Integração Numérica

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Integração Numérica 
119 
7 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
7.1 FÓRMULA DE QUADRATURA DE NEWTON-COTES 
 Considere uma função definida em , , , ,0 1 n n 1x x x x  ,  n 1 pontos distintos e equidistantes no 
intervalo  ,a b , isto é,   , , , ,i 1 ix x h i 0 1 n 1     , sendo h 0 a distância entre os pontos. 
 Seja  nP x o polinômio interpolador de uma função  f x definida nos pontos , , ,0 1 nx x x ,  n 1 
pontos distintos equidistantes no intervalo  ,a b , tal que 0x a e nx b . Considerando que  f x seja 
suficientemente diferenciável, temos da interpolação polinomial que: 
 
     n nf x P x E x  
Em que 
     
   
 
,
!
n 1
n 0 n 0 n
f
E x x x x x x x
n 1



    

 
Assim, 
   
n n
0 0
x x
n
x x
f x dx P x dx  
E o erro dado por: 
 
n
0
x
n
x
E x dx 
 
 Como os pontos escolhidos são equidistantes usamos a fórmula de interpolação de Newton-Gregory: 
 
 
     
( ) ( ) ( )( ) ( )(! ) ( )
! !
1 2
nn 0 0 0
n
1
0 0 0
n
0
021 1
f x f x
P x f x x x x x x x x x x x x
f
x
x
h 2 h n h

 


         
 
 Fazendo uma mudança de variável, onde: 
 
0
0
x x
u x x uh
h

    
 
De modo que na variável u os pontos de interpolação são sempre , , ,0 1 n e o polinômio interpolador é 
dado por: 
 
 
   
 
    
 ( )
! ! !
1
0 2 n
0 0
0
n 0
u u 1 u n 1u f x u u 1
f x f x
1 2
P u
n
f x   
  
  

 
 
E o erro na interpolação na variável u é dado por: 
 
 
    
 
 ,
!
n 1 n 1
n u u
u u 1 u n 1
E u h f 0 n
n 1
  
  
  

 
 
Assim, o erro na interpolação pode ser escrito como: 
 
   
   
 
   
!
n
0
x n n n 1n 1
n n n u
x 0 0
u u 1 u n
E E x dx h E u du h f du
n 1


 
  
  
 
 
 
Cálculo Numérico 
120 
7.2 ERRO COMETIDO NA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 
 Ao fazermos a aproximação 
 
   
n n
0 0
x x
n
x x
f x dx P x dx  
 
Um erro é cometido e pode ser expresso pelo seguinte teorema: 
 
TEOREMA 6.1: 
I. Se a função  f x possui  n 1 derivadas contínuas no intervalo  ,0 nx x e os pontos 
, , , ,ix ih i 0 1 n  subdividem o intervalo num número ímpar de intervalos, então existe  , tal 
que: 
 
   
 
     ,
!
n 1n 2
n
n 0 n
0
h f
E u u 1 u n du x x
n 1



    
 
 
 
II. Se a função  f x possui  n 2 derivadas contínuas no intervalo  ,0 nx x e os pontos 
, , , ,ix ih i 0 1 n  subdividem o intervalo num número par de intervalos, então existe  , tal que: 
 
   
 
     ,
!
n 2n 3
n
n 0 n
0
h f n
E u u u 1 u n du x x
n 2 2



 
      
  
 
7.3 REGRA DOS TRAPÉZIOS 
 Considere uma função  f x definida em dois pontos 0x e 1x no intervalo  ,a b . O polinômio 
interpolador de Newton-Gregory da função  f x de grau n 1 é dado por: 
 
 
 
( ) ( )
1
0
1 0 0P
h
x f x x x
f x
   
e 
     
1 1
0 0
x x 1
1 1
x x 0
f x dx P x dx h P u du   
em que 0
x x
u
h

 , com 1 0h x x  . 
 
 
Figura 25 
 
 Podemos integrar  1P u e obter uma fórmula de integração: 
 
Integração Numérica 
121 
          
1
0
x 1 1 1
0 1 0 1
0 0 0 0
x 0 0 0
f x dx h f x u f x du h f x du h u f x du          
 
Como    0 0 0f x f x  e      
1
0 1 0f x f x f x   , temos: 
 
     
      
      
    
1
0
x 1 1
0 1
0 0
x 0 0
1
2
1
0 1 00
0
0 1 0
0 1
f x dx h f x du h u f x du
u
hf x u h f x f x
2
h
hf x f x f x
2
h
f x f x
2
  
 
    
 
  
 
  
 
Portanto, temos: 
      
1
0
x
0 1
x
h
f x dx f x f x Regra do Trapézio
2
  
 
7.3.1 Erro na regra dos Trapézios 
 Neste caso, o intervalo de integração n 1 é ímpar e, portanto, pela parte (I) do Teorema 6.1: 
 
   
 
    
!
n 2n 2
n
n
0
h f
E u u 1 u n du
n 1


  
 
 
 
Com n 1 , temos: 
 
 
   ,
!
3 2
1
1 0 1
0
h f
E u u 1 du x x
2

    
 
Como   ,
1
0
1
u u 1 du
6
   temos que o erro é dado por: 
 
 ,
3
2
1 0 1
h
E f x x
12
     
 
 Podemos observar que o argumento  na forma do erro 1E não é uma grandeza numérica 
conhecida no intervalo  ,0 1x x e, portanto, não é possível calculá-lo exatamente na regra dos trapézios, mas 
podemos calcular uma estimativa , que será o limitante superior para o erro. Tomando a igualdade em 
módulo, temos que: 
 
    ,
3 3
2 2
1 0 1
h h
E f f x x
12 12
        
 
Como       ,2 2 0 1f máx f x x x x   , temos que: 
 
    ,
3
2
1 0 1
h
E máx f x x x x
12
   
Cálculo Numérico 
122 
Exemplo 41. Calcule o valor aproximado de   
,
ln
1
0 5
x x dx usando a regra dos trapézios e um 
limitante superior para o erro. 
 
Solução: 
 
Tabelando a função  f x nos pontos ,0x 0 5 e 1x 1 , temos: 
 
x ,0 5 1 
 f x ,0 1931 ,1 0000 
 
Assim, usando a regra dos trapézios, temos: 
 
        
,
,
ln , , ,
1
0 1
0 5
h 0 5
x x dx f x f x 0 1931 1 0000 0 2017
2 2
         
 
Limitante superior para o erro 
 
    ,
3
2
1
h
E máx f x 0,5 x 1
12
   
 
A 2ª derivada de  f x é:     ,2 2
1
f x então
x
  
 
        , , ,2 2f 0 5 máx f x 0 5 x 1 4    
 
Assim 
 ,
,
3
1
0 5
E 4 0 0417
12
   
7.3.2 Regra dos Trapézios Generalizada 
 A regra dos trapézios generalizada consiste na subdivisão do intervalo de integração em n 
subintervalos iguais, cada qual de amplitude n 0
x x
h
n

 , 0x a , nx b , e em aplicarmos a regra dos 
trapézios em cada subintervalo, isto é, a cada dois pontos consecutivos. A figura a seguir ilustra o processo. 
 
 
Figura 26 
 
Integração Numérica 
123 
 Assim, 
 
             
         
          
n
0
x
0 1 1 2 n 1 n
x
0 1 2 n 1 n
0 1 2 n 1 n
h h h
f x dx f x f x f x f x f x f x
2 2 2
h
f x 2 f x 2 f x 2 f x f x
2
h
f x 2 f x f x f x f x
2



                
        
       

 
 
7.3.3 Erro na regra dos trapézios generalizada 
 Como vimos, em cada aplicação da regra dos trapézios temos a seguinte expressão para o erro: 
 
 ,
3
1 0 1
h
E f x x
12
     
 
 O erro total na fórmula generalizada será igual ao somatório dos erros cometidos em cada 
subintervalo, isto é: 
 
   , , , ,
3n
2
t i i 1 i i
i 1
h
E f x x i 1 n
12
 

     
 
 Como , , ,i 1 i ix x i 1 n    e  
2f x é uma função contínua por hipótese, então existe 
 ,0 nx x  tal que: 
 
        ,
n
2 2
i 0 n
i 1
f nf x x  

   
 
 Assim, a expressão para o erro na regra dos trapézios generalizada torna-se: 
 
   ,
3
2
t 0 n
h
E nf x x
12
     
 
 Como o número de subintervalos n é dado por 
 n 0x x
n
h

 , temos: 
 
     ,
2
2
t n 0 0 n
h
E x x f x x
12
      
 
 Como o argumento  não é conhecido no intervalo  ,0 nx x , não podemos determinar o erro 
exatamente, mas podemos calcular um limitante superior para o erro: 
 
      ,
2
2
t n 0 0 n
h
E x x máx f x x x
12
    
 
 
Cálculo Numérico 
124 
Exemplo 42. Calcule o valor aproxima da integral, 
 
4
1
x dx 
 
Usando a regra dos trapézios generalizada para 2, 4 e 6 subintervalos e um limitante superior para o erro. 
 
Solução: 
 
a) Número de subintervalos igual a 2: 
 
   
,
n 0x x 4 1
h h 1 5
n 2
 
    
 
Tabelando a função  f x , com ,h 1 5 , temos: 
 
x 1 ,2 5 4 
 f x ,1 000 ,1 5811 ,2 000 
 
Assim, 
 
     
 
,
, ,
4
0 1 2
1
h
x dx f x 2 f x f x
2
1 5
1 2 1 5811 2 4 6217
2
    
      

 
Portanto, 
,
4
1
x dx 4 6217 
 
Usando a expressão do limitante superior para o erro, temos: 
 
      ,
22
t n 0 0 2
h
E x x máx f x x x
12
    
 
A derivada segunda de  f x é    2 3 2
1
f x x
4
  , então 
 
          , , ,2 2f 1 máx f x x 1 4 0 25   
 
pois    2f x é decrescente no intervalo  ,1 4 . Assim 
 
 
  
,
, ,
2
t
1 5
E 4 1 0 25 0 1406
12
   
 
b) Número de subintervalos igual a 4: 
 
   
,
n 0x x 4 1
h h 0 75
n 4
 
    
 
Tabelando a função  f x , com ,h 0 75 , temos: 
 
Integração Numérica 
125 
x 1 ,1 75 ,2 5 ,3 25 4 
 f x ,1 000 ,1 3229 ,1 5811 ,1 8028 ,2 000 
 
Assim, 
 
          
 
,
, , , ,
4
0 1 2 3 4
1
h
x dx f x 2 f x f x f x f x
2
0 75
1 2 1 3229 1 5811 1 8028 2 4 6551
2
     
        

 
Portanto, 
,
4
1
x dx 4 6551 
 
Usando a expressão do limitante superior para o erro, temos: 
 
      ,
2
2
t n 0 0 4
h
E x x máx f x x x
12
    
 
A derivada segunda de  f x é    2 3 2
1
f x x
4
  , então 
 
          , , ,2 2f 1 máx f x x 1 4 0 25   
 
pois    2f x é decrescente no intervalo  ,1 4 . Assim 
 
 
  
,
, ,
2
t
0 75
E 4 1 0 25 0 0352
12
   
 
c) Número de subintervalos igual a 6: 
 
   
,
n 0x x 4 1
h h 0 5
n 6
 
    
 
Tabelando a função  f x , com ,h 0 5 , temos: 
 
x 1 ,1 5 ,2 0 ,2 5 ,3 0 ,3 5 4 
 f x ,1 000 ,1 2247 ,1 4142 ,1 5811 ,1 7321 ,1 8708 ,2 000 
 
Assim, 
 
              
 
,
, , , , , ,
4
0 1 2 3 4 5 6
1
h
x dx f x 2 f x f x f x f x f x f x
2
0 5
1 2 1 2247 1 4142 1 5811 1 7321 1 8708 2 4 6615
2
       
          

 
Portanto, 
,
4
1
x dx 4 6615 
 
Usando a expressão do limitante superior para o erro, temos: 
 
Cálculo Numérico 
126 
      ,
2
2
t n 0 0 6
h
E x x máx f x x x
12
    
 
A derivada segunda de  f x é    2 3 2
1
f x x
4
  , então 
 
          , , ,2 2f 1 máx f x x 1 4 0 25   
 
pois    2f x é decrescente no intervalo  ,1 4 . Assim 
 
 
  
,
, ,
2
t
0 5
E 4 1 0 25 0 0156
12
   
 
7.4 REGRA 1/3 DE SIMPSON (1ª REGRA) 
 Considere uma função  f x definida em três pontos distintos , ,0 1 2x x x equidistantes no intervalo 
 ,a b e o polinômio interpolador de Newton-Gregory da função  f x de grau n 2 , com 0x a e 2x b , 
escrito como: 
 
 
   
( ) ( ) ( )( )
! !
1 2
0 0
1 22 0 0 0 1
f x f x
1 h
P x f x x x x
2
x x
h
x   



 
 
Assim, 
     
2 2
0 0
x x 2
2 2
x x 0
f x dx P x dx h P u du    
 
Em que 
 0x x
u
h

 , com 
 n 0x x
h
n

 . 
 
 
Figura 27 
 
Assim, 
 
     
 
 
   
 
 
!
!
2
0
x 2
0 1 2
0 0 0
x 0
2 2 2
0 1 2
0 0 0
0 0 0
u u 1
f x dx h f x u f x f x du
2
u u 1
h f x du h u f x du h f x du
2
  
     
 

     
 
  
 
Integração Numérica 
127 
Uma vez que 
 
   
     
       
0
0 0
1
0 1 0
2
0 2 1 0
f x f x
f x f x f x
f x f x 2 f x f x
 
  
   
 
 
Temos: 
 
     
 
 
              
            
     
!
2
0
0
x 2 2 2
0 1 2
0 0 0
x 0 0 0
2 2
2 3 2
2
0 1 0 2 10
0 0
0 1 0 2 1 0
0 1 2
u u 1
f x dx h f x du h u f x du h f x du
2
u h u u
hf x u h f x f x f x 2 f x f x
2 2 3 2
h
2hf x 2hf x 2hf x f x 2 f x f x
3
h
f x 4 f x f x
3

    
   
         
   
     
     
   
 
 
Assim, temos: 
 
       
2
0
x
0 1 2
x
h
f x dx f x 4 f x f x Regra 1 3 de Simpson
3
     
 
7.4.1 Erro na regra 1/3 de Simpson 
 Neste caso, o intervalo de integração foi subdividido em um número n 2 , número par de 
subintervalos e, portanto, pela parte (II) do teorema 6.1: 
 
   
 
     ,
!
n 2n 3
n
n 0 n
0
h f n
E u u u 1 u n du x x
n 2 2



 
      
  
 
 
n 2 , temos 
   
     ,
!
45
2
2 0 n
0
h f
E u 1 u u 1 u 2 du x x
4

      
Como 
    
2
0
4
u 1 u u 1 u 2 dx
15
     
temos: 
   
,
45
2 0 2
h f
E x x
90

    
 
 Como o argumento  não é conhecido no intervalo  ,0 2x x , não é possível calcular o erro 
exatamente, portanto, trabalhamos com um limitante superior: 
 
    ,
5
4
2 0 2
h
E máx f x x x x
90
   
 
 
Cálculo Numérico 
128 
Exemplo 43. Calcule o valor aproximado da integral, 
 
 
,
,
cos
1 5
0 5
x dx 
 
usando a regra 1/3 de Simpson e um limitante superior para o erro. 
 
Solução: 
 
Neste caso, o valor do espaçamento h é calculado por: 
 
   , ,
,
n 0x x 1 5 0 5
h 0 5
n 2
 
   
 
Tabelando a função    cosf x x com ,h 0 5 , temos: 
 
x ,0 5 ,1 0 ,1 5 
 f x ,0 8775 ,0 5403 ,0 0707 
 
Desta forma: 
 
       
 
,
,
,
, , , ,
1 5
0 1 2
0 5
h
f x dx f x 4 f x f x
3
0 5
0 8776 4 0 5403 0 0707 0 5183
3
    
      

 
 
Portanto, 
 
 
,
,
cos ,
1 5
0 5
x dx 0 5183 
 
Cálculo do limitante superior para o erro 
 
    ,
5
4
2 0 2
h
E máx f x x x x
90
   
 
     cos4f x x , então         , ,4 4f 0 5 máx f x 0 8776  , pois a função    4f x é decrescente no 
intervalo  , ; ,0 5 1 5 . Assim, 
 
 
 
,
, ,
5
2
0 5
E 0 8776 0 0003
90
  
7.4.2 Regra 1/3 de Simpson Generalizada 
 A Regra 1/3 de Simpson Generalizada consiste em dividirmos o intervalo [ ],a b de integração em n 
subintervalos iguais de amplitude h , em que n é um número par de subintervalos, de forma que , 0x a , 
nx b , e aplicarmos a Regra 1/3 de Simpson em cada 2 subintervalos, isto é, a cada 3 pontos consecutivos. 
 
 
Integração Numérica 
129 
 
 
 
 
Figura 28 
 
 
 Assim, aplicando a Regra 1/3 de Simpson para cada 3 pontos, isto é, a cada 2 subintervalos, temos: 
 
             
     
n
0
x
0 1 2 2 3 4
x
n 2 n 1 n
h h
f x dx f x 4 f x f x f x 4 f x f x
3 3
h
f x 4 f x f x
3
 
             
     

 
 
                   
n
0
x
0 1 3 n 1 2 4 n 2 n
x
h
f x dx f x 4 f x f x f x 2 f x f x f x f x
3
 
           
 
7.4.3 Erro na regra 1/3 de Simpson Generalizada 
 A expressão para o Erro na Regra 1/3 de Simpson Generalizada é dada por: 
 
   ,
5
4
t 0 2
h n
E f x x
90 2
     
 
Como o número de subintervalos n 0
x x
n
h

 , temos que: 
 
     ,
4
4
t n 0 0 2
h
E x x f x x
180
      
 
Como  ,0 nx x  não é uma grandeza numérica conhecida, trabalhamos com um limitante para o erro, 
conforme segue: 
 
      ,
4
4
t n 0 0 2
h
E x x máx f x x
180
     
 
 
 
Cálculo Numérico 
130 
Exemplo 44. Usando a Regra 1/3 de Simpson Generalizada, calcule a integral dada com 8 
subintervalos e um limitante superior para o erro. 
 
2
0
1
 dx
1 x
 
Solução: 
 
n 8 
,n 0
x x 2 0
h 0 25
n 8
 
   
 
Tabelando a função com ,h 0 25 temos: 
 
ix 0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 
 if x 1 0,8 0,6667 0,5714 0,5 0,4444 0,4 0,3636 0,3333 
 
                   
2
0 1 3 5 7 2 4 6 8
0
1 h
 dx f x 4 f x f x f x f x 2 f x f x f x f x
1 x 3
         
 
   
,
, , , , , ,
2
0
1 0 25
 dx 1 4 0,8 0 5714 0 4444 0 3636 2 0,6667 0 5 0 4 0 3333
1 x 3
          
 
,
2
0
5
1
 dx
1 x
1 09872

 
 
O limitante superior do erro é dado por: 
 
      ,
4
4
t n 0 0 2
h
E x x máx f x x
180
     
 
Derivando  f x até a quarta derivada temos: 
 
 
 
1
f x
1 x


  
 
'
2
1
f x
1 x
 

  
 
''
3
2
f x
1 x


 
 
 
'''
4
6
f x
1 x
 

 
   
 
4
5
24
f x
1 x


 
 
   4f x é decrescente no intervalo  ,0 2 , logo     4 4máx f x f 0 24  
 
Assim 
 
        
,
,4 44
t n 0
t
h 0 2
2
5
E x x m
0
áx f 2 0 24
180 1
0
80
E 0 01 4
    

 
Integração Numérica 
131 
7.5 REGRA 3/8 DE SIMPSON 
 Considere uma função  f x definida em , , ,0 1 2 3x x x x quatro pontos distintos e equidistante de um 
intervalo  ,a b . Nesse intervalo, considere o polinômio interpolador de Newton-Gregory da função  f x , 
de grau n 3 , com 0x a e 3x b , isto é, 
 
 
   
 
 
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
! ! !
1 2 3
0 0 0
21 2 3
0
3 0 0 0 1 0 1P x f x x x x x
f x f x f x
x x
1
x
h h
x x x
2 3 h
x x
  
         
 
e, portanto, 
 
     
3 3
0 0
x x 3
3 3
x x 0
f x dx P x dx h P u du    
 
em que 
 0x x
u
h

 , com 
 n 0x x
h
n

 . 
 
 
Figura 29 
 
 
 
   
 
 
  
 
 
 
 
  
 
( )
! !
( )
! !
3
0
x 3
1 2 3
0 0 0
x 0
3 3 3 3
1 2 3
0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
u u 1 u u 1 u 2
f x dx u f x f x f x du
2 3
u u 1 u u 1 u 2
h du h u f x du h f x du f u
f x
f x x d
2 3
  
   
  
      
  

 
   
 
um vez que, 
 
   
     
       
         
0
0 0
1
0 1 0
2
0 2 1 0
3
0 3 2 3 0
f x f x
f x f x f x
f x f x 2 f x f x
f x f x 3 f x 3 f x f x
 
  
   
    
 
 
Cálculo Numérico 
132 
                
        
            
       
3
0
0
0
3 3
2 3 2
x 3
0 1 0 2 10x
0 0
3
4
3 2
3 2 1
0
0 1 0 2 1 0
0 1 2 3
u h u u
f x dx hf x u h f x f x f x 2 f x f x
2 2 3 2
h u
f x 3 f x 3 f x f x u u
6 4
h
2hf x 2hf x 2hf x f x 2 f x f x
3
3
h f x 3 f x 3 f x f x
8
   
         
   
 
      
 
     
      

 
 
Assim temos: 
 
         
3
0
x
0 1 2 3
x
3
f x dx h f x 3 f x 3 f x f x Regra 3/8 Simpson
8
        
 
 O erro na regra 3/8 de Simpson pode ser obtido de maneira semelhante ao erro da regra 1/3 de 
Simpson. 
 
   ,453 0 3
3
E h f x x
80
     
 
 Como o argumento  não é conhecido no intervalo  ,0 2x x , não é possível calcular o erro 
exatamente, portanto, trabalhamos com um limitante superior: 
 
    ,453 0 33E h máx f x x x x
80
   
 
Exemplo 45. Calcule o valor aproximado da Integral  
,
,
1 2
x
0 3
e 5x dx usando a regra 3/8 de Simpson 
e um limitante superior para o erro. 
 
Solução: 
 
, ,
,n 0
x x 1 2 0 3
h 0 3
n 3
 
   
 
Tabelando a função 
 
ix 0,3 0,6 0,9 1,2 
 if x 2,8499 4,8221 6,9596 9,3201 
 
Assim 
 
         
   
 
,
,
,
,
, , , , ,
,
1 2
x
0 1 2 3
0 3
1 2
x
0 3
3
e 5x dx h f x 3 f x 3 f x f x
8
3
0 3 2 8499 3 4 8221 6 9596 9 3201
8
e 5x dx 5 3454
       
      
 


 
 
Integração Numérica 
133 
Limitante superior para o erro 
 
    ,453 0 33E h máx f x x x x
80
   
 
Neste caso,    4 xf x e é uma função crescente em módulo no intervalo  ,0 3x x , logo, 
 
        , , , , ,4 4f 1 2 máx f x 0 3 x 1 2 3 3201    
 
Portanto, 
 
   , , ,
5
3
3
E 0 3 3 3201 0 0030
80
  
 
7.5.1 Regra 3/8 de Simpson Generalizada 
 A regra 3/8 de Simpson generalizada consiste em subdividirmos o intervalo  ,a b de integração em 
n subintervalos, de amplitude h , em que n é um número múltiplo de 3 , de forma que 0x a e nx b , e 
aplicando a regra 3/8 de Simpson a cada 4 pontos consecutivos, ou 3 subintervalos consecutivos. 
 
 
Figura 30 
 
Assim, 
 
                 
       
n
0
x
0 1 2 3 3 4 5 6
x
n 3 n 2 n 1 n
3 3
f x dx h f x 3 f x 3 f x f x h f x 3 f x 3 f x f x
8 8
3
h f x 3 f x 3 f x f x
8
  
               
       

 
                
        
[
]
n
0
x
0 1 2 4 5 n 2 n 1
x
3 6 n 3 n
3
f x dx h f x 3 f x f x f x f x f x f x
8
2 f x f x f x f x
 

        
    
 
 
 O erro na regra 3/8 de Simpson generalizada pode ser obtido de maneira semelhante ao erro da 
regra 1/3 de Simpson. 
 
     ,
4
4
t n 0 0 n
h
E x x f x x
80
     
Cálculo Numérico 
134 
 
 Como o argumento  não é conhecido no intervalo  ,0 nx x , não é possível calcular o erro 
exatamente, portanto, trabalhamos com um limitante superior: 
 
      ,
4
4
t n 0 0 n
h
E x x máx f x x x x
80
    
 
Exemplo 46. Calcule o valor aproximado da integral dada, usando a regra 3/8 de Simpson para 9 
subintervalos e um limitante superior para o erro. 
 
 ln
7
1
x 9 dx 
 
Solução: 
 
O espaçamento é dado por: 
 
n 0x x 7 1 2h
n 9 3
 
   
 
ix  if x ix  if x 
1 2,3026 13/3 2,5903 
5/3 2,3671 5 2,6391 
7/3 2,4277 17/3 2,6856 
3 2,4849 19/3 2,73 
11/3 2,539 7 2,7726 
 
Assim, 
 
                
      
[
]
7
0 1 2 4 5 7 8
1
3 6 9
3
ln x 9 dx h f x 3 f x f x f x f x f x f x
8
2 f x f x f x
        
  
 
 
         
     
      
[ , ( , , ,
, , , ]
, , , ]
7
1
3
ln x 9 dx h f 2 3026 3 f 2 3671 f 2 4277 f 2 5390
8
f 2 5903 f 2 6856 f 2 7300
2 f 2 4849 f 2 6391 f 2 7726
     
   
  

 
 
  ,
7
1
ln x 9 dx 15 3356 
 
Limitante superior do erro 
 
      ,
4
4
t n 0 0 n
h
E x x máx f x x x x
80
    
 
Integração Numérica 
135 
Como    
 
4
4
6
f x
x 9


 é decrescente no intervalo  ,1 7 , temos que         ,4 4máx f x f 1 0 0006  , 
assim, 
 
 
  , ,
4
t
2 3
E 7 1 0 0006 0 000001
80
   
 
 
 Quando a precisão é determinada a priori, podemos determinar o número de subintervalos 
necessários para se obter um valor que atenda a precisão desejada. 
 
Exemplo 47. Determine o número de subintervalos em que podemos dividir o intervalo  ; ,0 0 6 para 
obter 
 
,0 6
0
1
 dx
x 1
 
Com um erro menor ou igual a 410 , usando: 
 
a) regra dos trapézios generalizada; 
b) regra 1/3 de Simpson generalizada; 
c) regra 3/8 de Simpson generalizada. 
 
Solução: 
 
Vamos precisar as derivadas da função 
 
 
1
f x
1 x


 
   
 
1
2
1
f x
1 x
 

 
   
 
2
3
2
f x
1 x


 
   
 
3
4
6
f x
1 x
 

 
   
 
4
5
24
f x
1 x


 
 
a) Regra dos trapézios generalizada 
 
      , ,
2
2
t n 0 0 n
h
E x x máx f x x x 0 0001
12
     
Como 
   
 
2
3
2
f x
1 x


, temos 
          , ; ,2 2f x máx f x x 0 0 6 2   , uma vez que 
   
 
2
3
2
f x
1 x


 
é uma função decrescente em módulo no intervalo  ; ,0 0 6 
Assim, 
  , , , ,
2
2h 0 6 0 2 0 0001 h 0 0010 h 0 0316
12
      
, ,
, , ,n 0
x x 0 6 0 0 6
h 0 0316 0 0316 n 18 9873
n n n
 
       
 
 Portanto, são necessários no mínimo n 19 subintervalos. 
 
Cálculo Numérico 
136 
b) Regra 1/3 de Simpson generalizada 
 
      ,
4
4
t n 0 0 2
h
E x x máx f x x
180
     
Como,    
 
4
5
24
f x
1 x


 temos 
          , ; ,4 4f x máx f x x 0 0 6 24   , uma vez que 
   
 
4
5
24
f x
1 x


 
é uma função decrescente em módulo no intervalo  ; ,0 0 6 
 
Assim, 
  , , , ,
4
4h 0 6 0 24 0 0001 h 0 0013 h 0 1899
180
      
, ,
, ,
,
n 0x x 0 6 0 0 6h 0 1899 n 3 1596
n n 0 1899
 
      
 
 Portanto, são necessários no mínimo n 4 subintervalos, onde n deve ser múltiplo de 2 . 
 
c) Regra 3/8 de Simpson generalizada 
 
      ,
4
4
t n 0 0 n
h
E x x máx f x x x x
80
    
Como,    
 
4
5
24
f x
1 x


 temos 
          , ; ,4 4f x máx f x x 0 0 6 24   , uma vez que 
   
 
4
5
24
f x
1 x


 
é uma função decrescente em módulo no intervalo  ;,0 0 6 
 
Assim, 
  , , , ,
4
4h 0 6 0 24 0 0001 h 0 0006 h 0 1565
80
      
, ,
, ,
,
n 0x x 0 6 0 0 6h 0 1565 n 3 8339
n n 0 1565
 
      
 
 Portanto, são necessários no mínimo n 6 subintervalos, uma vez que n deve ser múltiplo de 3 e 
,n 3 8339 .