + 0,119 + 0,223 + 0,313 + 0,164 + 0,091 + 0,030 = 1,000 
 3 – Arredonde para a unidade mais próxima e compense, se necessário: 
4,0 + 7,6 + 12,4 + 27,4 + 11,4 + 8,0 = 70,8 
 
 
PROBABILIDADE 
Introdução 
A origem da teoria das probabilidades é comumente associada às questões colocadas por 
MÉRÉ (1607-1684) a PASCAL (1623-1662). Todavia, existem autores que sustentam que o 
cálculo das probabilidades se iniciou na Itália, com PACCIOLI (1445-1514), CARDANO 
(1501-1576), TARTAGLIA (1499-1557) e GALILEO (1564-1642), dentre outros. 
Contudo, foi ADOLPHE QUÉTELET (1796 – 1874) o pioneiro na tarefa de mensurar, ou seja, 
quantificar uma pequena amostra do universo de interesse da investigação, almejando 
inferir sobre toda a população em estudo, baseando-se em análises probabilísticas e 
embasando-se em rigorosos métodos científicos. 
A teoria das probabilidades, porém, só começa a fazer sentido nas engenharias por volta 
de 1930, quando surgem os primeiros trabalhos práticos destinados aos engenheiros. O 
primeiro foi executado pelo matemático WILLIAM GOSSET (1876 – 1937), com a aplicação 
das probabilidades no Controle de Qualidade em uma fábrica de cervejas. 
A teoria das probabilidades é uma importante área da estatística que possibilita ao 
profissional no mercado de trabalho calcular percentuais, trabalhar com estimativas e 
realizar predições em toda e qualquer área do conhecimento. No que tange às 
Engenharias, a probabilidade está presente no controle de processos de produtos e 
serviços, permitindo estimar o risco e o acaso de eventos futuros. Também é amplamente 
utilizada no que tange ao planejamento de novas técnicas e estratégias de produção e 
vendas, dentre outras. 
Suponha que você é o engenheiro responsável pela qualidade na linha de produção de 
uma grande marca de bebidas. Sabe-se que não é possível “experimentar” todos os 
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produtos antes de disponibilizá-lo ao mercado, pois ninguém compraria uma bebida já 
provada, e que o processo de fabricação é composto por etapas, por interferências dos 
funcionários, por equipamentos (que podem estar ou não muito bem regulados), e por 
uma série de outros fatores controláveis ou não, como até mesmo uma simples umidade 
excessiva no ambiente de fabricação devido ao período chuvoso. No entanto, você pode 
suspeitar que um determinado lote, devido à variabilidade inerente ao processo, 
apresente um percentual de itens não conformes maior que o permitido pelos órgãos 
fiscalizadores. 
A teoria das probabilidades vem auxiliá-lo nesse processode tomada de decisão, 
permitindo inferir sobre a população em estudo, ou mesmo sobre eventos que ainda irão 
ocorrer, estimando as “chances” de sucesso do mesmo. 
O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática, entretanto a maioria dos 
fenómenos de que trata a Estatística são de natureza aleatória ou probabilística. O 
conhecimento dos aspetos fundamentais do cálculo das probabilidades é uma 
necessidade essencial para o estudo da Estatística Indutiva ou Inferencial. 
A Simbologia que usaremos para as Probabilidades 
𝑻𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒍𝒐𝒈𝒊𝒂𝒔 {
𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑜𝑢 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖ê𝑛𝑐𝑖𝑎 − 𝛀
𝐸𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝐴𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 − 𝑺
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 − 𝑬
 
 "Vamos jogar e aprender" 
Experiência 1 - Lançamento de uma moeda ao ar. 
Experimenta lançar uma moeda (por exemplo de 100 Kz.) ao ar. O que pode acontecer? 
 
Os resultados possíveis são: 
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"Como saber se sai cara ou coroa?" 
 
O aparecimento de cara ou coroa depende do "acaso" ou da "sorte" ou do "azar"... 
Antes do lançamento realizado não é possível determinar qual dos resultados vai sair. 
Estamos em presença de um "fenómeno aleatório" e a experiência diz-se uma 
"experiência aleatória". 
 
Experiência 2 - Lançamento de um dado. 
 
Um dado tem três faces azuis, duas amarelas e uma verde, numeradas de 1 a 6, como 
mostra a figura abaixo representada: 
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Se lançares uma vez o dado podes prever qual a face que fica voltada para cima? 
 
Diz-se que esta experiência tem: 
 
 
6 resultados possíveis 
ou 
6 casos possíveis 
 
 
 
Com estes resultados podem formar-se acontecimentos, como por exemplo: 
- O acontecimento A: "sair face azul" 
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Numa experiência aleatória, chamam-se "casos favoráveis" a um acontecimento, aos 
casos em que ocorre o acontecimento. 
Logo, o acontecimento A tem 3 casos favoráveis: 
, , . 
Outros exemplos: 
Acontecimentos Casos favoráveis ou resultados 
Número de casos 
favoráveis 
B: "sair face verde" 
 
1 
C: "sair 3" 
 
1 
D: "sair face preta" - 0 
E: "sair um nº natural 
menor que 7. , , , , , 
6 
F: "sair nº ímpar" , , 3 
Olhando, atentamente, para a tabela verificamos que o acontecimento D: "sair face preta" 
tem 0 (zero) casos favoráveis, diz-se que D é um "acontecimento impossível". O 
acontecimento E: "sair um número natural menor que 7" é um "acontecimento certo" 
porque todos os casos possíveis são favoráveis. 
Outros exemplos de "experiências aleatórias": 
Experiência 3 - Tirar, à sorte uma bola numerada de um saco. 
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Se tirares à sorte uma bola numerada de um saco contendo bolas 
numeradas de 1 a 9, não consegues prever o número que vai sair. 
Neste caso, quantos casos possíveis terás? 
Isso mesmo, 9 são os casos possíveis! 
 
 
Experiência 4 - Lançar, simultaneamente, dois dados. 
Também nesta situação não é possível prever com segurança qual 
o resultado que vai sair. 
 
 
 
• ANÁLISE COMBINATÓRIA (TÉCNICAS DE CONTAGEM EM PROBABILIDADE) 
O uso das fórmulas de análise combinatória para o cálculo do número de casos favoráveis 
e o número de casos possíveis designa-se por técnicas de contagem em probabilidades. 
Factorial: n! 
Define-se como o fatorial de um número n (n!), sendo este número um inteiro maior do 
que 1: 
n! = n×(n-1)×... ×1 
Assim sendo: 
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2! = 2×1 = 2 
3! = 3×2×1 = 6 
4! = 4×3×2×1 = 24 
5! = 5×4×3×2×1 = 120 
6! = 6×5×4×3×2×1 = 720 
E assim sucessivamente. 
Note que: 
3! = 3×2! 
4! = 4×3! 
5! = 5×4! 
6! = 6×5! 
Ou, generalizando: 
n! = n×(n-1)! , n>2 
Se estendermos esta propriedade para n=2: 
2! = 2×1! 
1! = 
2! = 2 
Então, convenientemente definimos: 
1! =1 
Se continuarmos para n=1: 
1! = 1×0! 
0! =1 
1! = 1 
Portanto, temos: 
n! = n×(n-1)×... ×1 , n>1 
1! = 1 
0! = 1 
Permutações 
Quantidade de maneiras que se pode ordenar um conjunto de objetos. 
Permutações simples 
Quantidade de maneiras que se pode ordenar n objetos distintos: 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏 
𝑃𝑛 = 𝑛! 
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EXEMPLO 
Determinar a quantidade de todas as ordenações possíveis dos números 1,2 e 3. 
1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,1,2; 3,2,1 
𝑷𝟑 = 𝟑! = 𝟑 × 𝟐 × 𝟏 = 𝟔 
Permutações caóticas 
Quantidade de permutações dos objetos (𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏) nas quais nenhum deles ocupa sua 
posição original. 
𝑫𝒏 = 𝒏! ∑
(−𝟏)𝒊
𝒊!
𝒏
𝒊=𝟎
 𝒐𝒖 𝑫𝒏 = 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒊𝒓𝒐 𝒎𝒂𝒊𝒔 𝒑𝒓ó𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒅𝒆 
𝒏!
𝒆
 
EXEMPLO 
Determinar a quantidade de permutações caóticas dos números 1,2 e 3. 
2,3,1 ;e 3,1,2 
𝑫𝟑 = 𝟑! ∑
(−𝟏)𝒊
𝒊!
𝟑
𝒊=𝟎
= 𝟔 × [
(−𝟏)𝟎
𝟎!
+
(−𝟏)𝟏
𝟏!
+
(−𝟏)𝟐
𝟐!
+
(−𝟏)𝟑
𝟑!
] = 𝟔 × [
𝟏
𝟏
−
𝟏
𝟏
+
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟔
]
= 𝟔 ×
𝟐
𝟔
= 𝟐 
Ou 𝑫𝟑 =
𝟑!
𝒆
= 𝟐. 𝟐 … ⇒ 𝑫𝟑 = 𝟐 
Permutações de elementos repetidos (anagramas) 
Quantidade de maneiras que se pode ordenar n elementos, nem todos distintos: 
 
𝑷𝒏
𝒏𝟏,𝒏𝟐,…,𝒏𝒌 =
𝒏!
𝒏𝟏! 𝒏𝟐! … 𝒏𝒌!
 
EXEMPLO 
Determinar a quantidade de anagramas que podem ser formados com a palavra ANA: 
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ANA , AAN , NAA 
𝑃3
2,1 =
3!
2! 1!
=
3 × 2 × 1
2 × 1 × 1
= 3 
Quantos anagramas são possíveis a partir da palavra “amor”? 
AMOR MAOR OAMR RAMO 
AMRO MARO OARM RAOM 
ARMO MORA OMRA RMOA 
AROM MOAR OMAR RMAO 
AOMR MRAO ORAM ROAM 
AORM MROA ORMA ROMA 
Portanto, são possíveis 24 anagramas. Os anagramas são as permutações (“trocas de 
lugar”) das letras da palavra. Temos então, no caso P4 (lê-se permutações de 4 elementos) 
anagramas. 
Se a palavra fosse “castelo”, o exercício acima seria muito mais trabalhoso. Como fazer, 
então? Na palavra “amor” temos 4 “espaços” onde podemos colocar as 4 letras. 
No 1º espaço podemos colocar qualquer uma das 4 letras. Para cada letra colocada no 1º 
espaço, sobram 3 letras para preencher o 2º espaço; uma vez preenchido este espaço, 
sobram apenas 2 para o 3º; finalmente, sobrará uma última letra no 4º espaço. Assim para 
estes casos como não temos repetição de letras, tomamos 𝑛𝑘 = 0; logo temos: 
𝑃4
0 =
4!
0!
=
4 × 3 × 2 × 1
1
= 24 
Generalizando, quando 𝑛𝑘 = 0: 
𝑷𝒏
𝟎 =
𝒏!
𝟎!
= 𝒏! 
Portanto, o total de anagramas da palavra “castelo” é: 
𝑃7 = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040 
Permutações circulares 
Quantidade de maneiras que se pode colocar n objetos distintos, 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒏, em n 
lugares (equiespaçados) em tornode um círculo, considerando-se equivalentes as 
disposições que possam coincidir por rotação. 
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𝑃𝐶𝑛 = (𝑛 − 1)! 
EXEMPLO 
Determinar a quantidade de maneiras que se pode dispor 4 pessoas em uma mesa 
redonda. 
 
𝑃𝐶4 = (4 − 1)! = 3! = 6 
Arranjos 
Quantidade de subgrupos ORDENADOS, com k elementos, que podem ser formados a 
partir de um grupo com n elementos distintos. 
Arranjos simples: An,k 
Utiliza-se um arranjo quando se quer formar grupos a partir de um conjunto maior em 
que a ordem é importante. Por exemplo, de um grupo de 5 pessoas, deseja-se montar 
uma chapa para uma eleição composta por um presidente, um vice e um tesoureiro. 
Há 3 vagas. Para a vaga de presidente, temos 5 opções; escolhido o presidente, temos 4 
opções para vice, sobrando 3 opções para tesoureiro. Então o número total de chapas 
será dado por A5,3 (lê-se arranjos de 5 elementos, 3 a 3) calculado assim: 
𝐴5,3 = 5 × 4 × 3 = 60 
Seriam 60 chapas possíveis, portanto. Faltaria, para completar o 5!, multiplicar por 2 e por 
1. 
Multiplicando e dividindo, temos: 
𝐴5,3 =
5 × 4 × 3 × 2 × 1
2 × 1
=
5!
2!
 
Generalizando, temos: 
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𝐴𝑛,𝑘 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
 
Arranjos com repetição (completos) 
Quantidade de subgrupos ORDENADOS, com k elementos, podendo ser repetidos, que 
podem ser formados a partir de um grupo com n elementos distintos. 
𝐴𝑛,𝑘
∗ = 𝑛𝑘 
EXEMPLO 
Dado o conjunto {a1,a2,a3}, os subgrupos ordenados com 2 elementos, com repetição, 
que podem ser formados são: 
 
𝑛(𝑆) = 𝐴3,2
∗ = 32 = 9 
Combinações 
Quantidade de subgrupos NÃO ORDENADOS, com k elementos, que podem ser formados 
a partir de um grupo com n elementos distintos. 
Combinações simples: Cn,k 
Quando falamos em combinações, como em arranjos, estamos querendo formar grupos a 
partir de um conjunto de elementos, a diferença é que a ordem não importa. 
Suponhamos que, no exemplo anterior, a chapa não tenha cargos (é uma chapa para um 
conselho, por exemplo), então não importa quem é escolhido primeiro. O total de chapas 
possíveis será dado pelo número de arranjos, descontando-se uma vez escolhida a chapa, 
trocando-se as posições na mesma (isto é, fazendo permutações) teremos uma chapa 
idêntica. Portanto, o número de chapas será dado por C5,3 (lê-se combinações de 5 
elementos, 3 a 3) calculado por: 
𝐶5,3 =
𝐴5,3
𝑃3
=
5!
2! × 3!
= 10 
Generalizando: 
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𝐶𝑛,𝑘 =
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
 
C15,3 = 15! / (15-3)! . 3! = 15 x 14 x 13 x 12! / 12! x 3! = 15 x 14 x 13 / 3 x 2 x 1 
Combinações com repetição (completas) 
Quantidade de subgrupos ORDENADOS, com k elementos, podendo ser repetidos, que 
podem ser formados a partir de um grupo com n elementos distintos. 
𝐶𝑛,𝑘
∗ = 𝐶𝑛+𝑘−1,𝑘 =
(𝑛 + 𝑘 − 1)!
𝑘! (𝑛 − 1)!
 
EXEMPLO 
Dado o conjunto {a1,a2,a3}, os subgrupos não ordenados com 2 elementos, com 
repetição, que podem ser formados são: 
 
𝑛(𝑆) = 𝐶3,2
∗ = 𝐶3+2−1,2 =
4!
2! 2!
=
4 × 3 × 2!
2 × 1 × 2!
= 6 
Retirada de bolas de uma urna 
Para contarmos de quantas maneiras podemos retirar uma amostra de n bolas de uma 
urna contendo N bolas distinguíveis temos as situações a seguir. Denotaremos esta 
quantidade por n(A). 
OBS: Amostra ordenada significa que a ordem de retirada das bolas é levada em 
consideração, por exemplo, o resultado (b1,b2) é diferente do resultado (b2,b1) devendo, 
portanto, os dois serem contados. O mesmo não acontece na amostra não ordenada, 
onde apenas um deles é contado. Na amostra com reposição as bolas retiradas são 
recolocadas na urna, podendo ser retiradas novamente. 
Amostra ordenada com reposição 
𝑛(𝐴) = 𝐴𝑁,𝑛
∗ 
EXEMPLO 
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Retirar uma amostra de 2 bolas, ORDENADA COM REPOSIÇÃO, de uma urna contendo 3 
bolas distinguíveis. 
 
𝑛(𝐴) = 𝐴3,2
∗ = 32 = 9 
 
Amostra ordenada sem reposição 
𝑛(𝐴) = 𝐴𝑁,𝑛 
EXEMPLO 
Retirar uma amostra de 2 bolas, ORDENADA SEM REPOSIÇÃO, de uma urna contendo 3 
bolas distinguíveis. 
 
𝑛(𝐴) = 𝐴3,2 =
3!
(3 − 2)!
= 6 
 
Amostra não ordenada com reposição 
𝑛(𝐴) = 𝐶𝑁,𝑛
∗ 
EXEMPLO 
Retirar uma amostra de 2 bolas, NÃO ORDENADA COM REPOSIÇÃO, de uma urna 
contendo 3 bolas distinguíveis. 
 
𝑛(𝐴) = 𝐶3,2
∗ = 𝐶3+2−1,2 =
4!
2! 2!
= 6 
 
Amostra não ordenada sem reposição 
𝑛(𝐴) = 𝐶𝑁,𝑛 
EXEMPLO 
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Retirar uma amostra de 2 bolas, NÃO ORDENADA SEM REPOSIÇÃO, de uma urna contendo 
3 bolas distinguíveis. 
 
𝑛(𝐴) = 𝐶3,2 =
3!
2! (3 − 2)!
= 3 
 
EXEMPLOS DIVERSOS 
1- Qual a probabilidade de tirarmos 5 cartas de espadas sem reposição de um baralho de 
52 cartas? 
Método tradicional: P(5 espadas) = 13/52 . 12/51 . 11/50 . 10/49 . 9/48 = 0,0005... 
Técnica de contagem: 
P(5 espadas) = C13,5 / C52,5 = (13.12.11.10.9 / 5.4.3.2.1) / (52.51.50.49.48 / 5.4.3.2.1) = 
13.12.11.10.9 / 52.51.50.49.48 = 0,0005... 
2- De 20 pessoas que se oferecem para doar sangue 15 possuem sangue tipo B. Qual a 
probabilidade de, escolhendo-se 3 pessoas desse grupo todas as 3 escolhidas tenham 
sangue tipo B? 
P (3 sangue B) = C15,3 / C20,3 = (15.14.13 / 3.2.1) / (20.19.18 / 3.2.1) = 15.14.13/20.19.18 
= 0,399 
3- Qual a probabilidade de retirarmos 2 ases em uma amostra de 5 cartas retiradas de um 
baralho de 52 cartas? 
P (2 ases) = (C4,2 x C48,3) / C52,5 
4- Qual a probabilidade de retirarmos 4 ases em uma amostra de 13 cartas retiradas de 
um baralho de 52 cartas? 
P (4 ases) = (C4,4 x C48,9) / C52,13 = C48,9 / C52,13 
 Experimento Aleatório 
São fenómenos que, mesmo repetido várias vezes sob condições semelhantes, 
apresentam resultados imprevisíveis. O resultado depende do acaso. 
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Exemplo: 
Da afirmação "é provável que o meu time ganhe a partida hoje" pode 
resultar: 
- que ele ganhe - que ele perca - que ele empate 
Este resultado pode ter três possibilidades. 
Espaço Amostral – 𝑺 
É o conjunto universo ou o conjunto de resultados possíveis de um experimento aleatório. 
No experimento aleatório "lançamento de uma moeda" temos o espaço amostral {cara, 
coroa}. 
No experimento aleatório "lançamento de um dado" temos o espaço amostral {1, 2, 3, 4, 
5, 6}. 
No experimento aleatório "dois lançamentos sucessivos de uma moeda" temos o espaço 
amostral: 
{(ca,ca) , (co,co) , (ca,co) , (co,ca)} 
Obs.: cada elemento do espaço amostral que corresponde a um resultado recebe o nome 
de ponto amostral. No primeiro exemplo: cara pertence ao espaço amostral {cara, 
coroa}. 
 Eventos – 𝑬 
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. 
Se considerarmos S como espaçoamostral e E como evento: Assim, qualquer que seja E, 
se 𝑬 ⊂ 𝑺 (E está contido em S), então E é um evento de S. 
Se E = S, E é chamado de evento certo. 
Se 𝑬 ⊂ 𝑺 e E é um conjunto unitário, E é chamado de evento elementar. 
Se E = Ø, E é chamado de evento impossível. 
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Por exemplo, na experiência 3, lançar dois dados: 
A= {pelo menos uma face é número par: todos os pares sombreados} 
B= {as duas faces têm o mesmo valor: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)} 
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 
Operações com eventos: Sejam A e B dois eventos associados a um espaço amostral 
 
União A  B: implica na ocorrência 
de pelo menos um dos eventos 
 Intersecção A  B: quando os dois 
evento ocorrem simultaneamente 
  
 
 
B 
 
 
 
  
 
Complemento de A (Ac) ou �̅�: 
ocorre quando não ocorre A 
 Diferença A-B: quando ocorre 
A mas não ocorre B 
 
 
 
 
 
 �̅� ou Ac 
 
  
 
A A 
A A 

 
 
 A 
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Diferença simétrica A  B: 
ocorre apenas um dos dois eventos 
 Eventos mutuamente exclusivos: 
quando a intersecção deles é o evento 
impossível 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
Evento seguro {Ω}: ocorre sempre 
Evento impossível {𝜙}: nunca ocorre 
 
 
EXERCÍCIOS 
1- No lançamento de um dado temos S = {1,2,3,4,5,6}. Formule os eventos definidos pelas 
sentenças: 
A) Obter um número par na face superior do dado: A = {2,4,6} onde A C S. 
B) Obter um número menor ou igual a 6 na face superior: B = {1,2,3,4,5,6}, onde B = S, 
logo B é um evento certo de S. 
C) Obter o número 4 na face superior: C = {4}, logo C é um evento elementar de S. 
D) Obter um número maior que 6 na face superior: D = Ø, logo D é um evento impossível 
de S. 
2- No lançamento de duas moedas (uma de 10 centavos e outra de 5 centavos) 
a) Qual é o espaço amostral? 
b) Formule os eventos definidos pelas sentenças: 
• Obter uma cara: 
• Obter pelo menos uma cara: 
• Obter apenas uma cara: 
• Obter no máximo duas caras: 
A  A  
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• Obter uma cara e uma coroa: 
• Obter uma cara ou uma coroa: 
Conceito de Probabilidade 
Considere-se o seguinte caso prático: 
"Concurso da Roda da Sorte" 
O Asdrubal ganha um automóvel se "sair vermelho". 
Qual é a probabilidade do Asdrubal ganhar o prémio? 
 
A roda da sorte representada na figura está dividida em 8 sectores iguais com igual 
possibilidade de saírem. 
Há 8 sectores na roda e apenas 2 são vermelhos, ou seja, há 8 casos possíveis e 2 
favoráveis. 
Como há 2 "casos favoráveis" à saída do vermelho em "8 casos possíveis", diz-se que, a 
probabilidade de "sair vermelho" é de 2 em 8, isto é, 2/8. 
Escreve-se: 
 
Logo, a probabilidade do Asdrubal ganhar o prémio é 1/4. 
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 E qual será a probabilidade do Asdrubal perder? 
Neste caso há 6 casos favoráveis à "saída do amarelo" (pois saindo o amarelo o Asdrubal 
perde) em 8 casos possíveis, isto é, 6/8. 
Escreve-se: 
 
Este exemplo sugere a seguinte definição de probabilidade: 
A probabilidade de realização de um acontecimento A é igual ao quociente entre o número 
de casos favoráveis à sua realização e o número total de casos possíveis, desde que estes 
sejam igualmente prováveis. 
 
 
𝑃(𝐴) =
𝑛
𝑝
 
Esta fórmula é conhecida por Lei de Laplace. 
A probabilidade pode ser resumida como o quociente do que se “quer” pelo que se “tem”. 
Na qual primeiro determina-se o que é possível “ter” e depois retira o que se “quer do que 
se tem”, não podendo “querer mais do que tem”, ou seja: 
 
Existem duas restrições à aplicação da definição da probabilidade clássica: (1) todos os 
eventos possíveis devem ter a mesma probabilidade de ocorrência, ou seja, os eventos 
devem ser equiprováveis e (2) deve-se ter um número finito de eventos possíveis. 
"Frequência Relativa e Probabilidade" 
Recordar que: Frequência relativa de um acontecimento é o quociente entre a frequência 
absoluta (número de vezes que esse acontecimento se verifica) e o número 
total de observações. 
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Para um grande número de experiências a frequência relativa de um acontecimento é um 
valor aproximado da sua probabilidade. Isto confirma a "Lei dos Grandes Números ou 
Probabilidade Frequencista". 
OBS: Quando todos os elementos do Espaço amostral têm a mesma chance de acontecer, 
o espaço amostral é chamado de conjunto equiprovável; e pode-se determinar a 
probabilidade de um acontecimento: 
• Previamente (antes de realizar a experiência), aplicando-lhe a Lei de Laplace; 
• Empiricamente (realizando a experiência), aplicando-lhe a Lei dos Grandes 
Números ou Probabilidade Frequencista. 
EXEMPLOS: 
1- No lançamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um evento A? 
S = {ca, co} = 2 A = {ca} = 1 P(A) = 1/2 = 0,5 = 50% 
2- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número par em um 
evento A? 
S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = {2,4,6} = 3 P(A) = 3/6 = 0,5 = 50% 
3- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número menor ou igual a 
6 em um evento A? 
S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = {1,2,3,4,5,6} = 6 P(A) = 6/6 = 1,0 = 100% 
Obs.: a probabilidade de todo evento certo = 1 ou 100%. 
4- No lançamento de um dado qual a probabilidade de obter um número maior que 6 em 
um evento A? 
S = {1,2,3,4,5,6} = 6 A = { } = 0 P(A) = 0/6 = 0 = 0% 
Obs.: a probabilidade de todo evento impossível = 0 ou 0% 
 Eventos Complementares 
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra 
(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento 
existe sempre a relação: 
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 𝒑 + 𝒒 = 𝟏 
Obs.: Numa distribuição de probabilidades o somatório das probabilidades atribuídas a 
cada evento elementar é igual a 1 onde 𝒑𝟏 + 𝒑𝟐 + 𝒑𝟑 + ⋯ + 𝒑𝒏 = 𝟏. 
Exemplos: 
1- Sabemos que a probabilidade de tirar o nº 4 no lançamento de um dado é p = 1/6. logo, 
a probabilidade de não tirar o nº 4 no lançamento de um dado: q = 1 - p ou q = 1 - 1/6 = 
5/6. 
 2- Calcular a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida, onde as 
suas "chances", segundo os entendidos, são de "3 para 2". Calcule também a 
probabilidade de ele perder: 
 O termo "3 para 2" significa: De cada 5 corridas ele ganha 3 e perde 2. Então p = 3/5 
(ganhar) e q = 2/5(perder). 
3- Um dado foi fabricado de tal forma que num lançamento a probabilidade de ocorrer 
um número par é o dobro da probabilidade de ocorrer número ímpar na face superior, 
sendo que os três números pares ocorrem com igual probabilidade, bem como os três 
números ímpares. Determine a probabilidade de ocorrência de cada evento elementar: 
 4- Seja S = {a,b,c,d} . Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades: P(a) = 1/8; 
P(b) = 1/8; P(c) = 1/4 e P(d) = x . Calcule o valor de x: 
 5- As chances de um time de futebol T ganhar o campeonato que está disputando são de 
"5 para 2". Determinar a probabilidade de T ganhar e a probabilidade de T perder: 
 6- Três cavalos C1, C2 e C3 disputam um páreo, onde só se premiará o vencedor. Um 
conhecedor dos 3 cavalos afirma que as "chances" de C1 vencer são o dobro das de C2, e 
que C2 tem o triplo das "chances" de C3. Calcule as probabilidades de cada cavalo vencer 
o páreo: 
Regra do Produto 
Sejam A e B dois eventos quaisquer contidos em S, então: 
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ∙ 𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) ou 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵 𝐴⁄ ) 
Exemplo: 
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Duas bolas são retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. 
Qual a probabilidade de que ambas: 
a) Sejam verdes? b) Sejam brancas? c) Sejam da mesma cor? 
a) 𝑃(𝑉 ∩ 𝑉) = 𝑃(𝑉) ∙ 𝑃(𝑉 𝑉⁄ ) =
4
9
∙
3
8
=
1
6
 
b) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
c) - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 
Eventos Independentes 
Intuitivamente se A e B são independentes é porque: 
 P (A/B) = P (A) e P (B/A) = P (B) 
Quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da 
realização do outro e vice-versa. 
Exemplo: Quando lançamos dois dados, o resultado obtido em um deles independente do 
resultado obtido no outro. Então qual seria a probabilidade de obtermos, 
simultaneamente, o nº 4 no primeiro dado e o nº 3 no segundo dado? 
Assim, sendo P1 a probabilidade de realização do primeiro evento e P2 a probabilidade de 
realização do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem 
simultaneamente é dada pela fórmula: 
𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨) ∙ 𝑷(𝑩) 
P1 = P(4 dado1) = 1/6 P2 = P(3 dado2) = 1/6 
P total = P (4 dado1) x P (3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36 
 Eventos Mutuamente Exclusivos 
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a 
realização do(s) outro(s). Assim, no lançamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o 
evento "tirar coroa" são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro 
não se realiza. 
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se 
realize é igual à soma das probabilidades de que cada um deles se realize: 
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 𝑷(𝟏 ∪ 𝟐) = 𝑷(𝟏 𝒐𝒖 𝟐) = 𝑷(𝟏) + 𝑷(𝟐) 
Exemplo: No lançamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o nº 3 ou o nº 4? 
Os dois eventos são mutuamente exclusivos então: P = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3 
 Obs.: Na probabilidade da união de dois eventos A e B, quando há elementos comuns, 
devemos excluir as probabilidades dos elementos comuns a A e B (elementos de A n B) 
para não serem computadas duas vezes. Assim 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 
Exemplo: Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade da 
carta retirada ser ou um ÁS ou uma carta de COPAS? 
P(ÁS ∪ Copas) = P(ÁS) + P(Copas) - P(ÁS ∩ Copas) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 
Importante 
1 – Três eventos A, B, e C serão independentes, se todas as 4 proposições abaixo forem 
satisfeitas: 
 a) P (A B C) = P (A). P (B). P (C) 
b) P (A  B) = P (A). P (B) 
c) P (A  C) = P (A). P (C) 
d) P (B  C) = P (B). P (C) 
2 – Se A e B são mutuamente exclusivos, então A e B são dependentes, pois se A ocorre, B 
não ocorre, isto é, a ocorrência de um evento condiciona a não-ocorrência do outro. 
 Probabilidade Condicional 
Seja A e B são dois eventos, tais que A  S e B  S, a probabilidade de B ocorrer, depois de 
A ter acontecido é definida por: P (B/A), ou seja, é chamada probabilidade condicional de 
B. Neste caso os eventos são dependentes e definidos pela fórmula: 
 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) = 𝑷(𝑨 𝒆 𝑩) = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩 𝑨⁄ ) 
Exemplo: Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a 
probabilidade de ambas serem COPAS? 
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P (Copas1 e Copas2) = P(Copas1) x P(Copas2/Copas1) = 13/52 x 12/51 = 0,0588 = 5,88 % 
P(Copas1) = 13/52 
P(Copas2/Copas1) = 12/51 
Obs.: No exemplo anterior se a 1ª carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria 
do tipo com reposição e seria um evento independente. O resultado seria: 
P(Copas1) x P(Copas2) = 13/52 x 13/52 = 0,625 = 6,25 % 
 Espaço amostral do baralho de 52 cartas: 
Carta pretas = 26 
Paus = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) 
Espadas = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) 
Cartas vermelhas = 26 
Ouros = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) 
Copas = 13 (ás, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valete, dama, rei) 
 
Generalizando, podemos usar as seguintes fórmulas: 
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP

= , P (B)  0 e 
)(
)(
)/(
AP
ABP
ABP

= , P (A)  0 
Exemplo 1: 
 Sendo P (A) = 1/3 P (B) =3/4 e P (A  B) = 11/12, calcular P (A/B). 
Como 
)(
)(
)/(
BP
BAP
BAP

= , devemos calcular P (AB) = P (A) + P (B) − P (A  B) → 
Daí, P (A  B) = 1/6. Logo P (A/B) =2/9 
Exemplo 2: 
O quadro abaixo se refere à distribuição de alunos presentes numa reunião, classificados 
por sexo e por curso: 
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 Curso RH EI Total 
 Sexo 
 
 H 40 60 100 
 M 70 80 150 
 
 Total 110 140 250 
 
Sorteia-se ao acaso um estudante da população de 250 alunos. 
a) Qual é a probabilidade de ser mulher? 
 Como o espaço amostral é composto de 250 alunos, dos quais apenas 150 satisfazem 
ao evento, então: P (M) = 150/250 
b) Qual a probabilidade de o aluno sorteado ser mulher, sabendo que ela estuda 
Engenharia Informática (EI)? 
Nesse caso o espaço amostral ficou reduzido a 140 estudantes que estudam 
economia, dos quais apenas 80 são mulheres, então: 
𝑃(𝑀 𝐸𝐼⁄ ) =
𝑃(𝑀 ∩ 𝐸𝐼)
𝑃(𝐸𝐼)
=
80 250⁄
150 250⁄
=
40
75
 
c) Qual a probabilidade de o aluno sorteado ser homem, sabendo que ele estuda Recursos 
Humanos (RH)? 
 EXERCÍCIOS 
1- Qual a probabilidade de sair o ÁS de ouros quando retiramos 1 carta de um baralho de 
52 cartas? 
 2- Qual a probabilidade de sair o um REI quando retiramos 1 carta de um baralho de 52 
cartas? 
 3- Em um lote de 12 peças, 4 sã defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule: a)a 
probabilidade de essa peça ser defeituosa. b) a probabilidade de essa peça não ser 
defeituosa. 
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 4- De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro 
baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser 
um REI e a do segundo ser o 5 de paus? 
 5- Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas 
brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma 
bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da 1ª, 2ª e 
3ª urnas serem, respetivamente, branca, preta e verde? 
 6- De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a 
probabilidade de a primeira carta ser o ÁS de paus e a segunda ser o REI de paus? 
 7- Qual a probabilidade de sair uma figura (rei ou dama ou valete) quando retiramos uma 
carta de um baralho de 52 carta? 
 8- São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do 
primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma DAMA e 
um REI, não necessariamente nessa ordem? 
 9- Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de 
ambas serem COPAS ou ESPADAS? 
 10- Duas bolas são retiradas (sem reposição) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 
bolas pretas. Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta? 
 11- Duas bolas são retiradas (com reposição) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 
3 bolas pretas. Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta? 
 12- Duas bolas são retiradas (sem reposição) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 
bolas pretas e 5 bolas verdes. a) Qual a probabilidade de que ambas sejam verdes? b) 
Qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor? 
DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES 
Variáveis aleatórias 
Ao descrever um espaço amostral (S) associado a um experimento () não se especifica 
que um resultado individual necessariamente, seja um número. Contudo, em muitas 
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situações experimentais, estaremos interessados na mensuração de alguma coisa e no seu 
registo como um número. 
Definição: Seja () um experimento aleatório e seja (S) um espaço amostral associado ao 
experimento. Uma função de X, que associe a cada elemento s  S um número real x(s), é 
denominada variável aleatória. 
 
 
FIGURA 1 - Representação de uma variável aleatória 
 
Uma variável X será discreta (V.A.D.) se o número de valores de x(s) for finito ou infinito 
numerável. Caso encontrarmos x(s) em forma de intervalo ou um conjunto de intervalos, 
teremos uma variável aleatória contínua (V.A.C.). 
Função de Probabilidade 
A probabilidade de que uma variável aleatória "X" assuma o valor "x" é uma função de 
probabilidade, representada por P(X = x) ou P(x). 
Função de Probabilidade de uma V.A.D. 
A função de probabilidade para uma variável aleatória discreta é chamada de função de 
probabilidade no ponto, ou seja, é o conjunto de pares (xi; P(xi)), i = 1, 2, ..., n, ..., 
conforme mostra a FIGURA 2. 
 
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FIGURA 2 - Distribuição de probabilidade de uma V.A.D. 
Para cada possível resultado de x teremos: 
0 P(X) 1  ; 
P(X ) 1i
i 1
=
=

 
Função de Distribuição Acumulada para V.A.D. 
Seja X uma variável aleatória discreta. 
Define-se Função de Repartição da Variável aleatória X, no ponto xi, como sendo a 
probabilidade de que X assuma um valor menor ou igual a xi, isto é: 
( )F(X P X xi) =  
Propriedades: 
㈠ ( )F(X P xi
x xi
) =

 
㈡ F(− =) 0 
㈢ F(+ =) 1 
㈣ ( )P a x b F(b F(a  = −) ) 
㈤ ( )P a x b F(b F(a P X a  = − + =) ) ( ) 
㈥ ( )P a x b F(b F(a P X b  = − − =) ) ( ) 
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㈦ F(X) é contínua à direita  ( )lim )
x x
oF(X F X
→
=
0
 
㈧ F(X) é descontínua à esquerda, nos pontos em que a probabilidade é diferente 
de zero. 
 
㈨ A função é não decrescente, isto é, F(b)  F(a) para b > a, pois: 
 P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a) ≥0 
 
Esperança Matemática de V.A.D. 
Definição: Seja X uma V.A.D., com valores possíveis x1, x2, ..., xn,... ; Seja P(xi) = P(X = xi), i 
= 1, 2, ..., n, ... . Então, o valor esperado de X (ou Esperança Matemática de X), denotado 
por E(X) é definido como 
E(X) x P(x )i i
i 1
=
=

 
se a série E(X) x P(x )i i
i 1
=
=

 convergir absolutamente, isto é, se , este 
número é também denominado o valor médio de X, ou expectância de X. 
Variância de uma V.A.D. 
Definição: Seja X uma V.A.D.. Define-se a variância de X, denotada por V(X) ou 2x, da 
seguinte maneira: 
( )V(X) x E(X) .P(x )i
2
i
i 1
= −
=

 ou V(X) E(X ) E(X)2
2
= − 
onde E(X ) x P(x )2 i
2
i
i 1
=
=

 e a raiz quadrada positiva de V(X) é denominada o desvio-
padrão de X, e denotado por x. 
Função de Probabilidade de uma V.A.C. 
No instante em que X é definida sobre um espaço amostral contínuo, a função de 
probabilidade será contínua, onde a curva limitada pela área em relação aos valores de x 
será igual a 1. 
( )lim ) , )
x x
oF(X F X
→
 
0
0 para P(X = xo
|x | P(x )i i
i 1=

  
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FIGURA 3 - Distribuição de probabilidade de uma V.A.C. 
Se quisermos calcular a probabilidade de X assumir um valor x entre "a" e "b" devemos 
calcular: 
P(a x b) f(x) dx
a
b
  =  
Pelo fato de que a área representa probabilidade, e a mesma tem valores numéricos 
positivos, logo a função precisa estar inteiramente acima do eixo das abscissas (x). 
Definição: A função f(x) é uma Função Densidade de Probabilidade (f.d.p.) para uma V.A.C. 
X, definida nos reais quando 
f (x) 0 para todo x  Rx; 
f(x) dx = 1
−
+
 ; 
Para quaisquer a, b, com -∞ < a < b < +∞, teremos P(a x b) f(x) dx
a
b
  =  . 
Além disso, para a < b em Rx P(a < x < b) = 
b
a
dxxf )( 
Função de Distribuição Acumulada para V.A.C. 
Seja X uma variável aleatória contínua. 
Define-se Função de Repartição da Variável aleatória X, no ponto xi, como sendo: 
F(X f x dx
x
) ( )=
− 
 
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 ( ) ( ) ( ) ( )P a x b P a x b P a x b P a x b  =   =   =   
 
Esperança Matemática de uma V.A.C. 
Definição: Seja X uma V.A.C. com f.d.p. f(x). O valor esperado de X é definido como: 



=
+
-
dx x.f(x)E(X) 
 
pode acontecer que esta integral imprópria não convirja. 
Consequentemente, diremos que E(X) existirá se, e somente se, 
+
−
f(x) |x| for finita. 
Variância de uma V.A.C. 
Definição: Seja X uma V.A.C. de uma função distribuição de probabilidade (f.d.p.). A 
variância de X é: 
( )V(X) x E(X) f(x) dx
2
= −−
+
 ou V(X) E(X ) E(X)
2 2= − 
onde 
E(X ) x f(x) dx2 2=
−
+
 
 
Exemplos: 
✓ Variável Aleatória Discreta 
Seja X o lançamento de duas moedas e descrever o experimento em função da obtenção 
do número de caras: 
i) determinar a função de probabilidade e represente graficamente; 
ii) construir a função de repartição e represente graficamente; 
iii) Use as propriedades para determinar: 
a) P(0 < x < 2); b) P(0  x  1); c) P(0 < x  2); d) F(1); e) F(2) 
iv) E(X) e V(X) 
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i) Representação gráfica 
 
 
 
 
ii) Representação gráfica 
 
F(x) = 0 se x<0 
 
F(X) = 1/4 se 0  x < 1 
 
F(X) = 3/4 se 1  x < 2 
 
F(X) = 1 se x  2 
 
iii) 
a) ( )
2
1
4
2
4
1
4
1
1)2()0()2(20 ==−−==−−= XPFFxP 
b) ( )P x F( F( P X0 1 1 0 0
3
4
1
4
1
4
3
4
  = − + = = − + =) ) ( ) 
c) ( )P x F( F(0 2 2 0 1
1
4
3
4
  = − = − =) ) 
d) F(1) = 3/4 e) F(2) = 1 
 
iv) Esperança Matemática 
E(X) x P(x )i i
i 1
=
=

 = 0 1 2 1 . 
1
4
 . 
2
4
 . 
1
4
+ + = 
Variância 
E(X ) x P(x )2 i
2
i
i 1
=
=

 = 0 1 2
6
4
2 2 2 . 
1
4
 . 
2
4
 . 
1
4
+ + = =
2
3
 
0 1 2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
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V(X) E(X ) E(X)2
2
= − = 
6
4
4
4
2
4
05− = = . 
✓ Variável Aleatória Contínua 
Seja X uma variável aleatória contínua: 
 
i) Represente graficamente função densidade de probabilidade; 
ii) Determinar a função de repartição e represente graficamente; 
iii) Determine 







4
3
x
4
1
P
 e 






 1x
4
1
P
 
iv) E(X) e V(X) 
Resolução; 
i) 
 
 
ii) 
 
para x<0   − ==
x
0dx 0)X(F 
para 0  x < 1    − =+=+=
x
2x
0
2
x
0
xx0dx x2dx 0)X(F 
para x  1     −
+
=++=++=
x 1
0
2
1
0 1
10x0dx 0dx x2dx 0)X(F 


 
=
 valoroutroqualquer para 0,
 1x0 para ,x2
)x(f
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Representação gráfica 
 
 
iii) 
 
iv)  E(X) f(x) dx = 2x dx = f(x) dx = 23= =  x x x x0
1
0
1
2
0
1
3
0
1
2
2
3
 
 E(X ) f(x) dx = 2x dx = f(x) dx = 24
2 = =  x x x x
2
0
1
2
0
1
3
0
1
4
0
1
2
1
2
 
logo, 
 
 V(X) E(X ) E(X)2
2
= − = −





 =
−
=
1
2
2
3
9 8
18
1
18
2
 
Exercícios 
1) Admita que a variável X tome valore 1, 2 e 3 com probabilidades 1/3, 1/6 e 1/2 
respectivamente. 
a) Determine sua função de repartição e represente graficamente. 
b) Calcule usando as propriedades: 
b.1) a) P(1 < x < 3); b) P(1  x  2); c) P(1 < x  3); d) F(1); e) F(2) 
c) E(X) e V(X) 
2) No lançamento simultâneo de dois dados, considere as seguintes variáveis 
aleatórias: 
X = número de pontos obtidos no 1o dado. 
Y = número de pontos obtidos no 2o dado. 
 P x x14
3
4
2
3
4
1
4
8
16
0 5
1
4
3
4
1
4
3
4
2 2
 





 = =





 −





 = = dx = x
2 ,
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a) Construir a distribuição de probabilidade através de uma tabela e gráfico das 
seguinte variáveis: 
i) W = X - Y 
ii) A = 2 Y 
iii) Z = X . Y 
b) Construir a função de repartição das Variáveis W, A e Z 
c) Aplicar as propriedades e determinar: 
i) P (-3 < W  3) v) P (Z = 3) 
ii) P (0  W  4) vi) P (A  11) 
iii) P (A > 6) vii) P (20  Z  35) 
iv) P (Z  5.5) viii) P 3,5 < Z < 34) 
d) Determine E(W), E(A), E(Z), V(W), V(A) e V(Z) 
3) Uma variável aleatória discreta tem a distribuição de probabilidade dada por: 
 para x = 1, 3, 5 e 7 
a) calcule o valor de k b) Calcular P(X=5) 
c) E(X) d) V(X) 
4) Seja Z a variável aleatória correspondente ao número de pontos de uma peça de 
dominó. 
a) Construir a tabela e traçar o gráfico P(Z). 
b) Determinar F(Z) e traçar o gráfico. 
c) Calcular P(2 Z < 6). 
d) Calcular F(8). 
e) E(Z) e V(Z). 
5) Seja ( )




−
=
contrário caso 0,
1x0 ,x1
2
3
)x(f
2
, 
i) Ache a função de repartição e esboce o gráfico. 
( )P X
K
x
=
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ii) Determine E(X) e V(X). 
6) Seja 





=
contrário caso 0,
2x0 ,x
2
1
)x(f , 
i) Ache a função de repartição e esboce o gráfico. 
ii) P(1< x < 1,5). 
iii) E(X) e V(X). 
7) Uma variável aleatória X tem a seguinte f.d.p.: 
x < 0 f(x) = 0 
0  x < 2 f(x) = k 
2  x < 4 f(x) = k(x - 1) 
x  4 f(x) = 0 
a) Represente graficamente f(x). 
b) Determine k. 
c) Determine F(X) e faça o gráfico 
d) E(X) e V(X) 
8) A função de probabilidade de uma V.A.C. X é 
( )


 −
=
contrário caso 0,
1x0 ,x1x6
)x(f 
a) Determine F(X) e represente graficamente. 
b) Calcule 
c) E(X) e V(X) 
9) Uma variável aleatória X tem a seguinte f.d.p.: 
f(x) = 0 x < 0 
f(x) = Ax 0  x < 500 
f(x) = A(100 - x) 500  x < 1000 
f(x) = 0 x  1000 
a) Determine o valor de A. 
b) P (250  x  750). 
P x 






1
2
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10) Dada a função de repartição: 
F(X) = 0 para x < -1 
F(X) = para -1  x < 1 
F(X) = 1 para x  1 
a) Calcule: , b) P(X = 0) 
Após termos visto as definições de V.A.D. e V.A.C., citaremos as principais distribuições de 
probabilidade relacionadas a estas variáveis. 
Distribuições Discretas de Probabilidade 
Distribuição Binomial 
O termo "Binomial" é utilizado quando uma variável aleatória esta agrupada em duas 
classes ou categorias. As categorias devem ser mutuamente excludentes, de modo a 
deixar bem claro a qual categoria pertence determinada observação; e as classes devem 
ser coletivamente exaustivas, de forma que nenhum outro resultado fora delas é possível. 
Sejam, "p" probabilidades de sucesso e “q” probabilidades de falha, ou seja p + q = 1. 
A probabilidade de x sucessos em n tentativas é dado por px e de (n - x) falhas em (n - x) 
tentativas é dado por qn-x, onde o número de vezes em que pode ocorrer x sucessos e (n-
x) falhas é dado por: 
x)!(n x!
n!
x
n
C xn,
−
=





= 
logo, a probabilidade de ocorrer x sucessos com n tentativas será 
xnx q p
x
n
x)P(X −





== 
Propriedades necessárias para haver uma utilização da Distribuição Binomial: 
㈠ Número de tentativas fixas; 
㈡ Cada tentativa deve resultar numa falha ou sucesso; 
㈢ As probabilidades de sucesso devem ser iguais para todas as tentativas; 
㈣ Todas as tentativas devem ser independentes. 
x + 1
2
P x−  






1
2
1
2
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Esperança Matemática de Distribuição Binomial 
p .n E(X) = 
Variância de uma Distribuição Binomial 
V(X) n. p.q= 
Distribuiçãode Poisson 
Quando numa distribuição binomial o tamanho "n" das observações for muito grande e a 
probabilidade "p" de sucesso for muito pequena, a probabilidade x de ocorrência de um 
determinado número de observações segue uma Distribuição de Poisson. 
A aplicação da distribuição segue algumas restrições: 
✓ Somente a chance afeta o aparecimento do evento, contando-se apenas com a sua 
ocorrência, ou seja, a probabilidade de sucesso "p". 
✓ Uma vez não conhecido o número total de eventos, a distribuição não pode ser 
aplicada. 
Esperança Matemática da Distribuição de Poisson 
E(x) =  
Variância da Distribuição de Poisson 
V(X) =  
Exercícios 
1) Admitindo-se o nascimento de meninos e meninas sejam iguais, calcular a 
probabilidade de um casal com 6 filhos ter: 
a) 4 filhos e 2 filhas b) 3 filhos e 3 filhas 
2) Em 320 famílias com 4 crianças cada uma, quantas se esperaria que tivessem: 
a) nenhuma menina; b) 3 meninos c) 4 meninos 
3) Um time X tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga. Se X jogar 5 
partidas, calcule a probabilidade de: 
a) X vencer exatamente 3 partidas; 
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b) X vencer ao menos uma partida; 
c) X vencer mais da metade das partidas; 
d) X perder todas as partidas; 
4) A probabilidade de um atirador acertar um alvo é 1/3. Se ele atirar 6 vezes, qual a 
probabilidade de: 
a) acertar exatamente 2 tiros; b) não acertar nenhum tiro. 
5) Num teste de certo/errado, com 100 perguntas, qual a probabilidade de um aluno, 
respondendo as questões ao acaso, acertar 70% das perguntas? 
6) Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que, 
numa amostra de 100 lâmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: 
a) nenhuma defeituosa (use binomial e poisson) 
b) 3 defeituosas; 
c) mais do que uma boa; 
7) Uma fábrica de pneus verificou que ao testar seus pneus nas pistas, havia em média 
um estouro de pneu a cada 5.000 km. 
a) qual a probabilidade que num teste de 3.000 km haja no máximo um pneu 
estourado? 
b) Qual a probabilidade de um carro andar 8.000 km sem estourar nenhum pneu? 
8) Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a 
probabilidade de: 
a) receber 4 chamadas num dia; 
b) receber 3 ou mais chamadas num dia; 
c) 22 chamadas numa semana. 
9) A média de chamadas telefônicas em uma hora é 3. Qual a probabilidade: 
a) receber exatamente 3 chamadas numa hora; 
b) receber 4 ou mais chamadas em 90 minutos; 
c) 75 chamas num dia; 
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10) Na pintura de paredes aparecem defeitos em média na proporção de 1 defeito por 
metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem 3 defeitos numa parede 2 x 2 
m? 
11) Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000 hab. 
Em uma cidade de 100.000 habitantes, encontre a probabilidade de que um dado 
ano tenha havido: a) nenhum suicídio; b) 1 suicídio; c) 2 ou mais suicídios. 
12) Suponha 400 erros de impressão distribuídos aleatoriamente em um livro de 500 
páginas. Encontre a probabilidade de que uma dada página contenha: 
a) nenhum erro; 
b) 100 erros em 200 páginas. 
Distribuições Contínuas de Probabilidade 
Distribuição Uniforme ou Retangular 
É uma distribuição de probabilidade usada para variáveis aleatórias contínuas, definida num 
intervalo , e sua função densidade de probabilidade é dada por: 





−=
b>ou x a< xse0
bxa se
ab
1
f(x) . 
 
 
FIGURA 4 - Representação de uma Distribuição Uniforme 
Esperança Matemática da Distribuição Uniforme 
E(X)
 (b + a)
2
= 
 
a, b
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Variância da Distribuição Uniforme 
V(X)
(b a)
12
2
=
−
 
Distribuição Normal ou Gaussiana 
É um modelo de distribuição contínua de probabilidade, usado tanto para variáveis 
aleatórias discretas como contínuas. 
Uma variável aleatória X, que tome todos os valores reais - < x < + tem distribuição 
normal quando sua função densidade de probabilidade (f.d.p.) for da forma: 
−

=







−
−
+<x,e
 2
1
f(x)
2
x
 2
1
 
Os parâmetros  e  seguem as seguintes condições: 
− < < + e > 0  . 
Propriedades da Distribuição Normal 
a) O aspecto gráfico da função f(x) tem: 
✓ Semelhança de um sino, unimodal e simétrico em relação a média . 
✓ A especificação da média  e do desvio padrão  é completamente 
evidenciado. 
✓ A área total da curva equivale a 100%. 
✓ A área total da curva equivale a 100%. 
 
FIGURA 5 - Distribuição Normal em função da  e  
 Esperança Matemática da Distribuição Normal 
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E(X) =  
Variância da Distribuição Normal 
V(X) = ² 
Distribuição Normal Padronizada 
Tem como objetivo solucionar a complexidade da f(x) através da mudança de variável. f(z). 
 
FIGURA 6 - Complemento da Distribuição Normal Padronizada 
Fazendo z
x
=
− 

 e z ~ N(0,1) temos que 
,e
 2
1
= f(z) 2
z2
−

 
com E(z) = 0 e VAR(z) = 1. onde: 
z = número de desvios padrões a contar da média 
x = valor arbitrário 
 = média da distribuição normal 
 = desvio padrão da distribuição normal 
Estas probabilidades estão tabeladas e este caso particular é chamado de Forma Padrão 
da Distribuição Normal. 
Distribuição “t” de Student 
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Trata-se de um modelo de distribuição contínua que se assemelha à distribuição normal 
padrão, N ~ (0,1). Ë utilizada para inferências estatísticas, particularmente, quando se tem 
amostras com tamanhos inferiores a 30 elementos. 
A distribuição t também possui parâmetros denominado "grau de liberdade - ". A média 
da distribuição é zero e sua variância é dada por: 
  ( )VAR t t 


= =
−
2
2
, para  > 2. 
A distribuição t é simétrica em relação a sua média. 
Exercícios 
1) As alturas dos alunos de uma determinada escola são normalmente distribuídas 
com média 1,60 m e desvio padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno 
escolhido ao acaso medir: 
a) entre 1,50 e 1,80 m b) mais que 1,75 m 
c) menos que 1,48 m d) entre 1,54 e 1,58 m 
e) menos que 1,70 m f) exatamente 1,83 m 
 
2) A duração de certo componente eletrônico tem média 850 dias e desvio padrão 45 
dias. Qual a probabilidade do componente durar: 
a) entre 700 e 1000 dias b) menos que 750 dias c) mais que 850 dias 
d) Qual deve ser o número de dias necessários para que tenhamos de repor 5% dos 
componentes. (R = 776 dias) 
 
3) Um produto pesa, em média, 10 g, com desvio padrão de 2 g. É embalado em 
caixas com 50 unidades. Sabe-se que as caixas vazias pesam 500 g, com desvio-
padrão de 25 g. Admitindo-se uma distribuição normal dos pesos e independência 
entre as variáveis dos pesos do produto e da caixa, calcule a probabilidade de uma 
caixa cheia pesar mais de 1050 g. 
 (R = 0.04093) 
 
4) Em uma distribuição normal 28% dos elementos são superiores a 34 e 12% 
inferiores a 19. Encontrar a média e a variância da distribuição.(R = 
) 
 
X = =29 03 73 44. , . S2
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5) Suponha que a duração de vida de dois equipamentos E1 e E2 tenham 
respectivamente distribuições N(45 ; 9) e N(40 ; 36). Se o equipamento tiver que 
ser usado por período de 45 horas, qual deles deve ser preferido? (R = E1) 
 
6) A precipitação pluviométrica média em certa cidade, no mês de dezembro, é de 8,9 
cm. Admitindo a distribuição normal com desvio padrão de 2,5 cm, determinar a 
probabilidade de que, no mês de dezembro próximo, a precipitação seja (a) 
inferior a 1,6 cm, (b) superior a 5 cm mas não superior a 7,5 cm, (c) superior a 12 
cm. 
 
7) Em uma grande empresa, o departamento de manutenção tem instruções para 
substituir as lâmpadas antes que se queimem (não esperar que queimem para então 
substituí-las). Os registros indicam que a duração das lâmpadas tem distribuição 
N(900 ; 75) (horas). Quando devem ser substituídas as lâmpadas de modo que no 
máximo 10% delas queimem antes de serem trocadas? (R = 889 horas) 
 
8) Os registros indicam que o tempo médio para se fazer um teste é 
aproximadamente N(80 ; 20) (min.). Determinar: 
a) a percentagem de candidatos que levam menos de 60 min ? 
b) se o tempo concedido é de 1h, que percentagem não conseguirá terminar o teste ? 
 
9) A profundidade dos poços artesianos em um determinado local é uma variável 
aleatória N(20 ; 3) (metros). Se X é a profundidade de determinado poço, 
determinar (a) P(X < 15), (b) P(18 < X < 23), (c) P (X > 25). 
 
10) Certa máquina de empacotar determinado produto oferece variações de peso com 
desvio padrão de 20 g. Em quanto deve ser regulado o peso médio do pacote para 
que apenas 10% tenham menos que 400 g? Calcule a probabilidade de um pacote 
sair com mais de 450 g. [R = a)  = 425.6 b) 0.11123 )] 
ESTIMAÇÃO E TESTES DE HIPÓTESES 
É um processo de indução, na qual usamos dados extraídos de uma amostra para produzir 
inferência sobre a população. Esta inferência só será válida se a amostra for significativa. 
 
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Tipos de Estimações de Parâmetros 
i) Estimação Pontual 
ii) Estimação Intervalar 
Estimação Pontual 
É usada quando a partir da amostra procura-se obter um único valor de certo parâmetro 
populacional, ou seja, obter estimativas a partir dos valores amostrais. 
a) Estatísticas 
Seja (X1, X2, ..., Xn) uma amostra aleatória e (x1 ,x2, ..., xn) os valores tomados pela 
amostra; então y = H(x1 ,x2, ..., xn) é uma estatística. 
Principais estatísticas: 
✓ Média Amostral 
✓ Proporção Amostral 
✓ Variância Amostral 
Estimação Intervalar 
Uma outra maneira de se calcular uma estimativa de um parâmetro desconhecido, é 
construir um intervalo de confiança para esse parâmetro com uma probabilidade de 1−  
(nível de confiança) de que o intervalo contenha o verdadeiro parâmetro. Dessa maneira 
 será o nível de significância, isto é, o erro que se estará cometendo ao afirmar que o 
parâmetro está entre o limite inferior e o superior calculado. 
Intervalo de confiança para a média () com a variância ( ) conhecida ou 
desconhecida 
e (n > 30 → Z) 
 
Seja ( )2NX ,~ 
 
Como já vimos anteriormente, (média amostral) tem distribuição normal de média  e 
desvio padrão ,ou seja: 
2
x

n
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Portanto, tem distribuição N (0,1) 
 
Então, 
 
( )P z z z−   + = −  2 2 1 
P z
x
n
z− 
−
 +





 = − 


2 2 1 
P z
n
X z
n
X− −   + −





 = − 



2 2 1 
P X z
n
X z
n
−   +





 = − 



2 2 1 (Pop. Infinita) 
 
Para caso de populações finitas usa-se a seguinte fórmula: 




 −=







−
−
+
−
−
− 1
11
22
N
nN
n
zX
N
nN
n
zXP (Pop. Finita) 
Obs.: Os níveis de confiança mais usados são: 
1 90 1 642− =  =  % , z 
 1,44 %851 2 ==−  z 
1 99 2− =  =  % 2,58z 
X N
n
~ ;
2





z
X
n
=
− 

1 95 1 962− =  =  % , z
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Ex.: Seja X a duração da vida de uma peça de equipamento tal que horas. Admita 
que 100 peças foram ensaiadas fornecendo uma duração de vida média de 500 horas e 
que se deseja obter um intervalo de 95% para a verdadeira média populacional. R = P 
(499,02 ó  ó 500,98) = 95%. 
 
Obs.: Podemos dizer que 95% das vezes, o intervalo acima contém a verdadeira 
média populacional. Isto não é o mesmo que afirmar que 95% é a probabilidade do 
parâmetro  cair dentro do intervalo, o que constituirá um erro, pois  é um 
parâmetro (número) e ele está ou não no intervalo. 
Intervalo de confiança para a média () com a variância ( ) conhecida ou 
desconhecida 
e ( n  30) 
Neste caso precisa-se calcular a estimativa S (desvio padrão amostral) a partir dos dados, 
lembrando que: 
( )
S
x x
n
i
i
n
2
2
1
1
=
−
−
=

 onde n -1 = graus de liberdade 
X N
n
~ ;
2




 
Portanto, 
n
X
z
/
−
=
−
 tem distribuição N (0,1) 
Vamos considerar a variável aleatória: 




S
N
S
z
n
X
nS
X
t
)1,0(
S
 . 
/
==
−
=
−
=
−
 
Esta distribuição é conhecida como distribuição "t" de Student, no caso com ( = n -
1) graus de liberdade 
 
 = 5
2
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O gráfico da função densidade da variável "t" é simétrico e tem a forma da normal, porém 
menos "achatada" sua média vale 0 e a variância em que  é o grau de liberdade (
  2) 
 
 
Então, 
 
 (Pop. Infinita) 
Para caso de populações finitas usa-se a seguinte fórmula: 
𝑃 (�̄� − 𝑡𝜙,𝛼/2
𝑆
√𝑛
√
𝑁−𝑛
𝑁−1
≤ 𝜇 ≤ �̄� + 𝑡𝜙,𝛼/2
𝑆
√𝑛
√
𝑁−𝑛
𝑁−1
) = 1 − 𝛼 (Pop. Finita) 
Ex.: A seguinte amostra: 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de uma população 
aproximadamente normal. Construir um intervalo de confiança para com um nível de 
95%. 

 − 2
t
X
S n
 

, 2 =
−
( )P t t t−   + = −    , ,2 2 1
P X t
s
n
X t
s
n
−   +





 = −    , , 2 2 1
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( )
( )
X
x
n
x x
n
t
R P
i
i
n
i
i
n
= = =
−
−
 
= = 
=   =
= =
 
1
2
1
9 2 5%
8 7
1
4
2 262
7 27 10 13 95%
,
,
, ,
, .
 S S 2
= 10 -1 = 9 = 5%
t
2
, 2
 

 
 
Obs. Quando n30 e  for desconhecido poderemos usar S como uma boa estimativa de . 
Esta estimação será melhor quanto maior for o tamanho da amostra. 
Intervalo de Confiança para Proporções 
Sendo o estimador de , onde segue uma distribuição normal, logo: 
 ~ ;
. 
p N p
p q
n





 (pop. infinita) 
(pop. finita) 
 logo onde 






==
=
amostra da elementos de número
ticacaracterís
n
Xp̂n
q̂.p̂
p̂
 
( ) −=+−  1 Zp ZpP p2p2 ˆˆ ˆˆ (Pop. Infinita) 
Para caso de populações finitas usa-se a seguinte fórmula: 
 (Pop. Finita) 
Ex.: Uma centena de componentes eletrônicos foram ensaiados e 93 deles funcionaram 
mais que 500 horas. Determine um intervalo de confiânça de 95% para a verdadeira 
proporção populacional sabendo que os mesmos foram retirados de uma população de 
1000 componentes. 
p p
 ~ ;
. 
p N p
p q
n
 
N - n
N -1
 












Z
p
p
=
−



 
P p Z
N n
N
p Z
N n
N
p p
  −
−
−
  +
−
−





 = −    2 2
1 1
1 
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Intervalo de Confiança para Variância 
Como o estimador de é pode-se considerar que tem distribuição Qui - 
quadrado, ou seja: 
, 
logo o intervalo será: 
 
 
  

inf
;
2
1
2
2=
− 
 
 
Assim temos: 
 
Ex.: A seguinte amostra: 9, 8, 12, 7, 9, 6, 11, 6, 10, 9 foi extraída de uma população 
aproximadamente normal. Construir um intervalo de confiança para 2 com um nível de 
95%. 
Intervalo de Confiança para a diferença Entre duas Médias: 
Usualmente comparamos as médias de duas populações formando sua diferença: 
 1 2 − 
2 S2
( )n S−1 2
2
Xn−1
2 ~ Z
S2
2
 

sup
;
2
2
2=
 
( ) ( )
P
n S
X
n S
X
−
 
−







= −
1 1
1
2
2
2
2
2
sup inf
 
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Uma estimativa pontual desta diferença correspondente: 
X X1 2− 
a) Variâncias Conhecidas 
𝜇1 − 𝜇2 = (�̄�1 − �̄�2) ± 𝑍𝛼 2⁄ .
(Erro Padrão) 
Erro Padrão? 
 ( ) ( ) ( ) 2
2
1
2
21 X VAR1X VAR1XXVAR −++=− 
 = +
 1
2
1
2
2
2n n
 
logo o erro padrão = +
 1
2
1
2
2
2n n
 
( ) ( ) ( )P X X Z
n n
X X Z
n n
1 2 2
1
2
1
2
2
2
1 2 1 2 2
1
2
1
2
2
2
1− − +  −  − + +








= − 
 
 
 
 
Obs.: se  1 2e são conhecidas e tem um valor em comum, logo: 
Erro Padrão: 
1 1
1 2n n
+ 
Ex.: Seja duas classes muito grande com desvios padrões 1 1 21= , e 2 2 13= , . Extraída 
uma amostra de 25 alunos da classe 1 obteve-se uma nota média de 7,8, e da classe 2 foi 
extraída uma amostra de 20 alunos obteve-se uma nota média de 6,0. Construir um 
intervalo de 95% de confiança para a verdadeira diferença das médias populacionais. R = 
(LI=0,753; LS=2,847) 
b) Variâncias Desconhecidas 
Em geral conhecemos duas variâncias populacionais ( 1
2
2
2 e ). Se as mesmas são 
desconhecidas o melhor que podemos fazer é estimá-las por meio de variâncias amostrais 
S S1
2
2
2 e . 
Como as amostras serão pequenas, introduziremos uma fonte de erro compensada pela 
distribuição "t": 
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( ) ( )P X X t
S
n
S
n
X X t
S
n
S
n
1 2 2
1
2
1
2
2
2
1 2 1 2 2
1
2
1
2
2
2
− − +  −  − + +








   onde  = + −n n1 2 2 
 
Obs.: Se as variâncias populacionais são desconhecidas mas as estimativas são iguais, 
poderemos usar para o Erro Padrão o seguinte critério: 
Erro Padrão: S
n n
C
1 1
1 2
+ onde Sc é o desvio padrão conjunto 
 
( ) ( )
S
n S n S
n n
C =
− + −
+ −
1 1
2
2 2
2
1 2
1 1
2
 
 
Ex1.: De uma turma (1) foi extraída uma amostra de 6 alunos com as seguintes alturas: 
150, 152, 153, 160, 161, 163. De uma segunda turma foi extraída uma amostra de 8 alunos 
com as seguintes alturas: 165, 166, 167, 172, 178, 180, 182, 190. Contruir um intervalo de 
95% de confiança para a verdadeira diferença entre as médias populacionais. 
Ex2.: De uma máquina foi extraída uma amostra de 8 peças, com os seguintes diâmetros: 
54, 56, 58, 60, 60, 62, 63, 65. De uma segunda máquina foi extraída uma amostra de 10 
peças, com os seguintes diâmetros: 75, 75, 76, 77, 78, 78, 79, 80, 80, 82. Construir um 
intervalo de 99% de confiança para a diferença entre as médias populacionais, supondo 
que as máquinas foram construídas pelo mesmo fabricante. 
Intervalo de Confiança para a Diferença entre duas Proporções 
( ) ( )P p p Z
p q
n
p q
n
p p Z
p q
n
p q
n
 
   
 
   
1 2 2
1 1
1
2 2
2
1 2 1 2 2
1 1
1
2 2
2
1− − +  −  − + +





 = −    
Ex.: Em uma pesquisa realizada pelo Instituto Gallup constatou que 500 estudantes 
entrevistados com menos de 18 anos, 50% acreditam na possibilidade de se verificar uma 
modificação na América, e que dos 100 estudantes com mais de 24 anos, 69% acreditam 
nessa modificação. Construir um intervalo de confiança para a diferença entre as 
proporções destas subpopulações usando =5%. R=(LI=0,0893, LS=0,2905) 
 
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Exercícios 
1) Ao se realizar uma contagem de eritrócitos em 144 mulheres encontrou-se em 
média 5,35 milhões e desvio padrão 0,4413 milhões de glóbulos vermelhos. 
Determine os limites de confiança de 99% para a média populacional. 
 
2) Um conjunto de 12 animais de experiência receberam uma dieta especial 
durante 3 semanas e produziram os seguintes aumentos de peso (g): 30, 22, 
32, 26, 24, 40, 34, 36, 32, 33, 28 e 30. Determine um intervalo de 90% de 
confiança para a média. 
R  X =30.58, S = 5.09,LI = 27.942, LS = 33.218 
 
3) Construa um intervalo de 95 % de confiança para um dos seguintes casos: 
 
 Média 
Amostral 
 Tamanho da 
Amostra 
a) 16,0 2,0 16 
b) 37,5 3,0 36 
c) 2,1 0,5 25 
d) 0,6 0,1 100 
 
4) Numa tentativa de melhor o esquema de atendimento, um médico procurou 
estimar o tempo médio que gasta com cada paciente. Uma amostra aleatória 
de 49 pacientes, colhida num período de 3 semanas, acusou uma média de 30 
min., com desvio padrão de 7 min. Construa um intervalo de 95% de confiança 
para o verdadeiro tempo médio de consulta. 
 
5) Solicitou-se a 100 estudantes de um colégio que anotasse suas despesas com 
alimentação e bebidas no período de uma semana. Há 500 estudantes no 
colégio. O resultado foi uma despesa de $40,00 com um desvio padrão de 
$10,00. Construa um intervalo de 95% de confiança para a verdadeira média. 
 
6) Uma amostra aleatória de 100 fregueses da parte da manhã de um 
supermercado revelou que apenas 10 não incluem leite em suas compras. 
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a) qual seria a estimativa percentual dos fregueses que compram leite pela parte 
da manhã. ( = 5%). R  LI = 84.12%, LS = 95.88% 
b) construir um intervalo de 90% de confiança para a verdadeira proporção dos 
fregueses que não compram leite pela manhã. R  LI = 5.08%, LS = 14.92% 
 
7) Uma amostra aleatória de 40 homens trabalhando num grande projeto de 
construção revelou que 6 não estavam usando capacetes protetores. Construa 
um intervalo de 98% de confiança para a verdadeira proporção dos que não 
estão usando capacetes neste projeto. R  P = 0.056, LI = 0.02, LS = 0.28 
 
8) De 48 pessoas escolhidas aleatoriamente de uma longa fila de espera de um 
cinema, 25% acharam que o filme principal continha demasiada violência. 
a) qual deveria ser o