16_MF_20202_Sistema de Amortização_SAC

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Disciplina: 
Matemática 
Financeira
Prof.ª M.a Luciane Nunes Ribeiro
Sistema de Amortização
■ Amortizar - pagar gradualmente ou em prestações; 
abater parte de (dívida, empréstimo etc.).
■ Nos sistemas de amortização os juros serão calculados 
sempre sobre o saldo devedor. Ou seja, regime de juros 
composto, sendo calculado juro sobre juro. 
■ Os empréstimos de curto ou médio prazo caracterizam-
se, normalmente, por serem saldados em até 3 anos.
■ Os empréstimos a longo prazo sofrem um tratamento 
especial porque existem várias modalidades de 
restituição do principal e juros.
Definições:
■ Mutuante ou Credor: aquele que dá o empréstimo;
■ Mutuário ou devedor: aquele que recebe o empréstimo;
■ Taxa de juros: é a taxa de juros contratada entre as partes;
■ IOF: imposto sobre operações financeiras;
■ Prazo de utilização: o intervalo de tempo durante o qual o 
empréstimo é transferido do credor para o devedor. 
■ Prazo de carência: período entre o prazo de utilização e o 
pagamento da primeira amortização, durante a carência, o 
devedor só paga os juros. 
■ Parcelas de amortização: parcelas de devolução do capital 
emprestado;
■ Prazo de amortização: intervalo de tempo durante são pagas 
as amortizações;
Definições:
■ Prestação: soma das amortizações acrescida de juros e 
outros encargos;
■ Planilha: quadro onde são colocados os valores referentes 
ao empréstimo;
■ Prazo total do financiamento: soma do prazo de carência 
com o prazo de amortização;
■ Saldo devedor: estado da dívida;
■ Período de amortização: intervalo de tempo existente entre 
duas amortizações.
Sistema de Amortização Constante 
(SAC)
As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são 
calculados, a cada período, multiplicando-se a taxa de juros 
contratada (na forma unitária) pelo saldo devedor existente 
no período anterior.
SAC, com prazo de carência e prazo de utilização 
unitário
■ Uma empresa pede emprestado R$ 100 000,00 que o 
banco entrega no ato. Sabendo que o banco concedeu 3 
anos de carência, que os juros serão pagos anualmente, 
que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal 
será amortizado em 4 parcelas anuais. 
Ano (k) Saque
Saldo Devedor 
(SDk)
Amortização 
(Ak)
Juros 
(Jk)
Prestação 
(Ak + Jk)
0 R$ 100.000,00 R$ 100.000,00 R$ - R$ - - 
1 - R$ 100.000,00 R$ - R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 
2 - R$ 100.000,00 R$ - R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 
3 - R$ 75.000,00 R$ 25.000,00 R$ 10.000,00 R$ 35.000,00 
4 - R$ 50.000,00 R$ 25.000,00 R$ 7.500,00 R$ 32.500,00 
5 - R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 5.000,00 R$ 30.000,00 
6 - - R$ 25.000,00 R$ 2.500,00 R$ 27.500,00 
TOTAL - - R$ 100.000,00 R$ 45.000,00 R$ 145.000,00 
SAC, com prazo de carência e prazo de utilização 
unitário
■ SDk = SDk-1 – Ak
■ Jk = SDk-1 .i
■ Ak - depende do contrato de financiamento
Ano (k) Saque
Saldo Devedor 
(SDk)
Amortização 
(Ak)
Juros 
(Jk)
Prestação 
(Ak + Jk)
0 R$ 100.000,00 R$ 100.000,00 R$ - R$ - - 
1 - R$ 100.000,00 R$ - R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 
2 - R$ 100.000,00 R$ - R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 
3 - R$ 75.000,00 R$ 25.000,00 R$ 10.000,00 R$ 35.000,00 
4 - R$ 50.000,00 R$ 25.000,00 R$ 7.500,00 R$ 32.500,00 
5 - R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 5.000,00 R$ 30.000,00 
6 - - R$ 25.000,00 R$ 2.500,00 R$ 27.500,00 
TOTAL - - R$ 100.000,00 R$ 45.000,00 R$ 145.000,00 
SAC, com prazo de carência e prazo de utilização 
não-unitário
■ Uma empresa pede emprestado R$ 100 000,00 que o 
banco entrega em duas parcelas iguais, defasadas em 1 
ano. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de 
carência, que os juros serão pagos anualmente, que a 
taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal será 
amortizado em 4 parcelas anuais. 
Ano (k) Saque
Saldo Devedor 
(SDk)
Amortização 
(Ak)
Juros 
(Jk)
Prestação 
(Ak + Jk)
0 R$ 50.000,00 R$ 50.000,00 R$ - R$ - - 
1 R$ 50.000,00 R$ 100.000,00 R$ - R$ 5.000,00 R$ 5.000,00 
2 - R$ 100.000,00 R$ - R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 
3 - R$ 75.000,00 R$ 25.000,00 R$ 10.000,00 R$ 35.000,00 
4 - R$ 50.000,00 R$ 25.000,00 R$ 7.500,00 R$ 32.500,00 
5 - R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 5.000,00 R$ 30.000,00 
6 - - R$ 25.000,00 R$ 2.500,00 R$ 27.500,00 
TOTAL - - R$ 100.000,00 R$ 40.000,00 R$ 140.000,00 
SAC, com prazo de carência, juros capitalizados e 
prazo de utilização unitário
■ Uma empresa pede emprestado R$ 100 000,00 que o banco entrega no 
ato. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão 
pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal 
será amortizado em 4 parcelas anuais. Ao saldo devedor, no fim de cada 
período, foi acrescentado o juro devido, calculado à taxa de 10% a.a. Ao 
final do 3º ano, os juros capitalizados foram pagos juntamente com a 
primeira prestação. 
1º CASO: As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial 
emprestado e os juros capitalizados são pagos no primeiro ano de 
amortização. 
Ano (k) Saque
Saldo Devedor 
(SDk)
Amortização 
(Ak)
Juros 
(Jk)
Prestação 
(Ak + Jk)
0 R$ 100.000,00 R$ 100.000,00 R$ - R$ - - 
1 - R$ 110.000,00 R$ - R$ - R$ - 
2 - R$ 121.000,00 R$ - R$ - R$ - 
3 - R$ 75.000,00 R$ 25.000,00 R$ 33.100,00 R$ 58.100,00 
4 - R$ 50.000,00 R$ 25.000,00 R$ 7.500,00 R$ 32.500,00 
5 - R$ 25.000,00 R$ 25.000,00 R$ 5.000,00 R$ 30.000,00 
6 - - R$ 25.000,00 R$ 2.500,00 R$ 27.500,00 
TOTAL - - R$ 100.000,00 R$ 48.100,00 R$ 148.100,00 
SAC, com prazo de carência, juros capitalizados e 
prazo de utilização unitário
■ Uma empresa pede emprestado R$ 100 000,00 que o banco entrega no 
ato. Sabendo que o banco concedeu 3 anos de carência, que os juros serão 
pagos anualmente, que a taxa de juros é de 10% ao ano e que o principal 
será amortizado em 4 parcelas anuais. Ao fim de cada período será 
calculado o juro de 10% sobre o saldo devedor e acrescido ao mesmo. 
2º CASO: As amortizações são calculadas em relação ao valor inicial 
emprestado mais os juros capitalizados durante a carência.
Ano (k) Saque
Saldo Devedor 
(SDk)
Amortização 
(Ak)
Juros 
(Jk)
Prestação 
(Ak + Jk)
0 R$ 100.000,00 R$ 100.000,00 R$ - R$ - - 
1 - R$ 110.000,00 R$ - R$ - R$ - 
2 - R$ 121.000,00 R$ - R$ - R$ - 
3 - R$ 99.825,00 R$ 33.275,00 R$ - R$ 33.275,00 
4 - R$ 66.550,00 R$ 33.275,00 R$ 9.982,50 R$43.257,50 
5 - R$ 33.275,00 R$ 33.275,00 R$ 6.655,00 R$ 39.930,00 
6 - - R$ 33.275,00 R$ 3.327,50 R$ 36.602,50 
TOTAL - - R$ 133.100,00 R$ 19.965,00 R$ 153.065,00 
EXEMPLO
■ Para um projeto de expansão, a empresa “Pesqueiros Ltda.” obtém um
financiamento de R$5 000 000,00, nas seguintes condições:
a) Taxa de juros nominal: 8% a.a. – com pagamentos semestrais - 3,92% a.s.
b) Amortizações: SAC, com pagamentos semestrais.
c) Prazo de amortização: 5 anos - 10 semestres.
Construir a planilha de financiamento.
Semestre 
(k)
Saque
Saldo Devedor 
(SDk)
Amortização 
(Ak)
Juros 
(Jk)
Prestação 
(Ak + Jk)
0 R$ 5.000.000,00 R$ 5.000.000,00 R$ - R$ - R$ - 
1 R$ 4.500.000,00 R$ 500.000,00 R$ 196.000,00 R$ 696.000,00 
2 R$ 4.000.000,00 R$ 500.000,00 R$ 176.400,00 R$ 676.400,00 
3 R$ 3.500.000,00 R$ 500.000,00 R$ 156.800,00 R$ 656.800,00 
4 R$ 3.000.000,00 R$ 500.000,00 R$ 137.200,00 R$ 637.200,00 
5 R$ 2.500.000,00 R$ 500.000,00 R$ 117.600,00 R$ 617.600,00 
6 R$ 2.000.000,00 R$ 500.000,00 R$ 98.000,00 R$ 598.000,00 
7 R$ 1.500.000,00 R$ 500.000,00 R$ 78.400,00 R$ 578.400,00 
8 R$ 1.000.000,00 R$ 500.000,00 R$ 58.800,00 R$ 558.800,00 
9 R$ 500.000,00 R$ 500.000,00 R$ 39.200,00 R$ 539.200,00 
10 R$ - R$ 500.000,00 R$ 19.600,00 R$ 519.600,00 
TOTAL - - R$ 5.000.000,00 R$ 1.078.000,00 R$ 6.078.000,00 
EXEMPLO
■ Um empréstimo de R$100 000,00 será saldado em 25 amortizações
quadrimestrais pelo sistema SAC, tendo sido contratada a taxa de juros
de 5% ao quadrimestre. Qual é o saldo devedor, os juros e a prestação,
referente ao 16º quadrimestre?
SDk = SD0 (1 −
𝑘
𝑛
)
SD0 = 100 000; k = 16; n = 25; i = 5% ou 0,05
SD16 = 100 000 (1 -
16
25
); SD16 = 36 000
Jk = SD0 .i(1 −
𝑘−1
𝑛
)
J16 = 100 000 . 0,05 (1 -
16 −1
25
); J16 = 2000,00
Rk = A + Jk=
𝑺𝑫
𝟎
𝒏
+ Jk
R16 =
100000
25
+ J16 ; R16 = 4000 + 2000; R16 = 6000
SAC■ Amortização por período:
𝐀 =
𝑺𝑫𝟎
𝒏
■ Saldo devedor do período k (SDk)
SDk = SD0 – k.A
SDk = SD0 (𝟏 −
𝒌
𝒏
)
■ Juros referentes ao período k (Jk)
Jk = SDk-1 .i
Jk = SD0 .i(𝟏 −
𝒌−𝟏
𝒏
)
■ Prestação referente ao período k (Rk)
Rk = A + Jk
Rk = SD0 [
𝟏
𝒏
+ i( 1 -
𝒌−𝟏
𝒏
)]
Obs.: São válidas somente quando o saldo devedor inicial, representa o total do 
financiamento e inexiste carência.
3ª Lista de exercícios – NP 
Até dia 03/12/2020.
10) Um empréstimo de R$100 000,00 será saldado em 25
amortizações quadrimestrais pelo sistema SAC, tendo sido contratada
a taxa de juros de 5% ao quadrimestre. Qual é o saldo devedor, os
juros e a prestação, referente ao 7º quadrimestre?
11) Um amigo lhe empresta R$ 1 000,00 que devem ser pagos em 5
parcelas. O sistema de amortização acertado foi o SAC. Faça uma
planilha, sabendo que a taxa contratada foi de 10% ao mês.
REFERÊNCIAS
■ ASSAF NETO, Alexandre. Matemática Financeira e suas Aplicações.
14 ed. São Paulo: Atlas, 2019.
■ MATHIAS, W. F., Matemática Financeira. 5 ed. São Paulo: Atlas, 2008.
■ Emulador da HP 12c disponível em 
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