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GEOMETRIA PLANA TRIÂNGULOS e QUADRILÁTEROS Professora Juliana Schivani TIPOS DE TRIÂNGULOS Teorema do ângulo externo e + + = 180 e + = 180 + + = e + + = e ÁREA DO TRIÂNGULO E quando não se tem base E/OU altura????? Área do triângulo em função dos lados e do seno a b c h α sen α = h / a => h = a ∙ sen α β sen β = h / b => h = b ∙ sen β A = c ∙ a ∙ sen α 2 A = c ∙ b ∙ sen β 2 Área do triângulo em função dos lados e do seno a b c h α sen α = h / a => h = a ∙ sen α β sen β = h / b => h = b ∙ sen β A = c ∙ a ∙ sen α 2 A = c ∙ b ∙ sen β 2 Área do triângulo em função dos lados e do seno a b c h α sen α = h / a => h = a ∙ sen α β sen β = h / b => h = b ∙ sen β A = c ∙ a ∙ sen α 2 A = c ∙ b ∙ sen β 2 Área do triângulo em função dos lados e do seno a b c h α sen α = h / a => h = a ∙ sen α β sen β = h / b => h = b ∙ sen β A = c ∙ a ∙ sen α 2 A = c ∙ b ∙ sen β 2 Área do triângulo em função dos lados e do seno a b c h α sen α = h / a => h = a ∙ sen α β sen β = h / b => h = b ∙ sen β A = c ∙ a ∙ sen α 2 A = c ∙ b ∙ sen β 2 Área do triângulo em função dos lados e do seno a b c h α sen α = h / a => h = a ∙ sen α β sen β = h / b => h = b ∙ sen β A = c ∙ a ∙ sen α 2 A = c ∙ b ∙ sen β 2 Área do triângulo em função dos lados e do seno a b c A = a ∙ b ∙ sen ab 2 ab TEOREMA DE HEIRÃO, HERON OU HERÃO Ver vídeos com a demonstração TEOREMA DE HEIRÃO, HERON OU HERÃO P = 9 + 7 + 14 2 = 30 2 = 15 A² = 15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14) A² = 15 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 1 A² = 720 A = √720 ≈ 26,8 cm² ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITa a b c r r r A = ar + br + cr 2 2 2 => A = ar + br + cr 2 => A = r (a + b + c) 2 A = p·r ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA r a c b A C B Pela lei dos senos: a sen A b sen B c sen C = = = 2R a = sen A ∙ 2R b = sen B ∙ 2R c = sen C ∙ 2R Pela área do triângulo em função dos senos: A = a ∙ b ∙ sen ab 2 Substituindo (1) em (2): A = sen A ∙ 2R ∙ sen B ∙ 2R ∙ sen C 2 = 4R² ∙ sen A ∙ sen B ∙ sen C 2 => sen A = a/ 2R => sen B = b/ 2R A = 4R² ∙ a/2R ∙ b/2R ∙ c/2R 2 = 4R² ∙ abc/8R³ 2 = abc/2R 2 = abc 4R ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA CIRCUNSCRITA EXERCÍCIO Marque a alternativa que representa a área da região do plano limitada pelo triângulo equilátero, com lados medindo a, e pela circunferência inscrita nesse triângulo. A parte escura da figura abaixo ilustra essa região. A ( ) a²(2√3 – π)/12 B ( ) a²(3√3 – π)/12 C ( ) a³(3√2 – π)/12 D ( ) a³(2√2 – π)/12 Toda paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, sobre esses lados, segmentos proporcionais. DESIGUALDADE TRIÂNGULAR Em todo triângulo a medida de um lado qualquer é sempre menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que a diferença absoluta entre eles: a b c |b – c| < a < b + c |a – b| < c < a + b |a – c | < b < a + c DESIGUALDADE TRIÂNGULAR Exemplo: Determine os possíveis valores de x para que forme um triângulo. a = 2x + 1 b = 1 c = 4 |4 – 1| < 2x + 1 < 4 + 1 3 < 2x + 1 < 5 2 < 2x < 4 1 < x < 2 BARICENTRO DO TRIÂNGULO P N M C B A G O baricentro de um triângulo divide cada mediana na razão 2:1 no sentido do vértice para o lado. AG = 2GM BG = 2GN CG = 2GP O ponto G é o ponto de equilíbrio do triângulo. EXERCÍCIO BÁSICO Um desenhista pretende construir cinco triângulos cujos lados devem ter as medidas seguintes. I) 10 cm; 8 cm; 6 cm. II) 9 cm; 15 cm; 12 cm. III) 12 cm; 15 cm; 12 cm. IV) 9 cm; 8 cm; 4 cm. V) 10 cm; 10 cm; 21 cm. Podemos afirmar que o desenhista obteve triângulo nos casos. a) I, II, III e IV. b) I, II, IV e V. c) I, II e IV. d) I, II, e V. e) Em nenhum caso pode se formar triângulo. V V V F V 24 QUADRILÁTEROS É todo polígono que possui apenas quatro lados. D C B A A B C D Quadrilátero convexo Quadrilátero côncavo Em todo quadrilátero convexo temos: d = 2, soma dos ângulos internos e soma dos ângulos externos igual a 360 graus. TRAPÉZIOS São quadriláteros que possuem dois lados paralelos denominados bases. B C D A AC // BD ABCD é trapézio. B b TRAPÉZIOS B b B b TRAPÉZIOS B + b b + B TRAPÉZIOS Trapézios Isósceles É todo trapézio que possui dois lados não paralelos congruentes entre si. a a b b a + b = 180º As diagonais do trapézio isósceles são congruentes Trapézio Escaleno É todo trapézio que possui dois lados não paralelos com medidas diferentes entre si. Trapézio Retângulo É todo trapézio escaleno que possui um dos lados não paralelos perpendiculares às bases. Todo trapézio retângulo é trapézio escaleno. a + b = 180º b a PARALELOGRAMOS É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos entre si. D C B A Nos paralelogramos valem as seguintes propriedades A diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes. Os lados opostos são congruentes. Os ângulos opostos são congruentes. Diagonais se cortam em seus respectivos pontos médios. Nota: Todo paralelogramo é um trapézio, pois tem dois lados paralelos. PARALELOGRAMOS D C B A b b PARALELOGRAMOS b b É todo paralelogramo que possui os lados congruentes entre si. (equilátero). D C B A Nos losangos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades: As diagonais são bissetrizes e perpendiculares. I I I I I I Todo losango é um paralelogramo e, portanto, também é um trapézio. LOSANGOS LOSANGOS É todo paralelogramo que possui os ângulos congruentes entre si. (eqüiângulo) Nos retângulos, além das propriedades dos paralelogramos, valem as seguintes propriedades: As diagonais são congruentes e os quatro ângulos são retos. Todo retângulo é um paralelogramo e, portanto, também é um trapézio. B A D C RETÂNGULOS RETÂNGULOS 5 quadrados preenchem a base 3 quadrados preenchem a altura 5 * 3 = 15 quadrados preenchem o retângulo É todo paralelogramo que possui os ângulos congruentes (é retângulo) e possui todos os lados congruentes (é losango) No quadrado, valem todas as propriedades dos retângulos, e todas as propriedades do losango. Todo quadrado é retângulo e losango e, portanto, também é paralelogramo e trapézio. _ _ _ _ QUADRADOS QUADRADOS TRAPEZÓIDES Todo quadrilátero que não for trapézio será trapezóide. são quadriláteros que não apresentam paralelismo entre os lados. C B A D quadriláteros trapézios paralelogramos Los Ret Q BASES MÉDIAS ΔABC ≈ ΔAMN => x x y y 2x x = 2 Razão de Semelhança BASE MÉDIA DO TRIÂNGULO 2y y A M N B C B 2 Bm = B Bm = = 45 B + b Base média – É o segmento de reta que liga os pontos médios dos lados não paralelos do trapézio. D C B A A medida da base média é igual à semi-soma das medidas das bases. V N DN = NA e CV = VB NV é base média. 2 b B BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO Bm = BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO Inicialmente, prolonguemos AM até encontrar DC no ponto E. É fácil ver que ∆ABM ≡ ∆CME (ALA) ⇒ AB = CE. Portanto, MN é base média do triângulo ADE. BASE MÉDIA DO TRAPÉZIO DE 2 MN = DC + CE 2 DC + AB 2 B + b 2 = = = Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da base menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que x - y = 5 cm, determine as medidas de x e y. x y 5,5 Teorema de Tales Um feixe de retas paralelas determina, sobre duas transversais, segmentos proporcionais. (Saresp–SP) No desenho abaixo estão representados os terrenos I, II e III. Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que o proprietário do terreno II construirá para fechar o lado que faz frente com a Rua das Rosas? (Fuvest–SP) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra, de um bastão vertical de 1 m de altura mede 0,6 m. Qual a altura do poste? REFERÊNCIAS http://www.rpm.org.br/5e/docs/mc11.pdf http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=12&ved=0CHgQFjAL&url=http%3A%2F%2Fwww.colegiounimax.com.br%2FImagens%2FBiblioteca%2FCKFinder%2F4%2FDownloads%2FGeometria%2520Plana%2520-%2520Quadril%25C3%25A1teros%2520e%2520Base%2520M%25C3%25A9dia.ppt&ei=3GaNUOGRMIHv0gGXqoGQBQ&usg=AFQjCNHL-94DpkZYrQ4-RfklXw6YbCj7Ow&sig2=Mo8jSJ98tf9OrMJFDRoQHg http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/formula-heron.htm BC // PQ Se QC AQ PB AP = ' C ' B ' B ' A BC AB =
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