CM202_Lista_04_Derivadas_Parciais

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Lista de Exercícios 02 – Derivadas Parciais – Aulas 02 e 03 
Disciplina de Cálculo III – DP 2017/01 
Prof. Ricardo Luiz Araújo, 20/05/2017 
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1) Calcule as derivadas parciais das funções a seguir. (respostas no final da lista de exercícios) 
 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
 
 
e) 
 
f) 
 
g) 
 
h) 
 
i) 
 
 
 
 
j) 
 
k) 
 
 
l) 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule as derivadas parciais das funções a seguir nos pontos dados. 
 
a) nos pontos x=2 e y=3 
 
Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
b) nos pontos x=1 e y=3 
 
Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 nos pontos x=4 e y=8 
 
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Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
d) nos pontos x=2 e y=3 
 
Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
e) nos pontos x= -1 e y=2 
 
Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 ,604 
 
 
f) 
 
 
 
 nos pontos x= -3 e y=1 
 
Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
g) 
 nos pontos x= 1 e y=1 
 
Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
h) nos pontos x= 2 e y=1 
 
Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
i) nos pontos x= 4 e y=2 
 
Resposta: 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
3) Uma chapa de metal plana está em um plano xy de modo que a temperatura T 
em função de (x, y) seja dada por . T é expressa em 
graus Celsius, x e y são expressos em centímetros (cm) . Ache a taxa instantânea 
de variação de T em relação à distancia no ponto (1,2) na direção do eixo x e na 
direção do eixo y. (dica: calcule a derivada parcial em relação à direção x e à direção y e aplique os pontos) 
Resposta: 
 
 
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4) A superfície de um lago é representada por uma região D em um plano xy de 
modo que a profundidade sob o ponto correspondente a (x,y) é dada por 
 onde x, y e f(x,y) são expressos em metros. Se um 
esquiador aquático está na água no ponto (4,9) ache a taxa instantânea na 
qual a profundidade varia na direção do eixo x e na direção do eixo y. 
Resposta: 
 
5) Uma laje com dimensões 20 x 20 metros é submetida a esforços dados em 
newtons (N) de acordo com a função onde x, y são dados 
em metros em um sistema de coordenadas em que o centro da laje é a 
origem do eixo x e do eixo y. O eixo x é horizontal e o eixo y é vertical. Com 
base no gráfico da função, apresentado a seguir, estime o valor da carga nos 
seguintes pontos: (respostas no final da lista de exercícios) 
a) (8,6) 
b) (-6,0) 
c) (0,-3) 
d) (2,4) 
e) (-9,7) 
 
 
 
6) A função representa a pressão em diferentes pontos 
da porta de uma sala pressurizada. A função f(x,y) expressa pressão na 
unidade PSI e x e y representam distâncias em centímetros ao longo da 
porta. Com base na função resolva as duas questões a seguir. (respostas no 
final da lista de exercícios 
 
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
0 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
0
0-2
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
Escala (newtons)
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a) Represente no espaço abaixo o gráfico da função (seção da função) para a 
condição f(x,2) no intervalo: 0 
 
 
b) Represente no espaço abaixo o gráfico da função (seção da função) para a 
condição f(4,y) no intervalo: 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
0 1 2 3 4 5
P
re
ss
ão
 (
P
SI
)
Posição no eixo y (cm)
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Resultados do Exercício 1 
 
a) 
 
 
 e 
 
 
 
 
b) 
 
 
 e 
 
 
 
 
c) 
 e 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
e) 
 e 
 
 
f) 
 
 
 e 
 
 
 
 
g) 
 
 
 e 
 
 
 
 
h) 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
i) 
 
 
 e 
 
 
 
 
j) 
 e 
 
 
k) 
 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
Resultados do Exercício 5 
 
a) Carregamento de 10 a 12 N; 
b) Carregamento de 6 a 8 N; 
c) Carregamento de 2 a 4 N; 
d) Carregamento de 4 a 6 N; 
e) Carregamento de 10 a 12 N; 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resultados do Exercício 6 
 
a) Gráfico: f(x,2) 
 
 
 
b) Gráfico: f(4,y) 
 
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
0 1 2 3 4 5
P
re
ss
ão
 (
P
SI
)
Posição no eixo x (cm)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
0 1 2 3 4 5
P
re
ss
ão
 (
P
SI
)
Posição no eixo y (cm)