A02 - Equações diferenciais_ avaliação da tentativa

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12/3/2020 A02 - Equações diferenciais: avaliação da tentativa
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Iniciado em quinta, 3 dez 2020, 16:37
Estado Finalizada
Concluída em quinta, 3 dez 2020, 16:59
Tempo
empregado
21 minutos 58 segundos
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Questão 1
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Resolva as equações diferenciais ordinárias ( ):
a) 
b) 
c) 
d) 
EDO
= 3 − 4x + 1dy
dx
x2
= cosxdy
dx
= ky+ a
dy
dx
=dy
dx
( −1)y2
2
a)
b) 
c) 
d) 
dy
∫ dy
y
= (3 − 4x+ 1) dxx2
= 3∫ dx− 4∫ xdx+ ∫ dx+Cx2
= − 2 +x+Cx3 x2
dy
dx
dy
y(x)
y(x)
= cosx
= cosx dx
= cosx dx
= sen x+C
[ ]  dy1
(ky+ a)
∫ [ ]  dy1
(ky+ a)
x
= dx
= ∫ dx
= ( )  ln|ky+ a| +C1
k
dx
dy
dy
( − 1)y2
∫ dy
( − 1)y2
ln ∣∣∣
(y− 1)
(y+ 1)
=
( − 1)y2
2
=
dx
2
= ∫ dx
2
= x+C  ( C é uma constante)
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Questão 2
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Questão 3
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Resolva y' + yx = 3cos2x , x > 0
A equação diferencial é linear. 
Fator integrante: .
Multiplicando a equação pelo fator integrante temos:
Portanto, 
Integrando, temos: 
Portanto, a solução geral é:  
= = xe∫ dx
1
3 eln x
= 3xcos2xx + yy′
  
(xy)d
dx
(xy) = 3xcos2xd
dx
xy
⇒ xy
⇒ xy
= 3∫ xcos2x dx
(integração por partes)
= 3{ x sen 2x− ∫ sen 2x dx}+ c1
2
1
2
= 3{ x sen 2x− cos2x}+ c1
2
1
4
y =  sen 2x+ +3
2
3
4
cos 2x
x
c
x
Resolva . + –2y = sen xy′′ y′
Tentemos uma solução particular  
Então, 
Logo, substituindo na equação diferencial, temos:
Isso acontece se:
A solução deste sistema é:
Logo, uma solução particular é:
yp(x) = Acosx+B sen x
= −A sen x+Bcos  x y = −Acos  x−B sen xy′p "p
(−Acos  x−B sen x) + (−A sen x+Bcosx) − 2(Acosx+B sen x) = sen x
ou
(−3A+B)cosx+ (−A− 3B) sen x = sen x
−3A+B = 0 e −A− 3B = 1
A = B =−110
−3
10
(x) = cosx− sen xyp
−1
10
3
10
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Questão 4
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Determine a solução das equações diferenciais com valor inicial informado.
a) 
b) 
c) 
= , y(2) = 0y ′ 2x
(1+2y)
= , y(0) = −y ′
x( +1)x2
4y3
1
2√
sen(2x)dx + cos(3y)dy = 0 , y ( ) =π2
π
3
a)
1- Separando as variáveis
2- Realizando a integração
3- Substituindo o valor inicial informado
b) 
1- Separando as variáveis
2- Integrar para uma solução geral
3- Substituindo o valor inicial informado
c) 
1- Separando as variáveis
2- Integrar para uma solução geral
3- Substituindo o valor inicial informado
 
= → dy(1 + 2y) = 2xdxdy
dx
2x
(1+2y)
∫ dy(1 + 2y) = ∫ 2xdx → y+ = + c → y(1 + y) = + cy2 x2 x2
y(2) = 0
0 = 4 + c → c = −4
y(1 + y) = + c → y(1 + y) = − 4x2 x2
= → 4 dy = x( + 1)dx
dy
dx
x( +1)x2
4y3
y3 x2
∫ 4 dy = ∫ x( + 1)dx → = + c → y =y3 x2 y4 ( + 1x
2 )2
4
[ + c]( + 1x
2 )2
4
1
4
y(0) = − 1
2√
= + c → ( ) = + c → c = − → c = 0y4 ( +1x
2 )2
4
−1
2√
4 (0+1)2
4
1
4
1
4
y → y =[ + c]( +1x
2 )2
4
1
4 [ ]( +1x
2 )2
4
1
4
sen(2x)dx = −cos(3y)dyx
∫ sen(2x)dx = ∫ −cos(3y)dyx → − cos(2x) = − sen(3y) + c1
2
1
3
y( ) =π2
π
3
0 = 0 + c → c = 0
 sen (3y) = cos(2x)13
1
2
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Questão 5
Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Encontre a solução das seguintes equações diferenciais:
a) 
b) 
xdx − dy = 04−x√
y
(1 + ) xy = 1 +y ′ x2 y2
a)
Assim,
Integrando:
Mas,
Derivando,
De (2):
Assim, 
Substituindo :
b) 
Separando as variáveis:
Integrando:
Resolvendo :
Fazendo 
Substituindo:
Resolvendo :
Frações parciais:
xdx− dy = 0 ⇔ − dy = −xdx ⇔ dy = xdx4−x√
y
4−x√
y
4−x√
y
=
dy
y
xdx
4−x√
∫ = ∫ ⇔ ln(y) = ∫ (1)dy
y
xdx
4 −x− −−−√
xdx
4 −x− −−−√
u = ⇒ = 4 −x (2)4 −x− −−−√ u2
2u = −1 ⇔ 2udu = −dx   dx = −2udu (3)du
dx
. .̇
x = 4 − (4)u2
(3), (4), (2) → (1) :
ln (y) = ∫ ⇔ ln(y) = ∫    n (y) = ∫xdx
4 −x− −−−√
(4 − )(−2udu)u2
u
. .̇
(2 − 8)(udu)u2
u
ln (y) = ∫ (2 − 8)du ⇒ ln (y) = − 8u+ cu2 2u
3
3
u = 4 −x
− −−−
√
ln (y) = ( − 8 +C   ln (y) = − 8 +C
2
3
4 −x− −−−√ )3 4 −x− −−−√ . .̇
2
3
(4 −x)3
− −−−−−−
√ 4 −x− −−−√
(1 + ) xy = 1 + ⇔ (1 + ) xy = 1 +y′ x2 y2 dy
dx
x2 y2
(1 + ) xy = 1 + ⇔ dy(1 + ) xy = 1(1 + ) dx
dy
dx
x2 y2 x2 y2
=
ydy
1+y2
dx
x(1+ )x2
∫ = ∫ (1)ydy
1 + y2
dx
x(1 + )x2
∫ ydy
1 + y2
u = 1 + ⇒ du = 2ydy   dy =y2 . .̇ du2y
∫ = ∫ ( ) = ∫ = ln (u) = ln(1 + ) + (2)ydy
1 + y2
y
u
du
2y
1
2
du
u
1
2
1
2
y2 C1
∫ dx
x(1 + )x2
∫ = ∫ ( + )dxdx
x(1 + )x2
A
x
Bx+C
1 +x2
= A∫ +B∫ +C∫ (I)dx
x
xdx
1 +x2
dx
1 +x2
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Assim:
Substituindo em (I):
Assim:
= + ⇔ x(1 + ) = A(1 + ) + (Bx+ c)x1
x(1+ )x2
A
x
Bx+C
1+x2
x2 x2
x = 0 :
x(1 + ) = A(1 + ) + (Bx+C)x ⇔ 0 = A(1 + 0) + (Bx+C)x   A = 0x2 x2 . .̇
x = 1 :
x(1 + ) = A(1 + ) + (Bx+C)x ⇔ 1(1 + ) = (B+C)1   B+C = 2x2 x2 12 . .̇
x = −1 :
x(1 + ) = A(1 + ) + (Bx+C)x ⇔ (−1)(1 + 1) = (−B+C)(−1)   B−C = −2x2 x2 . .̇
{ B+C = 2
B−C = −2
B = 0 ⇔ C = 2
∫ = 0 × ∫ 0 × ∫ +C∫ = 2∫dx
x(1 + )x2
dx
x
xdx
1 +x2
dx
1 +x2
dx
1 +x2
∫ = 2∫ = 2arctan(x) + (3)dx
x(1 + )x2
dx
1 = x2
C2
(2), (3) → (1) :
∫ = ∫ ⇔ ln (1 + ) + = 2arctan(x) +ydy
1 + y2
dx
x(1 + )x2
1
2
y2 C1 C2
ln(1 + ) = 2arctan(x) +C1
2 y
2
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