Aula 30 mar 2020 - Parte 1 - exercícios 4, 5 e 6

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Profª. MSc. Larissa Vieira
Fundações diretas
Aula de 30 de março de 2020 – Parte 1
Exercícios 4, 5 e 6 – Capítulo 2
Exercício 4 (livro Fundações Diretas – Capítulo 2):
4) Estimar a capacidade de carga de um elemento de fundação por sapata
indicado na figura a seguir, com as seguintes posições do N.A.:
a) - 5 m;
b) - 7 m;
c) - 1 m.
a) N.A. à cota - 5 m
Sapata com B=L= 3 m → quadrada
Profundidade do bulbo de tensões
para sapatas quadradas:
z = 2B
z = 2 . 3
z = 6 m
Como dentro do bulbo de tensões
temos a variação apenas do peso
específico efetivo da areia, podemos
obter sua média ponderada e efetuar
o cálculo direto da capacidade de
carga.
a) N.A. à cota - 5 m
Pela Tab. 2.5 (peso
específico de solos
arenosos), para areia
compacta temos:
γ = 18 kN/m³
γsat = 21 kN/m³
Peso específico efetivo
médio:
a = 4 m
b = 2 m
z = 6 m
γ
γsat γ′méd =
a . γ + b (γsat − γw)
a + b
γ′méd =
a . γ + b (γsat − γw)
a + b
=
4 . 18 + 2 (21 − 10)
4 + 2
≅ 15,7 kN/m³
Areia compacta → ruptura geral
σr = q ∙ Nq ∙ Sq +
1
2
γ ∙ B ∙ Nγ ∙ Sγ
A parcela da contribuição da coesão do solo foi suprimida pois neste caso
de solo puramente arenoso não há coesão e, portanto, temos c = 0
Ao entrarmos na tabela de fatores de capacidade de carga de Vesic (Tab. 
2.2) com Ø = 38º, temos:
Nq = 48,93 Nγ = 78,03 tg Ø = 0,78
E ao entrarmos na tabela de fatores de forma de De Beer (Tab. 2.3), 
temos:
Sapata quadrada:
Sq = 1 + tg Ø = 1 + 0,78 = 1,78
Sγ = 0,60
Sobrecarga q:
q = γ . h = 18 . 1,00 = 18 kPa
Substituindo os valores na equação da capacidade de carga, temos:
σr = q ∙ Nq ∙ Sq +
1
2
𝛾 ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑆𝛾
σr = 18 ∙ 48,93 ∙ 1,78 +
1
2
15,7 ∙ 3 ∙ 78,03 ∙ 0,60
σr ≅ 2.670 kPa = 𝟐, 𝟔𝟕 𝐌𝐏𝐚
γ′méd
h = 1 m
b) N.A. à cota - 7 m (no limite inferior do bulbo de tensões)
N.A.
Neste caso, todo o bulbo de tensões
está seco. Procede-se normalmente
com o cálculo da capacidade de carga.
N.A.
γ = 18 kN/m³
Areia compacta → ruptura geral
σr = q ∙ Nq ∙ Sq +
1
2
γ ∙ B ∙ Nγ ∙ Sγ
Ao entrarmos na tabela de fatores de capacidade de carga de Vesic (Tab. 
2.2) com Ø = 38º, temos:
Nq = 48,93 Nγ = 78,03 tg Ø = 0,78
E ao entrarmos na tabela de fatores de forma de De Beer (Tab. 2.3), temos:
Sapata quadrada:
Sq = 1 + tg Ø = 1 + 0,78 = 1,78
Sγ = 0,60
Sobrecarga q:
q = γ . h = 18 . 1,00 = 18 kPa
Substituindo os valores na equação da capacidade de carga, temos:
σr = q ∙ Nq ∙ Sq +
1
2
𝛾 ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑆𝛾
σr = 18 ∙ 48,93 ∙ 1,78 +
1
2
18 ∙ 3 ∙ 78,03 ∙ 0,60
σr ≅ 2.832 kPa = 𝟐, 𝟖𝟑 𝐌𝐏𝐚
γ
c) N.A. à cota - 1 m (na base da sapata)
N.A.
Neste caso, todo o bulbo de tensões
está saturado. Procede-se
normalmente com o cálculo da
capacidade de carga.
N.A.
γsat = 21 kN/m³
Areia compacta → ruptura geral
σr = q ∙ Nq ∙ Sq +
1
2
γ ∙ B ∙ Nγ ∙ Sγ
Ao entrarmos na tabela de fatores de capacidade de carga de Vesic
(Tab. 2.2) com Ø = 38º, temos:
Nq = 48,93 Nγ = 78,03 tg Ø = 0,78
E ao entrarmos na tabela de fatores de forma de De Beer (Tab. 2.3), 
temos:
Sapata quadrada:
Sq = 1 + tg Ø = 1 + 0,78 = 1,78
Sγ = 0,60
Sobrecarga q:
q = γ . h = 18 . 1,00 = 18 kPa
Substituindo os valores na equação da capacidade de carga, temos:
σr = q ∙ Nq ∙ Sq +
1
2
𝛾 ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑆𝛾
σr = 18 ∙ 48,93 ∙ 1,78 +
1
2
11 ∙ 3 ∙ 78,03 ∙ 0,60
σr ≅ 2.340 kPa = 𝟐, 𝟑𝟒 𝐌𝐏𝐚
γsat – γw = 21 – 10
Exercício:
5) Estimar a capacidade de carga de um elemento de fundação por sapata
indicado na figura a seguir:
Solução: vamos inicialmente calcular a capacidade de carga considerando 
apenas a primeira camada.
Argila rija → ruptura geral
σr1 = c ∙ NC ∙ SC + q ∙ Nq ∙ Sq
Argila saturada em condições não drenadas → Ø = 0
Pela tabela dos fatores de capacidade de carga de Vesic (Tab. 2.2),
temos:
Ø = 0 → NC = 5,14 Nq = 1,00 Nq/Nc = 0,20 tg Ø = 0
Pela tabela dos fatores de forma de De Beer (Tab. 2.3) temos:
Sapata quadrada:
Sc = 1 + Nq/Nc = 1 + 0,20 = 1,20
Sq = 1 + tg Ø = 1 + 0 = 1,00
Como NSPT = 15, podemos estimar a coesão do solo com a equação:
c = 10 . NSPT = 10 . 15 = 150 kPa
Pela tabela dos pesos específicos dos solos argilosos (Tab. 2.4.), temos que,
para argila rija, γ = 19 kN/m³
Portanto, a sobrecarga q será dada por:
q = γ . h = 19 . 1,00 = 19 kPa
Substituindo os valores na equação da capacidade de carga temos:
σr1 = c ∙ NC ∙ SC + q ∙ Nq ∙ Sq
σr1 = 150 ∙ 5,14 ∙ 1,20 + 19 ∙ 1,00 ∙ 1,00
σr1 ≅ 944 kPa = 𝟎, 𝟗𝟒 𝐌𝐏𝐚
Após o cálculo da capacidade de carga considerando somente a primeira
camada de solo, vamos calcular a capacidade de carga para uma sapata
fictícia apoiada no topo da segunda camada
z
A sapata fictícia apoiada no topo da segunda camada possui dimensões:
B’ = B + z
Onde z é a distância entre a base da sapata “real” e topo da segunda camada.
Neste caso, B’ = 3 + 4 = 7 m
z = 4 m
Areia pouco compacta → ruptura por puncionamento
σ′r = q ∙ N′q ∙ Sq +
1
2
𝛾 ∙ 𝐵 ∙ 𝑁′𝛾 ∙ 𝑆𝛾
Sabendo que NSPT = 6, podemos estimar o ângulo de atrito interno do solo por 
meio da seguinte equação:
Ø = 28º + 0,4 NSPT 
Ø = 28º + 0,4 . 6 ≅ 30º
Neste caso de ruptura por puncionamento, aplicamos a seguinte redução:
tg Ø* = 2/3 tg Ø = 2/3 tg 30º = 0,38
Assim, procuramos o valor de 0,38 na coluna “tg Ø” da tabela dos fatores 
de capacidade de carga de Vesic. 
1º procurar
nesta coluna o
valor de 0,38
O valor de 0,38
corresponde a
um ângulo de
atrito Ø = 21º
Ao entrarmos na tabela de fatores de capacidade de carga de Vesic
(Tab. 2.2) com Ø = 21º, temos:
N’q = 7,07 N’γ = 6,20 tg Ø = 0,38
E ao entrarmos na tabela de fatores de forma de De Beer (Tab. 2.3), 
temos:
Sapata quadrada:
Sq = 1 + tg Ø = 1 + 0,38= 1,38
Sγ = 0,60
Neste caso, a sobrecarga q deverá considerar toda a espessura de solo
acima da cota de assentamento da sapata fictícia:
h = 5 m
Acima da sapata fictícia, temos
uma sobrecarga de argila rija,
cujo peso específico é igual a (Tab.
2.4):
γ = 19 kN/m³
Portanto a sobrecarga q será:
q = γ . h = 19 . 5 = 95 kPa
Pela tabela dos pesos específicos dos solos arenosos (Tab. 2.5), temos
que, para areia pouco compacta, γsat = 19 kN/m³
Para o cálculo da tensão de ruptura, o valor do peso específico deverá ser o
efetivo, ou seja, o peso específico saturado descontado o peso da água (10
kN/m³):
γ’ = 19 – 10 = 9 kN/m³
Substituindo na equação de ruptura por puncionamento, temos:
σ′r2 = q ∙ N′q ∙ Sq +
1
2
𝛾 ∙ 𝐵 ∙ 𝑁′𝛾 ∙ 𝑆𝛾
σ′r2 = 95 ∙ 7,07 ∙ 1,38 +
1
2
9 ∙ 7 ∙ 6,20 ∙ 0,60
σ′r2 ≅ 1.044 kPa ≅ 𝟏, 𝟎𝟒 𝐌𝐏𝐚
γsat – γw = 19 – 10
B’ = B + z = 3 + 4 
Comparando os dois valores de capacidade de carga, temos:
σr1 = 0,94 MPa < σ′r2 = 1,04 MPa → ok!
Então podemos adotar, a favor da segurança, que a capacidade de carga do
sistema é 𝝈𝐫 = 𝝈𝐫𝟏 = 𝟎, 𝟗𝟒 𝐌𝐏𝐚
Exercício 6 (livro Fundações Diretas – Capítulo 2):
6) Estimar a capacidade de carga de um elemento de fundação por sapata
indicado na figura a seguir, com as seguintes condições de solo na segunda
camada:
a) Argila rija com NSPT = 15;
b) Argila mole com NSPT = 4.
Solução: vamos inicialmente calcular a capacidade de carga considerando 
apenas a primeira camada.
Areia compacta → ruptura geral
σr1 = q ∙ Nq ∙ Sq +
1
2
𝛾 ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑆𝛾
Ao entrarmos na tabela de fatores de capacidade de carga de Vesic (Tab. 
2.2) com Ø = 38º, temos:
Nq = 48,93 Nγ = 78,03 tg Ø = 0,78
E ao entrarmos na tabela de fatores de forma de De Beer (Tab. 2.3), temos:
Sapata quadrada:
Sq = 1 + tg Ø = 1 + 0,78 = 1,78
Sγ = 0,60
Pela tabela dos pesos específicos dos solos arenosos (Tab. 2.5), temos
que, para areia compacta, γ = 18 kN/m³
Portanto, a sobrecarga q será dada por:
q = γ . h = 18 . 1,00 = 18 kPa
Substituindo os valores na equação da capacidade de carga, temos:
σr1 = q ∙ Nq ∙ Sq +
1
2
𝛾 ∙ 𝐵 ∙ 𝑁𝛾 ∙ 𝑆𝛾
σr1 = 18 ∙ 48,93 ∙ 1,78 +
1
2
18 ∙ 3 ∙ 78,03 ∙ 0,60
σr1 ≅ 2.832 kPa = 𝟐, 𝟖𝟑 𝐌𝐏𝐚
Agora, vamos considerar uma sapata fictícia apoiada no topo da segunda
camada, nas duas condições solicitadas (a) e (b)
a) Argila rija → ruptura geralσr2 = c ∙ NC ∙ SC + q ∙ Nq ∙ Sq
Argila saturada em condições não drenadas → Ø = 0
Pela tabela dos fatores de capacidade de carga de Vesic (Tab. 2.2),
temos:
Ø = 0 → NC = 5,14 Nq = 1,00 Nq/Nc = 0,20 tg Ø = 0
Pela tabela dos fatores de forma de De Beer (Tab. 2.3) temos:
Sapata quadrada:
Sc = 1 + Nq/Nc = 1 + 0,20 = 1,20
Sq = 1 + tg Ø = 1 + 0 = 1,00
Como NSPT = 15, podemos estimar a coesão do solo com a equação:
c = 10 . NSPT = 10 . 15 = 150 kPa
Neste caso, a sobrecarga q deverá considerar toda a espessura de solo
acima da cota de assentamento da sapata fictícia:
h = 5 m
Acima da sapata fictícia, temos
uma sobrecarga de areia
compacta seca, cujo peso
específico é igual a (Tab. 2.4):
γ = 18 kN/m³
Portanto a sobrecarga q será:
q = γ . h = 18 . 5 = 90 kPa
Substituindo na equação de capacidade de carga temos:
σr2 = c ∙ NC ∙ SC + q ∙ Nq ∙ Sq
σr2 = 150 ∙ 5,14 ∙ 1,20 + 90 ∙ 1,00 ∙ 1,00
σr2 ≅ 1.015 kPa = 1,01 MPa
Comparando os dois valores de capacidade de carga, temos:
σr1 = 2,83 MPa > σr2 = 1,01 MPa
Como a segunda camada é menos resistente, devemos calcular a média
ponderada dos valores de capacidade de carga dentro do bulbo de
tensões.
σr 1,2 =
a . σr1 + b . σr2
a + b
=
4 . 2,83 + 2 . 1,01
4 + 2
= 2,22 MPa
Média ponderada dos valores de capacidade de carga dentro do bulbo de 
tensões:
a = 4 m
b = 2 m
z = 6 m
Sapata com B=L= 3 m
→ quadrada
Profundidade do bulbo
de tensões para sapatas
quadradas:
z = 2B
z = 2 . 3
z = 6 m
Parcela propagada dessa tensão até o topo da segunda camada: 
∆σ ≅
σr 1,2 . B . L
B + z L + z
=
2,22 . 3 . 3
3 + 4 3 + 4
= 0,41 MPa
Comparando os valores de Δσ com σr2 temos:
∆σ = 0,41 MPa < σr2 = 1,01 MPa → ok!
Então, a capacidade de carga do sistema (σr) é a própria capacidade de carga
média no bulbo de tensões σr1,2 :
σr = σr 1,2 = 𝟐, 𝟐𝟐 𝐌𝐏𝐚
b) Argila mole → ruptura por puncionamento
σ′r = 𝑐
∗ ∙ N′C ∙ SC + q ∙ N′q ∙ Sq
Pela tabela dos fatores de capacidade de carga de Vesic (Tab. 2.2),
temos:
Ø* = 0 → N’C = 5,14 N’q = 1,00 N’q/N’c = 0,20 tg Ø* = 0
Pela tabela dos fatores de forma de De Beer (Tab. 2.3) temos:
Sapata quadrada:
Sc = 1 + Nq/Nc = 1 + 0,20 = 1,20
Sq = 1 + tg Ø = 1 + 0 = 1,00
Como NSPT = 4, podemos estimar a coesão do solo com a equação:
c = 10 . NSPT = 10 . 4 = 40 kPa e aplicar a seguinte redução considerando a
ruptura por puncionamento:
c* = (2/3) c = (2/3) 40 ≅ 27 kPa
A sobrecarga q é igual 90 kPa, conforme calculado no item (a).
Substituindo na equação de ruptura por puncionamento, temos:
σ′r2 = 𝑐
∗ ∙ N′C ∙ SC + q ∙ N′q ∙ Sq
σ′r2 = 27 ∙ 5,14 ∙ 1,20 + 90 ∙ 1,00 ∙ 1,00
σ′r ≅ 257 kPa ≅ 𝟎, 𝟐𝟔 𝐌𝐏𝐚
Comparando os dois valores de capacidade de carga, temos:
σr1 = 2,83 MPa > σ′r2 = 0,26 MPa
Como a segunda camada é menos resistente, devemos calcular a média
ponderada dos valores de capacidade de carga dentro do bulbo de
tensões.
σr 1,2 =
a . σr1 + b . σr2
a + b
=
4 . 2,83 + 2 . 0,26
4 + 2
= 1,97 MPa
Parcela propagada dessa tensão até o topo da segunda camada: 
∆σ ≅
σr 1,2 . B . L
B + z L + z
=
1,97 . 3 . 3
3 + 4 3 + 4
= 0,36 MPa
Comparando os valores de Δσ com σr2 temos:
∆σ = 0,36 MPa > σ′r2 = 0,26 Mpa
O que exige a redução da capacidade de carga de modo que o valor
propagado Δσ não ultrapasse σ’r2 . Logo,
σr = σr 1,2
σ′r2
∆σ
= 1,97
0,26
0,36
= 𝟏, 𝟒𝟐 𝐌𝐏𝐚