RESUMO RLM

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RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO
PROF: BRENNO CARVALHO @brennocarval
LÍDER CONCURSOS
A Lógica é um ramo do conhecimento humano que estuda as formas pelas quais se pode construir um argumento completo. E o que seria um raciocínio correto?
Temos por raciocínio correto quando as conclusões a que se chega são as melhores possíveis, dada a informação disponível.
Estudaremos a Lógica Dedutiva que diz; uma proposição pode ser apenas verdadeira ou falsa, não havendo alternativa intermediaria. (PRINCIPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO)
No RL não podemos admitir ou considerar proposições como parcialmente verdadeiras ou parcialmente falsas. Ok?
E o que são Proposições? (CUIDADO! É PROposição e não PREposição)
· Proposições são sentenças que podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas, tudo que pode ser avaliado como certo ou errado
· É toda sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento, e que podem assumir um valor lógico.
· Sujeito + verbo + predicado (sentido completo)
Ex: 
· O café é preto (podemos classificar essa sentença como verdadeira ou falsa) 
· Lucas não trabalha.
· Ana passou no concurso.
· Paulo tem um carro e Bruna tem uma moto.
Sentenças algébricas 
1 + 2 = 3 
10 – 2 = 8 
De maneira geral, proposições são frases declarativas, mas nada nos impede de utilizarmos símbolos números.
Exemplo 3:
A afirmação P é verdadeira (V), já que o número 13 é maior que o número 7.
São excluídas as sentenças imperativas, exclamativas, interrogativas, paradoxais e com pronomes demonstrativos
Imperativas 
· Vá comprar o pão.
· Faça a atividade
· Saia daqui
Exclamativas 
· Que dia lindo!
· A chuva foi muito forte!
Obs: note a presença da exclamação
Interrogativas
· Como foi o seu dia?
· Olá, tudo bem?
· Carlos foi a aula?
· O ceu é azul?
Paradoxais 
· Essa frase é falsa
Frases que geram dúvidas, frases ambíguas
Pronomes demonstrativos 
· Aquele cão é bravo (que cão?)
· Esse homem é alto (que homem?)
· Aquela caneta é azul
As sentenças podem ser classificadas em simples e compostas
* Proposição simples – representam apenas um pensamento, não possuem conectivos,
Apresenta uma oração
Ex: Ana passou no concurso.
 
* Proposições compostas – expressam mais de um pensamento, que são ligados por “conectivos lógicos” = (e; ou; ou,ou; se então; se e somente se) 
Ex: 
Paulo tem um carro e Lucas tem uma moto.
Se Marcos é médico, então Lúcia é advogada
Como negar uma proposição? Huuuuuuum, veja só;
O café é azul ( como negar essa proposição?) 
Simples! Usaremos o não. 
Símbolo usado para negação (¬) ou (~)
O café não é azul 
Todo aluno é alto
Como negar o todo? Simples!
Existe um aluno que não é alto (se um aluno não for alto, o todo já é negado)
Nem todo aluno é alto (seria outra opção)
Representação (Simbologia)
Para facilitar o estudo, as proposições são representadas por letras (geralmente minúsculas). É muito comum utilizarmos as letras “p”, “q”, “r” e “s”.
 
Exemplos:
p: A matemática é fácil.
q: Todos os brasileiros gostam de futebol.
Negação de p (¬p): A matemática não é fácil 
Negação de q (¬q): algum brasileiro não gosta de futebol
p: A capital do Brasil é Brasília. (V)
Se a proposição abaixo possui valor V, então a negação deve possuir valor F.
¬p: A capital do Brasil não é Brasília. (F)
Analisaremos a proposição “Todo professor ganha pouco”.
A maioria dos estudantes que estão iniciando no Raciocínio Lógico tende a negar dizendo que “Nenhum professor ganha pouco”. Mas não está certo.
p: Todo professor ganha pouco
¬p: Pelo menos um professor não ganha pouco
~p: Existe professor que não ganha pouco
¬p: Algum professor não ganha pouco
p: Nenhum político é honesto
¬p: Algum político é honesto
¬p: Pelo menos um político é honesto
¬p: Existe político honesto
p: Algum aluno entende matemática
¬p: Nenhum aluno entende matemática
¬p: Todo aluno não entende matemática
~p: Não existe aluno que entende matemática
Princípios do Raciocínio lógico
Muitas provas de concursos públicos cobram o entendimento dos princípios que regem o Raciocínio lógico.
Então fique por dentro 
Tabela-verdade
Não se pode estudar Raciocínio lógico sem entender a tabela verdade e seus conectivos. Lembram das proposições compostas? As que possuem conectivos lógicos, operadores que ligam as sentenças, pois aqui estão eles :
Se uma proposição p é verdadeira a negação de p (¬p) é falsa e vice-versa
CONJUNÇÃO (E) 
AS DUAS SENTENÇAS PRECISAM SER VERDADEIRAS PARA TODA SENTENÇA SER VERDADEIRA
EX: P: O SOL É QUENTE (V)
 Q: A AGUA É INCOLOR (V)
ADMITINDO QUE AS SENTENÇAS SÃO VERDADEIRAS TERIA
 P ^ Q: O SOL É QUENTE E A AGUA É INCOLOR (V)
	P
	Q
	P^Q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	F
DISJUNÇÃO (OU)
A SENTENÇA SERÁ FALSA QUANDO AMBAS FOREM FALSAS 
NO ‘’OU’’ NO MINIMO UMA SENTENÇA PRECISA SER VERDADEIRA
EX: ADMITINDO P E Q VERDADEIRAS
P: LUIS É ALTO 
Q: BRUNA É FARMACÊUTICA
P v Q: LUIS NÃO É ALTO OU BRUNA É FARMACÊUTICA (V)
	P
	Q
	PvQ
	V
	V
	V
	V
	F
	V
	F
	V
	V
	F
	F
	F
CONDICIONAL (SE...ENTÃO)
USAMOS O FAMOSO VERA FISCHER PARA SABER QUE A SENTENÇA É FALSA
PREMISSA VERDADEIRA E CONCLUSÃO FALSA
EX: ADMITINDO P E Q VERDADEIRAS
P: DANIEL É MAGRO
Q: JOÃO É PROFESSOR
P Q: SE DANIEL É MAGRO, ENTÃO JOÃO NÃO É PROFESSOR (F)
	P
	Q
	PQ
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	V
	F
	F
	V
BICONDICIONAL (SE E SOMENTE SE)
AS SENTENÇAS SÃO IGUAIS ( AMBAS VERDADEIRAS OU AMBAS FALSAS ) PARA A SENTENÇA SER TOTALMENTE VERDADEIRAS
EX: ADMITA QUE P E Q SÃO VERDADEIRAS
P: MÁRIO É JOGADOR
Q: JOSÉ É EMPRESÁRIO 
P Q: MÁRIO É JOGADOR SE E SOMENTE SE JOSÉ FOR EMPRESÁRIO 
	P
	Q
	P Q
	V
	V
	V
	V
	F
	F
	F
	V
	F
	F
	F
	V
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU,OU) 
Pouco cobrada em prova, mas aqui se peca pelo excesso e nunca por falta!
O CONTRÁRIO DO CONECTIVO SE E SOMENTE SE, SE AMBAS FOREM IGUAIS, SENTENÇA FALSA!
ORDEM DE PRIORIDADE NAS OPERAÇÕES LÓGICAS
NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO (p e q)
¬(P ^ Q )  <=> ¬P v ¬Q    (Lei de Morgan)
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “E” basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo “e” pelo conectivo ”ou”. Ou seja, transformaremos uma conjunção em uma disjunção. Vejamos;
Ex: “Maria é Paulista e João é Cearense”.
· P= Maria é Paulista
· Q= João é Cearense
Negando temos;
Maria não é paulista ou João não é cearense.
NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO (p ou q)
P v Q  <=>  ¬P ^ ¬Q  Lei de Morgan
Para negarmos uma proposição composta ligada pelo conectivo operacional “OU”, basta negarmos ambas as proposições individuais(simples) e trocarmos o conectivo “ou” pelo conectivo ”e”. Ou seja, “transformaremos” uma disjunção inclusiva em uma conjunção. Vejamos;
“Paulo é estudioso ou Marina é Bonita”.
· P= Paulo é estudioso
· Q= Marina é bonita
Negando-a, temos;
“Paulo não é estudioso e Marina não é bonita” .
NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO EXCLUSIVA. “ou p ou q”
¬(P v Q) <=> P ↔ Q
Para negarmos uma proposição com a estrutura de uma disjunção exclusiva iremos transformar em uma estrutura bicondicional. Vejamos:
“Ou Paulo é feio ou Márcio é físico”.
· P= Paulo é feio
· Q= Márcio é físico
Negando-a temos;
“Paulo é feio se e somente se Márcio é físico.”
NEGAÇÃO DA CONDICIONAL.
¬ (p → q) <=> p^ ¬q
Para negarmos uma proposição condicional, repete-se a primeira parte troca-se o conectivo por “e” e nega-se a segunda parte. Vejamos
Ex: Se sou inteligente então passarei de ano.
· P= Sou inteligente
· Q= Passarei de ano
Negando-a, temos;
“Sou inteligente e não passarei de ano”
Equivalências lógicas
A Equivalência Lógica altera a frase sem mudar o seu sentido 
Ex.: Bruna ministra aulas de RLM.
As aulas de RLM são ministradas por Bruna.
Outros exemplos: 
Se trabalho, então canso.
Como trabalho, canso.
 
Todo → Se…então
Todo professor é inteligente.
Se é professor, então é inteligente.
 
Se…então → Se…então
Regra: Inverta a ordem e nega as duas proposições.
Setrabalho, então canso.
Se não canso, então não trabalho.
 
Se…então → Ou
Regra: Nega o começo e mantenha o final.
Se trabalho, então canso.
Não trabalho ou canso.
 
Ou → Se…então
Regra: Nega o começo e mantenha o final.
Não trabalho ou canso.
Se trabalho, então canso.
Tabela das Equivalências Lógicas
Tautologia, Contradição e Contigência
Indica algumas situações dos valores lógicos das proposições, tópico que vem sendo abordado em provas recentes 
	TAUTOLOGIA 
	VALOR LÓGICO PROPOSICIONAL SERÁ SEMPRE VERDADEIRO
	p
V
F
	~p
F
V
	p v ~p
V
V
	CONTRADIÇÃO
	VALOR LÓGICO PROPOSICIONAL SERÁ SEMPRE FALSO
	p
V
F
	~p
F
V
	p ^ ~p
F
V
	CONTINGÊNCIA
	VALOR LÓGICO PODE SER VERDADEIRO OU FALSO
	p
V
F
	~p
F
V
	p q
F
V