1756118_Unidade_II_Transformada z_v2020_Parte1

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Unidade II – A Transformada z
Parte I
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Curso de Engenharia Eletrônica e de Telecomunicação
Profa. Zélia Myriam Assis Peixoto
Tópicos Principais
DEFINIÇÃO E CONCEITOS FUNDAMENTAIS
TRANSFORMADA Z X TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO 
DISCRETO (DTFT – DISCRETE-TIME FOURIER TRANSFORM)
REGIÕES DE CONVERGÊNCIA 
PROPRIEDADES
A TRANSFORMADA Z INVERSA
1 – (Oppenheim, A. V. e Schafer, R.W. ): Discrete-Time Signal Processing; Prentice Hall, 3rd 
ed., 2009.
1 – Definição e Conceitos Fundamentais
“A Transformada z desempenha um importante papel na análise dos sinais e
sistemas discretos. A representação dos sinais/sistemas discretos através da
Transformada z é análoga à Transformada de Laplace no domínio do tempo contínuo e, da
mesma forma, guarda uma estreita relação com a Transformada de Fourier.”
Motivações para o uso da Transformada z:
 A Transformada de Fourier não converge para todas as sequências;
 Em problemas analíticos, a notação da Transformada z é mais conveniente que a notação da
Transformada de Fourier
Definindo uma variável complexa, na forma polar, por:
jz re  r - Módulo de z 
 - Ângulo de fase
A Transformada z de uma sequência discreta x[n] é calculada como:
    n
n
X z x n z

-
-
 
... Definição e Conceitos Fundamentais
A Transformada z é uma soma infinita ou uma série de potência infinita, onde z é
a variável complexa. Transforma uma sequência numérica em uma função sendo, por
vezes, referida como Operador Transformada z:
       n
n
Z x n X z x n z

-
-
  
   zx n X z
- Classes de transformadas z:
Transformada z Bilateral: Transformada z Unilateral 
Direita:
Transformada z Unilateral 
Esquerda:
    n
n
X z x n z

-
-
     
0
n
n
X z x n z

-

     
0
n
n
X z x n z-
-
 
r
Im{z}
Re{z}
jz re 
Plano z
Transformada z de 
Comprimento Finito:
   
2
1
N
n
n N
X z x n z-

 
Exemplos:
Dadas as sequências a seguir, responda às questões:
a) Faça o esboço e caracterize o sinal no domínio do tempo.
b) Identifique o tipo de Transformada Z e calcule a representação do sinal no domínio z.
c) Faça o esboço da representação do sinal no Plano z.
1) 𝑥 𝑛 = 0,5𝑛𝑢 𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ
 
 
0
1
0
1
1
1
0,5
0,5
1
, 0,5 1
1 0,5
1
0,5 0,5
n n
n
n
n
X z z
z
z
z
z
z

-


-

-
-
-


 
-
   


a)
b) Transformada Z Unilateral Direita 
0,5
Im{z}
Re{z}
0,5z 
c)
0
1
, 1
1
k
k
a a
a


 
-

Série 2:
Exemplos:
2) 𝑥 𝑛 = 1,5𝑛𝑢 𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ
a)  
 
0
1
0
1
1
1
1,5
1,5
1
, 1,5 1
1 1,5
1
1,5 1,5
n n
n
n
n
X z z
z
z
z
z
z

-


-

-
-
-


 
-
   


Im{z}
Re{z}
c)
1,5
b) Transformada Z Unilateral Direita 
0
1
, 1
1
k
k
a a
a


 
-

Série 2:
3) 𝑥 𝑛 = 1,2𝑛𝑢 −𝑛 , 𝑛 ∈
ℤ
Exemplos:
a)
b) Transformada Z Unilateral Esquerda 
 
 
 
 
0
0
1
1
0
1
0
1
1
Troca de variáveis:
1,2
1,2
 
1,2
1,2
1
, 1,2 1
1 0,8333
1
1,2
1,2
n n
n
n
n
m
m
m
m
X z z
z
m n n m
z
z
z
z
z z
-
-
-
-

-
-


-

-
-


 -   -


 
-
   




Im{z}
Re{z}
c)
1,2
4) 𝑥 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2 𝑛 = 0,5
𝑛𝑢 𝑛 + 1,2𝑛𝑢 −𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ
 
 
1
0
1
0
1
1
1
0,5
0,5
1
, 0,5 1
1 0,5
1
0,5 0,5
n n
n
n
n
X z z
z
z
z
z
z

-


-

-
-
-


 
-
   


 
 
 
 
0
2
0
1
1
0
1
0
1
1
Troca de variáveis:
1,2
1,2
1,2
1,2
1
, 1,2 1
1 0,8333
1
1,2
1,2
n n
n
n
n
m
m
m
m
X z z
z
m n n m
z
z
z
z
z z
-
-
-
-

-
-


-

-
-


 -   -


 
-
   




Im{z}
Re{z}
1,20,5
Exemplos:
0,5 1,2z      1 2 ,
0,5 1,2
X z X z X z
z
 
 
Exemplos:
6) 𝑥 𝑛 = cos 𝜔𝑛 𝑢 𝑛 , 𝑛 ∈ ℤ
       n
n
Z x n X z x n z

-
-
  
   
   
 
0
0
0 0
1 1
0 0
1
1 1
2
2
cos
2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1 1 1
, 1 1
2 1 2 1
cos
2 cos 1
n
n
j n j n
n
n
j n n j n n
n n
n n
j j
n n
j
j j
X z n z
e e
z
e z e z
e z e z
e z z
e z e z
z z
X z
z z
 
 
 

 




-

-
-

 
- - -
 
 
- - -
 
-
- - -

 
  
 
 
 
   
       
- -   
-

- 


 
 
Para casa: Simplificar e
deduzir a expressão
resultante!
0
1
, 1
1
k
k
a a
a


 
-

Série 2: