Calcule os limites abaixo se necessário utilize fatoração e racionalização.

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2) Calcule os limites laterais abaixo. 
a) 
3
5
3
lim
x x+→
= +
−
 
Tomando g(x) = 5 e f(x) = 3-x, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores positivos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= + 
 
b) 
3
4
3
lim
x x−→
= −
−
 
Tomando g(x) = 4 e f(x) = 3-x, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores negativos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= − 
 
c) 
1
2
4
2 1
lim
x
x+
→
= +
−
 
Tomando g(x) = 4 e f(x) = 2x-1, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores positivos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= + 
 
 
 
d) 
0
1
lim
x x−→
= − 
Tomando g(x) = 1 e f(x) = x, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores negativos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= − 
 
e) 
0
2 1
lim
x
x
x+→
+
= + 
Tomando g(x) = 2x+1 e f(x) = x, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores positivos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= + 
 
f) 
0
1
²
lim
x
x
x−→
−
= + 
Tomando g(x) = x-1 e f(x) = x², temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c<0 e f(x) tende a 0 por valores negativos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= + 
 
 
g) 
0
3
²
lim
x x x+→
= +
−
 
Tomando g(x) = 3 e f(x) = x²-x, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores positivos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= + 
 
h) 
0
3
²
lim
x x x−→
= −
−
 
Tomando g(x) = 3 e f(x) = x²-x, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores negativos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= − 
 
i) 
1
2
3 1
4 ² 1
lim
x
x
x+
→
+
= +
−
 
Tomando g(x) = 3x+1 e f(x) = 4x²-1, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores positivos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= + 
 
j) 
( )
( ) ( )3 3 3
3² 3
² 6 9 ( 3) 3 3
lim lim lim
x x x
x xx x x
x x x x x+ + +→ → →
−−
= = = +
− + − − −
 
Tomando g(x) = x e f(x) = x-3, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores positivos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= + 
 
k) 
1
2 1
²
lim
x
x
x x+→−
+
= +
+
 
Tomando g(x) = 2x+1 e f(x) = x²+x, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores positivos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= + 
 
l) 
0
2 1
²
lim
x
x
x x+→
+
= +
+
 
Tomando g(x) = 2x+1 e f(x) = x²+x, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores positivos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= + 
 
 
m) 
0
² 4
² 4 4
lim
x
x
x x+→
−
= −
− +
 
Tomando g(x) = x²- 4 e f(x) = x²- 4x +4, temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c>0 e f(x) tende a 0 por valores positivos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= − 
 
n) 
1
3 ² 4
1 ²
lim
x
x
x+→−
−
= −
−
 
Tomando g(x) =3x²- 4 e f(x) =1- x², temos. 
Sendo a um número real qualquer e ( ) 0lim
x a
f x
→
= e ( ) ,lim
x a
g x c
→
= onde c é uma 
constante não nula, então 
Se c<0 e f(x) tende a 0 por valores positivos de f(x) 
( )
( )
lim
x a
g x
f x→
= − 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule os limites abaixo se necessário utilize fatoração e racionalização. 
a) 
3
² 9
3
lim
x
x
x→
−
=
−
 
Resolução. 
( )( ) ( ) ( )
3 3 3 3
3 3 3 3 3² 9
6
3 3 1 1
lim lim lim lim
x x x x
x x xx
x x→ → → →
+ − + +−
= = = =
− −
 
 
b) 
2
lim
x

→
= 
Resolução. 
2
lim
x
 
→
= 
Se c for um constante, então para qualquer número a, 
lim
x a
c c
→
= 
 
c) ( )
2
4lim
x
x
→
− = 
Resolução. 
( ) ( )
2 2
4 2 4 2lim lim
x x
x
→ →
− = − = − 
 
d)
3
( 3)
² 12
lim
x
x
x x→−
− +
=
− −
 
Resolução. 
( )3 3 3
3 3 3
( 3) ( 3) ( 3)
² 12 ( 3) 4 ² 12
( 3) ( 3) 1 1
² 12 ( 3)( 4) ( 4) 7
lim lim lim
lim lim lim
x x x
x x x
x x x
x x x x x x
x x
x x x x x
→− →− →−
→− →− →−
− + − + +
= = − =
− − − + − −
+ +
− = − = − =
− − + − −
 
 
e) 
4
2
lim
x x→
= 
Resolução. 
 
f) 
4
2 ² 1
3 2
lim
x
x x
x→
+ +
=
−
 
Resolução. 
4 4 4
2 ² 1 2 4² 4 1 37
3,7
3 2 3 4 2 10
lim lim lim
x x x
x x
x→ → →
+ +  + +
= = =
−  −
 
 
 
g) 
2
² 6
² 4
lim
x
x x
x→−
− −
=
−
 
Resolução. 
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )2 2 2 2
2 3 3 2 3² 6 5
² 4 2 2 2 2 2 4
lim lim lim lim
x x x x
x x xx x
x x x x→− →− →− →−
+ − − − −− −
= = = =
− + − − − −
 
 
h) 
2
3
²
³
lim
x a
x a
x a→
−
=
−
 
Resolução. 
( )( )2
3
²
( )( ² ²) ( ² ²)³
2 2 2
( ² ²) 3 ² 3 3
lim lim lim
lim lim lim
x a x a x a
x a x a x a
x a x ax a x a
x a x ax a x ax ax a
a a a
a a a a a a a
→ → →
→ → →
− +− +
= =
− + + + +−
+
= = =
+  +
 
 
i)
3 8
2
lim
x a
x
x→
−
=
−
 
Resolução. 
2 2 2
³ 8 ( 2)( ² 2 4)
( ² 2 4) 12
2 ( 2)
lim lim lim
x x x
x x x x
x x
x x→ → →
− − + +
= = + + =
− −
 
 
J)
1
² 4 3
² 6 5
lim
x
x x
x x→
− +
=
− +
 
Resolução. 
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )1 1 1 1
1 3 3 1 3² 4 3 1
² 6 5 1 5 5 1 5 2
lim lim lim lim
x x x x
x x xx x
x x x x x→ → → →
− − − −− +
= = = =
− + − − − −
 
 
 
k)
1
² 4 3
² 6 5
lim
x
x x
x x→
− +
=
− +
 
Resolução. 
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )3 3 3 3
1 3 1 3 3² 4 3
0
² 5 6 2 3 2 3 2
lim lim lim lim
x x x x
x x xx x
x x x x x→ → → →
− − − −− +
= = = =
− + − − − −
 
 
l)
1
² 4 3
³ 1
lim
x
x x
x→
− +
=
−
 
Resolução. 
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )1 1 1 1
1 3 3 1 3² 4 3 2
³ 1 1 ² 1 ² 1 1 1 1 3
lim lim lim lim
x x x x
x x xx x
x x x x x x→ → → →
− − − −− +
= = = = −
− − + + + + + +
 
 
m)
0
3 ³ 6 ² 4
³ 4
lim
x
x x x
x x→
− +
=
−
 
Resolução. 
( ) ( )
( )
( )
( )( )
0 0 0
1
3 ² 6 4 3 ² 6 43 ³ 6 ² 4
³ 4 ( ² 4) ( 2) 2
3 0² 6 0 4
1
0 2 0 2
lim lim lim
lim
x x x
x
x x x x xx x x
x x x x x x→ → →
→
− + − +− +
= = =
− − − +
 −  +
= −
− +
 
 
n) 
4
2
3 12
lim
x
x
x→
−
=
−
 
Resolução. 
( )( )
( ) ( )
4 4 4
4 4
2 2 2
3 12 3( 4) 3 2 2
1 1 1
123 2 3 4 2
lim lim lim
lim lim
x x x
x x
x x x
x x x x
x
→ → →
→ →
− − −
= → = → = →
− − − +
= → = =
+ +
 
 
 
 
 
o) 
5
² 25
² 2 15
lim
x
x
x x→−
−
=
− +
 
Resolução. 
 
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
5 5 5
5
5 5 5² 25
² 2 15 5 3 3
5 5 10 5
5 3 8 4
lim lim lim
lim
x x x
x
x x xx
x x x x x→− →− →−
→−
− + −−
= = =
− + + − −
− −
= =
− −
 
 
p) 
1
1
1
lim
x
x
x→
−
=
−
 
Resolução. 
( )( )
1 1 1 1
1 11
1 1 1 2
1 1
lim lim lim lim
x x x x
x xx
x
x x→ → → →
− +−
= = + = + =
− −
 
 
 
 
q) 
0
² 9 3
4
lim
x
x
x→
+ −
=
−
 
Resolução. 
( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0 0 0
² 9 3 ² 9 3 ² 9 3 ² 9 9
² ² ² 9 3 ² ² 9 3
² 1 1 1
6² ² 9 3 ² 9 3 0 9 3
lim lim lim
lim lim lim
x x x
x x xx x x x
x x x x x
x
x x x
→ → →
→ → →
+ − + − + + + −
=  =
+ + + +
= = =
+ + + + + +
 
 
r) 
9
9
3 3
lim
x
x
→
−
=
−
 
Resolução. 
( )( )
9 9 9 9
3 39
3 3 9 6
3 3 3
lim lim lim lim
x x x x
x xx
x
x→ → → →
− +−
= = + = + =
− −
 
 
 
s) 
9
1 1
lim
x
x
x→
+ −
 
( )
( ) ( ) ( )
9 9 9
9 9 9
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 10 1
910 11 1 1 1 1 9 1
lim lim lim
lim lim lim
x x x
x x x
x x x x
x x x x x
x
x x x
→ → →
→ → →
+ − + − + + + −
=  =
+ + + +
−
= = =
++ + + + + +
 
 
t) 
9
² 9 3
4
lim
x
x
x→
+ −
=
−
 
 
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
9 9
4 4 4
4 4 4
² 9 3 ² 9 5 ² 9 5
4 4 ² 9 3
4 4² 9 25 ² 16
4 ² 9 5 4 ² 9 5 4 ² 9 5
4 4 4 8 8 4
10 5² 9 5 4² 9 5 15 9 5
lim lim
lim lim lim
lim lim lim
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x xx x
x x x x x x
x
x
→ →
→ → →
→ → →
+ − + − + +
=  =
− − + +
− ++ − +
= =
− + + − + + − + +
+ +
= = = =
+ + + + + +