prova_recup. Maria Cristina. 2020/1

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PROVA DE RECUPERAÇÃO MAT01167 ERE 2020/1
"A vida é a arte de desenhar sem borracha"
Prazo de envio pelo Moodle: 23h59min de sábado 28/11/2020
Esta prova é composta por 4 questões que você deve resolver detalhadamente. Na última página,
disponibilizamos algumas integrais que podem ser úteis na resolução de alguma questão. 
Questão 1
Considere a equação diferencial
peso em um meio que oferece uma resistência
para a velocidade de um objeto em um movimento vertical para baixo, sob a ação da força
.
(a)
qualitativo da sua solução, a partir do gráfico de x
Por tratar-se de uma equação diferencial de 1ª ordem autônoma, pode-se obter o comportamento
. Trace este gráfico, e neste localize
o valor da velocidade inicial nas seguintes 3 situações distintas:
x ; explique com palavras estee trace o gráfico do comportamento qualitativo da solução
comportamento qualitativo.
(b) Resolva o problema de valor inicial constituído por esta equação diferencial juntamente com a
, usando o método para resolver equações diferenciais a variáveiscondição inicial
separáveis. Depois de obter a solução deste problema de valor inicial, trace o seu gráfico, 
construindo-o termo a termo, em cada uma das 3 situações distintas:
(a.1) ; (a.2) ; (a.3) ,
; ;(b.1) (b.2) (b.3) ,
Questão 2
Determine a solução geral da equação diferencial: ,
escrevendo
para obter a solução particular .
, e utilizando o método dos coeficientes a determinar
e explicando cada passo desta construção.
Questão 3
Dada a equação de Chebyshev: ,
onde
(a)
é uma constante (parâmetro) não negativa,
, para , e mostre quedetermine duas soluções em série de potências de
elas constituem um conjunto fundamental de soluções.
(b) Mostre que, se , inteiro não negativo, então existirá uma solução polinomial de grau
(c) Determine uma solução polinomial para os casos
Questão 4 a uma temperatura inicial dada por
,
Considere uma barra uniforme de comprimento
. Suponha que ambas as extremidades estejam
termicamente isoladas. Sabendo que a equação diferencial que deve ser satisfeita pela temperatura
é
apresentando detalhadamente todos os passos da sua resolução.
, determine a solução deste problema de contorno, 
?Qual é a temperatura no estado estacionário, quando
Algumas Integrais que podem ser úteis em alguma questão: