Prova_Geral_G2. Maria Cristina. 2020/1

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MAT01167 - Equações Diferenciais II - ERE2020/1 - Prova Geral da 2ª Área
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Prazo de envio pelo Moodle: 23h59min de sábado 24/10/2020.
" A felicidade não é uma estação de chegada, mas sim um modo de v iajar." (M. Ruberck)
Questão 1
Sabendo que a posição 
uma força de amortecimento de 5 vezes a sua velocidade instantânea em m/s, satisfaz a eq. diferencial:
(a) determine , sabendo que o objeto é liberado a partir de uma posição inicial 1m abaixo da sua
posição de equilíbrio, e com uma velocidade inicial de 1 m/s para baixo, isto é, as condições iniciais são:
, em m, de um objeto de massa 1 kg, pendurado na extremidade de 
uma mola de constante elástica 4 N/m, cuja outra extremidade está presa, em um meio que corresponde a
apresenta algum máximo ou algum mínimo? Em caso afirmativo, determine em 
que instante(s) isso ocorre, e em qual(is) posição(ões) do objeto?
(c) O objeto passará pela posição de equilíbrio? Em caso afirmativo, determine em que instante(s) isso
(b) O gráfico de 
Nos itens (b) e (c), vamos fazer uns cálculos para ter algumas informações que nos ajudarão a 
paratraçar (sem aplicativo nem softw are) no item (d) um esboço do gráfico de 
Agora, você pode utilizar estas informações para traçar um esboço do gráfico de para ;
Questão 2
Sabendo que a solução geral da equação diferencial
,
onde
(d)
tempo, a partir das condições iniciais dadas.
explique em palavras o que ocorre com a posição e com a velocidade do objeto, com o passar do 
tem a forma
 é a solução geral da equação diferencial linear homogênea associada à eq. dif.dada,
e é uma solução particular da equação diferencial linear não homogênea dada,
(a) determine ,
determine(b)
(c) ? Em
pelo método de variação dos parâmetros e escreva a solução geral da equação.
Esta equação admite que se utilize o método dos coeficientes a determinar, para obter
caso afirmativo, obtenha novamente , por este método, e escreva a solução geral da eq. dif. dada.
ocorrerá, e em qual(is) posição(ões) do objeto?
Questão 3
Dado que é solução da equação diferencial ,
determine uma 2ª solução, , tal que seja um conjunto fundamental de
Integrais que podem ser úteis:
soluções desta equação diferencial. Verif ique que satisfaz a equação diferencial dada.
Questão 4
A equação diferencial
onde é uma constante, é conhecida como Equação de Hermite.
(a) Usando o fato de que é um ponto ordinário desta equação diferencial, determine a sua
. Explicite os três primeiros
e
solução geral sob a forma de série de potências em torno de 
, que constituem um sistema fundamental 
de soluções desta equação diferencial.
termos em cada uma das soluções
(b) Observe que, se
Determine as soluções polinomiais para
for um inteiro par não negativo, uma ou outra das soluções em série passa 
ea ser f inita, e torna-se um polinômio.
Veja que na sua resposta, cada polinômio é determinado a menos de uma constante multiplicativa. 
(c) O Polinômio de Hermite 
é . Escreva os polinômios de Hermite 
é definido como a solução polinomial da equação de Hermite com
,para a qual o coeficiente de 
., e