Mecanica_Analitica_Sanz_Sanchez

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MECÁNICA ANALÍTICA: LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS
DINÁMICOS
Book · January 2019
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ITER reactor View project
Javier Sanz Recio
Universidad Politécnica de Madrid
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Gonzalo Sanchez-Arriaga
University Carlos III de Madrid
110 PUBLICATIONS   508 CITATIONS   
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MECÁNICA
ANALÍTICA
Francisco Javier Sanz Recio 
Gonzalo Sánchez Arriaga
LAGRANGIANA, 
HAMILTONIANA 
Y SISTEMAS DINÁMICOS
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S
MECÁNICA ANALÍTICA: 
LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS
La mecánica analítica, que tiene sus raíces en los siglos XVIII y XIX, ha experimentado recientemente 
importantes avances que han enriquecido sus métodos y la forma de aplicarlos a problemas 
modernos en física e ingeniería. Esta obra, dirigida a estudiantes de grado, máster y doctorado, 
sintetiza los más importantes y útiles progresos en el campo. De manera amena y rigurosa, el lector 
adquirirá desde conceptos básicos, como escribir las ecuaciones del movimiento, pasando por 
técnicas clásicas tales como el método de Hamilton-Jacobi, hasta terminar dominando el análisis 
avanzado de sistemas no lineales y caos determinista mediante la combinación de procedimientos 
analíticos y numéricos. 
La organización de la obra, estructurada en dos niveles, está sólidamente soportada por varias 
décadas de experiencia de los autores impartiendo la asignatura de mecánica analítica en cursos 
de grado e ingeniería. Por un lado, el cuerpo principal del libro contiene los fundamentos teóricos 
y utiliza herramientas matemáticas bien conocidas por los estudiantes, que podrán seguirlo de 
manera fl uida. Por otro, los cuadros al margen se han reservado para introducir notas biográfi cas de 
científi cos notables, conceptos avanzados y las consecuencias de los resultados teóricos del cuerpo 
principal a problemas específi cos en física e ingeniería como, por ejemplo, la mecánica orbital y la 
de vuelo, la relatividad general, la mecánica cuántica, la propagación de solitones… Se trata de un 
espacio reservado para abrir la mente del lector, estimular su curiosidad por la materia y resaltar la 
utilidad de los conocimientos adquiridos en multitud de disciplinas. 
El libro contiene una impresionante colección de alrededor de 200 ejercicios, la mitad de ellos 
resueltos, que refuerza los conceptos teóricos y facilita la incorporación de los métodos hamilto-
nianos a lo que Richard Feynman denominaría la caja de herramientas del lector, es decir, le dota 
de una batería de métodos para usar en su vida profesional. También incluye una serie de progra-
mas de ordenador para explorar la dinámica desde una perspectiva moderna y amena, al mismo 
tiempo que se consolidan con ayuda del ordenador los conocimientos teóricos y se adquieren 
competencias en cálculo numérico. 
Francisco Javier Sanz Recio 
Gonzalo Sánchez Arriaga
www.mheducation.es
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
MECÁNICA ANALÍTICA
LAGRANGIANA, HAMILTONIANA 
Y SISTEMAS DINÁMICOS 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
MECÁNICA ANALÍTICA
LAGRANGIANA, HAMILTONIANA 
Y SISTEMAS DINÁMICOS
FRANCISCO JAVIER SANZ RECIO 
GONZALO SÁNCHEZ ARRIAGA
MADRID · LONDRES · MÉXICO · NUEVA YORK · MILÁN · TORONTO
LISBOA · NUEVA DELHI · SAN FRANCISCO · SIDNEY · 
SAN JUAN · SINGAPUR · CHICAGO · SEÚL
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
MECÁNICA ANALÍTICA
LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS 
No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento 
informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya seaelectrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso 
previo y por escrito de los titulares del Copyright. Diríjase a CEDRO (Centro 
Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o 
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 McGraw-Hill/Interamericana de España, S.L.U.
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 Basauri, 17
 28023 Aravaca (Madrid)
© Francisco Javier Sanz Recio, Gonzalo Sánchez Arriaga, 2019
ISBN: 978-84-486-1539-0
MHID: 978-000850179-2
Depósito legal: M-6478-2019
Editora: Cristina Sánchez Sainz-Trápaga
Director General Europa Sur: Álvaro García Tejeda
Gerente Universidad y Profesional Grupo Ibero: Norberto Rosas Gómez
Equipo de preimpresión y maquetación de interiores: TRANSFORMA Pvt ltd
Diseño de cubierta: CIANNETWORK
Impresión: XXX
1234567890 — 2019876543
 IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN
Esta obra ha sido parcialmente financiada por el proyecto de la 
UPM con referencia REM180105FJSR 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
A María Jesús y Ana
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
vii
Contenido
Prefacio xiii
Agradecimientos xvii
Acerca de los autores xix
1 Dinámica lagrangiana de una partícula 1
1.1 Ecuaciones de Lagrange 2
1.1.1 Partícula sometida a ligaduras 7
1.1.2 Ligaduras geométricas u holónomas 7
1.1.3 Ligaduras no holónomas 11
1.2 Potencial de fuerzas 14
1.2.1 Definición elemental 14
1.2.2 Potencial generalizado de fuerzas 14
1.2.3 Componentes generalizadas de fuerzas que 
derivan de un potencial 16
1.2.4 Potenciales físicamente equivalentes 17
1.3 Lagrangiana de una partícula 18
1.3.1 Ecuaciones de Lagrange 18
1.3.2 Sistemas lagrangianos 19
1.4 Introducción a las leyes de conservación 21
1.4.1 Definición de integral primera 22
1.4.2 Definición de función energía 22
1.4.3 Conservación de la energía 23
1.4.4 Momento canónico 24
Ejercicios 28
2 Dinámica lagrangiana de un sistema 29
2.1 Ecuaciones de Lagrange para un sistema 
de N partículas 30
2.1.1 Espacio cartesiano de configuración 
3N dimensional 30
2.1.2 Ecuación vectorial de Lagrange en el espacio 
de configuración 32
2.1.3 Variedad de configuración. Ecuaciones 
de Lagrange 32
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
viii
Contenido
2.2 Introducción a las leyes de conservación 43
2.2.1 Definición de integral primera 43
2.2.2 Definición de función energía 43
2.2.3 Conservación de la energía 43
2.2.4 Momento canónico 44
2.3 Aplicación a la dinámica del sólido rígido 46
2.3.1 Variedad de configuración del sólido rígido 46
2.3.2 Componentes generalizadas de las fuerzas 47
2.3.3 Ecuaciones de Lagrange 48
2.3.4 Ecuaciones del movimiento del sólido en 
coordenadas arbitrarias 48
Ejercicios 54
3 El cálculo variacional y la mecánica 55
3.1 ¿Por qué el cálculo variacional? 56
3.2 Nociones básicas de cálculo variacional 57
3.2.1 Variación de un funcional 58
3.2.2 Ecuación de Euler-Lagrange 59
3.2.3 Ecuaciones de Euler-Lagrange: caso de varias 
funciones 62
3.2.4 Extremales con restricciones: multiplicadores 
de Lagrange 64
3.3 Principio de Hamilton 67
Ejercicios 74
4 Teorema de Noether: simetrías y leyes de conservación 75
4.1 Covariancia de las ecuaciones de Euler-Lagrange 76
4.1.1 Transformaciones puntuales 76
4.1.2 Transformaciones puntuales extendidas 77
4.2 Invariancia o simetría de una función 78
4.2.1 Grupos uni-paramétricos de transformaciones 78
4.2.2 Definición de invariancia de una función 80
4.3 Teorema de Noether 81
4.3.1 Grupo de transformaciones puntuales 81
4.3.2 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos 
con transformaciones invariantes 82
4.3.3 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos 
con transformaciones invariantes extendidas 85
Ejercicios 90
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
ix
Contenido
5 Oscilaciones próximas al equilibrio en sistemas lagrangianos 91
5.1 Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U (q) 92
5.1.1 Linealización de las ecuaciones alrededor 
del equilibrio 93
5.1.2 Evolución de las perturbaciones alrededor 
del equilibrio 94
5.1.3 Descomposición en modos normales o propios 
de oscilación 98
5.1.4 Propiedades extremales de las frecuencias 
propias de oscilación 102
5.2 Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U(q, q̇) 104
5.2.1 Linealización alrededor del equilibrio en 
sistemas giroscópicos 105
5.2.2 Efectos giroscópicos sobre un sistema 
lagrangiano 106
Ejercicios 109
6 Formalismo hamiltoniano: ecuaciones de Hamilton 111
6.1 De la lagrangiana a la hamiltoniana de un sistema 112
6.1.1 Ecuaciones canónicas de Hamilton 113
6.1.2 Estructura matemática del formalismo 
hamiltoniano 119
6.2 Transformada de Legendre y ecuaciones canónicas 121
6.3 El Principio de Hamilton 123
6.4 Notación simplética de las ecuaciones de Hamilton 124
6.4.1 Corchetes de Poisson 125
6.4.2 Leyes de conservación 126
6.5 Sistemas hamiltonianos 127
6.5.1 Transformaciones canónicas de coordenadas 
y momentos 129
6.6 El espacio de fases hamiltoniano 132
6.6.1 Hamiltonianos de un grado de libertad e
independientes de t 133
6.6.2 Hamiltonianos de un grado de libertad 
dependientes de t 137
6.6.3 Hamiltonianos independientes de t con 
varios grados de libertad 138
6.6.4 Conservación del volumen en el espacio 
de fases canónico 139
6.6.5 Invariante integral de Poincaré-Cartan 141
Ejercicios 144
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
x
Contenido
7 Teoría de Hamilton-Jacobi 145
7.1 Funciones generatrices y transformaciones canónicas 146
7.2 Ecuación de Hamilton-Jacobi 152
7.2.1 La acción como una función de las coordenadas 152
7.3 Método de Hamilton-Jacobi de integración de las 
ecuaciones del movimiento 154
7.4 Sistemas separables 158
7.4.1 Hamiltoniana independiente del tiempo y 
separable 159
7.4.2 Hamiltoniana independiente del tiempo y 
con coordenadas cíclicas 160
7.4.3 Coordenadas separables 162
7.5 Teorema de Liouville sobre los sistemas integrables 166
7.6 Variables acción-ángulo 169
7.6.1 Variables acción-ángulo en sistemas de un 
grado de libertad 169
7.6.2 Variables acción-ángulo en sistemas de n grados 
de libertad 174
7.6.3 Geometría del movimiento en sistemas 
integrables 176
7.6.4 Invariantes adiabáticos 180
Ejercicios 187
8 Soluciones regulares en sistemas dinámicos 189
8.1 Sistemas dinámicos continuos y discretos 190
8.1.1 El espacio de estados 192
8.1.2 Estabilidad orbital 192
8.1.3 Sistemas disipativos y no disipativos 193
8.2 Soluciones de equilibrio de sistemas continuos 194
8.2.1 Análisis de estabilidad 195
8.2.2 Estudio de un sistema dinámico 
bidimensional 197
8.2.3 Teorema de Lagrange 199
8.3 Puntos fijos o de equilibrio de sistemas discretos 201
8.3.1 Análisis de estabilidad 201
8.4 Órbitas periódicas de sistemas continuos 203
8.4.1 Teorema de Poincaré-Bendixson 203
8.4.2 Estabilidad de órbitas periódicas 204
8.4.3 Resonancia paramétrica 207
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
xi
Contenido
8.5 Órbitas periódicas de sistemas discretos 211
8.6 Órbitas cuasiperiódicas de sistemas continuos 213
8.7 Órbitas homoclínicas y heteroclínicas 215
Ejercicios 220
9 Bifurcaciones y métodos aproximados en sistemas 
no lineales 221
9.1 Bifurcaciones 222
9.1.1 Bifurcaciones de posiciones de equilibrio223
9.1.2 Bifurcaciones de órbitas periódicas 226
9.1.3 Bifurcaciones de órbitas homoclínicas 
y heteroclínicas 228
9.2 Algunos métodos analíticos aproximados 230
9.2.1 Movimiento en un campo periódico de 
alta frecuencia 230
9.2.2 Método de Lindstedt-Poincaré 235
9.2.3 Método de promedio 237
9.2.4 Resonancia no lineal 238
Ejercicios 245
10 Caos determinista 247
10.1 Algunas propiedades del caos 248
10.2 Sistemas hamiltonianos casi integrables 252
10.2.1 Denominadores pequeños 253
10.2.2 Métodos de perturbaciones clásicos 254
10.2.3 El teorema KAM 256
10.2.4 Espacio de fases en sistemas casi integrables 258
10.2.5 Difusión de Arnold y ergodicidad 259
10.3 Caos disipativo 265
10.3.1 Cascada de Feigenbaum 266
10.3.2 Crisis 267
10.3.3 Intermitencia 268
Ejercicios 271
Bibliografía 273
Índice analítico 277
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
xiii
Prefacio
Cuando creíamos que teníamos todas las 
respuestas, de pronto, cambiaron todas las preguntas 
Mario Benedetti
Cuando parecía que la última palabra en mecánica estaba dicha al enunciar 
F = ma, los trabajos de Euler, Lagrange y Hamilton, en los siglos XVIII y XIX, 
demostraron que tal ley era consecuencia de un principio variacional más fun-
damental. Estas tres figuras, junto con otras, como Jacobi, Poincaré y Noether, 
sentaron las bases de lo que hoy se conoce como mecánica analítica o métodos 
hamiltonianos. La belleza de dicha teoría, entendida como simplicidad y carácter 
unificador, cautivó a físicos y matemáticos y se hizo imprescindible. La geometría 
euclídea y el cálculo vectorial fueron sustituidos por los métodos variacionales, 
los cuales aportaron un aparato matemático flexible del que se beneficiaron a 
principios del siglo XX la teoría general de la relatividad y la mecánica cuántica. 
A mediados de dicho siglo, ayudó a explicar lo que se conoce como caos deter-
minista y exportó conceptos como el de integrabilidad y variables acción-ángulo 
a los medios continuos. Actualmente, los métodos de la mecánica analítica están 
presentes en multitud de áreas de la física-matemática y de la ingeniería. 
Este libro va dirigido a alumnos de grado, máster y doctorado con conoci-
mientos básicos en mecánica clásica y matemáticas, que quieran introducirse 
en esta apasionante disciplina. Los autores, con varias décadas de experiencia 
impartiendo las asignaturas de Mecánica analítica, Física y Mecánica de vuelo 
en la Universidad Politécnica de Madrid y en la Universidad Carlos III de Madrid, 
son conscientes de que en ocasiones la mecánica es percibida de antemano por 
los alumnos como una materia difícil y abstracta. Sin embargo, la experiencia 
nos indica que, si se imparte de manera adecuada, los estudiantes incorporan los 
métodos hamiltonianos a lo que Richard Feynman denominaría su caja de herra-
mientas y los aplican de manera práctica y exitosa a multitud de disciplinas. Ese 
ha sido nuestro propósito y con ese fin hemos diseñado el libro. En base a las 
lecciones docentes aprendidas durante estos años, decidimos estructurarlo en dos 
niveles, los cuales quedan plasmados en un cuerpo principal y en una serie de 
cuadros separados al margen.
El cuerpo principal presenta lo fundamental de la mecánica analítica para sis-
temas con un número finito de grados de libertad. Esta parte utiliza herramientas 
matemáticas bien conocidas por los estudiantes de grado, que podrán seguirlo de 
manera fluida. Las explicaciones son sencillas y rigurosas. El texto arranca con 
una introducción a la formulación lagrangiana tomando como base la dinámica 
de una sola partícula. Sirve para introducir conceptos básicos que se formulan ya 
con rigor, pero que surgen de modo natural aludiendo a problemas clásicos de la 
mecánica, como la búsqueda de cantidades conservadas, las fuerzas de ligadura, 
etc. El segundo capítulo extiende la formulación anterior al caso de un sistema de 
N partículas contemplándolo, esencialmente, como una partícula equivalente en 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
xiv
Prefacio
movimiento en un espacio de dimensión 3N. La influencia y poder de la matemá-
tica en la mecánica lagrangiana se evidencia en el tercer capítulo, donde se aborda 
la formulación de las ecuaciones del movimiento con el cálculo variacional. Las 
ecuaciones de Euler-Lagrange se establecen aquí atendiendo a un principio último 
de representación matemática, el de Hamilton, que parece regir en la evolución de 
los sistemas físicos. El cuarto capítulo está dedicado a uno de los teoremas más 
interesantes y hermosos de la física matemática, el teorema de Noether; y el quinto, 
al análisis de oscilaciones próximas al equilibrio, de gran interés en multitud de 
sistemas físicos y que incluye también las oscilaciones en sistemas giroscópicos. 
Los dos siguientes capítulos muestran el formalismo hamiltoniano, el cual se pre-
senta de manera natural como un cambio de variables, pero exhibe implicaciones 
mucho más profundas. Las variables canónicas, posición y momento conjugados, 
tratadas en pie de igualdad configuran una perspectiva nueva de la Mecánica que 
da origen a nuevos métodos e interpretaciones. Un ejemplo es la contribución de 
Jacobi (de 1837), que se presenta aquí como culminación de la flexibilidad que los 
cambios de variable ofrecen para construir sistemas hamiltonianos mediante las 
trasformaciones canónicas. El libro culmina con tres capítulos sobre dinámica de 
sistemas no lineales, es decir, el análisis de las propiedades que exhiben las solu-
ciones de las ecuaciones obtenidas mediante el formalismo lagrangiano o hamilto-
niano. Se presentan las soluciones en orden creciente de complejidad, cubriendo 
desde las posiciones de equilibrio al caos determinista. Al finalizar la lectura del 
cuerpo principal, el alumno tendrá un conocimiento integral de la mecánica, inclu-
yendo las competencias para encontrar las ecuaciones del movimiento y estudiar 
sus soluciones. 
Si el cuerpo principal está pensado para adquirir y consolidar conocimientos, 
los cuadros al margen son un espacio para abrir la mente del alumno, estimular 
su curiosidad y motivarle para que profundice con la bibliografía complementa-
ria. En ellos se encuentran recogidas notas biográficas de científicos notables, 
herramientas matemáticas avanzadas que pueden ser adquiridas en una segunda 
lectura del libro, la extensión de los conceptos del cuerpo principal del libro a sis-
temas con infinitos grados de libertad o medios continuos, y ejemplos resueltos. 
Los datos biográficos han sido obtenidos en su inmensa mayoría de la enciclope-
dia de contenido libre Wikipedia, la cual consideramos un ejemplo extraordinario 
y útil de cooperación para transmitir conocimiento. Los cuadros ilustran las con-
secuencias de la teoría en problemas específicos en física e ingeniería: ¿Por qué 
los anillos de Saturno no son continuos? ¿Qué es el efecto mariposa? ¿Qué es un 
fractal? ¿Qué conexión existe entre la ecuación de Hamilton-Jacobi y la mecánica 
cuántica? ¿Qué podría explicar que la Gran Mancha Roja de Júpiter, una tormenta 
gigantesca, haya sobrevivido durante más de 300 años? ¿Qué son los puntos de 
Lagrange, y por qué la ESA mandó la misión SOHO a uno de ellos? 
Esta estructura en dos partes diferenciadas se ha reforzado con una colección 
de problemas resueltos y otra de ejercicios propuestos. Los primeros ilustran la 
potencia de los métodos de la mecánica analítica y su ubicuidad en problemas de 
muy distinta índole. Se han tomado ejemplos clásicos, tales como el péndulo, el 
problema restringido de los tres cuerpos y el disco que rueda, y otros quizás menos 
conocidos, como la propagación de un pulso láser en un plasma, el cálculode geo-
désicas en relatividad general y la mecánica de vuelo de una cometa. Estudiantes 
de Ciencias físicas y matemáticas, Ingeniería aeroespacial, y Telecomunicaciones, 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
xv
Prefacio
entre otros, podrán contemplar desde una nueva perspectiva algunos problemas 
abordados en otros cursos. Por último, el libro se acompaña de un conjunto de pro-
gramas de ordenador (disponibles a través de www.mheducation.es) que refuerzan 
los conocimientos adquiridos en los tres últimos capítulos sobre sistemas dinámi-
cos. Con ellos, y mientras se explora la dinámica de manera visual y amena, se van 
consolidando con ayuda del ordenador los conocimientos teóricos y se adquieren 
competencias en cálculo numérico. 
Creemos que esta organización hace el libro singular y atractivo para un amplio 
espectro de estudiantes, cubriendo perfiles teóricos y aplicados. Es nuestro deseo 
que esta revisión moderna y actualizada de una de las ramas más antiguas de la 
física resulte interesante para el lector y útil en su vida profesional.
Los autores
Madrid, 2019
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
xvii
Agradecimientos
Esta obra ha sido posible gracias al interés, el ánimo y la participación de compa-
ñeros, estudiantes, familiares y amigos. Queremos dar las gracias, en primer lugar, 
a nuestro compañero el profesor José Manuel Donoso, del Departamento de Física 
Aplicada a las Ingenierías Aeronáutica y Naval de la Escuela Técnica Superior de 
Ingeniería Aeronáutica y del Espacio, por su trabajo y esfuerzo. Su amplia visión 
de la Mecánica Analítica y su dilatada experiencia docente están presentes en un 
buen número de capítulos de esta obra. También, a los profesores Juan Sanmartín 
y Ricardo García Pelayo, por sus acertados comentarios que nos han permitido 
mejorar la calidad del libro. En esta sección de agradecimientos no pueden faltar 
nuestros alumnos, cuyas preguntas, respuestas y sugerencias nos han impulsado 
a evolucionar en los métodos docentes. Por último, queremos dar las gracias a 
nuestros amigos y familiares por su apoyo durante los años que hemos dedicado 
a preparar la obra. Sospechamos que no ha sido por un amor incondicional a la 
Mecánica Analítica. 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
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xix
Acerca de los autores
Francisco Javier Sanz Recio es Doctor Ingeniero Aeronáutico por la Universi-
dad Politécnica de Madrid (UPM, 1981). Catedrático de Universidad (Física Apli-
cada) en la ETSI Aeronáutica y del Espacio (UPM) donde enseña Física General, 
Mecánica Analítica y Física de Plasmas. Sus investigaciones se han centrado en la 
Física de los Plasmas de alta temperatura y es autor de numerosas publicaciones. 
Es profesor invitado regularmente en la Universidad de Rochester (NY) y cola-
borador científico del Comisariado de Energía Atómica (Francia), del Instituto 
de fenómenos fuera del Equilibrio (Universidad de Marsella) y del Instituto de 
Ingeniería Laser (Universidad de Osaka). Actualmente lidera el grupo de Fusión 
Inercial y Física de Plasmas de la Universidad Politécnica de Madrid. 
Gonzalo Sánchez Arriaga es Doctor Ingeniero Aeronáutico (UPM, 2009) y Licen-
ciado en Ciencias Físicas (UCM, 2010). Realizó estancias de investigación en el 
Observatorio de Niza (Francia) y en la Universidad de Kyushu (Japón), y disfrutó 
de contratos postdoctorales en el Comisariado de Energía Atómica en París y en 
la UPM. Actualmente es investigador Ramón y Cajal en la Universidad Carlos III 
de Madrid, donde imparte la asignatura de Mecánica de Vuelo. Los métodos de la 
mecánica analítica están presentes en sus trabajos de investigación, que incluyen 
el estudio de amarras espaciales, las ondas solitarias en plasmas, y la generación 
de energía con sistemas aerotransportados.
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
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1
1 Dinámica lagrangiana de 
una partícula
1.1. Ecuaciones de Lagrange
1.1.1 Partícula sometida a ligaduras
1.1.2 Ligaduras geométricas u holónomas
1.1.3 Ligaduras no holónomas
1.2. Potencial de fuerzas
1.2.1 Definición elemental
1.2.2 Potencial generalizado de fuerzas
1.2.3 Componentes generalizadas de fuerzas que derivan de un potencial
1.2.4 Potenciales físicamente equivalentes
1.3. Lagrangiana de una partícula
1.3.1 Ecuaciones de Lagrange
1.3.2 Sistemas lagrangianos
1.4. Introducción a las leyes de conservación
1.4.1 Definición de integral primera
1.4.2 Definición de función energía
1.4.3 Conservación de la energía
1.4.4 Momento canónico
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
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2
Capítulo 1 Dinámica lagrangiana de una partícula
“Me he propuesto no cuidarme más de temas filosóficos; y espero que no tome usted 
a mal si nunca vuelve a encontrarme ocupado en esos menesteres.”
Carta de Isaac Newton al secretario de la “Royal Society”
Hacia 1788, Joseph-Louis Lagrange genera un formalismo operacional del que 
deducir las ecuaciones del movimiento de Newton, estableciendo una alternativa 
poderosa al tratamiento de problemas usuales de la dinámica. Su alcance tras-
ciende notablemente la mera reformulación de las leyes y postulados newtonianos 
ya que, si bien el formalismo de Lagrange no implica una nueva física, genera en 
sí mismo una nueva perspectiva en la formulación de las leyes de la dinámica. 
Lagrange llega a sintetizar en un postulado más último y general los principios de la 
dinámica newtoniana y concibió un procedimiento formal y práctico que, en nume-
rosas ocasiones, simplifica el tratamiento clásico de los problemas. En este capítulo 
se presentan las ecuaciones de Lagrange mediante una deducción matemática sim-
ple, operativa y singularizada al caso de la dinámica de una partícula, no por ello 
exenta de un carácter general y extensible a sistemas más complejos.
La notación que usaremos en esta obra para vectores y tensores será la de 
escribirlos, en general, en negrita. Utilizaremos también lo que se conoce como 
convenio de suma de Einstein, notación de Einstein o notación indexada, para 
abreviar la escritura de sumatorios eliminando así el símbolo del sumatorio. Este 
convenio se aplica solo a sumatorios sobre dos índices repetidos (subíndice y 
superíndice). Así por ejemplo la expresión 
n
i = 1aib
i se representará como aib
i 
(dos índices repetidos, índice y superíndice, se dice que son índices mudos, ya que 
la expresión no cambia si en vez de “i” usamos otro nombre “j ”). La expresión 

n
i = 1aij b
i (producto de matriz por vector) se representará por ai j b
i, dependiendo 
el resultado del índice j. De modo que si j = 1, ..., m, por ejemplo, Aj = aij b
i 
representan m cantidades que se obtienen con dicha operación. En una misma 
expresión también pueden aparecer dos índices no mudos. Si a
αβ
 representa los 
elementos de una matriz cuadrada no singular y aμν son los elementos de la matriz 
inversa, la expresión 
α
aμαa
αν
≡ δ
ν
μ se representa como aμαa
αν
≡ δ
ν
μ. La función 
δ
ν
μ se llama delta de Kronecker, y vale 1 si μ = ν y cero para μ ≠ ν . También, por 
ejemplo, la expresión Aki = 
n
j = 1aij b 
jk la escribiremos como Aki = aij b 
jk. No obs-
tante, la notación de Einstein no está exenta de cierta ambigüedad en algunos 
casos, por ejemplo si escribimos la igualdad ck = akbk , el miembro derecho de esta 
ecuación no hayque interpretarlo como a1b1 + a2b2 + ⋯, sino como la expre-
sión del conjunto de igualdades c1 = a1b1, c2 = a2b2, ..., etc. El convenio de suma 
de Einstein también se aplica a operadores. Así, la expresión ∂/∂xk, se interpreta 
como un objeto con subíndice “k”, mientras que ∂/∂xk sería un objeto con superín-
dice k. De este modo, la expresión k a
k
∂/∂xk ≡ a1∂/∂x1 + a2∂/∂x2 + ⋯ ≡ ak∂/∂xk.
1.1 Ecuaciones de Lagrange
Tomando como base la segunda ley de Newton para una partícula, cuyo movi-
miento es descrito en coordenadas cartesianas, es posible inferir las ecuaciones 
del movimiento en la formulación lagrangiana de forma sencilla. El procedimiento 
seguido en este capítulo, ilustrará no solo la forma de tales ecuaciones extensi-
ble a otros sistemas de coordenadas, sino que también introducirá a través de la 
exposición conceptos básicos, estableciendo así el léxico propio del formalismo 
lagrangiano que se aborda en el texto. 
La mecánica lagrangiana es una reformula-
ción de la mecánica newtoniana e introdu-
cida en 1788 por Joseph Louis Lagrange 
(1736–1813). De origen italiano y familia 
con buena posición social, se educó en la 
Universidad de Turín. No fue hasta la edad de 
los 17 años cuando Lagrange mostró interés 
por las matemáticas al leer un ensayo del 
astrónomo E. Halley. Se formó de manera 
prácticamente autodidacta y dio clases en la 
Academia Militar por encargo del rey Carlos 
Manuel III de Cerdeña. Entre 1754 y 1756 
Lagrange envió varias cartas a L. Euler que 
introducían una nueva y potente técnica: el 
cálculo de variaciones.
Euler quedó impresionado por el trabajo de 
Lagrange y en 1756 intentó persuadirlo para 
que dejara Turín y aceptara una posición más 
prestigiosa en Berlín. Lagrange declinó inicial-
mente, pero en 1765 d’Alembert intercedió 
ante Federico II el Grande quien escribió a 
Lagrange para invitarle a unirse a su corte y 
que “el rey más grande de Europa” tuviera 
“el matemático más grande de Europa”. 
Lagrange aceptó y pasó los siguiente veinte 
años en Prusia, donde escribió su famosa obra 
la Mecanique Analytique, y sucedió a Euler 
como director de la Academia de las Ciencias 
de Berlín. Tras morir Federico II, Lagrange 
aceptó la invitación de Luis XVI y emigró 
a París, donde fue nombrado profesor de la 
École Polytechnique y murió en 1813.
Además de su impresionante tratado Méca-
nique Analytique, Lagrange hizo importantes 
aportaciones en astronomía (problema de los 
tres cuerpos y puntos de Lagrange), álgebra 
(formas cuadráticas, y ecuaciones bino-
miales), ecuaciones diferenciales (método 
de variación de los parámetros), teoría de 
números, teoría sobre funciones analíticas, 
y, por supuesto, la mecánica.
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3
Capítulo 1 Dinámica lagrangiana de una partícula
Comencemos pues este capítulo deduciendo las llamadas ecuaciones de 
Lagrange, en coordenadas cartesianas por sencillez. Supongamos una partícula 
newtoniana (no relativista) de masa m que se mueve respecto de cierto triedro 
Ox1x2x3, con vector de posición r(t) = x1(t)e1 + x2(t)e2 + x3(t)e3, el cual llamare-
mos espacio de configuración cartesiano (Fig. 1.1). La partícula está sometida a 
la acción de una fuerza F = F1e1 + F2e2 + F3e3, siendo ei (i = 1, 2, 3) los vectores 
unitarios de los ejes Oxi. Como es sabido, el movimiento de la partícula viene 
descrito, para unas condiciones iniciales dadas de velocidad y posición, por la 
ecuación de Newton
m d 
2r
dt2
 = F, ⇒ m ẍi = Fi, i =1, 2, 3. (1.1)
Mediante uno y dos puntos sobre una variable se designará respectivamente a la 
primera y segunda derivada con respecto al tiempo de la magnitud correspondiente. 
Una forma equivalente a las ecuaciones cartesianas de (1.1) se puede obtener a 
partir de la energía cinética de la partícula, T = 12 mv
2
 = 
1
2 m(ẋ1
2 + ẋ2
2
 + ẋ3
2), donde 
v = dr/dt es el vector velocidad. De la identidad d(∂T/∂ẋi)/dt ≡ mẍi, y dado que 
la energía cinética (en coordenadas cartesianas) solo depende de t a través de las 
componentes cartesianas de la velocidad, ẋi, las componentes cartesianas de 
las ecuaciones se pueden escribir en la forma (ecuaciones de Lagrange)
d
dt
 ∂T
∂ẋi
 – ∂T
∂xi
 = Fi , i = 1, 2, 3. (1.2)
Este conjunto de ecuaciones escalares puede expresarse de modo compacto en lo 
que denominaremos ecuación de Lagrange en forma vectorial, dada por
d
dt
 ∂T
∂ v
 – ∂T
∂ r
 = F, (1.3)
en donde se ha usado la notación 
∂
∂ v
 = ek 
∂
∂ ẋk
 ≡ e1 
∂
∂ ẋ1
 + e2 
∂
∂ ẋ2
 + e3 
∂
∂ ẋ3
, (1.4)
para el operador gradiente respecto a las componentes cartesianas de la velocidad, 
de forma similar al operador gradiente usual
∇ = ∂
∂ r
 = ek 
∂
∂ xk
 ≡ e1 
∂
∂ x1
 + e2 
∂
∂ x2
 + e3 
∂
∂ x3
. (1.5)
Ecuaciones de Lagrange en coordenadas curvilíneas arbitrarias
En ocasiones, debido a la simetría de las fuerzas actuando sobre la partícula, o 
la geometría del problema físico, es conveniente usar un sistema de coordenadas 
diferente del cartesiano, por ejemplo, coordenadas esféricas, cilíndricas, o cual-
quier otro sistema de coordenadas curvilíneas. Supongamos que q1, q2, q3 repre-
sentan un conjunto de tres parámetros geométricos (coordenadas curvilíneas), 
que denominaremos coordenadas generalizadas y que engendran el nuevo espa-
cio de configuración. Estas coordenadas definen la posición de un punto en el 
espacio en la transformación de coordenadas dependientes del tiempo
xi = φi (q
1, q2, q3, t), i = 1, 2, 3. (1.6)
Cuadro 1.1 Gradiente, derivada 
direccional y vector normal a una 
superficie
En un triedro Oxyz introducimos la función 
U(r), donde r = xi + yj + zk es el vector de 
posición e i, j, k son los vectores unitarios 
según los ejes x, y, z. Aunque la función U(r) 
es un campo escalar, cualquier combinación 
de las derivadas de U (respecto de xyz) no 
es, en general, un escalar ni un vector. Se 
demuestra que la combinación de derivadas 
∇U ≡ i∂U/∂x + j∂U/∂y + k∂U/∂z, es un 
vector (gradiente de U). Efectivamente, tra-
tándolo como tal, si lo multiplicamos esca-
larmente por el vector infinitesimalmente 
pequeño dr ≡ idx + jdy + kdz, se obtiene 
∇U · dr = U(r + dr) – U(r) ≡ dU, que es un 
escalar. Llamemos gradiente al “vector” 
∇ ≡ ∂/∂r ≡ i∂/∂x + j∂/∂y + k∂/∂z. Para un 
vector u = uxi + uy j + uzk, entonces u · ∇U = 
ux∂U/∂ x + uy∂U/∂y + uz∂ U/∂ z define la deri-
vada direccional de U según u.
Sea ahora Φ(x, y, z, t) = 0 una superficie en 
핉
3 en donde “t” es un parámetro (por ejem-
plo, el tiempo) y r el vector de posición de 
uno de sus puntos. Ya que el incremento infi-
nitesimal, dΦ, entre dos puntos de la super-
ficie (a “t” fijado) es nulo,
dΦ = 0 = ∇Φ · dr,
el vector gradiente es normal a dr, el cual es 
tangente a la superficie. Es decir, el vector 
∇Φ es un vector normal a la superficie Φ = 0.
Figura 1.1 Partícula P de masa m sobre la 
que actúa la fuerza F (la cual podría incluir 
algún término de fuerza de inercia si el triedro 
no fuera inercial). 
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29
2 Dinámica lagrangiana de 
un sistema
2.1 Ecuaciones de Lagrange para un sistema de N partículas
2.1.1 Espacio cartesiano de configuración 3N dimensional
2.1.2 Ecuación vectorial de Lagrange en el espacio de configuración
2.1.3 Variedad de configuración. Ecuaciones de Lagrange
2.2 Introducción a las leyes de conservación
2.2.1 Definición de integral primera
2.2.2 Definición de función energía
2.2.3 Conservación de la energía
2.2.4 Momento canónico
2.3 Aplicación a la dinámica del sólido rígido
2.3.1 Variedad de configuración del sólido rígido
2.3.2 Componentes generalizadas de las fuerzas
2.3.3 Ecuaciones de Lagrange
2.3.4 Ecuaciones del movimiento del sólido en coordenadas arbitrarias
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30
Capítulo 2 Dinámica lagrangiana de un sistema
“El lector no encontrará figuras en este trabajo. Los métodos que he establecido no requieren 
construcciones ni razonamientos geométricos o mecánicos: solo operaciones algebraicas, 
sujetas a una regla de procedimiento regular y uniforme.”
Joseph-Louis de Lagrange (1736-1813). “Mecanique Analytique”
En este capítulo extenderemos la dinámica lagrangiana de una partícula, estu-
diada en el capítulo anterior, a un sistema de N partículas newtonianas, y como 
caso particular a un sólido rígido. 
2.1 Ecuaciones de Lagrange para un sistema de N partículas
La metodología que se usará para deducir las ecuaciones de Lagrange de un 
sistema de N partículas será la misma que la del capítulo anterior, estableciendo 
la siguiente analogía: el movimiento de N partículas respecto de un triedro físico 
es matemáticamente equivalente al movimiento de una única partícula en un espa-
cio cartesiano 3N-dimensional.
2.1.1 Espacio cartesiano de configuración 3N dimensional
Partimos de un sistema de N partículas newtonianas de masas Mh ( h = 1, …, 
N ), moviéndose en un triedro Ox1x2x3, con coordenadas x 
h
i , i = 1, 2, 3. Sean Fi
h las 
componentes cartesianas de la fuerza total sobre la partícula h. Con esta notación, 
las 3N ecuaciones cartesianas de Newton que describen el movimiento del sistema 
de N partículas son
Mhẍ i
h = Fi
h, i = 1, 2, 3; h = 1, …, N, (sin suma) (2.1)
y l a energía cinética del sistema es
T = 12 ∑
N
h =1
 Mh (ẋ 
h
1)
2 + (ẋ h2)
2 + (ẋ h3)
2
 . (2.2)
Trataremos a continuación de escribir el sistema (2.1) de 3N ecuaciones diferen-
ciales escalares como una única ecuación vectorial, como si fuera una partícula, 
pero en un espacio de dimensión 3N. Tomemos primero una cierta ordenación de 
las N partículas. Para esa ordenación, introduzcamos la siguiente notación con el 
objeto de simplificar la descripción del movimiento del sistema 
x hi ≡ x
3h – 3 + i, i = 1, 2, 3; h = 1, …, N,
Fi
h ≡ f3h – 3 + i , (2.3)
Mh ≡ m3h – 2 ≡ m3h – 1 ≡ m3h.
De es te modo, el sistema de N partículas se describe mediante el conjunto de 
3N coordenadas rectangulares x = x1, x2, …, x 3N y 3N parámetros de masa de un 
punto P en un espacio cartesiano de dimensión 3N (espacio de configuración 
cartesiano). El movimiento de este punto está determinado por las ecuaciones
mj ẍ
j = fj, j = 1, …, 3N, (sin suma) (2.4)
y la ene rgía cinética del sistema es
Cuadro 2.1 Deducciones de las 
ecuaciones de Lagrange
En la bibliografía encontramos diferentes for-
mas de deducir las ecuaciones de Lagrange, 
las cuales pueden clasificarse como sigue: 
(a) deducciones basadas en el principio de 
D’Alembert y el principio de los trabajos vir-
tuales (H. Goldstein, Classical Mechanics); 
(b) deducciones a partir de la segunda ley 
de Newton por medio de una mera manipu-
lación de derivadas parciales (J. L. Synge 
y B. A. Griffith, Principles of Mechanics, 
McGraw-Hill, New York 1959; E. T. Whittaker, 
A Treatise on the Analytical Dynamics of Par-
ticles and Rigid Bodies. Cambridge University 
Press, Cambridge, 1927); (c) ecuaciones de 
Lagrange deducidas a partir de principios 
variacionales (C. Lanczos, The Variational 
Principles of Mechanics, University of Toronto 
Press, Toronto, 1949, Dover reprint 1989); 
(d) deducciones apoyadas en la geometría 
diferencial y el cálculo tensorial (J. L. Synge 
y A. Schild, Tensor Calculus, University of 
Toronto Press, Toronto, 1949, Dover reprint 
1978).
La deducción de las ecuaciones de Lagrange 
tipo (d) se basa en la sustitución y equiva-
lencia de un sistema físico de N partículas 
por el de una única partícula moviéndose en 
un hiperespacio de dimensión 3N. El punto 
crucial es que la métrica de este hiperespa-
cio es establecida por la forma de la energía 
cinética del sistema (James Casey, Geome-
trical Derivation of Lagrange’s equations for 
a system of particles, Am J Phys 62, 1994). 
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31
Capítulo 2 Dinámica lagrangiana de un sistema
T = 12 ∑
3N
j =1
 mj(ẋ 
j )2. (2.5)
Seguidamente introduzcamos la noción de distancia euclídea. Supongamos dos 
puntos muy próximos P y P’ con coordenadas x y x + dx, respectivamente. 
Basándonos en la expresión (2.5) de la energía cinética (suma de cuadrados), la 
cual es positiva, y llamando m ≡ 
N
h = 1Mh a la masa total del sistema de partícu-
las, podemos definir el cuadrado de la distancia euclídea infinitesimal, ds, entre los 
puntos P y P’ por (ds)2 = 2T(dt)2/m. Es decir,
(ds)2 = ∑
3N
j =1
  d(x j mj /m) 
2. (2.6)
De este modo, el espacio cartesiano con coordenadas x̃ j ≡ xj mj /m es un espacio 
euclídeo y, como sabemos del Álgebra lineal, es práctico asociar vectores a los 
puntos de dicho espacio. Trataremos el espacio euclidiano como un espacio vecto-
rial en el que usamos los elementos ya conocidos de producto escalar de vectores, 
módulo del vector, base canónica, etc. Denotamos por {uk; k = 1, …, 3N } la base 
canónica de vectores (3N componentes): u1 = (1, 0, …, 0), …, u 3N = (0, 0, …, 1). 
El vector de posición del punto P con coordenadas cartesianas x ≡ x 1, x 2, …, x 3N, 
tiene la representación habitual
r = ∑
3N
j =1
 x j mj /m uj = x
1e1 +⋯+ x 
3Ne3N ≡ x 
k ek, (2.7)
en donde 
ej ≡ mj /m uj , j = 1, …, 3N. (2.8)
Observe el lector que a la expresión x k ek en (2.7) se le está aplicando el convenio 
de suma de Einstein. El vector velocidad del punto P tendrá por expresión 
v = dr
dt
 = ẋ1e1+⋯ẋ 
3Ne3N ≡ ẋ 
k ek, (2.9)
en donde el módulo |ek| = mk /m . Es inte resante observar que, usando (2.8) y 
(2.9), la energía cinética del sistema, ecuación (2.5), se puede escribir como la ener-
gía cinética de una partícula de masa m moviéndose en un espacio 3N dimensional
T = 12 ∑
3N
j =1
 mj(ẋ 
j )2 ≡ 1
2
 mv2. (2.10)
Conviene también definir la base de vectores e j recíproca de la (2.8), es decir, 
el conjunto de vectores que verifica e j · ek = δk
j, siendo δk
j la delta de Kronec-
ker. Obsérvese que e j ≡  m /m j uj ≡ ej m /mj . Construyamos ahora un vector 
fuerza, f, con la base e j y las componentes cartesianas de las fuerzas, fj, 
dadas en (2.3),
f = f1e
1
+⋯+f3N e
3N ≡ f ke 
k. (2.11)
Se comprueba fácilmente que las 3N ecuaciones escalares (2.4) son las componentes 
cartesianas de la ecuación vectorial (ecuación vectorial de Newton en el espacio 
de configuración 3N dimensional)
m dv
dt
 = f. (2.12)
Figura 2.1 Partícula de masa m en P en 
el espacio de configuración cartesiano 3N 
dimensional.
Cuadro 2.2 Construcción del espacio 
de configuración cartesiano
Tomemos el conjunto de las N partículas 
de masas Mh (h = 1, …, N) con coordena-
das x i
h (i = 1, 2, 3). Sean F i
h las componen-
tes cartesianas de la fuerza total actuando 
sobre cada partícula. Establezcamos la 
siguiente correspondencia entre x i
h, Mh y Fi
h 
con x j, mj y fj ( j = 1, …, 3N):
x1
1, x2
1, x3
1, …, x1
N, x2
N, x3
N →
 x1, x2, x3, …, x3N–2, x3N–1, x3N.
M1, M1, M1,
 …, MN, MN, MN, →
 m1, m2, m3, …, m3N–2, m3N–1, m3N.
F1
1, F2
1, F3
1, …, F1
N, F2
N, F3
N, →
 f1, f2, f3, …, f3N–2, f3N–1, f3N.
El vector de posición se construye con la 
base ej y el vector fuerza con la base e 
j:
r = xkek ≡ x
1e1 + ⋯ + x
3Ne3N,
f = fke
k ≡ f1e
1 + ⋯ + f3Ne
3N.
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3 El cálculo variacional y la 
mecánica
3.1 ¿Por qué el cálculo variacional?
3.2 Nociones básicas de cálculo variacional
3.2.1 Variación de un funcional
3.2.2 Ecuación de Euler-Lagrange
3.2.3 Ecuaciones de Euler-Lagrange: caso de varias funciones
3.2.4 Extremales con restricciones: multiplicadores de Lagrange
3.3 Principio de Hamilton
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Capítulo 3 El cálculo variacional y la mecánica
Cuadro 3.1 Mecánica de medios 
continuos
Los sistemas mecánicos discutidos en el 
cuerpo principal del libro tienen un número 
finito de grados de libertad y están goberna-
dos por ecuaciones diferenciales ordinarias 
(EDO). Por ejemplo, un péndulo de longitud 
� que oscila en un plano vertical tiene como 
único grado de libertad o variable de estado 
el ángulo θ(t). Su ecuación del movimiento es 
θ̈ + (g/�)sin θ = 0.
Existen también sistemas físicos, como por 
ejemplo los fluidos, los sólidos deformables 
o los campos electromagnéticos, cuyas 
variables de estado dependen tanto del 
tiempo como de la posición. En esos casos, 
la dinámica de las variables de estado está 
gobernada por ecuaciones diferenciales en 
derivadas parciales (EDDP). Un ejemplo sen-
cillo es la temperatura T(x, t) en una barra de 
metal unidimensional de longitud � y situada 
a lo largo del eje x. Se puede demostrar que 
la evolución de la temperatura con el tiempo 
es la solución de la EDDP conocida como 
ecuación del calor 
∂ T
∂ t
 − α ∂ 
2T
∂ x2
 = 0,
dond e α es la difusividad térmica de la 
barra. Una diferencia importante con res-
pecto a los sistemas con un número finito 
de grados de libertad es que ahora, ade-
más de condiciones iniciales T(x, 0) = T0(x), 
hay que dar condiciones de contorno. En el 
caso de la barra, en donde hay derivadas de 
segundo orden en x, se puede imponer por 
ejemplo que la temperatura en los extremos 
de la barra adquiera ciertos valores, T(0, t) = 
TA(t) y T(�, t) = TB(t). 
Las técnicas y teoremas de la mecánica 
analítica para sistemas con un número 
finito de grados de libertad pueden exten-
derse a los medios continuos. Esto incluye, 
por ejemplo, el formalismo lagrangiano y 
hamiltoniano, la localización de invariantes 
mediante el teorema de Noether o las varia-
bles acción-ángulo, por citar algunos ejem-
plos. En cada uno de los capítulos del libro, 
y en paralelo con la discusión en el texto 
principal, iremos mostrando dichas extensio-
nes en los cuadros al margen.
Llegaron los fugitivos a estos sitios, donde ahora ves las altas murallas y el alcázar, 
ya comenzado a levantar, de la nueva Cartago, y compraron una porción de terreno, 
tal que pudiera toda ella cercarse con la piel de un toro, de donde le vino el nombre 
de Birsa.
Virgilio, La Eneida
Hasta el momento, las ecuaciones de Lagrange se han presentado en el texto 
como resultado de un tratamiento matemático de las ecuaciones de Newton del 
movimiento. Con este acercamiento, se ha visto, a posteriori, que la formula-
ción lagrangiana constituye una descripción elegante y completa que, a efec-
tos prácticos, se puede considerar independiente de la formulación newtoniana, 
aunque, obviamente, es equivalente a ésta. Cabe, pues, pensar que existe otro 
modo de fundamentar la mecánica lagrangiana recurriendo a postulados o prin-
cipios que resulten independientes de los enunciados por las leyes básicas de 
Newton. Dado que la física newtoniana lejos de los límites relativistas o cuán-
ticos es correcta, una nueva fundamentación de la mecánica en términos de las 
ecuaciones de Lagrange debería contener un número de postulados menor que 
los aportados por Newton, además de una sólida base matemática. Tal funda-
mentación existe, y se basa en un único principio, llamado de Hamilton, cuya 
base teórico-matemática se inspira en los denominados principios de mínimo, 
que siempre han estado ligados a la física y cuya historia es tan antigua como 
la de esta.
3.1 ¿Por qué el cálculo variacional?
El cálculo variacional, también llamado cálculo funcional, está íntimamente 
relacionado con el cálculo de extremos de una función dada a los que estamos 
muy habituados, pero aquí no se habla de una función de una o varias variables, 
sino de una función de funciones. El problema de hallar puntos extremos de una 
función (las coordenadas para las cuales la función es un máximo o un mínimo) se 
traspone ahora al problema de encontrar las funciones (extremales) que hagan que 
una función de funciones sea máxima o mínima. La historia del cálculo de varia-
ciones tiene su origen más conocido en el famoso problema de la braquistócrona 
propuesto por Jean Bernoulli en 1696, en el que se plantea encontrar la trayectoria 
que debería seguir una partícula empleando un tiempo mínimo en un campo de 
fuerza constante para recorrer la distancia entre dos puntos fijos, no alineados con 
la fuerza (ver Ejemplo 1 del texto). El relato histórico que acompaña al desenlace 
de este problema mediante las soluciones encontradas al mismo en su época por 
matemáticos como Leibniz, L´Hopital o Newton, es ya un hito clásico en la historia 
de las matemáticas y de las ciencias naturales. El lector podrá encontrar informa-
ción en cualquier texto, pero la obligada referencia a este caso se justifica aquí para 
enmarcar históricamente un problema de la matemática que, en su aspecto más 
general, dio lugar a lo que hoy toma el nombre de cálculo de variaciones. Esta 
potente y eficaz herramienta matemática, rigurosamente establecida como método 
y reformulada por Euler hacia 1740, fue aplicada por Lagrange a la mecánica por 
primera vez. El cálculo de variaciones originó una elegante y sólida formulación 
de la dinámica, que se estableció 137 años después del primer enunciado de la bra-
quistócrona, y fue dada por W. R. Hamilton mediante lo que hoy se conoce como 
principio de Hamilton. 
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Capítulo 3 El cálculo variacional y la mecánica
Básicamente, el cálculo variacional se establece para dar respuesta a una cues-
tión muy habitual en problemas tanto de física como de ingeniería. Se trata de 
encontrar máximos y mínimos, pero no de una función en sí misma, sino de una 
magnitud que recibe el nombre de funcional Φ, cuyos valores se obtienen a través 
de su dependencia de una o más funciones. Por ejemplo, un funcional simple (Fig. 3.1) 
es la longitud de arco � de una curva y = y(x) del plano que une dos puntos de 
coordenadas (xa, xb)
� ≡ Φ[y(x)] = 
xb
xa
1 + (dy/dx)2 dx . (3.1)
También son funcionales, por ejemplo, las coordenadas del centro de masas y las 
componentes del tensor de inercia de un sólido continuo de densidad de masa ρ(r) 
conocida (véase Capítulo 2). En cualquier caso, el valor del funcional depende de 
una función escalar (o vectorial) dada, de sus derivadas, o de la variable (escalar 
o vectorial) independiente de la función. El cálculo de variaciones versa sobre 
el método de hallar valores extremos de un funcional dado, es decir, determi-
nar la función incógnita que permite que el funcional presente un valor extremo 
(máximo o mínimo) que se denomina valor estacionario. Así pues, mediante el 
procedimiento del cálculo variacional se llega, por lo general, a una solución con-
sistente en una ecuación diferencial para la función incógnita.
Dos son los problemas básicos que contribuyeron a la fundamentación del 
cálculo variacional, llamados problema de las curvas geodésicas y el problema 
isoperimétrico. Conviene que se citen aquí por su relación con el contenido del 
curso y con la mecánica, en particular por lo que se refiere a la existencia de 
constricciones o ligaduras impuestas sobre las ecuaciones del movimiento de un 
sistema. Por otra parte, estos problemas alcanzan hoy una formulación mucho 
más amplia y general que la dada originariamente en sus planteamientos geomé-
tricos más primitivos, abarcando así un gran número de problemas que surgen 
en todos los ámbitos de la física y la matemática. El problema de curvas geodé-
sicas consiste en determinar la curva sobre una superficie dada que da la menor 
longitud de arco entre dos puntos de la superficie g(x, y, z) = 0. En este caso, el 
funcional a minimizar es 
� = Φ[y(x), z(x)] = 
xb
xa
  1 + (dy/dx)2 + (dz/dx)2 dx , (3.2)
para el cual las funciones y(x) y z(x), sujetas ala condición o ligadura 
g(x, y, z) = 0, son las incógnitas del problema. Por otra parte, el problema isoperi-
métrico pretende hallar los extremales de un funcional, los cuales están sometidos 
a una restricción expresada por medio de una integral (condición isoperimétrica). 
En su planteamiento original e histórico (problema de la reina Dido), se trataba 
de determinar la curva cerrada de longitud fija � que delimite un área máxima (¡el 
círculo!). Aquí la expresión del área es el funcional, y la condición sobre � es una 
restricción o ligadura.
3.2 Nociones básicas de cálculo variacional
En física son frecuentes los problemas que se resuelven mediante la exigencia 
de que algún funcional conocido alcance un extremo, surgiendo así en ocasiones 
Figura 3.1 Curvas yI(x) e yII(x) con extre-
mos fijados. La longitud de curva que une 
dos puntos dados del plano x-y es un fun-
cional, el cual obviamente depende de la 
curva dada.
Figura 3.2 Curvas y(x) e y(x) + h(x) con 
h(xa) ≠ 0 y h(xb) ≠ 0.
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4 Teorema de Noether: 
simetrías y leyes de 
conservación
4.1 Covariancia de las ecuaciones de Euler-Lagrange
4.1.1 Transformaciones puntuales
4.1.2 Transformaciones puntuales extendidas
4.2 Invariancia o simetría de una función
4.2.1 Grupos uni-paramétricos de transformaciones
4.2.2 Definición de invariancia de una función
4.3 Teorema de Noether
4.3.1 Grupo de transformaciones puntuales
4.3.2 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos con 
transformaciones invariantes
4.3.3 Teorema de Noether para sistemas lagrangianos con 
transformaciones invariantes extendidas
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Capítulo 4 Teorema de Noether: simetrías y leyes de conservación
Es preciso detenerse en algún punto, y para que la ciencia sea posible, debemos 
detenernos cuando encontremos la simplicidad.
Henri Poincaré
En los Capítulos 1 y 2 hemos visto algunas leyes de conservación elemen-
tales. Así, en un sistema lagrangiano que no dependa explícitamente del tiempo se 
tiene la ley de conservación de la energía, mientras que si el sistema posee una 
coordenada cíclica o ignorable, el momento canónico conjugado a dicha coor-
denada es una constante del movimiento. Ambas leyes de conservación se pue-
den ver tambien como consecuencia de ciertas simetrías de la lagrangiana. Si la 
lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, da lo mismo usar la variable 
temporal t que la t′ = t + ε, siendo ε una constante cualquiera. Por otra parte, 
si la lagrangiana posee una coordenada cíclica o ignorable, qβ por ejemplo, 
podríamos usar en lugar de ella otra coordenada q′β = qβ + ε. Se dice entonces 
que la lagrangiana es invariante frente a traslaciones en el tiempo o invariante 
frente a traslaciones en la coordenada ignorable. También se suele decir que la 
lagrangiana tiene la simetría de traslaciones en el tiempo o traslaciones en la 
coordenada ignorable. Las leyes de conservación de la energía o del momento 
canónico son consecuencia, por tanto, de estas dos simetrías elementales que 
puede poseer la lagrangiana. 
4.1 Covariancia de las ecuaciones de Euler-Lagrange
La ventaja más importante que tienen los sistemas lagrangianos es que las 
ecuaciones de Lagrange son independientes del sistema de coordenadas genera-
lizadas que se usen. A esta propiedad se la llama covariancia y, como se explica 
en el Cuadro 4.2, dicha propiedad fue siempre un objetivo que debían cumplir las 
leyes fundamentales de la física. 
4.1.1 Transformaciones puntuales
Supongamos un sistema con lagrangiana L(q, v, t), en donde q = q1, …, qn y 
v = v1, …, vn, son las coordenadas y velocidades generalizadas, respectivamente, 
y se ha usado para simplificar la notación: v ≡ q̇1, …, q̇n. Como es sabido, las ecua-
ciones de Lagrange son
 d
dt
 ∂ L
∂ vj
 − ∂ L
∂ qj
 = 0, vj ≡ 
dqj
dt
; j = 1, …, n. (4.1)
Supon gamos que elegimos otro sistema de coordenadas q′ = q′1, …, q′n, que están 
relacionadas con las anteriores mediante n funciones
 qj = φ j(q′, t), j = 1, …, n. (4.2)
Una trans formación de este tipo se llama transformación puntual. Supondre-
mos que la correspondencia entre q y q′ es biunívoca para cualquier instante 
de tiempo t, y que las funciones φj se comporten bien. Surge, naturalmente, la 
pregunta: ¿cuál será, para las nuevas coordenadas, el nuevo sistema de ecua-
ciones de evolución de las q′(t) equivalente al sistema (4.1)? Para responder a 
esta cuestión conviene volver al planteamiento más básico que nos condujo a las 
ecuaciones de Lagrange, es decir al principio de Hamilton (véase Capítulo 3). Las 
Cuadro 4.1 Teoría de grupos
La teoría moderna de grupos en matemáticas 
nace en el siglo XIX de la mano del matemá-
tico francés Evariste Galois (1811–1832), 
quien abordó un interesante y antiguo pro-
blema matemático. Galois trató de averiguar 
bajo qué circunstancias las raíces de un 
polinomio con coeficientes racionales pue-
den ser expresadas únicamente mediante 
número racionales, multiplicaciones, divisio-
nes, sumas, restas y números elevados a 
la potencia 1/n siendo n un número entero. Si 
las soluciones se pueden expresar de dicha 
manera, se dice que la ecuación polinómica 
es resoluble por radicales. Por ejemplo, una 
ecuación de segundo grado
ax2 + bx + c = 0
es resoluble por radicales porque sabemos 
que su solución es
x = −b ± b
2 − 4ac
2a
.
Galois descubrió que la solucionabilidad de 
una ecuación por radicales está relacionada 
con la estructura de un grupo de permuta-
ciones asociadas a las raíces del polinomio, 
lo que se conoce hoy en día como grupo de 
Galois del polinomio. Las ecuaciones polinó-
micas de grado < 5 son resolubles por radi-
cales, las de grado ≥ 5 no lo son en general.
Actualmente se utiliza el término grupo para 
denotar una estructura algebraica que con-
siste en un conjunto G de elementos equi-
pados con una operación interna, denotada 
aquí con el símbolo “*”, que cumple las 
siguientes propiedades
• Cierre: ∀a, b ∊ G, a * b ∊ G
• Asociativa: ∀a, b, c ∊ G, 
(a * b) * c = a * (b * c)
• Elemento identidad: ∀a ∊ G, 
∃e \ e * a = a * e = a
• Elemento Inverso: ∀a ∊ G, 
∃b \ b * a = a * b = e
Aunque Galois murió muy joven, con solo 20 
años y como consecuencia de las heridas 
sufridas en un duelo con pistolas, su legado 
matemático fue muy profundo. En particular, 
el trabajo de Galois sobre ecuaciones algebrai-
cas inspiró a Marius S. Lie, quien elaboró una 
teoría semejante para ecuaciones diferencia-
les. El lector interesado en la aplicación de la 
técnica de los grupos de Lie a las ecuaciones 
diferenciales puede consultar la obra de Peter 
Olver, Applications of Lie groups to differential 
equations (Springer Verlag, New York 1993).
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Capítulo 4 Teorema de Noether: simetrías y leyes de conservación
ecuaciones de evolución son las ecuaciones diferenciales de los extremales del 
funcional acción, es decir, se obtienen a partir de
 δS ≡ δ 
t2
t1
 L(q1, …, qn, v1, …, vn, t)dt = 0, (4.3)
para q(t1) y q(t2) fija dos. En el integrando del funcional, L(q, v, t), expresemos 
las variables q y v en función de las nuevas coordenadas. Las “q” vienen dadas 
por las funciones φ = φ1, …, φn, de las q′ y t. Mientras que las velocidades gene-
ralizadas v se expresan en función de las q′ y las nuevas velocidades genera-
lizadas, v′ ≡ dq′/dt, derivando con respecto del tiempo la transformación (4.2). 
Es decir,
 v j ≡ 
dφ j(q′, t)
dt
 = 
∂ φ j
∂ t
 + v′i 
∂ φ j
∂ q′i
, v′i = 
dq′i
dt
 . (4.4)
Observe el lector que al último sumando de la ecuación anterior se le está apli-
cando el convenio de suma de índices repetidos (índice “i”). Debe notarse que la 
transformaciónde las velocidades generalizadas no es una transformación inde-
pendiente, sino que está inducida por la propia transformación puntual de coorde-
nadas. En definitiva, el problema (4.3) de calcular los extremales queda planteado 
en la forma
 δS ≡ δ 
t2
t1
 L(q(q′, t), v(q′, v′, t), t)dt = 0. (4.5)
Es decir, debemos encontrar los extremales del funcional acción, con q′(t1) y 
q′(t2) fijados, en donde el integrando del funcional es otra función lagrangiana, 
L′(q′, v′, t), definida por
 L′(q′, v′, t) ≡ L(q(q′, t), v(q′, v′, t), t). (4.6)
Las nuevas ecuaciones de Lagrange en coordenadas q′ son, por lo tanto:
 d
dt
 ∂ L′
∂ v′j
 − ∂ L′
∂ q′j
 = 0, v′j ≡ 
dq′j
dt
; j = 1, …, n. (4.7)
Es decir, las ecuaciones de evoluc ión en las nuevas coordenadas se expresan de 
la misma forma (ecuaciones de Euler-Lagrange) a partir de una nueva lagran-
giana, L′(q′, q̇′, t), que se obtiene de la lagrangiana antigua, L(q, q̇, t), sustituyendo 
las coordenadas y velocidades generalizadas antiguas en función de las nuevas 
coordenadas generalizadas, q′, y las nuevas velocidades generalizadas, q̇′. Dire-
mos entonces que las ecuaciones de Euler-Lagrange de un sistema lagrangiano 
son covariantes o que tienen la propiedad de covariancia: las leyes o ecuaciones 
diferenciales para los extremales son independientes del sistema de coordenadas. 
Por supuesto, las nuevas ecuaciones de Lagrange (4.7), desarrolladas, tendrán un 
aspecto algebraico muy diferente, en general, de las anteriores ecuaciones (4.1) 
desarrolladas.
4.1.2 Transformaciones puntuales extendidas
La propiedad de covariancia de las ecuaciones de Lagrange también se tiene para 
las llamadas transformaciones puntuales extendidas: aquellas transformaciones 
Cuadro 4.2 Principio de covariancia 
en física (1/2)
Siguiendo las ideas de Galileo, Newton asu-
mió que las leyes de la mecánica tienen la 
misma forma en cualquier sistema de referen-
cia inercial. En particular, que la segunda ley
m dv
dt
 = F
es válida para cualquier observador ligado a 
un sistema inercial. En ese marco, el espa-
cio y el tiempo son conceptos absolutos 
e independientes. Sin embargo, a finales 
del siglo XIX y principios del XX, los físicos 
empezaron a sospechar que las leyes fun-
damentales de la física deberían tener la 
misma forma para cualquier observador y 
que la distinción entre sistemas inerciales y 
no inerciales podría ser ilusoria.
Una pista importante la proporcionaron 
las ecuaciones de Maxwell para los campos 
electromagnéticos, las cuales son invarian-
tes frente a las transformaciones de Lorentz. 
Por ejemplo, si tenemos un sistema S y otro 
S’ que se mueven con velocidad V a lo largo 
del eje x, las ecuaciones de Maxwell toman 
la misma forma si las coordenadas y el 
tiempo en ambos sistemas están relaciona-
dos por
x′ = x − Vt
1 − V2/c2
, t′ = t − Vx/c
2
1 − V2/c2
,
siendo y′ = y, z′ = z, donde c es la velocidad 
de la luz. Fíjese el lector que en estas trans-
formaciones el espacio y el tiempo se mez-
clan. Basándose en estas ideas, Einstein 
propuso en 1905 lo que ahora se conoce 
como teoría de la relatividad especial y que 
se basa en dos postulados:
• Las leyes de la física son invariantes en 
todos los sistemas inerciales.
• La velocidad de la luz en el vacío es la 
misma para todos los observadores, 
independientemente de la velocidad de la 
fuente de luz. 
En el marco de la relatividad especial, la 
segunda ley de Newton se escribe como
d
dt
 
m0v
1 − v2/c2
 = F,
siendo m0 la masa en reposo de la partícula. 
Esta ecuación es invariante frente a las 
transformaciones de Lorentz y recupera la 
segunda ley de Newton cuando la velocidad 
es mucho menor que la de la luz.
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5 Oscilaciones próximas 
al equilibrio en sistemas 
lagrangianos
5.1. Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U(q) 
5.1.1 Linealización de las ecuaciones alrededor del equilibrio
5.1.2 Evolución de las perturbaciones alrededor del equilibrio
5.1.3 Descomposición en modos normales o propios de oscilación
5.1.4 Propiedades extremales de las frecuencias propias de oscilación
5.2. Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U(q, q̇)
5.2.1 Linealización alrededor del equilibrio en sistemas giroscópicos
5.2.2 Efectos giroscópicos sobre un sistema lagrangiano
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Capítulo 5 Oscilaciones próximas al equilibrio en sistemas lagrangianos
Al considerar el movimiento de un sistema de partículas bajo la acción de un 
campo externo o como consecuencia de la interacción entre ellas, pueden existir 
posiciones de las partículas en las cuales el sistema esté en equilibrio. Es decir, 
posiciones tales que si las partículas se abandonaran en ellas con velocidad nula, 
permanecerían todo el tiempo en reposo en dichas posiciones. Parece natural 
entonces investigar el movimiento del sistema de partículas cuando se perturba 
levemente, sacándolo de las posiciones de equilibrio o impulsando las partículas 
con velocidades pequeñas. El movimiento subsiguiente que tendrá lugar podría 
ser el de un conjunto de vaivenes u oscilaciones alrededor de las posiciones de 
equilibrio, o que las partículas del sistema se alejaran continuamente de éstas. 
En cualquier caso, supondremos que las perturbaciones inicialmente introducidas 
son infinitesimalmente pequeñas, de tal modo que, durante un cierto tiempo, el 
sistema se mantendrá próximo al estado de equilibrio realizando un conjunto de 
movimientos que llamaremos, genéricamente, oscilaciones. 
En este capítulo estudiaremos el movimiento próximo a la posición de equili-
brio en dos tipos diferentes de sistemas lagrangianos. En primer lugar, conside-
raremos los sistemas en los que la lagrangiana L es de la forma L = T − U(q ), 
siendo la energía cinética T una función cuadrática homogénea de las veloci-
dades generalizadas, y el potencial U una función solo de las coordenadas. En 
segundo lugar, consideraremos un potencial de fuerzas más general que U(q ), 
añadiéndole un potencial giroscópico UGI, lineal en las velocidades generaliza-
das (ver Capítulo 2). Llamaremos a estos sistemas lagrangianos giroscópicos, en 
donde L = T − U(q ) − UGI .
5.1 Oscilaciones en sistemas lagrangianos con potencial U (q)
Supondremos en primer lugar un sistema lagrangiano de n grados de libertad 
con L = 12 mi j (q )q̇
iq̇ j − U(q ). Los coeficientes mi j dependen solo de las coor-
denadas generalizadas q ≡ q1, . . ., qn, son simétricos (mi j = mji ), y el determi-
nante de la matriz con coeficientes mi j es diferente de cero. Las ecuaciones de 
Euler-Lagrange para este sistema son (compruébese),
mikq̈
i + ∂ U
∂ qk
 + 
∂ mik
∂ qj
 q̇ jq̇i − 1
2
 
∂ mi j
∂ qk
 q̇iq̇ j = 0, k = 1, . . ., n. (5.1)
Busquemos a continuación las coordenadas de las posiciones de equilibrio 
q = qe ≡ q
1
e , . . ., q
n
e . Es decir, las posiciones del sistema en las cuales, si se aban-
dona en esa posición con velocidades generalizadas nulas, q̇1 = 0, . . ., q̇n = 0, el 
sistema permanece en reposo en dicha posición todo el tiempo (el concepto de 
posiciones de equilibrio y su estabilidad se estudiará con cierta profundidad en el 
Capítulo 8). Debido a que el tiempo no aparece explícitamente en las ecuaciones 
de Lagrange (5.1), el sistema permanecerá en reposo todo el tiempo en la posición 
q = qe si para esa posición las aceleraciones q̈ son también nulas. Para ello, según 
las ecuaciones (5.1), es necesario que ∂ U/∂ qk|qe = 0 con k = 1, . . ., n. Por lo tanto, 
las posiciones de equilibrio, q = qe, corresponden a un extremo del potencial U y 
se obtienen del sistema de n ecuaciones
∂ U
∂ qk
 |
q=qe
 = 0, k = 1, . . ., n. ⇒ qe. (5.2)
Daniel Bernoulli nació el 8 de febrero de 
1700 en Groninga, Países Bajos, en el seno 
de una familia de matemáticos.Además de 
él, también destacaron su padre, Johann 
Bernoulli, pionero del cálculo infinitesimal y 
profesor de Leonhard Euler, y su tío, Jacob 
Bernoulli, quien hizo contribuciones a la teo-
ría de la probabilidad. D. Bernoulli aceptó 
el consejo de su padre y estudió medicina, 
pero puso como condición que le enseñara 
matemáticas de manera privada. 
Tras acabar los estudios de medicina, fue 
rechazado por la Universidad de Basilea, 
pero poco después consiguió una plaza de 
profesor en la Academia de Ciencias de San 
Petersburgo. Allí trabajó ocho años y realizó 
importantes descubrimientos que le valieron 
para ganar un puesto como profesor en Basi-
lea. En 1750, le concedieron la cátedra que 
había ocupado su padre. 
D. Bernoulli hizo importantes contribuciones 
en hidrodinámica, elasticidad y teoría ciné-
tica de gases. En el año 1738 publicó su 
famosa obra Hydrodynamica. En ella explica 
lo que posteriormente sería conocido como 
el Principio de Bernoulli y que relaciona la 
velocidad con la presión en un fluido incom-
presible. También fue precursor de la teoría 
de oscilaciones, gracias a un trabajo que 
publicó en 1753. La teoría general sobre 
las oscilaciones de un sistema de partículas 
con un número finito de grados de libertad 
fue establecida por Lagrange entre los años 
1762 y 1765. La obra de Bernoulli fue muy 
extensa (86 trabajos) y recibió el reconoci-
miento de sus colegas, quienes le concedie-
ron diez premios de la Academia de Ciencias 
de París y le eligieron miembro de la Real 
Sociedad de Londres. Murió el 17 de marzo 
de 1782, a la edad de 82 años, en Basilea. 
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93
Capítulo 5 Oscilaciones próximas al equilibrio en sistemas lagrangianos
En general, (5.2) es un sistema no lineal de ecuaciones algebraicas y puede pre-
sentar varias soluciones que corresponden a diferentes posiciones de equilibrio. 
EJEMPLO 1
El potencial de fuerzas de un péndulo ideal de longitud � que oscila con ángulo 
θ alrededor de la vertical es U = −mg� cos θ . Las posiciones de equilibrio según 
(5.2) se obtienen de ∂ U/∂ θ = mg� sin θ = 0, cuyas soluciones son θ = 0 (péndulo 
en la posición más baja) y θ = π (posición más alta del péndulo). 
5.1.1 Linealización de las ecuaciones alrededor del equilibrio
Si en la posición de equilibrio del sistema, q = qe con q̇ = 0, se introducen unas 
perturbaciones infinitesimalmente pequeñas, x(t), de forma que q(t) = qe + x(t) 
con x(t) ≡ x1(t), . . ., xn(t), podemos linealizar el sistema de ecuaciones (5.1) alre-
dedor de q = qe y q̇ = 0. El primer término de la ecuación (5.1), el que contiene 
las derivadas segundas con respecto del tiempo, está ya prácticamente lineali-
zado. Bastará tomar mi k(q )q̈
i ≈ mi k(qe )ẍ
i, con coeficientes mik(qe ) evaluados en 
q = qe y, por lo tanto, constantes. Por brevedad y para simplificar la notación, los 
llamaremos mi k de aquí en adelante. El segundo término, el correspondiente a la 
derivada del potencial U, teniendo en cuenta que en q = qe sus primeras deriva-
das son nulas [ecuación (5.2)], lo desarrollamos en serie de Taylor hasta términos 
de segundo orden: U = U(qe ) + 
1
2 ki j x
i x j , en donde los coeficientes ki j , simétricos 
y constantes, vienen dados por
ki j = ∂
2 U/∂ qi ∂ q j|q
=
qe . (5.3)
De este manera, ∂ U/∂ qk ≡ ∂ U/∂ xk ≈ ki k x
i. Los términos tercero y cuarto de las 
ecuaciones (5.1) son de segundo orden (proporcionales a los productos de canti-
dades pequeñas, ∝ ẋi ẋ j ), y en la linealización del sistema serán despreciados. En 
consecuencia, el sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange linealizado se escribe
mi k ẍ
i + ki k x
i = 0, k = 1, . . ., n . (5.4)
El sistema anterior conviene escribirlo en forma mat ricial introduciendo las 
matrices constantes M (de componentes mi j), K (de componentes ki j) y el vector 
columna, x, de componentes (x1, . . ., xn). Se denotará por xT al vector fila (el trans-
puesto del vector columna x), y de modo similar para las matrices transpuestas 
MT y KT. El sistema de ecuaciones (5.4) escrito en forma matricial adopta la forma
M ⋅ ẍ + K ⋅ x = 0. (5.5)
Conviene notar que las ecuaciones (5.5) son las ecuaciones de L agrange de un 
sistema con coordenadas generalizadas x y con lagrangiana
L = T − U(x) ≡ 1
2
 ẋT ⋅ M ⋅ ẋ − 1
2
 xT ⋅ K ⋅ x. (5.6)
Cuadro 5.1 Oscilaciones 
amortiguadas
Cuando un sistema mecánico se mueve en 
un medio, la resistencia con él frena el movi-
miento, y la energía del sistema se disipa 
finalmente en forma de calor. La resistencia 
con el medio se puede describir, de un modo 
aproximado, mediante una fuerza de roza-
miento que depende de la velocidad y, para 
velocidades pequeñas, es proporcional a 
ella. La fuerza generalizada Qrk asociada a la 
coordenada xk puede obtenerse a partir de la 
llamada función de disipación de Rayleigh, 
F = 1
2
 ci j ẋ
iẋ j , por medio de Qrk = −∂ F/∂ ẋ
k. 
Se demuestra (usando argumentos termodi-
námicos) que la forma cuadrática F es simé-
trica, ci j = cji, y positiva. Las ecuaciones de 
Lagrange para las pequeñas oscilaciones, 
incluyendo este tipo de fuerzas, son
mik ẍ 
i + cik ẋ
i + kik x
i = 0, k = 1, . . ., n,
que, en notación matricial, escribiremos en 
la forma
M ⋅ ẍ + C ⋅ ẋ + K ⋅ x = 0,
siendo C la matriz de componentes cik. Bus-
cando ahora soluciones de la forma x = ueiσ t, 
llegamos a la ecuación matricial que nos 
proporciona los valores de σ y u, similar al 
caso de oscilaciones sin disipación,
(K − σ2M + iσ C) ⋅ u = 0.
Los valores de σ se obtienen de la condición 
|K − σ2M + iσ C| = 0.
Es fácil demostrar que si la matriz K es 
definida positiva (oscilaciones en torno a 
un mínimo estricto del potencial), entonces 
Re( iσ) < 0. El sistema efectúa oscilacio-
nes amortiguadas en el tiempo (estabilidad 
asintótica).
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111
6 Formalismo hamiltoniano: 
ecuaciones de Hamilton
6.1. De la lagrangiana a la hamiltoniana de un sistema
6.1.1 Ecuaciones canónicas de Hamilton
6.1.2 Estructura matemática del formalismo hamiltoniano
6.2. Transformada de Legendre y ecuaciones canónicas
6.3. El principio de Hamilton 
6.4. Notación simplética de las ecuaciones de Hamilton
6.4.1 Corchetes de Poisson
6.4.2 Leyes de conservación
6.5. Sistemas hamiltonianos
6.5.1 Transformaciones canónicas de coordenadas y momentos
6.6. El espacio de fases hamiltoniano
6.6.1 Hamiltonianos de un grado de libertad e independientes de t 
6.6.2 Hamiltonianos de un grado de libertad dependientes de t 
6.6.3 Hamiltonianos independientes de t con varios grados de libertad
6.6.4 Conservación del volumen en el espacio de fases canónico
6.6.5 Invariante integral de Poincaré-Cartan
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112
Capítulo 6 Formalismo hamiltoniano: ecuaciones de Hamilton
El conjunto de ecuaciones de Lagrange, asociadas a un sistema dinámico des-
crito por n coordenadas generalizadas, representa un sistema matemático de n 
ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, vinculadas a la interpre-
tación geométrica de punto móvil en el denominado espacio de configuración. 
Existe otra formulación alternativa a la mecánica lagrangiana, que nos lleva a 
un sistema de 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden para un 
conjunto de 2n variables dinámicas independientes. Estas ecuaciones son las lla-
madas ecuaciones de Hamilton y son la base de la formulación hamiltoniana de 
la mecánica. A pesar de que esta nueva formulación no supone, en general, una 
simplificación en la resolución matemática del problema, sí alumbra un nuevo 
marco teórico interesante, fértil en cuanto a interpretaciones físicas, y flexible 
en cuanto a proveer métodos para el análisis de sistemasdinámicos. La formula-
ción hamiltoniana encierra en sí misma nuevos conceptos innovadores, útiles y 
de enorme trascendencia en otros campos de la física, como en la física cuántica, 
mecánica estadística, etc. El análisis de cantidades conservadas puede abordarse 
aquí mediante nuevas técnicas en una formulación matemáticamente potente. En 
este capítulo se introducen los conceptos y elementos básicos de la formulación 
hamiltoniana de la mecánica.
6.1 De la lagrangiana a la hamiltoniana de un sistema
Fundamentalmente existen dos formas tradicionales de construir el forma-
lismo hamiltoniano para la mecanica —mediante el uso del carácter estacionario 
de la integral de acción, o bien mediante la aplicación a la lagrangiana de un 
sistema dado de la denominada transformación de Legendre de una función—, 
procedimientos que se tratarán también en este capítulo. Sin embargo, del mismo 
modo que se introdujo operacionalmente la lagrangiana de un sistema y el for-
malismo asociado, en esta sección se ha optado por presentar también de forma 
operacional y práctica la llamada función de Hamilton, base para la formulación 
hamiltoniana de la mecánica. Para este fin, evocamos una vez más la importan-
cia que tiene en mecánica la búsqueda de cantidades conservadas del sistema, 
y recordamos que entre las mismas hay una que tiene un significado y trascen-
dencia especiales y que se denominó función energía E, dada por
E = q̇ j ∂ L
∂ q̇ j
 − L. (6.1)
 Esta magnitud fue definida para sistemas en general, tanto holónomos como 
no holónomos ideales de n grados de libertad, y resulta ser una constante del 
movimiento en los sistemas holónomos ideales si la lagrangiana del sistema 
dinámico no depende explícitamente del tiempo. A su vez, otra magnitud 
esencial introducida en los dos primeros capítulos es el llamado momento 
canónico pj o momento conjugado a la coordenada generalizada q 
j, definido 
como 
pj = pj (q, q̇, t) ≡ 
∂ L
∂ q̇j
 . (6.2)
Est as magnitudes, ligadas únicamente a la lagrangiana L(q, q̇, t) del sistema, 
fueron esencialmente definidas con la finalidad de hallar de forma sencilla canti-
dades conservadas. Sin embargo, como se muestra a continuación, ambas sirven 
William Rowan Hamilton nació en Dublín 
(Irlanda) en 1805 y fue el cuarto de nueve 
hermanos. Desde los tres años vivió con su 
tío James Hamilton, lingüista graduado en el 
Trinity College. Con él, Hamilton demostró 
una capacidad impresionante aprendiendo 
idiomas, y a la edad de solo trece años domi-
naba una docena de lenguas entre las que 
se encontraban el latín, el griego, el hebreo, 
el persa, el sánscrito, el francés y el italiano. 
Desde muy joven mostró también un interés 
muy alto por las matemáticas, lo cual le 
empujó a entrar en el Trinity College (Dublín) 
en 1823. En 1827, le designaron profesor 
de astronomía en el Observatorio de Dusink, 
donde pasaría el resto de su carrera. 
Con 19 años, Hamilton presentó a la Royal 
Irish Academy un trabajo sobre óptica (publi-
cado en 1828) donde introduce la idea de 
“función característica óptica”. Dicha función 
está relacionada con las transformaciones 
canónicas de la mecánica clásica. En dos 
artículos publicados en 1834 y 1835, usó en 
la mecánica el formalismo que había desa-
rrollado en la óptica y obtuvo por primera vez 
las ecuaciones que hoy día llevan su nom-
bre, ecuaciones de Hamilton, presentando 
un principio variacional más general que los 
ya conocidos. El trabajo de Hamilton, comple-
tado por su contemporáneo Carl C. J. Jacobi, 
impulsó el desarrollo del cálculo variacional 
y la teoría de los sistemas de ecuaciones 
diferenciales ordinarias y derivadas parciales 
de primer orden. 
Hamilton dedicó los últimos 22 años de su 
vida al desarrollo de los cuaterniones, los 
cuales fueron otra de sus contribuciones 
más notables. Murió en Dublín en 1865, a la 
edad de 60 años. 
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113
Capítulo 6 Formalismo hamiltoniano: ecuaciones de Hamilton
de base para construir la transición entre las formulaciones lagrangiana y hamil-
toniana de la dinámica. 
Consideremos un sistema lagrangiano y su función energía asociada (6.1). 
Usando la definición del momento conjugado pj a la variable q 
j, la función ener-
gía puede reescribirse en términos de tales momentos, de las coordenadas genera-
lizadas y del tiempo. Efectivamente, de las relaciones (6.2) es posible en principio 
despejar cada q̇ j en términos de las variables (q, p, t), siempre que el determi-
nante de la matriz hessiana, ∂2L/∂q̇i∂q̇j, asociada a la transformación sea no nulo, 
al menos localmente (exigencia del teorema de la función implícita). Con las rela-
ciones funcionales 
q̇ j = q̇ j (q, p, t), ( j = 1, ..., n), (6.3)
llevadas a E (q, q̇, t), se genera una nueva función dependiente ahora de los argu-
mentos (q, p, t) y dada por 
H(q, p, t) = E(q, q̇(q, p, t), t) ≡ pj q̇
j(q, p, t) − L(q, q̇(q, p, t), t). (6.4)
La función H(q, p, t) así definida se denomina función de Hamilton o hamil-
toniana del sistema. A partir de ella pueden obtenerse las nuevas ecuaciones 
que rigen la dinámica del sistema, como veremos. Es importante señalar que 
la función H, cuyos argumentos son q, p y t, es una función diferente de la 
función E, dependiente de los argumentos q, q̇ y t. En el caso particular de una 
lagrangiana en la forma usual L = T − U, en donde el potencial U solo depende 
de las coordenadas generalizadas (y posiblemente de t), y la energía cinética, 
T(q, q̇, t), es una función homogénea de segundo grado en la velocidades gene-
ralizadas, sabemos que E = T + U, y se tendrá por lo tanto que 
H (q, p, t) = T (q, q̇ (q, p, t), t) + U (q, t).
La técnica para construir la función de Hamilton H (q, p, t) a partir de una 
lagrangiana L (q, q̇, t) se basa en aplicar los siguientes pasos elementales:
1. Calcular la función energía con (6.1).
2. Calcular los momentos canónicos aplicando la definición (6.2).
3. Despejar las q̇ j como funciones de (q, p, t), lo que requiere que la matriz hes-
siana ∂2L / ∂q̇i∂q̇j asociada a la transformación anterior sea no singular. 
4. Sustituir las q̇ j (q, p, t) en E (q, q̇ , t) para obtener finalmente la hamiltoniana 
H (q, p, t) = E (q, q̇(q, p, t), t).
6.1.1 Ecuaciones canónicas de Hamilton
Las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema para las variables 
“independientes” (q, p), llamadas ecuaciones canónicas de Hamilton, pueden obte-
nerse directamente evaluando la diferencial de H desde (6.1) y (6.4). Escribamos 
H como una función implícita de q, p y t, en la forma
H = q̇ j pj − L (q, q̇, t), pi = 
∂ L
∂ q̇i
, (i = 1, ..., n), (6.5)
Cuadro 6.1 Formalismo hamiltoniano 
en medios continuos. Ejemplo (1/2)
La mayor parte de las técnicas y herra-
mientas del formalismo hamiltoniano para 
sistemas con un número finito de grados 
de libertad puede extenderse a medios con-
tinuos. En este ejemplo vamos a encontrar 
la ecuación del movimiento de una viga 
de masa M, longitud �, sección transver-
sal A y módulo de Young E, empotrada en 
un extremo, partiendo de las ecuaciones 
de Hamilton. El lector puede encontrar un 
desarrollo parecido, usando la formulación 
lagrangiana, en el Capítulo 3 (Cuadro 3.5).
Tras dividir la viga en N trozos iguales y sus-
tituir cada trozo por una partícula de masa 
m = M/N conectada a sus partículas adya-
centes por sendos muelles de constante 
elástica k = EA/�0 y longitud natural �0 = �/N, 
la lagrangiana del sistema discreto es (ver 
Capítulo 3)
L = 
ℓ
0
2
 ∑
N
j=1
 λu̇ j2 − 
∑
N−1
j=1
EA 
u j + 1 − u j
�
0
2
y la ecuación del movimiento de la partícula j
λü j − AE (u 
j + 1 − 2u j + u j − 1)
�
0
2
 = 0
donde u j(t) es el desplazamiento de la masa 
j respecto de su posición de equilibrio y λ = 
M/� = m/�0 la densidad lineal de la viga.
Para encontrar las ecuaciones de Hamilton 
del problema discreto,introducimos en primer 
lugar el momento de la partícula j
pj = 
∂L
∂u̇ j
 = �0 λu̇ 
j
y la hamiltoniana 
H = u̇ j pj − L.
Sustituyendo los resultados anteriores, 
encontramos que 
H = 
ℓ
0
2
 
∑
N
j=1
1
λ
 
pj
�
0
2
 + 
∑
N−1
j=1
EA 
u j + 1 − u j
�
0
2
y las ecuaciones de Hamilton
u̇ j = ∂ H/∂ pj, ṗj = −∂ H/∂u 
j
resultan, entonces,
u̇ j = 1
λ
 
pj
�
0
, 
ṗj
�
0
 = EA (u 
j + 1 − 2u j + u j − 1)
�
0
2
.
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145
7 Teoría de Hamilton-Jacobi
7.1 Funciones generatrices y transformaciones canónicas
7.2 Ecuación de Hamilton-Jacobi
7.2.1 La acción como una función de las coordenadas
7.3 Método de Hamilton-Jacobi de integración de las ecuaciones 
del movimiento
7.4 Sistemas separables
7.4.1 Hamiltoniana independiente del tiempo y separable
7.4.2 Hamiltoniana independiente del tiempo y con coordenadas cíclicas
7.4.3 Coordenadas separables
7.5 Teorema de Liouville sobre los sistemas integrables
7.6 Variables acción-ángulo
7.6.1 Variables acción-ángulo en sistemas de un grado de libertad
7.6.2 Variables acción-ángulo en sistemas de n grados de libertad
7.6.3 Geometría del movimiento en sistemas integrables
7.6.4 Invariantes adiabáticos
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146
Capítulo 7 Teoría de Hamilton-Jacobi
La denominada ecuación de Hamilton-Jacobi que veremos en este capítulo 
constituye una formulación alternativa y completa de la mecánica clásica. Esta 
alternativa proviene y surge, históricamente, de la óptica geométrica y su corres-
pondiente principio variacional (principio de Fermat), que guió su desarrollo. 
Una vez más, los principios variacionales aplicados inicialmente en el campo de 
la óptica se llevan a la mecánica como una contribución profunda que perdura 
hasta nuestros días. La formulación de la mecánica basada en la ecuación de 
Hamilton-Jacobi (H J) permitió una descripción equivalente de ondas y partícu-
las. En realidad, constituyó un final largamente buscado desde Johann Bernoulli 
en el siglo XVIII, el cual persiguió una analogía entre la propagación de ondas y 
partículas. Esta analogía llevó a Schrödinger en el siglo XX a la búsqueda de una 
ecuación para su mecánica ondulatoria, o mecánica cuántica, al generalizar la 
ecuación de H J.
El método de Hamilton-Jacobi de integración de las ecuaciones canónicas de 
Hamilton aporta una perspectiva nueva. En lugar de centrarse en el conjunto de 
ecuaciones diferenciales ordinarias de Hamilton, nos volcamos en la resolu-
ción de una ecuación en derivadas parciales, la ecuación de HJ. En particu-
lar, investigaremos su resolución con la técnica de separación de variables en las 
coordenadas apropiadas. Si dicha ecuación es completamente separable, podre-
mos encontrar su solución, lo que nos llevará a determinar un número suficiente 
de leyes de conservación o cantidades conservadas que nos permita resolver las 
ecuaciones canónicas de Hamilton por cuadraturas. La equivalencia entre un 
número suficiente de cantidades conservadas y la separación de variables en la 
ecuación de HJ, y por tanto su integración, es completa. 
7.1 Funciones generatrices y transformaciones canónicas
En el capítulo anterior vimos que las ecuaciones canónicas de Hamilton de un 
sistema con hamiltoniana H(q, p, t), 
q̇ j = ∂ H
∂ pj
 , ṗ j = − 
∂ H
∂ q j
 , j = 1, …, n, (7.1)
conservan la forma en una transformación de coordenadas y momentos, q = q (Q, 
P, t) y p = p (Q, P, t), que sea canónica. Es decir, existe una función H′ (Q, P, t), tal 
que las ecuaciones (7.1) en las nuevas variables Q, P se escriben
Q̇ j = ∂ H′
∂ Pj
 , Ṗ j = − 
∂ H′
∂ Q j
 , j = 1, …, n. (7.2)
Vimos también, en el capítulo anterior, el algoritmo que nos permitía comprobar 
que una transformación fuera canónica (M · J · M T = J); sin embargo, no dispo-
níamos de un algoritmo simple para generar o inventarnos una transformación 
canónica. De igual modo, excepto en el caso de que la transformación fuera inde-
pendiente del tiempo, desconocíamos cómo obtener la nueva hamiltoniana H′ (Q, 
P, t), y qué relación tiene con la antigua hamiltoniana H (q , p, t). Para construir 
una técnica general y eficiente que genere transformaciones canónicas, parece 
lógico apoyarse en una base teórica sólida que sirva para establecer las ecuacio-
nes de Hamilton. La referencia teórica más útil y rigurosa para este fin es el prin-
cipio de Hamilton, presentado en el capítulo anterior. De hecho, las expresiones 
Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-1851) nació 
en Potsdam (Prusia) el 10 de diciembre de 
1804. Hijo de una próspera familia de ban-
queros judíos y con un talento precoz para 
las matemáticas, Jacobi se doctoró y obtuvo 
una plaza de Privatdozent en la Universi-
dad de Berlín con tan solo veinte años. Al 
igual que otras muchas profesiones, la de 
profesor estaba vetada para los judíos en 
Alemania, por lo que decidió convertirse al 
cristianismo. Ante la falta de expectativas 
de promoción en Berlín, Jacobi se trasladó 
en 1826 a Königsberg (actual Kaliningrado, 
Rusia) donde ejerció primero como confe-
renciante y, a partir de 1832, como profe-
sor. Su labor docente fue muy destacada y 
siempre gozó de una excelente reputación 
como maestro por atraer y estimular a sus 
alumnos. Durante su etapa en Königsberg, 
coincidió con el prestigioso matemático y 
astrónomo Friedrich Bessel y se puso en 
contacto con otras figuras notables de la 
época, como Gauss y Legendre. Su hermano 
Moritz, quien también era un notable físico, 
se trasladó allí con él. Sin embargo, la cri-
sis económica en Prusia y la búsqueda de 
un clima menos extremo que beneficiara su 
delicada salud empujaron a Jacobi a regre-
sar a Berlín en 1844. Allí murió en 1851 tras 
contraer la viruela.
Jacobi contribuyó notablemente a varios 
campos de las matemáticas y la física. 
De manera independiente al matemático 
noruego Niels Henrik Abel, con quien man-
tuvo cierta pugna, ideó la teoría de las fun-
ciones elípticas. En álgebra destacan sus 
aportaciones sobre las formas cuadráticas. 
Introdujo la teoría general de determinantes, 
las matrices que hoy en día se llaman jaco-
bianas en su honor, y realizó aportaciones a 
la teoría de números y las ecuaciones dife-
renciales. Su hermano estimuló el interés de 
Jacobi por la física, a la que contribuyó en 
áreas como la mecánica celeste. La integral 
de Jacobi, una constante del movimiento en 
el problema de los tres cuerpos restringido, 
lleva su nombre en su honor.
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147
Capítulo 7 Teoría de Hamilton-Jacobi
Cuadro 7.1 Breve historia de la 
ecuación de Hamilton-Jacobi (1/2)
La historia de la ecuación de Hamilton-Jacobi 
(HJ) constituye un caso singular de la creación 
de una teoría matemática nueva y original 
que es reinterpretada y extendida casi inme-
diatamente. En un periodo de tan solo unos 
cuatro años, entre 1834 y 1837, se lograron 
conectar las ecuaciones del movimiento de 
la mecánica con una nueva y fundamental 
ecuación en derivadas parciales. Esta revolu-
ción para la mecánica vino acompañada del 
descubrimiento por parte de Jacobi en 1836 
de un nuevo invariante en el problema de los 
tres cuerpos. Desde Newton y Lagrange en 
los siglos XVII y XVIII, la mecánica no había 
experimentado un avance similar.
El origen de la ecuación de HJ se encuen-
tra en los intentos por parte de Hamilton de 
construir una teoría para la mecánica a par-
tir de sus trabajos en óptica geométrica. En 
ese campo, Hamilton había encontrado una 
función característica (la longitud de camino 
óptico) a partir de la cual se podía encontrar 
la trayectoria de los rayos y se preguntaba 
por la existencia de un análogo para las tra-
yectorias de las partículas. En suartículo 
“On a General Method in Dynamics” de 1834, 
tomó como punto de partida el principio de 
d’Alembert (axioma de la mecánica analítica 
de Lagrange) y restringió el análisis a proble-
mas con fuerzas independientes del tiempo. 
Hamilton encontró una función característica 
a partir de la cual derivó las ecuaciones del 
movimiento. Prácticamente al final del artí-
culo, introdujo la función auxiliar S y escribió 
dos ecuaciones en derivadas parciales de pri-
mer orden que dicha función debía satisfacer.
En un artículo posterior de 1835, Hamilton 
desarrolló estas ideas y denominó a S como 
función principal. Para Hamilton, una de las 
aplicaciones más importantes de su función 
principal era lo que hoy se conoce como el cál-
culo de problemas con perturbaciones. En ellos, 
si se conoce la solución de la dinámica del pro-
blema sin perturbar, se pueden encontrar apro-
ximaciones sucesivas que incluyen el efecto de 
las fuerzas de perturbación. Estos métodos son 
muy utilizados en varios campos de la física y, 
en particular, en mecánica celeste. 
Es importante señalar que Hamilton notó 
que las ecuaciones de Lagrange se podían 
obtener a partir de la condición δ S = 0. Sin 
embargo, para él dicha ecuación era una 
consecuencia de su teoría y no un axioma 
fundamental en mecánica. Por tanto, la deri-
vación de su teoría a partir de las ecuaciones 
del movimiento fue diferente a la que usó en 
óptica geométrica, en donde su punto de par-
tida fue el principio variacional de Fermat. 
que definen las transformaciones canónicas pueden obtenerse fácilmente usando 
dicho principio. En concreto, en las variables canónicas originales (q , p), este prin-
cipio se escribe matemáticamente como 
δ 
t2
t1
 ( pj dq j − H (q , p, t) dt) = 0. (7.3)
Dado que se pretende que en las nuevas variables se satisfagan las ecuaciones 
canónicas (7.2), deberá cumplirse análogamente
δ 
t2
t1
 ( P j d Q j − H′ (Q, P, t) dt) = 0, (7.4)
que es el principio de Hamilton en términos de las nuevas variables. En aras de 
proceder de la forma más general posible, se puede reescribir también, como ya 
vimos en el Capítulo 6, en la forma
δ 
t2
t1
 ( P j d Q j − H′ (Q, P, t) dt + d F) = 0, (7.5)
donde se ha introducido en el integrando la diferencial total de una función arbi-
traria F dependiente de las coordenadas, de los momentos y del tiempo en gene-
ral. Como se estableció en capítulos anteriores, la adición de d F no modifica las 
ecuaciones del movimiento, al no introducir cambio alguno en el cálculo varia-
cional, pues
δ 
t2
t1
 d F
dt
 dt = δ (F (t2 ) − F (t1)) = 0. (7.6)
Atendiendo ahora a la equivalencia entre las dos formulaciones anteriores del 
principio de Hamilton [ecuaciones (7.3) y (7.5)], podemos escribir en consecuencia 
la siguiente identidad (obviando cualquier constante multiplicativa) 
pj dq 
j − H dt = P j d Q
j − H′ dt + d F. (7.7)
En la ecuación anterior, la función F es una función de q, p y t (o bien de Q, P 
y t). Dada una transformación canónica cualquiera, por 2n funciones Q (q, p, t) 
y P (q , p, t) de las 2n variables q, p y de t, la ecuación (7.7) nos dice que la expre-
sión lineal en los diferenciales (d q , d p y dt), pj dq 
j − P j d Q
j − (H − H ′ ) dt, es 
una diferencial exacta. La pregunta que nos hacemos es si la función F se puede 
expresar en función de 2n variables independientes cualesquiera, escogidas de 
entre el conjunto de 4n variables (q, p y Q, P) que aparecen en las 2n ecuaciones 
de la transformación canónica.
 ■ Función generatriz tipo 1
Supongamos que escogemos como 2n variables independientes las coordena-
das q y Q [siendo Q (q, p, t)], de modo que a partir de (q, Q) podemos determinar 
p. Por el teorema de la función implícita, se deberá cumplir que el determinante 
de la matriz jacobiana de la transformación, (q , Q) ↔ (q, p), sea distinto de cero,
 
∂ (q , Q)
∂ (q , p)
  ≡  ∂ Q
∂ p
  ≠ 0. (7.8)
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189
8 Soluciones regulares 
en sistemas dinámicos
8.1 Sistemas dinámicos continuos y discretos
8.1.1 El espacio de estados
8.1.2 Estabilidad orbital
8.1.3 Sistemas disipativos y no disipativos 
8.2 Soluciones de equilibrio de sistemas continuos
8.2.1 Análisis de estabilidad
8.2.2 Estudio de un sistema dinámico bidimensional
8.2.3 Teorema de Lagrange
8.3 Puntos fijos o de equilibrio de sistemas discretos
8.3.1 Análisis de estabilidad 
8.4 Órbitas periódicas de sistemas continuos
8.4.1 Teorema de Poincaré-Bendixson
8.4.2 Estabilidad de órbitas periódicas
8.4.3 Resonancia paramétrica
8.5 Órbitas periódicas de sistemas discretos
8.6 Órbitas cuasiperiódicas de sistemas continuos
8.7 Órbitas homoclínicas y heteroclínicas 
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190
Capítulo 8 Soluciones regulares en sistemas dinámicos
Cuadro 8.1 ¿Qué es un sistema 
dinámico determinista? 
En un sistema dinámico determinista, una 
máquina u operador T recibe el estado del 
sistema x(t0) en un instante t0 y, aplicando 
una serie de reglas fijas, obtiene el estado 
x(t1) en un instante diferente t1 (Fig. 8.C1). 
La palabra fija se usa aquí para resaltar que 
no hay ni azar ni ruido en las reglas del opera-
dor: dado un estado x(t0), siempre devuelve el 
mismo x(t1). El funcionamiento del operador 
puede depender de un conjunto de parámetros 
μ. Sin embargo, dados estos, las operaciones 
que realizará para calcular x(t1) a partir de 
x(t0) están totalmente fijadas. 
Figura 8.C1 Esquema de un sistema diná-
mico determinista.
Por ejemplo, consideremos un sistema diná-
mico que permite como estados las letras 
del abecedario y su funcionamiento es el 
siguiente. El estado en un instante es la 
letra que tiene posición en el abecedario cal-
culada de la siguiente manera: se multiplica 
la posición del estado anterior por dos y al 
resultado le restamos el número dos. Si la 
condición inicial es la letra c, la evolución del 
sistema dinámico es
c, d, f, j…
La letra b es una posición de equilibrio ya 
que, usándola como condición inicial, encon-
tramos la secuencia
b, b, b, b…
Cuando un sistema no es determinista, es 
decir, en las leyes que permiten calcular el 
estado futuro existen procesos aleatorios, 
decimos que el sistema dinámico es esto-
cástico o aleatorio. El ejemplo anterior sería 
un sistema aleatorio si, en lugar de restar dos 
posiciones, restáramos tantas posiciones 
como indicara el resultado de lanzar un dado.
Una vez escritas las ecuaciones del movimiento de un sistema físico, utilizando 
por ejemplo el formalismo lagrangiano o hamiltoniano, uno se pregunta qué tipo 
de soluciones presentan y cómo se comportan al ser perturbadas. Estas cuestio-
nes han sido tratadas en los capítulos anteriores, pero limitando el análisis a sis-
temas muy particulares. Por ejemplo, el Capítulo 5 presta atención a la existencia 
y estabilidad de las posiciones o puntos de equilibrio en sistemas lagrangianos. 
En el Capítulo 7, dedicado a la teoría de Hamilton-Jacobi, aparecieron de manera 
natural las órbitas periódicas y cuasiperiódicas al estudiar la geometría del movi-
miento de los sistemas hamiltonianos integrables. Sin embargo, como ya se ha 
ido avanzando a lo largo del libro, hay sistemas físicos que no son lagrangianos 
ni hamiltonianos, y solo en contadas ocasiones son además integrables. Por ese 
motivo, ahora que conocemos las propiedades de estos sistemas particulares y las 
herramientas básicas para analizarlos, es el momento de generalizar los conceptos 
para cualquier sistema dinámico.
La teoría de sistemas dinámicos fue fundada por H. Poincaré a finales del siglo 
XIX, pero no fue hasta la segunda mitad del siglo XX cuando sufrió una autén-
tica revolución gracias al descubrimiento de lo que hoy conocemos como caos 
determinista. Las ideas y descubrimientos de científicos como A. N. Kolmogorov, 
V.I. Arnold, L. P. Shilnikov, E. Lorenz, S. Smale, M. Feigenbaum y B. Mandelbrot, 
entre otros, han tenido un impacto enorme en multitud de disciplinas como la 
física, las matemáticas, la ingeniería, la biología y la economía. El motivo de este 
desarrollo tan tardío es debido a que la determinación de las soluciones de un 
sistema dinámico no lineal y el estudio de su estabilidad requieren, en general, 
un análisis combinado de técnicas analíticas y numéricas. El ordenador es una 
herramienta fundamental. Actualmente existen programas (MATLAB, Maple, 
Mathematica, AUTO) con los que, con un mínimo de manipulaciones, se pueden 
investigar y verificar numéricamente muchos de los aspectos teóricos. Los pro-
gramas de MATLAB que acompañan a este libro permiten precisamente potenciar 
el uso combinado de la teoría del texto con las técnicas numéricas. Su uso permite 
profundizar de manera amena en conceptos teóricos, y visualizar e interaccionar 
con las soluciones de los ejemplos. Animamos al lector a jugar con los programas 
de ordenador mientras lee los Capítulos 8, 9 y 10. En los cuadros adjuntos se 
indican los nombres de los programas relacionados con la teoría explicada en el 
texto principal y, en algunos casos, una descripción breve del algoritmo numérico 
implementado. 
Veamos a continuación, y en orden creciente de complejidad, las llamadas solu-
ciones regulares, es decir, posiciones de equilibrio y órbitas periódicas, cuasiperió-
dicas, homoclínicas y heteroclínicas.
8.1 Sistemas dinámicos continuos y discretos
Para una gran variedad de sistemas físicos, por ejemplo, los sistemas mecá-
nicos discutidos en los capítulos anteriores, la dinámica viene gobernada por un 
sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, es decir,
dx
d t
 = f(x, t; μ), ( 8.1)
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191
Capítulo 8 Soluciones regulares en sistemas dinámicos
donde al vector x ∊ 핉N se le llama vector de estado, f es un campo vectorial 
sobre 핉N con componentes f1, ..., fN y μ ∊ 핉
M es un vector que contiene M pará-
metros del sistema. A la solución x(t) del sistema, que depende tanto del vector 
μ como de las condiciones iniciales x0 ≡ x(t = 0), se le conoce como órbita o 
trayectoria y, en general, se determina mediante una integración numérica del 
sistema (8.1). En el Cuadro 8.2 se presenta un método numérico sencillo para 
integrar ecuaciones diferenciales numéricamente. Si el tiempo no aparece de 
manera explícita en la ecuación diferencial, se dice que el sistema es autónomo. 
De aquí en adelante omitiremos la dependencia explícita de f con μ para sim-
plificar la notación. 
Un ejemplo de sistema dinámico no autónomo es un péndulo simple con roza-
miento viscoso proporcional a la velocidad y forzado periódicamente en el tiempo, 
con amplitud a0 y frecuencia Ω. Su ecuación del movimiento es 
θ̈ + 2γθ̇ + ω20 sinθ = a0 cosΩt, (8.2)
donde θ e s el ángulo que forma el péndulo con la vertical, ω0 la frecuencia natu-
ral de oscilación de ángulo pequeño y γ el coeficiente viscoso. La ecuación (8.2) 
se escribe como la (8.1) sin más que definir los vectores x = (θ̇, θ), f = (–2γθ̇ – 
ω 20 sinθ + a0 cosΩt, θ̇) y μ = (γ, ω0, a0, Ω).
Los sistemas dinámicos gobernados por ecuaciones del tipo (8.1) se llaman 
sistemas continuos. También son de gran interés los sistemas discretos o mapas, 
cuyo estado xk+1 en el instante tk+1 depende de su estado xk en el instante tk a 
través de la ecuación
xk+1 = f (xk , k; μ), k = 0, 1, …, (8.3)
siendo k un entero y f (xk , k; μ) u na función vectorial sobre 핉 
N, en general, no 
lineal. Se dice que el sistema discreto es autónomo si el campo f no depende explí-
citamente del índice k, como argumento del campo. No obstante, supondremos 
de aquí en adelante que el sistema dinámico discreto es autónomo y omitiremos 
también la dependencia explícita de f con el vector de parámetros μ para simplificar 
la notación. La trayectoria iniciada en x0 es la secuencia de puntos x0 , f (x0 ), 
f (f (x0 )), ..., que resulta de iterar la aplicación o mapa f. También puede escri-
birse como 
{x0 , f (x0 ), f (2) (x0 ), …}, (8.4)
donde hemos denotado con f (n ) (x) a la iteración n-ésima. Un ejemplo famoso de 
sistema discreto unidimensional es el mapa logístico
xk+1 = r xk (1 − xk ), (8.5)
en donde el escalar r es un parámet ro del sistema. Entre otras aplicaciones, los 
sistemas discretos aparecen de manera natural al hacer ciertos cálculos numé-
ricos relacionados con los sistemas continuos. Dos ejemplos son la integración 
numérica de ecuaciones diferenciales y el cómputo de sus posiciones de equilibrio 
(ver Cuadros 8.2 y 8.4). 
Cuadro 8.2 Integración numérica de 
ecuaciones diferenciales ordinarias
Existe una amplia variedad de algoritmos 
para integrar ecuaciones diferenciales ordi-
narias numéricamente. El más sencillo es el 
método de Euler, en donde un sistema con-
tinuo de la forma 
dx
dt
 = f (x, t) ,
siendo x el vector de estado y t la variable 
independiente, se aproxima por el mapa
xj+1 = xj + 	t × f (xj, tj),
donde 	t es un incremento pequeño de la 
variable independiente. Conocida la condi-
ción inicial x0 en el instante t0, la iteración 
del mapa proporciona la sucesión de puntos 
que aproxima la órbita continua x(t). Para 
integraciones largas de sistemas hamilto-
nianos conviene usar integradores simpléti-
cos, ya que son esquemas que conservan la 
2-forma diferencial dp ∧ dq. 
En la Figura 8.C2 se muestra un ejemplo de 
trayectoria numérica del sistema de Lorenz 
dx
dt
 = a(y – x), 
dy
dt
 = x(b – z) – y,
dz
dt
 = xy – cz,
siendo a, b y c parámetros del sistema. En 
este caso, que el lector puede investigar 
mediante el programa ODE_Orbitas.m, la 
integración se ha llevado a cabo con otro 
método también muy popular llamado Run-
ge-Kutta. Con este programa, el lector puede 
investigar el efecto que produce cambiar las 
condiciones iniciales y los parámetros. 
0
20
50
40
60
0
2010–50 0–10–20
Figura 8.C2 Atractor de Lorenz calculado con 
el programa ODE.m siendo a = 10, b = 28 y 
c = 8/3.
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221
9 Bifurcaciones y métodos 
aproximados en sistemas 
no lineales
9.1 Bifurcaciones
9.1.1 Bifurcaciones de posiciones de equilibrio
9.1.2 Bifurcaciones de órbitas periódicas
9.1.3 Bifurcaciones de órbitas homoclínicas y heteroclínicas
9.2 Algunos métodos analíticos aproximados
9.2.1 Movimiento en un campo periódico de alta frecuencia
9.2.2 Método de Lindstedt-Poincaré
9.2.3 Método de promedio
9.2.4 Resonancia no lineal
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222
Capítulo 9 Bifurcaciones y métodos aproximados en sistemas no lineales
Tras estudiar en el capítulo anterior las soluciones regulares de los sistemas 
dinámicos, y antes de abordar el análisis de las soluciones caóticas en el siguiente, 
es conveniente prestar atención a las bifurcaciones que pueden experimentar las 
soluciones regulares al variar un parámetro del sistema. Esta aproximación ayu-
dará a entender mejor el próximo capítulo, ya que pone de relieve de manera explí-
cita algunas de las posibles rutas hacia el caos. Por ejemplo, existe un escenario 
llamado cascada de Feigenbaum en el que, al variar un parámetro, aparecen solu-
ciones periódicas de complejidad creciente que terminan resultando en soluciones 
no regulares o caóticas. La cascada está presente en el Ejemplo 8 del Capítulo 8, 
el cual retomamos ahora para organizar sus resultados en un diagrama de bifur-
cación (ver Cuadro 9.1). El estudio de las bifurcaciones de soluciones regulares 
nos permite intuir la aparición de soluciones caóticas incluso antes de estudiar 
sus propiedades. En este capítulo también se comienza a comprenderla estrecha 
relación que existe entre el caos y los fractales, es decir, formas geométricas irre-
gulares y fragmentadas cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. 
El segundo bloque del capítulo presenta algunos métodos analíticos aproxima-
dos para estudiar sistemas dinámicos no lineales. La no-linealidad abre un abanico 
sorprendente de posibilidades y comportamientos que no son posibles en los sis-
temas lineales. En algunos de los ejemplos mostrados, los métodos de perturba-
ciones que se implementan permiten encontrar relaciones analíticas que muestran 
de manera explícita la existencia de bifurcaciones, y la aparición de fenómenos 
interesantes como la existencia de múltiples soluciones para el mismo valor de 
los parámetros del sistema y la histéresis, entre otros. Los métodos aproximados 
también son útiles para encontrar soluciones semilla con las que iniciar los algo-
ritmos numéricos de determinación de órbitas. Este capítulo hace, por tanto, de 
puente entre lo regular y lo complejo.
9.1 Bifurcaciones
A menudo uno no está interesado únicamente en qué tipo de soluciones pre-
senta el sistema dinámico y en su estabilidad local, objetivo del Capítulo 8, sino 
también en qué les ocurre a dichas soluciones cuando alguno de los parámetros 
físicos del sistema dinámico cambia. Es lo que se denomina análisis de bifur-
cación o estabilidad estructural del sistema. Es importante señalar, que cuando 
mencionamos que un parámetro cambia o varía, no queremos decir que lo haga en 
el tiempo. El parámetro es constante, y el análisis de bifurcación intenta averiguar 
qué le ocurre al sistema dinámico para diferentes valores de éste, es decir, plantea 
una colección de problemas. Al parámetro que varía se le conoce como parámetro 
de bifurcación o control. La casuística o escenarios de bifurcación es muy amplia 
e incluye la pérdida de estabilidad de las soluciones, su destrucción o la aparición 
de otras nuevas con igual o diferente carácter que la que se venía estudiando. Las 
bifurcaciones ocurren tanto en sistemas continuos como en sistemas discretos, 
y habitualmente los resultados se organizan en un diagrama, llamado de bifurca-
ción. En él se presenta en un eje el parámetro de bifurcación y, en el otro, alguna 
magnitud relacionada con el espacio de estados, como por ejemplo el valor de una 
variable de estado cuando alcanza un extremo, etc. Se denomina punto de bifur-
cación al lugar geométrico en dicho diagrama en donde se produce un cambio de 
carácter en las soluciones del sistema.
Cuadro 9.1 Diagrama de bifurcación 
en el mapa logístico (1/2)
Los resultados analíticos que se encontraron 
en el Ejemplo 8 del Capítulo 8 sobre el mapa 
logístico se pueden organizar de manera 
efectiva en un diagrama de bifurcación (ver 
Fig. 9.C1a). En él se presenta en abscisas 
el parámetro de bifurcación r y en ordenadas 
los valores de xn para un número grande de 
iteraciones. Para generar la secuencia xn con 
un cierto valor del parámetro r, se itera el 
mapa con condición inicial arbitraria y se eli-
mina de la serie el transitorio. Obviamente, 
con este procedimiento solo se pintan las 
soluciones estables (atractores) en el dia-
grama de bifurcación. 
En el Capítulo 8 se demostró analíticamente 
que los puntos fijos x1 = 0 y x2 = (r − 1)/r 
intercambian su estabilidad cuando el pará-
metro es r = 1 (bifurcación transcrítica). Por 
ese motivo en el diagrama vemos el punto 
fijo x1 cuando r < 1 y el punto x2 si r > 1. 
El punto fijo x2 es estable en el rango 1 < r 
< 3 y se desestabiliza en r = 3 a través de 
una bifurcación a periodo doble que da lugar 
a una rama estable de órbitas periódicas 
de periodo 2. Dicha órbita periódica aparece 
en el diagrama como dos ramas. Sabemos 
que se desestabiliza en r = 1 + 6 debido a 
otra bifurcación a periodo doble que origina 
una rama estable de órbitas periódicas con 
periodo 4 (cuatro ramas en el diagrama de 
bifurcación).
Figura 9.C1a Diagrama de bifurcación del 
mapa logístico.
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223
Capítulo 9 Bifurcaciones y métodos aproximados en sistemas no lineales
Las bifurcaciones pueden clasificarse en locales y globales. Las primeras se 
refieren a un cambio en las inmediaciones de una solución particular. Por ejemplo, 
una bifurcación local es el cambio de estabilidad de una posición de equilibrio o 
de una órbita periódica al variar un parámetro de bifurcación. Al resto de bifur-
caciones se les denomina globales y, como su propio nombre indica, involucran 
cambios que afectan a la dinámica del sistema en regiones amplias del espacio 
de los estados. Dos ejemplos de bifurcaciones globales al variar un parámetro 
son la explosión de una solución caótica en otra más grande, o la desaparición 
de una solución estable y la convergencia de las órbitas del sistema hacia otra 
remota. A continuación, se clasifican las bifurcaciones locales para algunos tipos 
de soluciones regulares estudiadas en el Capítulo 8. Es importante señalar que no 
se consideran los casos degenerados, los cuales pueden encontrarse discutidos en 
libros especializados sobre teoría de bifurcación. En el Capítulo 10 se menciona-
rán algunas bifurcaciones de soluciones caóticas (crisis). 
9.1.1 Bifurcaciones de posiciones de equilibrio
Supongamos un sistema continuo y autónomo, de dimensión N, como el estu-
diado en la Sección 8.2 del capítulo anterior. Llamemos α al parámetro de con-
trol, y sea x = xe una posición de equilibrio, es decir, una solución de f (x, α) 
= 0. Como ya vimos, el carácter de la estabilidad local de dicha posición viene
determinada por la parte real de los autovalores λ j de la matriz jacobiana A del 
campo f evaluado en xe . Es asintóticamente estable si Re (λ j ) < 0 con j = 1, ..., 
N, e inestable si existe algún autovalor con parte real positiva. Dado que el campo 
f depende del parámetro α, los autovalores también estarán controlados por él. Si 
existe un valor α = α* en el cual la parte real de un autovalor complejo se hace 
nula, entonces se dice que en α = α* existe un punto de bifurcación. Cuando el 
autovalor es real, la bifurcación se denomina estática y existen tres escenarios.
• Bifurcación silla-nodo. Dos ramas de posiciones de equilibrio, una estable y otra 
inestable, se encuentran en el punto de bifurcación α = α* . A un lado del punto
de bifurcación existen dos soluciones y, al otro lado, ninguna (ver Fig. 9.1a).
• Bifurcación horca. En el punto de bifurcación confluyen cuatro ramas de
puntos fijos. Si la bifurcación es de tipo horca supercrítica (esquema izquierdo 
de la Figura 9.1b), se encuentra una rama estable a un lado de la bifurca-
ción y dos ramas estables y otra inestable al otro lado. En el caso subcrítico
(esquema derecho), existe una rama inestable a un lado y dos inestables y
otra estable al otro. A diferencia de la bifurcación silla-nodo, en una bifurca-
ción horca las ramas no tienen la misma tangente en el punto de bifurcación.
• Bifurcación transcrítica. Dos ramas de puntos fijos intercambian su estabilidad
en el punto de bifurcación (Fig. 9.1c). Las ramas confluyen con diferente tangente.
Si existe una pareja de autovalores complejos conjugados cuya parte real se hace 
cero en α = α*, entonces la bifurcación se denomina dinámica y existe una única 
tipología:
• Bifurcación de Hopf. Una posición de equilibrio cambia de estabilidad en el
punto de bifurcación, donde además nace una rama de órbitas periódicas. En
la bifurcación de Hopf supercrítica hay una posición de equilibrio estable a un
lado de la bifurcación y, una posición de equilibrio inestable y una rama de
Cuadro 9.1 Diagrama de bifurcación 
en el mapa logístico (2/2)
Es evidente en la Figura 9.C1a que la cascada 
de bifurcaciones no acaba en r = 1 + 6 , 
sino que el proceso de desestabilización de 
órbitas periódicas junto con el nacimiento de 
nuevas ramas con un periodo doble al anterior 
continúaal aumentar r. Las bifurcaciones ocu-
rren cada vez en intervalos de r más cortos, y 
finalmente se observa una solución que en el 
diagrama parece rellenar un segmento del eje 
de ordenadas. Para r > 3.57, existe un atrac-
tor caótico, el cual se estudiará con mayor 
detalle en el Capítulo 10.
Este escenario de bifurcación se denomina 
Cascada de Feigenbaum. En la Figura 9.C1b 
se muestra un diagrama de tela de araña del 
mapa logístico con un valor de r para el cual 
la solución es caótica. Al verla, se comprende 
por qué en el diagrama de bifurcación 9.C1a 
se tiene una colección de puntos distribuidos 
en el eje de ordenadas para un valor fijo del 
parámetro cuando el atractor es caótico. 
También es interesante observar que el dia-
grama de bifurcación en la región caótica se 
repite a diferentes escalas (ver detalle en 
la Figura 9.C1a). Existen ventanas donde la 
dinámica es periódica, y dichas órbitas expe-
rimentan a su vez bifurcaciones de doblado 
de periodo dando lugar a cascadas de Fei-
genbaum en una escala menor. El diagrama 
de bifurcación es un fractal (fractal de Fei-
genbaum) que tiene la propiedad de autosi-
militud (ver Cuadro 9.3).
Figura 9.C1b Órbita caótica del mapa logís-
tico con r = 3.6.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r = 3.6
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10 Caos determinista
10.1 Algunas propiedades del caos
10.2 Sistemas hamiltonianos casi integrables
10.2.1 Denominadores pequeños
10. 2.2 Métodos de perturbaciones clásicos
10.2.3 El teorema KAM
10.2.4 Espacio de fases en sistemas casi integrables
10.2.5 Difusión de Arnold y ergodicidad
10.3 Caos disipativo
10.3.1 Cascada de Feigenbaum
10.3.2 Crisis
10.3.3 Intermitencia
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248
Capítulo 10 Caos determinista
El teorema de Liouville introducido en el Capítulo 7 nos garantiza que, si un 
sistema hamiltoniano de n grados de libertad admite n leyes de conservación 
independientes y en involución, entonces el sistema es integrable por cuadra-
turas. Como consecuencia, las trayectorias yacen sobre toros y la dinámica es 
regular. Es decir, las órbitas admisibles son las posiciones de equilibrio, las órbitas 
periódicas y las cuasiperiódicas discutidas en el Capítulo 8. Sin embargo, también 
sabemos que los sistemas integrables, aunque ocupan gran espacio en los libros 
de mecánica, son más bien excepcionales y la gran mayoría de los sistemas que 
interesan a físicos e ingenieros no lo son (¡ni tampoco hamiltonianos!). Por ello, 
hemos reservado este último capítulo a los sistemas no integrables que, además 
de las ya mencionadas soluciones regulares, pueden presentar órbitas irregulares 
o caóticas. 
En varias ocasiones a lo largo de esta obra nos hemos encontrado ya con 
las huellas del caos determinista. La más evidente fue en el Capítulo 9, cuando 
vimos que las órbitas periódicas del mapa logístico podían hacerse cada vez más 
complejas a través de una sucesión de bifurcaciones a periodo doble (cascada 
de Feigenbaum) al variar un parámetro. En otras, se ha puesto de manifiesto 
que sistemas deterministas aparentemente sencillos y con términos no lineales 
pueden dar lugar a estructuras asombrosamente irregulares y complejas (fracta-
les). Llegamos por tanto a este último capítulo con las herramientas e intuición 
necesarias para introducirnos en el apasionante mundo del caos determinista. Es 
el momento de conocer las propiedades más relevantes de las soluciones caóti-
cas, cuáles son las rutas de transición desde lo regular a lo irregular en sistemas 
hamiltonianos y disipativos, e iniciarnos en nuevos fenómenos no lineales de 
gran relevancia física e ingenieril, como la sensibilidad a las condiciones iniciales 
(efecto mariposa), las crisis y la intermitencia, entre otros. Confiamos en que este 
capítulo de introducción al caos determinista despierte la curiosidad del lector y 
le anime a leer los libros especializados sobre este campo que se incluyen en la 
bibliografía.
10.1 Algunas propiedades del caos
En situaciones cotidianas, como remover la leche en el café u observar con 
detenimiento la forma de una coliflor o las nubes del cielo, nos encontramos con 
estructuras irregulares de increíble complejidad que parecen semejantes a diferen-
tes escalas. Tales estructuras nos deben hacer sospechar que existen mecanismos 
no lineales en acción gobernando los procesos y la presencia de caos. Las solu-
ciones caóticas de los sistemas dinámicos deterministas son órbitas aperiódicas 
confinadas en una región del espacio de los estados y dotadas de una serie de 
características muy particulares que las distinguen de las órbitas regulares. Vea-
mos a continuación algunas de ellas. 
 ■ Sensibilidad a las condiciones iniciales
Las órbitas caóticas presentan sensibilidad con las condiciones iniciales, es 
decir, la distancia |δ x (t)| entre dos órbitas caóticas que inicialmente se encuen-
tran separadas una distancia |δ x0| muy pequeña, aumenta exponencialmente 
|δ x(t)| = |δ x0 |e 
μ t. (10.1)
Figura 10.1a Evolución de dos órbitas del 
mapa logístico con r = 3.8 y condiciones 
iniciales x0 = 0.4 y x0 = 0.4 + 10
−5.
0 10 20 30
Iteración
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
n
Figura 10.1b Evolución de la distancia 
entre las dos órbitas de la Figura 10.1a.
0 10 20 30
Iteración
10–6
10–4
10–2
100
D
is
ta
nc
ia
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249
Capítulo 10 Caos determinista
Transcurrido un tiempo, la distancia alcanza la dimensión característica L del 
atractor, esto es, el tamaño típico que ocupa la solución en el espacio de los esta-
dos. El exponente μ, que debe ser obviamente positivo para que las órbitas diver-
jan, mide cómo de rápido dos órbitas próximas se separan y se llama exponente 
de Lyapunov. Dado un error |δ x0| en la condición inicial, la dinámica es predecible 
hasta el tiempo de Lyapunov, que viene dado por μ−1 log (L/|δ x0|). 
Para ilustrar el fenómeno de la sensibilidad a las condiciones iniciales, se pre-
sentan en la Figura 10.1a dos trayectorias del mapa logístico [xk+1 = F (xk) ≡ 
rxk (1 − xk )] separadas inicialmente por una distancia igual a 10
−5. Se ha tomado 
el valor r = 3.8 para el cual el mapa logístico presenta un atractor caótico (véase 
Cuadro 9.1). Transcurridas unas 25 iteraciones, la separación entre ambas órbitas 
es apreciable en la Figura 10.1a y, unas pocas iteraciones después, la dinámica 
de ambas órbitas es totalmente diferente. En la Figura 10.1b vemos que la distan-
cia entre ambas trayectorias crece inicialmente de manera exponencial y acaba 
saturándose cuando alcanza el tamaño característico del atractor. Para estimar 
el valor de μ a partir de dos órbitas con condiciones iniciales x0 y x0 + ε muy 
próximas, podemos proceder de la siguiente manera. Después de un número de 
iteraciones n, la separación entre las órbitas será |F n(x0 + ε) − F 
n(x0)|, la cual 
igualamos a εe nμ si ε es suficientemente pequeño. Si tomamos el límite formal ε → 0 
y, despejamos μ, obtenemos 
μ = lim
n→∞
 1
n
 log 
d F n(x0)
d x0
 = lim
n→∞
 1
n
 log 
n−1
i=0
 F ′(xi ) = limn→∞
 1
n
 
n−1
i=0
 log F ′(xi ) , (10.2)
donde hemos usado la regla de la cadena. La expresión anterior se puede aplicar 
fácilmente a cualquier mapa unidimensional y en particular a la aplicación logís-
tica. El valor estimado de μ aplicando la fórmula anterior para r = 3.8 apenas 
varía después de n = 100 iteraciones y resulta ser μ ≃ 0.43.
La sensibilidad de las soluciones con las condiciones iniciales es una de las 
propiedades más características del caos. A pesar de que las ecuaciones sean 
deterministas, en la práctica es imposible predecir el vector de estado más allá del 
tiempo de Lyapunov. Cualquiererror o perturbación en las condiciones iniciales 
se amplifica, haciendo que la órbita esperada (sin error en la condición inicial) y 
la real sean completamente diferentes transcurrido un determinado tiempo. A este 
fenómeno se le conoce popularmente como efecto mariposa, debido al título del 
artículo de uno de los padres del caos, Edward Lorenz: “Predictibilidad: el aleteo 
de una mariposa en Brasil provoca un tornado en Texas”. También se resume 
de manera muy concisa en una frase atribuida al propio Lorenz: Caos: cuando el 
presente determina el futuro, pero el presente aproximado no determina aproxi-
madamente el futuro. Medio siglo después de que la mecánica cuántica enseñara 
que solo es posible hacer predicciones sobre la función de probabilidad de siste-
mas cuánticos, la ciencia se vio sacudida de nuevo: incluso aunque el sistema sea 
determinista, no podemos hacer predicciones más allá del tiempo de Lyapunov 
cuando la dinámica es caótica. 
Aparentemente, esta propiedad parece limitar enormemente el estudio de las 
soluciones caóticas, pero en la práctica no resulta tan grave. En algunos casos, el 
tiempo de observación del sistema es menor que el tiempo de Lyapunov, y la sen-
sibilidad a las condiciones iniciales no se hace aparente. En caso contrario, como 
Cuadro 10.1 El descubrimiento 
del efecto mariposa
Jules Henri Poincaré fue el primero en vis-
lumbrar al final del siglo XIX las consecuen-
cias de lo que hoy conocemos como el 
efecto mariposa. Al estudiar el problema de 
los tres cuerpos detectó que pequeñas varia-
ciones en las condiciones iniciales puede 
dar lugar a órbitas muy distintas. Pronto 
otros físicos y matemáticos identificaron un 
comportamiento similar en otros contextos 
como, por ejemplo, Hadamard en la diná-
mica de un billar, Birkhoff con su teorema 
ergódico en mecánica estadística, Kolmogo-
rov en mecánica de fluidos, Smale en siste-
mas dinámicos y Cartwright y Littlewood en 
el modelado de la radio y el rádar durante la 
Segunda Guerra Mundial. 
El término efecto mariposa fue acuñado por 
el matemático y meteorólogo estadouni-
dense Edward Norton Lorenz (1917-2008) 
tras descubrir por casualidad en 1961 el 
fenómeno de la sensibilidad a las con-
diciones iniciales en sistemas caóticos. 
Con ayuda de su ordenador, Royal McBee, 
Lorenz intentó repetir el cálculo de una órbita 
caótica. Para ahorrar tiempo, en lugar de 
comenzar con la misma condición inicial de 
la órbita que intentaba reproducir, comenzó 
a mitad de ella y tomando los valores del 
vector de estado de una hoja en donde había 
impreso los resultados anteriormente. Dado 
que la memoria de la máquina guardaba 6 
decimales y en la hoja solo había anotado 
3, Lorenz introdujo sin darse cuenta una 
pequeña diferencia. El resultado fue que, de 
forma inesperada, la nueva órbita se sepa-
raba de la antigua y, transcurrido un tiempo, 
ambas trayectorias eran completamente dis-
tintas. Tras este descubrimiento, Lorenz se 
convirtió en uno de los pioneros en la teo-
ría de sistemas dinámicos y caos. Introdujo 
también el concepto de atractor extraño y un 
sistema no lineal de tres ecuaciones diferen-
ciales ordinarias que hoy lleva su nombre en 
su honor y que ha ocupado un lugar central 
en el estudio del caos determinista.
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Índice analítico
Acción, 65, 67–70, 74, 77, 80, 82, 86, 142, 145, 
148, 152, 153
reducida, 74, 156–160
Amplitud, 98, 174
Ángulo
acimutal, 178, 213 
poloidal, 178, 213 
Atractor
caótico, 212, 223, 249, 251, 252, 266–269
definición de, 194
extraño, 249
Lorenz, 191, 252
Autosimilitud, 223, 252 
Bernoulli
Daniel, 92
Bifucación
Hopf, 217, 223–226, 228, 245
horca, 223, 224
Neimark, 227, 269
periodo doble, 212, 222, 226
Shilnikov, 229, 231
silla-nodo, 223, 224, 269 
subcrítica, 224, 226, 227, 269 
supercrítica, 223, 224, 226, 227 
transcrítica, 222–227
Bi-solitón, 176
Botella magnética, 186
Caos
disipativo, 247, 265 
hamiltoniano, 252
Cascada de Feigenbaum, 212, 222, 223, 
248, 251, 265–268
Centro, 133–136, 170, 197, 198, 263–265
de masas, 44, 46–49, 54, 57, 87, 109, 
144, 200 
Cicloide, 60
Componente generalizada, 9, 17, 18, 28, 119, 
203 
Condición inicial, 80, 85, 139, 155, 157, 164, 
190, 191, 195, 196, 201, 203, 205, 208, 222, 
227, 230, 236, 241
Condiciones de equilibrio, 92, 105, 133, 195, 
196, 201
Conjunto de Maldelbrot, 236, 267 
Constante 
de Feigenbaum, 266, 267 
del movimiento, 22–25, 43–45, 52, 53, 
75, 83, 85, 112, 115, 116, 126, 127, 141, 
146, 159, 160, 179, 232 
Coordenada (s)
cíclica, 24, 25, 44, 45, 71, 76, 83, 161, 
162, 184 
generalizadas, 3, 5, 6, 9, 13, 33–35, 64, 
75, 77, 92, 112, 152
normales, 98, 99, 101
vector
contravariante, 5, 6, 34
covariante, 4, 6, 36
Corchete de Poisson, 125–127, 130, 131, 141, 
166, 167, 231
Coriolis
fuerza de, 16
Gaspard-Gustave, 16
Crisis, 223, 247, 266, 267
exterior/ de frontera, 267
de fusión, 268
interior, 267
Cuasiperiódico, 177, 178, 257
Cuenca de atraccion, 193, 241
Curva geodésica, 57, 64, 68–71, 74
d’Alembert
Jean le Rond, 2, 12
Darboux
Jean Gaston, 79, 128
Delta de Kronecker, 2, 4
Densidad 
hamiltoniana, 114–117, 132
lagrangiana, 63, 65, 66, 80, 84, 114, 
115, 117
Derivada 
direccional, 3, 33, 34, 36, 38, 80
exterior, 38, 42, 43, 118, 119, 127 
Diagrama 
de bifurcación, 222–224, 227, 228, 235, 
243, 251, 267–269 
de tela de araña, 193, 202, 212, 213, 
223, 266, 268 
Diferencial exacta, 147
Difusión de Arnold, 259, 260
Dimensión fractal, 233–235, 252 
Disco rodando, 50, 200, 201 
Ecuación (es)
de Charpit, 157, 158
de Hamilton, 112–118 
en espacio de fase ampliado, 122
en medios continuos, 115
notación simplética, 124
sistemas no holónomos, 119
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Índice analítico
de Hamilton-Jacobi, 146–148, 
152–169
de Lagrange, 2, 3, 30, 56, 64, 65, 67, 
69, 76, 92, 104 
de Korteweg-de Vries, 85, 163, 165, 
166, 218 
de Mathieu, 207, 208
de Schrödinger, 159, 163, 165, 167, 172
de Schrödinger derivada, 163, 165
de Schrödinger no lineal, 163, 
165, 172 
de Sine-Gordon, 66, 132, 163 
diofántica, 253–256, 258 
Efecto mariposa, 248, 249 
Energía
cinética, 3, 5, 30, 31–33
definición de, 22, 43 
potencial, 74
Equilibrio 
estable, 135, 137, 170, 199, 202, 223, 
224, 227, 234
inestable, 106, 135, 137, 223, 224, 
227, 269 
Ergodicidad, 259
Espacio
cotangente, 5, 36, 37, 119
de fase ampliado, 122
de fases, 34, 107, 119, 120, 124, 132, 
136, 138–142, 167–169, 178, 179, 
192–194
de los estados, 194, 198, 203, 204, 206, 
215, 216, 223, 229–231, 238, 240, 241, 
248–250, 267 
tangente, 4, 5, 9, 33–38, 119 
Estabilidad
asintótica, 93, 196 
orbital, 192, 250, 259, 260 
Estructura solitaria, 215
Euler
ecuación de, 59, 60–62, 64, 72
Exponente de Lyapunov, 249, 250 
Foco, 197, 198, 214, 217, 226, 229, 241
Forma diferencial, 36, 37, 39, 41–43, 
118–120, 127–131, 168, 191 
cerrada, 119, 128–130, 168 
Fracción continuada, 256, 257
Fractal, 222, 223, 234, 242, 251, 252, 
256, 257 
de copo de nieve, 233
de Mandelbrot, 236
de polvo de Cantor, 235
Frecuencia (s)
ciclotrónica, 184, 185
conmensurables/inconmensurables, 
177, 178, 213, 214, 227, 253, 254, 263 
Fuerza generalizada, 49, 93, 119
Función generatriz, 147,148, 186
Grados de libertad, 8, 9, 11–13, 33, 34, 43, 
44, 46, 48 
de un sólido, 46, 47
Grupo (s)
de Lie, 76, 79
teoría de, 76, 267
Hamilton 
William Rowan, 112
Hamiltoniana, 112–116, 122 
Haz
cotangente, 36, 37, 128
tangente, 34, 37, 119 
Herradura de Smale, 251
Histéresis, 222, 240, 241 
Ímpetu, 10, 84 
Integrabilidad
en sistemas continuos, 165, 168, 177
en sistemas discretos, 11, 148, 167, 
214, 257
Integración numérica, 71, 191
Integrador simplético, 191
Integral 
de Jacobi, 23, 44, 146, 148 
primera, 22, 43, 64, 126, 127, 199, 218
Intermitencia, 248, 266, 268–270
Invariancia, 17, 19, 37, 68, 75, 78, 80–82, 
84, 131 
adiabática, 180, 182, 183, 185, 186
Invariante, 52, 56, 68, 76–78, 80–89, 111, 
129–131, 136, 138, 139, 141–143, 147, 
148, 163, 167 
adiabático, 182, 186
IST (Inverse Scattering Transform), 66, 
150, 163, 164, 169, 177, 218, 219 
Jacobi
Carl Gustav Jacob, 52, 112, 146–148, 253
identidad de, 125, 126, 232
Lagrange 
Joseph-Louis, 2, 30, 51, 56, 92, 95, 147
Lagrangiana, 18, 19, 37, 44, 62, 63, 66, 68, 
81, 92, 98, 112, 234
Legendre 
Adrien-Marie, 121, 146
Ley de conservación, 22, 23, 25, 44, 
60, 81, 85, 86, 133
Libración, 170
Lie
Marius Sophus, 76, 79
Ligadura
holónoma o geométrica, 8–10, 33–36, 
69, 103
ideal, 8–10, 12, 13, 18, 19, 22, 23, 33, 34, 
37, 44, 48, 67, 69, 70, 103, 112, 119
reónoma, 8
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
279
Índice analítico
Lorenz
Edward, 190, 249, 266
Mandelbrot
Benoît B., 190, 233
conjunto de, 236
Mapa 
estándar, 194, 250, 251, 260
logístico, 191, 193, 202, 212, 213, 222, 
223, 248–251, 266–268
Maraña homoclínica, 259, 260, 265
Matriz
de monodromía, 204–207, 209, 226, 250
hessiana, 113, 117, 118, 133, 134, 
140, 199
jacobiana, 32, 129–131, 140, 146, 147, 
152, 194, 195–197, 201, 204, 206, 
223, 250
Medios continuos, 56, 62, 63, 65–68, 
80–82, 84–86, 113–117, 126, 127, 132, 150, 
163–168, 177, 217
Método
de Hamilton-Jacobi, 146, 150, 154–158, 
160, 163–165, 169
de las características, 154–157
de Lindstedt-Poincaré, 235–237
de Newton-Raphson, 195, 196, 203, 205
de promedio, 237–238
Modos normales, 98–102, 262
Momento
canónico, 24, 25, 44, 76, 112, 114, 116, 
117, 133, 160
Movimiento regular, 22, 132, 177, 179, 
190, 222, 248, 250, 252, 253, 259, 265
Multiplicadores
de Floquet, 205, 206, 226, 266
de Lagrange, 33, 34, 64–66, 104
Nodo, 197, 198, 214, 223, 226, 229, 269
Noether
Emmy Amalie, 22, 80, 83
Número de rotación, 178, 214, 259, 264
Órbita
cuasiperiódica, 101, 106, 177, 178, 
190, 213–215, 227, 248, 251, 252, 
258, 259, 267
heteroclínica, 190, 215–217, 228, 
229, 267
homoclínica, 190, 215–218, 228, 229, 
231, 259, 267 
periódica, 51, 135, 170–172, 176, 
177–179, 190, 194, 203–207, 211, 215, 
223, 226–228, 251, 258, 267 
Oscilación, 92, 94, 98, 102, 103, 135, 
170, 174, 180, 198, 230, 235, 240–243, 
262–265
anarmónica, 94
lineal, 92–96, 104–107
no lineal, 235, 237, 239
Par de Lax, 167
Partícula, 2–5, 7, 10, 12, 18, 30, 46, 78 
Péndulo
con disipación, 191, 199, 238–243
de Foucault, 109
doble, 99, 261–265
esférico, 135, 136
forzado, 191, 199, 238–243
ideal, 10, 19, 93, 96, 134, 170, 172, 
182, 198, 208, 234
Poincaré
Jules Henri, 52, 76, 142, 143, 190, 
249, 253, 257
Poincaré-Cartan
invariante integral, 141–143, 261
Polvo de Cantor, 235
Posición de equilibrio, 92, 96, 103, 107, 
135, 194–202, 215, 216, 223–226, 267
Principio
de covarianza, 78
de Fermat, 58, 61, 146
de Hamilton, 56, 67–73, 76, 123, 124, 
146, 147
de relatividad, 7, 8
variacional, 13, 70, 112, 123, 146
Problema 
de la braquistócrona, 56, 59–61
de la cometa, 14, 17–20, 120, 203, 204, 
209–212, 214, 217, 225–228 
de la reina Dido, 57, 73
de los dos cuerpos, 44–46
de los tres cuerpos general, 51–53, 
252, 253, 257
de los tres cuerpos restringido, 87–89, 
104–108, 143, 146, 147, 148, 257
Producto exterior, 38–41, 119
Puerto, 134, 135, 137, 197, 198, 
218, 241
Punto (s)
fijo, 48, 49, 194–196, 201, 202, 211, 
213, 269
de Lagrange, 2, 51, 105, 106
hiperbólicos, 134, 135, 170, 259, 
264, 265
Radio de Schwarzschild, 71
Rayleigh
disipación de, 93
John Strutt, 24, 98, 166, 182
Relatividad general, 70, 78, 81, 83
Resonancia, 180, 207–211, 238–244, 
252–255, 259, 263–265
no lineal, 238–244
sub-armónica, 242–244
ultra-armónica, 242
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
280
Routh
Edward, 13, 24
Routhiano, 25, 45, 46, 53, 103
Schwarzschild
Karl, 70–72, 83
Sección
de Poincaré, 136, 138–140, 178, 203, 
204, 213, 214, 253, 258, 259, 261–265
estroboscópica, 213
Sensibilidad con condiciones iniciales, 
248–250, 253
Shilnikov 
bifurcación de, 229, 231
Leonid Pavlovich, 231
Sistema (s)
autónomo/no autónomo, 157, 191, 
194, 199, 204, 206, 207
casi integrable, 252, 259
de Lorenz, 191
de partículas, 31, 37, 92
dinámico continuo/discreto, 190, 191
dinámico determinista, 190
disipativo, 193, 194
giroscópico, 36, 92, 104–108
hamiltoniano, 86, 114, 128, 132, 167, 258
holónomo, 10, 13
integrables, 133, 166, 176, 177, 214, 
253, 259
lagrangiano, 19, 22, 24, 37, 44, 67, 77, 
92, 106, 152
separables, 158, 160
Sólido rígido, 13, 24, 46–49, 85
Solitón, 66, 163, 166, 168, 171, 172, 174, 
176, 180, 183–186, 218, 219
de Ma, 176
perturbado, 183–186
Tensor de inercia, 47, 49
Teorema
adiabático, 180–183
de conservación de la energía, 22, 
23, 43, 44
de Coriolis, 48, 49
de Darboux, 128, 129, 130
de Lagrange, 199
de Liouville, 86, 140, 141, 156–169, 
176, 177, 248
de Noether, 56, 80, 81–89
de Poincaré-Bendixson, 203, 204
de Poisson, 126, 127
KAM, 179, 252, 253, 256–258, 265
Toro resonante, 258, 259
Toroide, 136, 137, 177–179, 213, 214, 252, 
254, 256, 257–260
Transformación
canónica, 130, 131, 146–152, 169, 174, 
180, 255
extendida, 86–88
invariante, 82, 85
puntual, 76, 77
Transformada de
Fourier, 163, 171, 203, 258
Laplace, 150
Legendre, 121–123, 195
Transitorio, 194, 222, 266
Variables 
acción-ángulo, 164, 169–177, 214, 254
canónicas, 112, 119, 121, 124–126, 
128–132, 155
Variedad
de configuración, 4, 12, 16, 18, 32–36, 
46,69
estable, 194, 196, 215, 229
inestable, 194, 196, 215, 269
riemanniana, 6, 129
simplética (o simpléctica), 129
Velocidad angular, 15, 16, 46, 48, 49, 200
Weierstrass
Karl Theodor Wilhelm, 96
Índice analítico
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
MECÁNICA
ANALÍTICA
Francisco Javier Sanz Recio 
Gonzalo Sánchez Arriaga
LAGRANGIANA, 
HAMILTONIANA 
Y SISTEMAS DINÁMICOS
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E
C
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IC
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 A
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M
IC
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S
MECÁNICA ANALÍTICA: 
LAGRANGIANA, HAMILTONIANA Y SISTEMAS DINÁMICOS
La mecánica analítica, que tiene sus raíces en los siglos XVIII y XIX, ha experimentado recientemente 
importantes avances que han enriquecido sus métodos y la forma de aplicarlos a problemas 
modernos en física e ingeniería. Esta obra, dirigida a estudiantes de grado, máster y doctorado, 
sintetiza los más importantes y útiles progresos en el campo. De manera amena y rigurosa, el lector 
adquirirá desde conceptos básicos, como escribir las ecuaciones del movimiento, pasando por 
técnicas clásicas tales como el método de Hamilton-Jacobi, hasta terminar dominando el análisis 
avanzado de sistemas no lineales y caos determinista mediante la combinación de procedimientos 
analíticos y numéricos. 
La organización de la obra, estructurada en dos niveles, está sólidamente soportada por varias 
décadas de experiencia de los autores impartiendo la asignatura de mecánica analítica en cursos 
de grado e ingeniería. Por un lado, el cuerpo principal del libro contiene los fundamentos teóricos 
y utiliza herramientas matemáticasbien conocidas por los estudiantes, que podrán seguirlo de 
manera fl uida. Por otro, los cuadros al margen se han reservado para introducir notas biográfi cas de 
científi cos notables, conceptos avanzados y las consecuencias de los resultados teóricos del cuerpo 
principal a problemas específi cos en física e ingeniería como, por ejemplo, la mecánica orbital y la 
de vuelo, la relatividad general, la mecánica cuántica, la propagación de solitones… Se trata de un 
espacio reservado para abrir la mente del lector, estimular su curiosidad por la materia y resaltar la 
utilidad de los conocimientos adquiridos en multitud de disciplinas. 
El libro contiene una impresionante colección de alrededor de 200 ejercicios, la mitad de ellos 
resueltos, que refuerza los conceptos teóricos y facilita la incorporación de los métodos hamilto-
nianos a lo que Richard Feynman denominaría la caja de herramientas del lector, es decir, le dota 
de una batería de métodos para usar en su vida profesional. También incluye una serie de progra-
mas de ordenador para explorar la dinámica desde una perspectiva moderna y amena, al mismo 
tiempo que se consolidan con ayuda del ordenador los conocimientos teóricos y se adquieren 
competencias en cálculo numérico. 
Francisco Javier Sanz Recio 
Gonzalo Sánchez Arriaga
www.mheducation.es
Sanz Recio, F; Sánchez Arriaga, G. Mecánica analítica: lagrangiana, hamiltoniana y sistemas dinámicos. 
© McGraw-Hill, Madrid, 2019 
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	Capitulo 6
	Capitulo 7
	Capitulo 8
	Capitulo 9
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 /SVE <FEFF0041006e007600e4006e00640020006400650020006800e4007200200069006e0073007400e4006c006c006e0069006e006700610072006e00610020006f006d002000640075002000760069006c006c00200073006b006100700061002000410064006f006200650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006600f600720020006b00760061006c00690074006500740073007500740073006b0072006900660074006500720020007000e5002000760061006e006c00690067006100200073006b0072006900760061007200650020006f006300680020006600f600720020006b006f007200720065006b007400750072002e002000200053006b006100700061006400650020005000440046002d0064006f006b0075006d0065006e00740020006b0061006e002000f600700070006e00610073002000690020004100630072006f0062006100740020006f00630068002000410064006f00620065002000520065006100640065007200200035002e00300020006f00630068002000730065006e006100720065002e>
 /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
 >>
 /Namespace [
 (Adobe)
 (Common)
 (1.0)
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 (Adobe)
 (InDesign)
 (4.0)
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 <<
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 (Adobe)
 (CreativeSuite)
 (2.0)
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 >>
 ]
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 /JPEG2000ColorImageDict <<
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 >>
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 >>
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 /SVE <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>
 /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
 >>
 /Namespace [
 (Adobe)
 (Common)
 (1.0)
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 (Adobe)
 (InDesign)
 (4.0)
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 <<
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 (Adobe)
 (CreativeSuite)
 (2.0)
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 >>
 ]
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 >>
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 /SVE <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>
 /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
 >>
 /Namespace [
 (Adobe)
 (Common)
 (1.0)
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 (Adobe)
 (InDesign)
 (4.0)
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 <<
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 (Adobe)
 (CreativeSuite)
 (2.0)
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 >>
 ]
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 /JPEG2000ColorImageDict <<
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 >>
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 /SVE <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>
 /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
 >>
 /Namespace [
 (Adobe)
 (Common)
 (1.0)
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 (Adobe)
 (InDesign)
 (4.0)
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 <<
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 (Adobe)
 (CreativeSuite)
 (2.0)
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 >>
 ]
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 /JPEG2000ColorImageDict <<
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 >>
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 >>
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 /SVE <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>
 /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
 >>
 /Namespace [
 (Adobe)
 (Common)
 (1.0)
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 (Adobe)
 (InDesign)
 (4.0)
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 <<
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 (Adobe)
 (CreativeSuite)
 (2.0)
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 >>
 ]
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 /JPEG2000ColorImageDict <<
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 >>
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 /SVE <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>
 /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
 >>
 /Namespace [
 (Adobe)
 (Common)
 (1.0)
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 (Adobe)
 (InDesign)
 (4.0)
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 <<
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 (Adobe)
 (CreativeSuite)
 (2.0)
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 >>
 ]
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 /JPEG2000ColorImageDict <<
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 >>
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 >>
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 /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
 >>
 /Namespace [
 (Adobe)
 (Common)
 (1.0)
 ]
 /OtherNamespaces [
 <<
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 /CropImagesToFrames true
 /ErrorControl /WarnAndContinue
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 /IncludeGuidesGrids false
 /IncludeNonPrinting false
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 /Namespace [
 (Adobe)
 (InDesign)
 (4.0)
 ]
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 /OmitPlacedPDF false
 /SimulateOverprint /Legacy
 >>
 <<
 /AddBleedMarks false
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 /AddCropMarks false
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 >>
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 /MultimediaHandling /UseObjectSettings
 /Namespace [
 (Adobe)
 (CreativeSuite)
 (2.0)
 ]
 /PDFXOutputIntentProfileSelector /NA
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 /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
 /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
 /UseDocumentBleed false
 >>
 ]
>> setdistillerparams
<<
 /HWResolution [2400 2400]
 /PageSize [612.000 792.000]
>> setpagedevice
<<
 /ASCII85EncodePages false
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 /AutoPositionEPSFiles true
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 /Binding /Left
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 /CalRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
 /CalCMYKProfile (U.S. Web Coated \050SWOP\051 v2)
 /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
 /CannotEmbedFontPolicy /Warning
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 /CompressObjects /Off
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 /ConvertImagesToIndexed true
 /PassThroughJPEGImages true
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 /DefaultRenderingIntent /Default
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 /DetectCurves 0.0000
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 /DoThumbnails false
 /EmbedAllFonts true
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 /ParseICCProfilesInComments true
 /EmbedJobOptions true
 /DSCReportingLevel 0
 /EmitDSCWarnings false
 /EndPage -1
 /ImageMemory 1048576
 /LockDistillerParams false
 /MaxSubsetPct 100
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 /OPM 1
 /ParseDSCComments true
 /ParseDSCCommentsForDocInfo true
 /PreserveCopyPage true
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 /PreserveFlatness true
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 /PreserveOPIComments false
 /PreserveOverprintSettings true
 /StartPage 1
 /SubsetFonts true
 /TransferFunctionInfo /Apply
 /UCRandBGInfo /Preserve
 /UsePrologue false
 /ColorSettingsFile (None)
 /AlwaysEmbed [ true
 ]
 /NeverEmbed [ true
 ]
 /AntiAliasColorImages false
 /CropColorImages true
 /ColorImageMinResolution 300
 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK
 /DownsampleColorImages false
 /ColorImageDownsampleType /Average
 /ColorImageResolution 300
 /ColorImageDepth 8
 /ColorImageMinDownsampleDepth 1
 /ColorImageDownsampleThreshold 1.50000
 /EncodeColorImages true
 /ColorImageFilter /FlateEncode
 /AutoFilterColorImages false
 /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
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 /QFactor 0.15
 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
 >>
 /ColorImageDict <<
 /QFactor 0.15
 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
 >>
 /JPEG2000ColorACSImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /JPEG2000ColorImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /AntiAliasGrayImages false
 /CropGrayImages true
 /GrayImageMinResolution 300
 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK
 /DownsampleGrayImages false
 /GrayImageDownsampleType /Average
 /GrayImageResolution 300
 /GrayImageDepth 8
 /GrayImageMinDownsampleDepth 2
 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
 /EncodeGrayImages true
 /GrayImageFilter /FlateEncode
 /AutoFilterGrayImages false
 /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
 /GrayACSImageDict <<
 /QFactor 0.15
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 >>
 /GrayImageDict <<
 /QFactor 0.15
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 >>
 /JPEG2000GrayACSImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /JPEG2000GrayImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /AntiAliasMonoImages false
 /CropMonoImages true
 /MonoImageMinResolution 1200
 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK
 /DownsampleMonoImages false
 /MonoImageDownsampleType /Average
 /MonoImageResolution 1200
 /MonoImageDepth -1
 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
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 /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
 /MonoImageDict <<
 /K -1
 >>
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 /None
 ]
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 0.00000
 0.00000
 0.00000
 ]
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 0.00000
 0.00000
 0.00000
 0.00000
 ]
 /PDFXOutputIntentProfile (None)
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 /PDFXOutputCondition()
 /PDFXRegistryName ()
 /PDFXTrapped /False
 /CreateJDFFile false
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 /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
 >>
 /Namespace [
 (Adobe)
 (Common)
 (1.0)
 ]
 /OtherNamespaces [
 <<
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 /CropImagesToFrames true
 /ErrorControl /WarnAndContinue
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 /IncludeNonPrinting false
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 /Namespace [
 (Adobe)
 (InDesign)
 (4.0)
 ]
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 /OmitPlacedPDF false
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 >>
 <<
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 >>
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 /Namespace [
 (Adobe)
 (CreativeSuite)
 (2.0)
 ]
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 /UntaggedCMYKHandling /LeaveUntagged
 /UntaggedRGBHandling /LeaveUntagged
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 >>
 ]
>> setdistillerparams
<<
 /HWResolution [2400 2400]
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>> setpagedevice
<<
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 /sRGBProfile (sRGB IEC61966-2.1)
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 /CompressObjects /Off
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 /PassThroughJPEGImages true
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 /DefaultRenderingIntent /Default
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 /DSCReportingLevel 0
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 /EndPage -1
 /ImageMemory 1048576
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 /MaxSubsetPct 100
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 /OPM 1
 /ParseDSCComments true
 /ParseDSCCommentsForDocInfo true
 /PreserveCopyPage true
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 /StartPage 1
 /SubsetFonts true
 /TransferFunctionInfo /Apply
 /UCRandBGInfo /Preserve
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 /ColorSettingsFile (None)
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 ]
 /NeverEmbed [ true
 ]
 /AntiAliasColorImages false
 /CropColorImages true
 /ColorImageMinResolution 300
 /ColorImageMinResolutionPolicy /OK
 /DownsampleColorImages false
 /ColorImageDownsampleType /Average
 /ColorImageResolution 300
 /ColorImageDepth 8
 /ColorImageMinDownsampleDepth 1
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 /ColorImageFilter /FlateEncode
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 /ColorImageAutoFilterStrategy /JPEG
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 /QFactor 0.15
 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
 >>
 /ColorImageDict <<
 /QFactor 0.15
 /HSamples [1 1 1 1] /VSamples [1 1 1 1]
 >>
 /JPEG2000ColorACSImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /JPEG2000ColorImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /AntiAliasGrayImages false
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 /GrayImageMinResolution 300
 /GrayImageMinResolutionPolicy /OK
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 /GrayImageDownsampleType /Average
 /GrayImageResolution 300
 /GrayImageDepth 8
 /GrayImageMinDownsampleDepth 2
 /GrayImageDownsampleThreshold 1.50000
 /EncodeGrayImages true
 /GrayImageFilter /FlateEncode
 /AutoFilterGrayImages false
 /GrayImageAutoFilterStrategy /JPEG
 /GrayACSImageDict <<
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 >>
 /GrayImageDict <<
 /QFactor 0.15
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 >>
 /JPEG2000GrayACSImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /JPEG2000GrayImageDict <<
 /TileWidth 256
 /TileHeight 256
 /Quality 30
 >>
 /AntiAliasMonoImages false
 /CropMonoImages true
 /MonoImageMinResolution 1200
 /MonoImageMinResolutionPolicy /OK
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 /MonoImageDownsampleType /Average
 /MonoImageResolution 1200
 /MonoImageDepth -1
 /MonoImageDownsampleThreshold 1.50000
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 /MonoImageFilter /CCITTFaxEncode
 /MonoImageDict <<
 /K -1
 >>
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 /None
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 0.00000
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 0.00000
 ]
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 0.00000
 0.00000
 0.00000
 0.00000
 ]
 /PDFXOutputIntentProfile (None)
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 /PDFXOutputCondition ()
 /PDFXRegistryName ()
 /PDFXTrapped /False
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 /SVE <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>/ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
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 (Adobe)
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 (1.0)
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 (Adobe)
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 (4.0)
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 (2.0)
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 /SVE <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>
 /ENU (Use these settings to create Adobe PDF documents for quality printing on desktop printers and proofers. Created PDF documents can be opened with Acrobat and Adobe Reader 5.0 and later.)
 >>
 /Namespace [
 (Adobe)
 (Common)
 (1.0)
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 (Adobe)
 (InDesign)
 (4.0)
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 <<
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 (Adobe)
 (CreativeSuite)
 (2.0)
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 >>
 ]
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 /JPEG2000ColorImageDict <<
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 >>
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 >>
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