Cálculo - Jonas Lachini

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Cálculo
Jonas Lachini
Jonas Lachini
CÁLCULO
Belo Horizonte
Novembro de 2013
COPYRIGHT © 2013
GRUPO ĂNIMA EDUCAÇÃO
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Grupo Ănima Educação
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forem os meios empregados: eletrônicos, mecânicos, fotográficos, gravações ou quaisquer outros.
Edição
Grupo Ănima Educação
Coordenação Geral
Anderson Ceolin Soares
Coordenação Pedagógica
Cláudia Silveira da Cunha
Coordenação de Produção de Materiais
Patrícia Ferreira Alves
Designer Instrucional
Carla Cristini Justino de Oliveira 
Carolina Coelis Gomides 
Débora Cristina Cordeiro Campos Leal 
Ediane Cardoso de Araujo Fernandes
Kênia da Silva Cunha Cajahiba
Laura Boaventura de Melo
Naiara Xavier dos Santos
Diagramação
Daniele Bagno Tondato
Gleidson Franco
Capa e Ilustração
Alexandre de Souza Paz
Leonardo Antonio Aguiar
Revisão
Mariana Elizabeth da Silva Oliveira 
Sandra Rocha Ribeiro
Normalização Bibliográfica
Patrícia Bárbara de Paula
CONHEÇA 
O AUTOR
Jonas Lachini é licenciado em Matemática, 
com especialização em Metodologia de 
Ensino e mestrado em Educação. Trabalha 
como professor há mais de 40 anos, tendo 
lecionado nos Ensinos Fundamental, 
Médio, de Graduação e Pós-Graduação.
Atualmente, é professor da PUC Minas. 
Nessa universidade, leciona Cálculo para 
cursos presenciais de Engenharia.
APRESENTAÇÃO 
DA DISCIPLINA
Você está começando um programa de 
estudos de Cálculo Diferencial e Integral. 
É como um circuito que você deverá 
percorrer para ir incorporando algumas 
ideias que, embora antigas, estão na 
base da tecnologia atual. A tarefa de 
um profissional de qualquer área é 
transformar ciência em tecnologia, ou 
seja, transformar conhecimento em algo 
útil para o desenvolvimento humano e 
sustentado da sociedade. 
Cada vez que for cumprir uma etapa deste 
programa, lembre-se de que está fazendo 
um grande investimento em você mesmo, 
de longe seu maior capital! Lembre-se 
também de que é você que precisará 
estudar Cálculo; ninguém poderá fazer isso 
por você. Pense em uma aula de ginástica: 
você é quem faz a aula; o professor orienta! 
Esse programa foi estruturado para ajudá-
lo a estudar; não é um programa fácil 
porque não existem caminhos fáceis para 
se trabalhar com o conhecimento! 
As páginas do livro, do caderno ou da 
internet podem servir de lembrete: a 
palavra página vem de pagus, termo latino 
utilizado para indicar o pedaço de terra, 
cercado e cultivado por alguém ou por um 
grupo de pessoas, com vistas a garantir 
a própria subsistência. Uma página é o 
terreno que você precisará cultivar para 
garantir seu desenvolvimento como 
profissional capaz de intervir no mundo de 
maneira inteligente. 
Estude com particular atenção os 
exemplos. Use lápis e papel, sublinhe 
partes do texto que julgar importantes, 
assim como alguém que está cavando um 
terreno ou examinando os detalhes de um 
objeto. Ler é sinônimo de investigar!
Que você tenha pleno sucesso!
UNIDADE 1 002
Funções e Modelos 003
O que é uma função 004
A função é uma fábrica de pares ordenados 005
Várias maneiras de representar uma função 006
UNIDADE 2 014
Funções lineares 015
Como crescem os adolescentes 016
O gráfico do crescimento de um adolescente 017
Como achar uma fórmula para o crescimento de um adolescente 017
A equação de uma reta 018
Famílias de funções lineares 020
 
UNIDADE 3 027
Funções quadráticas 028
Construindo quadrados com varetas 029
Viajando com uma laranja 030
A fórmula e o gráfico de uma função quadrática 030
As raízes ou os zeros de uma função quadrática 031
O gráfico da função quadrática 032
UNIDADE 4 038
Funções potências e funções polinomiais 039
Funções potências 040
Funções polinomiais 047
5
6
7
8
UNIDADE 5 058
Funções racionais 059
Funções racionais 060
Novas funções obtidas a partir de outras funções 064
Noções sobre derivadas 067
UNIDADE 6 069
Taxa de variação constante 070
Crescimento e decrescimento de funções 071
Taxa de variação constante 072
UNIDADE 7 078
Derivada em um ponto 079
Taxa de variação variável 080
Taxa de variação média 081
Derivada em um ponto ou taxa de variação instantânea 085
Exercícios 090
UNIDADE 8 094
Cálculo da Derivada 095
Velocidade média e velocidade instantânea 096
Taxa de variação média e taxa de variação instantânea 097
A função derivada 101
Duas derivada 103
REFERÊNCIAS 106
unidade 1
007
CÁLCULO
FUNÇÕES 
E MODELOS
A Matemática estuda os aspectos quantitativos dos fenômenos. Um jeito de fazer isso é por meio das funções; elas servem para ler e descrever situações e acontecimentos. Durante todo o estudo de Cálculo, você estará lidando com funções. Vale a pena 
saber trabalhar com elas!
As funções comparecem em praticamente todos os ramos da Matemática. Podemos mesmo 
dizer que o Cálculo Diferencial e Integral, uma das obras mais brilhantes da humanidade, está 
todo voltado para o estudo de funções. Durante este curso de Cálculo, lidaremos o tempo 
todo com funções: as maneiras de representar uma função, o limite e a continuidade de uma 
função, a derivada e a antiderivada de uma função. 
Talvez você esteja acostumado a pensar que função é uma fórmula e não veja nenhuma 
importância em saber ler tabelas ou gráficos e nem qual o domínio e a imagem de uma 
função. É comum que gostemos mais de manipular expressões, de fazer contas e resolver, 
de maneira mecânica, as questões que encontramos ou que nos são postas. Com a chegada 
das calculadoras e dos computadores, a habilidade de fazer muitos cálculos passou a ter 
menos importância; atualmente, mais vale conhecer bem os conceitos e saber quando e 
como aplicá-los.
Nessa primeira parte, constituída de cinco capítulos, estudaremos o comportamento das 
funções algébricas; usaremos, para isso, tabelas, fórmulas, gráficos e textos descritivos, que 
unidade 1
008
CÁLCULO
são as maneiras mais comuns de representar funções. Embora esses capítulos abranjam 
conteúdos que você certamente já conhece, é bom que os estude de modo a melhorar a 
percepção a respeito das funções: isso é fundamental para fazer um bom curso de Cálculo. 
O QUE É UMA 
FUNÇÃO
Na linguagem do dia a dia, dizemos que 
o preço de uma corrida de táxi está em 
função da distância percorrida. Nesse 
caso, a palavra função expressa a ideia de 
que o conhecimento de um fato ou de um 
valor (a distância percorrida) nos diz algo a 
respeito de outro fato ou de outro valor (o 
preço de uma corrida). 
Em Matemática, estudamos os aspectos 
quantitativos de um fenômeno; são 
aspectos que podem ser medidos e 
expressos por meio de números. Este é um 
dos motivos pelos quais as funções mais 
importantes, em Matemática, são aquelas 
em que o conhecimento de um número 
nos fornece informações sobre outro 
número. Por exemplo, se conhecemos o 
comprimento do lado de um quadrado, 
podemos calcular a medida da área desse 
quadrado; se soubermos a velocidade 
de um carro, podemos estimar quanto 
tempo levará para percorrer determinada 
distância.
Muitas funções são utilizadas para 
descrever fenômenos físicos ou situações 
que acontecem em diversos campos da 
ciência. Essas funções são chamadas 
de modelos matemáticos porque servem 
para representar com bastante precisão 
o comportamento das grandezas que 
interferem numa situação ou fenômeno.
Por meio de um exemplo, vamos estudar 
o que é uma função. Descreveremos 
também o que é o domínio e o que vem a 
ser a variação ou a imagem de uma função. 
Tente estudar com detalhes as situações 
apresentadas neste texto; essa é uma 
oportunidade para você aprender a ler 
tabelas e gráficos, melhorar sua habilidade 
de descrever situações e, sobretudo, 
desenvolver sua capacidade de pensar, 
que aqui é vista como a habilidade de 
estabelecer relações. 
Exemplo 1
De 10 a20 de janeiro de 2010, foram 
registradas em certa cidade as seguintes 
temperaturas máximas:
unidade 1
009
CÁLCULO
TABELA 1
Data
Temperatura 
(ºC)
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
23 25 25 26 28 25 22 24 26 28 28
Na Tabela 1, existe uma relação entre as 
datas e as temperaturas máximas. A cada 
dia, de 10 a 20 de janeiro, está associada 
uma única temperatura máxima. Podemos 
observar que, em um mesmo dia, ocorre 
apenas uma temperatura máxima. 
Este é um exemplo de função. Embora 
não exista fórmula para a temperatura 
(senão não precisaríamos dos institutos 
de meteorologia), a temperatura satisfaz 
a definição de função: cada dia t tem uma 
única temperatura máxima m associada a 
ele.
Uma grandeza m é uma função de outra 
grandeza t se, a cada valor de t, estiver 
associado um único valor de m. Quando 
isso acontece, dizemos que m é o valor da 
função ou a variável dependente, e que t é 
a variável independente ou argumento da 
função. Usando símbolos matemáticos, 
escrevemos: m = ƒ(t) , em que ƒ é o nome da 
função.
O domínio de uma função é o conjunto dos 
possíveis valores da variável independente. 
Nesse exemplo, o domínio é o conjunto dos 
dias do período de 10 a 20 de janeiro de 2010. 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Em linguagem matemática, escrevemos: 
D (ƒ) = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
A variação ou a imagem de uma função 
é o conjunto dos valores efetivamente 
assumidos pela variável dependente. 
Nesse exemplo, a imagem é o conjunto dos 
valores da temperatura máxima registrados 
no período de 10 a 20 de janeiro de 2010. 
Em linguagem matemática, escrevemos: 
Im (ƒ) = {22, 23, 24, 25, 26, 28}
A FUNÇÃO É UMA 
FÁBRICA DE PARES 
ORDENADOS
Podemos considerar uma função como 
uma máquina que fabrica pares ordenados 
de números ou de elementos. No exemplo 
da Tabela 1, quando colocamos nessa 
máquina t = 10 , obtemos m = ƒ(10) = 23; 
formamos, assim, o par ordenado (10, 
23). Com base nessa ideia, a função é 
um conjunto de pares ordenados e, nesse 
exemplo da tabela, temos:
F = {(10,23), (11,25), (12,25), (13,26), (14, 
28), (15,25), (16,22), (17,24), (18,26), (19,28), 
(20,28)}
A tecla ou x de uma calculadora é um 
exemplo de função como máquina de fazer 
unidade 1
010
CÁLCULO
pares ordenados: quando pressionamos a 
tecla ou x e damos o input 16, aparecerá 
no visor o output 4. Assim, a calculadora 
forma o par ordenado (16, 4), ou seja, (16,
16 ). De modo geral, a máquina x fabrica 
pares ordenados (x, x ). Na notação 
funcional, escrevemos: ƒ(x) = x .
Já tivemos oportunidade de observar que 
este operador ou x só pode ser usado 
para x ≥ 0. Assim, se digitarmos -9 e, na 
sequência, acionarmos o operador ou x , 
a calculadora vai escrever error , indicando 
que saímos do domínio da função. 
O processo de formar pares ordenados 
pode ser representado também por meio de 
um diagrama de flechas, como na Figura 1.
1
5
7
2
8
16
FIGURA 1
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse diagrama, o conjunto A é o domínio 
da função: D(ƒ) = {1,5,7} . De cada elemento 
de A sai uma única flecha; isso significa 
que um elemento de A está associado a um 
único elemento de B. Assim, por exemplo, 
ƒ(5) = 8 . Observe também que nenhum 
elemento de A é desprovido de flecha.
O conjunto B é o contradomínio da função: 
CD(ƒ) = {2, 8, 16}. A um mesmo elemento 
de B pode chegar mais de uma flecha; isso 
significa que um elemento de B pode ser 
imagem de mais de um elemento de A. O 
conjunto B pode ter elementos aos quais 
não chega nenhuma seta, ou seja, pode 
existir elemento de B que não seja imagem 
de nenhum elemento de A. O conjunto 
dos elementos de B aos quais chega pelo 
menos uma flecha é a imagem da função. 
No exemplo, temos: Im(ƒ) = {2, 8}. Observe 
que sempre o conjunto-imagem é um 
subconjunto de B.
De modo geral, o número de elementos 
ou de pares ordenados de uma função é 
muito grande, o que torna inviável escrever 
todos eles; devido a isso, utilizam-se 
duas outras formas de representação: os 
gráficos e as fórmulas. As fórmulas usadas 
para representar funções são também 
chamadas de equações, leis de associação 
ou leis de formação. 
VÁRIAS MANEIRAS DE 
REPRESENTAR 
UMA FUNÇÃO
As funções podem ser representadas de 
maneiras diferentes. Assim, a função que 
fornece as temperaturas máximas em 
função do tempo, que foi representada 
por meio da Tabela 1, também pode ser 
unidade 1
011
CÁLCULO
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nesse gráfico, estão representados os pares 
ordenados que constituem a função. O gráfico 
é formado por pontos separados e cada um 
deles representa um elemento da função: F = 
{(10, 23), (11,25), (12, 25), (13, 26), (14, 28), (15, 
25), (16, 22), (17,24), (18,26), (19,28), (20,28)} 
O primeiro termo de cada um desses pares 
é medido sobre o eixo horizontal onde 
normalmente são colocados os valores do 
domínio da função; o segundo termo de 
cada um desses pares é medido sobre o eixo 
vertical, onde normalmente são colocados os 
valores do contradomínio da função.
Nos exemplos seguintes, vamos representar 
funções por meio de uma tabela, de um 
gráfico, de uma fórmula e da descrição verbal. 
São essas as quatro maneiras mais usuais 
de se representar uma função. Em geral, 
existe a maneira mais adequada para se 
representar uma função, dependendo do uso 
que se precisa fazer dela. Assim, por exemplo, 
o padrão dos batimentos cardíacos de uma 
representada pelo Gráfico 1.
GRÁFICO 1
pessoa é mais facilmente observado em 
um eletrocardiograma, que é o gráfico de 
uma função, e a distribuição de renda no 
Brasil fica melhor evidenciada por meio de 
um gráfico em forma de pizza.
Exemplo 2
Quando uma bola é chutada para cima, a 
altura da bola depende do tempo decorrido 
desde o momento do chute.
a) Esse fato pode ser representado por 
meio da seguinte tabela de valores. 
TABELA 2
Fonte: Elaborada pelo autor.
Tempo t 
(em segundos)
Altura ƒ (t) 
(em metros)
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0 6,25 10,00 11,25 10,00 6,25 0
Na Tabela 2, estão indicados sete dentre os 
infinitos pares ordenados que constituem 
a função: (0, 0), (0,5; 6,25), (1,0; 10,00), (1,5; 
11,25), (2,0; 10,00), (2,5; 6,25) e (3,0; 0). Os 
elementos da primeira linha da tabela são 
do domínio da função; os elementos da 
segunda linha são do contradomínio da 
função.
A representação de uma função por meio 
de uma tabela é muito utilizada para indicar 
as medidas obtidas em experimentos 
científicos. 
b) Podemos, também, usar um gráfico para 
representar essa função.
unidade 1
012
CÁLCULO
Fonte: Elaborada pelo autor.
GRÁFICO 2
Para construir o Gráfico 2, foram plotados 
em um sistema de coordenadas cartesianas 
três dos pares ordenados da tabela: (0, 0), 
(1,5; 10,25) e (3,0; 0). A seguir, esses pontos 
foram ligados por meio de uma curva 
contínua, traçada sem tirar o lápis do papel 
(ou mantendo o mouse pressionado). Fazer 
um traço contínuo sugere que, para qualquer 
instante considerado entre 0 e 3 segundos, 
existe uma altura correspondente para a bola 
chutada. O traço contínuo é uma invenção 
engenhosa da matemática para representar 
fenômenos que ocorrem, aparentemente, 
sem dar saltos.
c) Para efeito de manipulação algébrica e de 
análise matemática, essa função pode ser 
representada pela fórmula.
ƒ (t) = - 5t2 + 15t
A descrição de uma função por meio de uma 
fórmula é a mais resumida delas; na fórmula, 
utilizamos uma linguagem codificada. 
Quando escrevemos ƒ(t) = 5t2 + 15t, estamos 
escrevendo uma frase completa por meio de 
símbolos matemáticos: o primeiro membro 
da equação, ƒ(t), é o sujeito da frase; o 
sinal de igualdade, = (é igual a), é o verbo e 
o segundo membro da equação, - 5t2 + 15t, 
é o predicativo. Em geral, a fórmula de uma 
função é conseguida por meio de muitas 
experimentações feitas com o fenômeno 
físicoque se pretende descrever ou modelar.
d) Além disso, uma função pode ser 
representada por meio de descrição verbal.
O fenômeno apreciado nesse exemplo pode 
ser descrito verbalmente, como feito a 
seguir:
“Quando uma bola é chutada para o alto, a 
sua altura em relação ao solo é a função 
do tempo decorrido desde o momento do 
chute, ou o instante inicial, até o momento 
em que toca o solo, ou o instante final. No 
caso em estudo, a altura da bola no instante 
t = 0 é zero, no instante t = 1,5 é 11,25 e no 
instante t = 3 volta a ser zero.”
Das quatro representações propostas para o 
exemplo, as de mais fácil leitura são a tabela 
e o gráfico. A de mais fácil manipulação 
computacional é a fórmula. A descrição 
verbal de uma função nem sempre consegue 
explicitar todos os detalhes de um fenômeno; 
existem situações que só conseguimos 
descrever por meio de gráficos, tabelas 
ou de fórmulas; isso significa que existem 
unidade 1
013
CÁLCULO
situações que só podem ser descritas por 
meio da linguagem matemática. 
Você pode entender melhor esta última 
afirmativa se pensar que o computador é 
um artefato matemático! Nos programas 
para computadores, substituem-se 
cores, sons e palavras por sequências 
de números formados pelos algarismos 
0 e 1; o computador compara e ordena 
essas sequências numéricas de acordo 
com o programado. Se é verdade que um 
gesto vale mais que mil palavras, também é 
verdade que uma equação matemática vale 
por milhares de palavras.
Exemplo 3
Considere um tanque com 1200l de 
capacidade e uma torneira que despeja 
nele 40l de água por minuto. O volume de 
água despejada é função do tempo em que 
a torneira ficar aberta.
a) O fenômeno de enchimento do tanque 
em função do tempo pode ser descrito por 
meio da tabela a seguir:
TABELA 3
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Tempo t 
(em minutos)
Volume ѵ 
(em litros)
0 1 2 3 ... 29 30
0 40 80 120 ... 1160 1200
b) Por meio de um gráfico, a função fica 
assim descrita:
c) Por meio de uma fórmula, podemos 
escrever:
ƒ(t) = 40t, 0 ≤ t ≤ 30 
As variáveis ѵ e t se relacionam pela 
igualdade ѵ = 40t, com 0 ≤ t ≤ 30 . Para cada 
valor atribuído à variável t, corresponde um 
único valor para a variável ѵ. A relação ѵ=40t 
é a lei de associação ou a lei de formação 
da função. 
d) Uma possível descrição verbal dessa 
função é a seguinte:
O volume de água despejado no tanque é 
função do tempo decorrido desde o instante 
em que a torneira foi aberta. A torneira é 
aberta quando o tanque está vazio e 
despeja no tanque 40 litros a cada minuto. 
Como a capacidade do tanque é de 1200 
litros, serão necessários 30 minutos para 
que essa torneira encha completamente o 
tanque.
GRÁFICO 3
unidade 1
014
CÁLCULO
EXERCÍCIOS 
RESOLVIDOS
Orientações:
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e 
ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução dos 
exercícios propostos ou das questões de atividades.
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, 
revendo os textos estudados ou solicitando orientação.
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse 
estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao 
final, compor uma visão bem completa do problema.
1) Um radar eletrônico flagra certo automóvel andando a 108 km/h em uma avenida de Belo 
Horizonte, às duas horas da manhã. Considerando que o carro se manteve nessa mesma 
velocidade por 1 minuto: 
a) construa uma tabela que relacione a distância percorrida por ele em função do tempo 
no intervalo entre 02:00 e 2:01; 
b) escreva uma fórmula que expresse a relação entre a distância percorrida (em metros) 
e o tempo (em segundos) para o carro nesse intervalo de tempo;
c) esboce o gráfico da função obtida no item anterior.
Solução
a) Começamos por expressar a velocidade em metros por segundo 
Atribuindo valores ao tempo t e à distância D, temos a tabela a seguir:
==
1h
108 km
3600 s
108000 m 30 m/s
unidade 1
015
CÁLCULO
TABELA 4
Tempo (s)
Distância (m)
0 10 20 30 40 50 60
0 300 600 900 1200 1600 1800
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
b) Considerando que a cada segundo o carro percorre 30m, temos a seguinte equação 
que relaciona a distância D com cada instante t do tempo:
 D (t) = 30t, 0 ≤ t ≤ 60
c) O gráfico da função foi feito no winplot:
GRÁFICO 4
2) Certo estacionamento cobra R$7,00 por hora, mas possui uma promoção em que o cliente 
pode comprar um selo no valor de R$60,00 com o qual passa a pagar apenas R$1,00 por hora. 
Com base nessas informações: 
a) escreva uma equação para cada situação de pagamento; 
b) faça o gráfico das duas funções em um mesmo sistema de coordenadas; 
c) através do gráfico determine a partir de quantos dias passa a ser vantajoso comprar o 
selo promocional.
unidade 1
016
CÁLCULO
Solução
a) Sendo f a função para situação normal e t o tempo em horas, temos:
 ƒ(t) = 7t
 Sendo g a função, quando se usa o selo, e t o tempo em horas, temos:
 g(t) = 60 + t
b) O Gráfico 5 representa as duas funções.
GRÁFICO 5
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) Com base no gráfico, podemos concluir que, a partir da décima hora de uso do 
estacionamento, comprar o selo promocional se torna mais vantajoso.
3) Uma caixa aberta em cima tem um volume de 12m3 . O comprimento da base é o dobro da 
largura. O material da base custa R$10,00 por metro quadrado, ao passo que o material das 
laterais custa R$8,00 por metro quadrado. Expresse o custo total do material em função da 
largura da base.
Solução
Consideremos a caixa representada no diagrama ao lado, na qual a é a medida da largura da 
base, 2a o comprimento e h a altura.
	
  
a 	
  
2a 	
  
h 	
  
unidade 1
017
CÁLCULO
Assim, o custo total da caixa, em reais, é dado por:
C = (2a • a) 10 + 2a • h • 8 + 2 • 2a • h • 8 → C = 20a2 + 48ah
Por outro lado, o volume da caixa, em metros quadrados, é ѵ = 2a • a • h. Fazendo ѵ = 12, 
obtemos 12 = 2a2h → h = 6
Substituindo este valor de h na equação do custo total, C = 20a2 + 48ah, temos:
C = 20a2 + 48ah • → C(a) = 20a2 + 
a
288
Portanto, a equação C(a) = 20a2 + 
a
288 expressa o custo C da caixa em função da largura a de 
sua base.
d) O gráfico da função foi feito no winplot:
GRÁFICO 6
a2
a2
6 
Fonte: Elaborada pelo autor.
2
unidade 2
019
CÁLCULO
Neste capítulo, estudaremos as funções lineares. Elas aparecem com bastante frequência no dia a dia, como, por exemplo, no cálculo do custo de uma corrida de táxi, que é proporcional à distância percorrida, e na conta de telefone, cujo valor é 
proporcional ao tempo utilizado nas ligações. 
As funções lineares são usadas para descrever situações nas quais o crescimento ou 
o decrescimento da variável dependente é proporcional ao crescimento da variável 
independente. Assim, dizemos que uma função é linear se qualquer variação na variável 
independente provoca uma variação proporcional na variável dependente.
FUNÇÕES 
LINEARES
unidade 2
020
CÁLCULO
COMO CRESCEM OS 
ADOLESCENTES
Em geral, as meninas crescem de 6 a 8 
centímetros por ano entre os 12 e os 16 
anos, enquanto os meninos crescem de 8 
a 10 centímetros por ano, entre os 13 e os 
18 anos. A Tabela 5 mostra a evolução da 
altura de certo adolescente dos treze aos 
dezoito anos.
TABELA 5
Idade
Altura (em 
centímetros)
13 14 15 16 17 18
131 140 149 158 167 176
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como, a cada ano, a altura aumenta 9cm, 
podemos afirmar que a altura desse 
adolescente é uma função linear de sua 
idade, na fase dos 13 aos18 anos.
A fração =
9
114 - 13
140 - 131
 indica que a altura 
aumenta 9cm quando a idade aumenta 1 
ano. Essa fração é chamada de taxa de 
variação da altura em relação ao tempo. 
GRÁFICO 6
Em Matemática, costuma-se representar a 
taxa de variação de uma função por meio 
da fração 
∆x
∆y
 
, em que o numerador ∆y 
representa o incremento ou a variação da 
variável dependente e o denominador ∆x 
representa o incremento ou a variação da 
variável independente. O símbolo ∆ é a letra 
delta do alfabeto grego, correspondente 
ao D do alfabeto latino, sendo usada para 
indicar a diferença entre dois valores 
da variável que o sucede; ∆y (leia-se 
“delta y”), por exemplo, indica a diferença 
y1 - y0; pode-se, pois, escrever: ∆y = y1 - y0 ou 
∆y = ƒ(x1) - ƒ(x0). Incremento significa uma 
variação que pode ser para mais ou para 
menos; existe também o caso em que o 
incremento da variável dependente é nulo, 
situação característica de uma função 
constante.
Na função linear, a taxa de variação é 
sempre a mesma, quaisquer que sejam os 
pontos ou pares ordenados considerados. 
No exemplo que estamos estudando, 
indicando a altura pela letra h e a idade 
pela letra t, podemos escrever:
=149 - 131
15 - 13∆t
∆h ==
2
18
1
9
A taxa de variação é sempre a razão 
entre a variação da variável dependente 
(numerador) e a variação da variável 
independente (denominador). Para saber 
qual é a unidade de medida dessa taxa de 
variação, basta verificar qual é a unidade 
unidade 2
021
CÁLCULO
de medida de cada uma das variáveis nela 
envolvidas. Nesse exemplo, temos: 
= 9 centímetros 9 centímetros por ano
1 ano∆t
∆h =
Observe que , nesse caso, significa dividido 
por; de modo semelhante, quando dizemos 
10% (dez por cento) estamos nos referindo 
à taxa ou à fração 
100
10 .
O GRÁFICO DO 
CRESCIMENTO DE 
UM ADOLESCENTE 
A relação existente entre a idade e a altura, 
no exemplo que estamos estudando, é uma 
função linear que pode ser representada 
por meio do Gráfico 7.
GRÁFICO 7
Fonte: Elaborada pelo autor.
Quando o domínio e o contradomínio 
de uma função ƒ são subconjuntos do 
conjunto de números reais R, dizemos 
que ƒ é uma função real de variável real 
ou, simplesmente, uma função real. Nesse 
caso, podemos fazer uma representação 
geométrica da função ƒ num sistema 
de coordenadas cartesianas: no eixo 
horizontal, assinalamos os valores da 
variável independente e por eles traçamos 
retas paralelas ao eixo vertical; no eixo 
vertical, assinalamos os valores da variável 
dependente e por eles traçamos retas 
paralelas ao eixo horizontal; as interseções 
dessas retas são os pares ordenados que 
constituem o gráfico da função. Observe 
que cada ponto do gráfico da função ƒ é um 
par ordenado de números reais.
Podemos considerar o gráfico de uma 
função como sendo a trajetória de um 
ponto no plano cartesiano. No exemplo 
que estamos estudando, a variável 
independente t se desloca ao longo do 
eixo horizontal da esquerda para a direita, 
fazendo com que a variável dependente 
h se mova para cima no eixo vertical. 
Esse duplo movimento faz com que o par 
ordenado (t, h) descreva a linha que é o 
gráfico da função h = 131 + 9t. 
COMO ACHAR UMA 
FÓRMULA PARA O 
CRESCIMENTO DE 
UM ADOLESCENTE
Podemos estabelecer uma fórmula que nos 
dá a altura h, em centímetros, como função 
da idade t, em anos, contados a partir de 
13 (a idade de 13 anos correspondendo ao 
unidade 2
022
CÁLCULO
zero, ou seja, 13 é o início da contagem da 
idade):
h = 131 + 9t.
A altura, que inicialmente é de 131cm, 
aumenta 9cm a cada ano. O coeficiente 
9 nos informa a taxa de crescimento da 
altura; geometricamente, 9 é a inclinação 
da reta de equação h = 131 + 9t; fisicamente, 
é a taxa de variação da altura em relação à 
idade, ou seja, 9 centímetros por ano.
GRÁFICO 8
Fonte: Elaborada pelo autor.
A EQUAÇÃO 
DE UMA RETA
Encontrar a equação de uma reta ou a 
fórmula da função linear é uma questão 
que aparece com muita frequência em 
problemas de Cálculo. Vale a pena dominar 
bem esse assunto. 
Uma função linear é dada pela fórmula 
y = mx + b, sendo m e b números reais. Nessa 
igualdade, y é a variável dependente e x é a 
variável independente; m é a inclinação da 
reta ou o coeficiente angular da reta ou a 
taxa de variação de y em relação à variação 
de x; b é o coeficiente linear da reta ou o 
valor de y quando x é zero ou a interseção 
vertical. Observe que, se m = 0, a equação 
da reta fica sendo y = b, que é uma reta 
horizontal. Se a reta não tiver inclinação, 
sua equação assume a forma x = k, que é 
uma reta vertical; lembre-se de que x = k 
não é uma função.
Para chegarmos à fórmula ou à equação 
de uma reta, precisamos determinar o valor 
de m e o valor de b. Vamos considerar três 
maneiras de resolver esse problema.
Exemplo 1
Determinar a equação da reta que passa 
pelos pontos A = (-2,7) e B = (1,-4). 
a) Cálculo de m (o coeficiente angular ou a 
taxa de variação):
=m 7 - (-4)
-2-1
==
-3
11
3
11
-
b) Cálculo de b (interseção vertical ou 
coeficiente linear):
Sabendo que m = - , podemos escrever 
que a equação da reta é y = - x + b.
Como o ponto B = (1,-4) pertence a essa 
=176 - 131
5 - 0
==
∆t
∆h
5
45 9
unidade 2
023
CÁLCULO
reta, temos a igualdade = .1+ b-4
 
, 
obtida substituindo, na equação da reta, x 
por 1 e y por – 4. Dessa igualdade, podemos 
concluir que b = .
c) Equação da reta ou fórmula da função 
linear:
Com os valores de m e de b calculados 
anteriormente, a equação da reta fica 
sendo: y= - 
3
1
3
11 x
 
.
Exemplo 2
Determinar a equação da reta que passa 
pelos pontos m = (2, 5) e P = (-3, 7). 
Outra maneira de resolver esse problema 
é considerar que os pontos m = (2, 5) e 
P=(-3,7) pertencem à reta y = mx + b e que, 
portanto, suas coordenadas verificam essa 
equação. Assim, temos: 
a) Se m = (2, 5) pertence à reta y = mx + b, 
então, 5 = m • 2 + b , ou seja, 2m + b = 5 .
b) Se P = (-3, 7). pertence à reta y = mx + b, 
então, 7 = m(-3) + b, ou seja, -3m + b = 7 .
c) Os valores de m e de b são a solução 
do sistema de equações 
 -3m + b = 7 
2m + b = 5 , ou 
seja, m = - 
5
2 e b = - 
5
29 . 
d) Equação da reta ou fórmula da função 
linear:
Exemplo 3
Determinar a equação da reta que passa 
pelos pontos R = (2, 3) e S = (-4, -7). 
Podemos resolver esse problema utilizando a 
igualdade y - y1 = m( x - x1) , que é a equação 
da reta com inclinação m e que passa pelo 
ponto ( x1 - y1) . Para isso, procedemos do 
seguinte modo:
a) Cálculo do coeficiente angular m:
3
5
6
10
42
73
==
+
+
=m
b) Equação da reta que passa pelo ponto R = 
(2, 3) e tem inclinação m = 
3
5
:
)2(
3
5
3 = xy
 
ou, na forma explícita,
 
Se ao invés do ponto R = (2, 3), utilizarmos 
as coordenadas do ponto S = (-4, -7) e m = 
3
5
 
, 
chegaremos à equação
 
ou 
 
, a mesma equação obtida com 
as coordenadas de R. 
Tal resultado tem por base a ideia da 
geometria plana de que por dois pontos 
passa uma única reta, ou seja, dois pontos 
sempre são colineares.
Com os valores de m e de b calculados 
anteriormente, a equação da reta fica sendo 
5
29
5
2 += xy .
unidade 2
024
CÁLCULO
FAMÍLIAS DE 
FUNÇÕES LINEARES
As funções lineares podem ser descritas 
pelas fórmulas y = mx + b, y = mx ou y = b 
Nessas fórmulas, as constantes m e b 
são chamadas de parâmetros. Atribuindo 
a esses parâmetros diversos valores, 
podemos gerar famílias de funções.
A Figura 2 representa o que acontece com 
uma reta y = mx à medida que fazemos o 
parâmetro m assumir diferentes valores. 
Essas retas formam uma família de funções 
que têm uma característica comum: todas 
elas passam pelo ponto (0, 0). 
FIGURA 2
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
O parâmetro m é a taxa de variação da 
função linear. Se m for positivo, a função 
será crescente e seu gráfico será uma 
reta inclinada para a direita (forma umângulo agudo com o semieixo horizontal 
positivo); se m for negativo, a função será 
decrescente e seu gráfico será uma reta 
inclinada para a esquerda.
Na Figura 3, está representada outra família 
de retas, obtida por meio da variação do 
parâmetro b. São retas paralelas, ou seja, 
retas que têm a mesma inclinação m = 1 .
FIGURA 3
Retas paralelas não verticais representam 
funções lineares que têm a mesma taxa de 
variação.
A família de retas representadas na Figura 
4 é de retas horizontais. Também essa 
família é obtida por meio da variação do 
parâmetro b; as retas são paralelas e têm 
inclinação m = 0 .
unidade 2
025
CÁLCULO
FIGURA 4
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Funções que têm taxa de variação m = 0 
são funções constantes.
Na Figura 5, estão representadas retas 
verticais. Apesar de constituírem uma 
família de retas, elas não são funções. 
FIGURA 5
Agrupar em famílias funções com 
características comuns é um processo 
utilizado na modelagem matemática. 
Modelar um fenômeno, no Cálculo, significa 
descrever esse fenômeno por meio de uma 
função matemática. Para modelar um 
fenômeno ou uma situação, escolhe-se 
uma família de funções e, depois, por meio 
de dados experimentais, ajustam-se os 
parâmetros.
unidade 2
026
CÁLCULO
EXERCÍCIOS 
RESOLVIDOS
Orientações:
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e 
ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução dos 
exercícios propostos ou questões de atividades.
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, 
revendo os textos estudados ou solicitando orientação.
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse 
estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao 
final, compor uma visão bem completa do problema.
1) Para animar uma festa de formatura, o conjunto A cobra uma taxa fixa de R$400,00, mais 
R$90,00 por hora. Pelo mesmo serviço, o conjunto B cobra R$600,00, mais R$60,00 por hora. 
Com base nessas informações: 
a) escreva a fórmula do preço a ser pago ao conjunto A e a fórmula do preço a ser pago 
ao conjunto B em função do tempo de duração da festa; 
b) esboce o gráfico de cada uma dessas funções; 
c) observando os gráficos, descreva o significado do ponto em que eles se interceptam.
Solução
a) Sendo t o tempo em horas e CA o preço em reais a ser pago ao conjunto A, podemos 
escrever CA(t) = 400 + 90t.
De modo semelhante, sendo t o tempo em horas e CB o preço em reais a ser pago ao 
conjunto B, temos: CB(t) = 600 + 60t.
Essas duas funções são lineares e o gráfico de cada uma delas é uma reta e ambas estão 
definidas para t ≥ 0.
unidade 2
027
CÁLCULO
b) Um esboço do gráfico de cada uma dessas funções está a seguir:
GRÁFICO 9
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) O ponto de interseção dos gráficos corresponde ao tempo t de duração da festa 
para o qual o preço a ser pago a cada conjunto é o mesmo, ou seja, CA = CB . Assim, 
400 + 90t = 600 + 60t; resolvendo essa equação, temos: t = 6h 40min. Se a festa durar 
mais de 6h 40min, será mais barato contratar o conjunto B; caso a festa dure menos de 
6h 40min, contratar o conjunto A será mais barato.
2) O custo de uma caixa de uvas frescas, numa viticultura, é de R$15,00, mas o preço cai 
R$0,30 a cada dia. Obtenha o custo de uma caixa que já foi colhida há t dias.
Solução
O preço da caixa, em função do número de dias passados depois de colhidas as uvas pode 
ser expresso por meio da Tabela 6:
TABELA 6
t (dias)
C(t) (reais)
0 1 2 3 ... ? ?
15,00 14,70 14,40 14,10 ... 0,30 0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Essa é uma função linear porque o preço diminui a uma taxa constante. Podemos determinar 
a lei de associação dessa função:
unidade 2
028
CÁLCULO
a) Cálculo do coeficiente angular ou da taxa de variação:
 
b) Equação da reta que passa pelo ponto (0, 15) e tem coeficiente angular m = -0,30:
y - 15 = - 0,30 (x - 0) ou, explicitando y, y = - 0,30x + 15 
No problema que estamos resolvendo, a variável dependente é o custo C e a variável 
independente é o tempo t. Assim a função custo é dada pela equação C(t) = - 0,30t + 15
O gráfico dessa função está representado abaixo:
GRÁFICO 10
Fonte: Elaborada pelo autor.
Por meio da fórmula C(t) = - 0,30t + 15, fica fácil determinar em quantos dias a caixa de uvas perde 
completamente seu valor. Basta fazer C(t) = 0 , condição que leva à igualdade 0 = - 0,30t + 15. 
Resolvendo essa equação, obtemos t = 
30,0
15
 
→ t = 50. Assim, podemos afirmar que, depois de 
50 dias de colhidas as uvas, a caixa dessas frutas perde completamente seu valor.
3) Um carro parte do ponto P no instante t = 0 e viaja a 80km/h. 
a) Escreva uma função y = d(t) para a distância que o carro percorre em t horas saindo 
do ponto P.
b) Faça o gráfico de y = d(t).
c) Qual é o coeficiente angular do gráfico feito em (b) e qual sua relação com o carro?
d) Crie uma situação em que o coeficiente linear de y = d(t) valha 30.
unidade 2
029
CÁLCULO
Solução
a) A distância percorrida pelo carro em t horas é uma função linear, dada por y = 80t , onde 
y é a distância medida em quilômetros e t é o tempo, em horas.
b) O gráfico é uma semirreta com origem no ponto (0, 0) e está representado a seguir:
GRÁFICO 11
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
c) O coeficiente angular da reta y = 80t é 80 e corresponde à velocidade do carro, que é a 
taxa de variação da distância em relação ao tempo.
d) Podemos considerar a função y = 30t que fornece a distância, y, percorrida por um 
carro que parte do ponto P no instante t = 0 e anda a uma velocidade de 30km/h 
4) Um círculo tem centro na origem e raio 5. Determine a equação da reta tangente a este 
círculo no ponto (3, 4).
Solução 
A figura abaixo representa a situação considerada no problema.
FIGURA 6
unidade 2
030
CÁLCULO
Sejam m o coeficiente angular da reta tangente e m1 o coeficiente angular da reta que contém 
o raio do círculo. Como a reta tangente a um círculo é perpendicular ao raio que termina no 
ponto de tangência, o coeficiente angular da reta tangente é:
m = 
1
m1
 , onde m1 = =
4
3
4 - 0
3 - 0 . Assim, m = - 
4
3 
e a equação da reta tangente ao círculo no 
ponto (4, 3) , é y - 4 = - (x - 3) ou 3x + 4y - 25 = 0 
unidade 3
032
CÁLCULO
FUNÇÕES 
QUADRÁTICAS
Neste capítulo, estudaremos a função quadrática ou função do segundo grau. Seu gráfico é uma parábola, termo de origem grega que significa jogar longe (para – longe, balein – jogar). Ela aparece na descrição da queda de corpos, no movimento 
de projéteis, no estudo de ótica (lentes e espelhos) e de outros fenômenos. 
Você já conhece esta função! É dela que vêm as equações e inequações do segundo grau, que 
você estuda desde o Ensino Fundamental. É importante que você saiba manipular bem esta 
função e, sobretudo, conheça bem o seu gráfico e suas propriedades.
unidade 3
033
CÁLCULO
CONSTRUINDO 
QUADRADOS 
COM VARETAS
Um artesão constrói quadrados com 
varetas cujos comprimentos, medidos em 
centímetros, são números inteiros que 
variam de um a dez centímetros. A medida 
da área A de cada quadrado é função do 
comprimento do seu lado l. Na Tabela 7 
estão alguns valores do lado l e os valores 
correspondentes da medida da área A.
TABELA 7
Idade
A (em 
centímetros 
quadrados)
1 2 3 4 5 ... 9 10
1 4 9 16 25 ... 81 100
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Observando os valores dessa tabela, 
podemos concluir que não se trata de uma 
função linear porque a taxa de variação 
da medida da área em relação à variação 
do comprimento do lado não é constante. 
Podemos verificar, porexemplo, que, 
quando o comprimento do lado passa 
de 2 cm para 3 cm, a medida da área do 
quadrado passa de 4cm2 para 9cm2 , 
ou seja, ; 
porém, quando o comprimento do lado 
vai de 4 cm para 5cm, a medida da área 
varia de 16cm2 para 25cm2, ou seja, 
 
. Esses 
valores mostram duas variações distintas 
da função área: uma de 
cm1
cm5 2 (centímetros 
quadrados por centímetro) e outra de 
cm1
cm9 2.
A variação da área é proporcional à variação 
do quadrado do comprimento do lado. Em 
matemática, escrevemos: A = kl2 (onde k 
é a constante de proporcionalidade). Como 
o ponto (3, 9) pertence ao gráfico dessa 
função, temos: 9 = k • 32 → k = 1 . Assim, a 
função é dada pela fórmula: A = l2.
GRÁFICO 12
No Gráfico 12 da função A = l2 , cujo domínio 
é D = {1, 2, 3,...,10} e cujo conjunto imagem 
é Im = {1, 4, 9, 16, ..., 100} . Observe que esse 
gráfico é constituído de pontos separados 
porque no domínio da função aparecem 
apenas números inteiros. Ligando esses 
pontos por um traço contínuo, obtemos 
uma curva que é o segmento de uma 
parábola.
unidade 3
034
CÁLCULO
VIAJANDO COM 
UMA LARANJA
Uma laranja é jogada verticalmente para 
o alto, com velocidade de 15 metros por 
segundo, no instante t = 0 . Sua altura h 
(em metros) acima do solo, no instante 
t (em segundos), é dada pela equação 
h = - 5t2 + 15t . 
O gráfico dessa função h é uma parábola 
voltada para baixo. Observe, à esquerda 
no Gráfico 13, a trajetória da laranja, que 
só se movimenta na vertical e cai no 
mesmo ponto do qual partiu. A parábola, à 
direita na mesma figura, não é o gráfico da 
trajetória, mas sim da altura h em função 
do tempo t; em outros termos, a parábola 
indica a variação da altura em relação à 
variação do tempo. 
GRÁFICO 13
Fonte: Elaborada pelo autor.
As interseções do gráfico com o eixo 
horizontal são obtidas fazendo-se h = 0 na 
fórmula da função, ou seja, 0 = - 5t2 + 15t. 
Resolvendo essa equação, temos t = 0 
ou t = 3 . O movimento da laranja ocorre, 
pois, entre t = 0 , instante em que a laranja 
é jogada, e t = 3 , momento em que cai no 
chão. Na metade de sua viagem, no instante 
t = 1,5s , a laranja atinge o ponto mais alto: 
h(1,5) = - 5 • (1,5)2 + 15 • 1,5 = 11,25m. 
A laranja se encontra a 10 metros do chão 
nos instantes t = 1s e t = 2s ; a altura é igual 
a 5 metros para t = 0,38s e também para 
t = 2,62s . Podemos observar que a taxa 
de variação da altura h é positiva quando 
a laranja está subindo e negativa quando a 
laranja está descendo:
 
(velocidade média com que a laranja sobe); 
 
(velocidade média com que a laranja desce).
As funções A = l2 e h = - 5t2 + 15t são 
exemplos de funções quadráticas, também 
chamadas de funções do segundo 
grau porque o maior grau da variável 
independente é dois. 
A FÓRMULA E O GRÁFICO 
DE UMA FUNÇÃO 
QUADRÁTICA
De modo geral, a função quadrática tem a 
forma y = ax + bx2 + c , onde a, b e c são 
unidade 3
035
CÁLCULO
números reais, com a ≠ 0 . O gráfico da 
função quadrática é sempre uma parábola, 
côncava para cima ou côncava para baixo. 
O Gráfico 14 representa a função quadrática 
y = x2 . O valor da variável dependente y 
é proporcional ao valor do quadrado da 
variável independente x.
GRÁFICO 14
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Tabela 8, estão alguns valores de x e os 
correspondentes valores de y; na terceira 
linha, estão valores da variação ∆y para 
uma variação ∆x = 1. 
TABELA 8
x
y = x2
∆y
-3 -2 -1 0 1 2 3 
9 4 1 0 1 4 9 
 -5 -3 -1 1 3 5 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A taxa de variação 
x
y
∆
∆ é negativa 
quando são tomados dois valores de y 
correspondentes a valores de x à esquerda 
da origem, fato que indica ser essa função 
decrescente no intervalo (-∞, 0] ; por outro 
lado, a taxa de variação 
x
y
∆
∆ é positiva , o 
que mostra ser essa função crescente no 
intervalo [0, ∞). Lembre-se de que ∆x é 
sempre positivo.
AS RAÍZES OU OS ZEROS 
DE UMA FUNÇÃO 
QUADRÁTICA
Uma raiz ou um zero de uma função 
y = ƒ(x) é o valor de x para o qual ƒ(x) = 0 . 
Geometricamente, os zeros de uma função 
são os valores de x em que o seu gráfico 
cruza ou toca o eixo x (o eixo x é a reta 
y = 0). Nem toda função tem gráfico que 
toca ou cruza o eixo horizontal; portanto, 
nem toda função tem zeros ou raízes. A 
função y = x2 + 4, por exemplo, não tem 
zeros.
O gráfico da função y = ax + bx2 + c , com 
a ≠ 0, é uma parábola, quaisquer que 
sejam os valores dos coeficientes a, b e c. 
Quando a> 0 , a parábola se abre para cima 
e existem três possibilidades para os zeros 
dessa função e essas são mostradas na 
Figura 7.
unidade 3
036
CÁLCULO
FIGURA 7
Fonte: Elaborada pelo autor.
Como já sabemos, as raízes da equação 
quadrática y = ax2 + bx + c = 0 são dadas 
pela fórmula.
 
As três possibilidades 
mostradas na Figura 7 correspondem, 
respectivamente, às condições algébricas:
 b2 - 4ac > 0 (duas raízes reais distintas)
 b2 - 4ac = 0 (uma raiz real dupla)
 b2 - 4ac < 0 (sem raízes reais)
O ponto mais baixo do gráfico da função 
quadrática é o vértice da parábola e suas 
coordenadas são xv = - 2a
b e yv = 4a 
(onde 
b2 - 4ac). 
Observe que yv = ƒ ( - 2a
b )
O GRÁFICO DA 
FUNÇÃO 
QUADRÁTICA
O problema de construir o gráfico de uma 
função quadrática dada por meio de sua 
fórmula é bem simples (mesmo sem utilizar 
uma calculadora), conforme podemos 
verificar nos dois exemplos a seguir.
Exemplo 1
Esboce o gráfico da função ƒ (x) = 3x2 - 2x - 1.
a) Determinamos as coordenadas do 
vértice:
b) Determinamos dois pontos da 
parábola, um à esquerda do vértice e 
outro à direita do vértice:
ƒ (-1) = 3(-1)2 - 2(-1) - 1 = 4 . O ponto (-1, 
4) pertence ao gráfico de ƒ 
ƒ (2) = 3 • 22 - 2 • 2 - 1 = 7. O ponto (2, 7) 
pertence ao gráfico de ƒ.
c) Plotamos os pontos (-1, 4), (2, 7) e 
( 
3
1 , - 
3
4 ), ligando-os por meio de 
uma curva que tenha a forma de uma 
parábola. A reta vertical que passa pelo 
vértice é o eixo de simetria da parábola; 
ela funciona como um espelho que 
reflete à direita o traço desenhado 
a sua esquerda e vice-versa. Veja o 
unidade 3
037
CÁLCULO
Gráfico 15.
GRÁFICO 15
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo 2
Uma bola é atirada para cima do topo de 
um edifício com 96 pés de altura, com 
velocidade inicial de 16 pés por segundo. 
Sua altura h (em pés) acima do solo, t 
segundos após ser atirada, é dada pela 
função h = 96 + 16t - 16t2 . Esboce o gráfico 
da altura versus tempo.
a) Determinamos as raízes da função:
16t2 - 16t - 96 = 0 → 
32
16 ± 80 → t = -2 ou t = 3.
b) Determinamos o vértice da parábola:
 
2
1
2
32
=
+
=Vt 
(a abscissa do vértice é a 
média aritmética das raízes)
hv = h(2
1
) = 96 + 8 - 4 =100 (a ordenada do 
vértice é h(tv ).
c) Plotando-se os três pontos determinados, 
(-2, 0), (3, 0) e (
2
1
 , 100), e considerando-se 
que o domínio dessa função é o intervalo 
[0, 3 ], podemos esboçar o gráfico de h.
GRÁFICO 16
Também é bem simples o problema de 
achar uma possível fórmula para a função 
quadrática dada por meio de seu gráfico ou 
de uma tabela de valores. Consideremos 
dois exemplos.
Exemplo 3
Determine uma possível fórmula para a 
função quadrática do Gráfico 17.
GRÁFICO 17
unidade 3
038
CÁLCULO
a) No gráfico, aparecem as raízes da 
função x = - 1 e x = 3 . Então, a função 
é da forma y =a ( x + 1 ) ( x - 3 ) . Como 
a parábola é côncava para baixo, a é 
negativo. 
b) Não há como calcular o valor 
de a porque não foram dadas as 
coordenadas de nenhum ponto fora do 
eixo x. Assim o problema tem muitas 
respostas. 
c) Estimando que o gráfico corte o eixo 
y no ponto (0, 4), podemos determinar 
o valor de a, fazendo y(0) = 4 . Então, 
temos: 4 = a ( 0 + 1) (0 - 3) → a = - 
3
4
 . 
d) Assim, a função tem comofórmula 
y= - 
3
4
 (x + 1) (x - 3) ou, efetuando o 
produto, y = - .
Neste exemplo, a função quadrática é 
dada por meio de um gráfico. No exemplo 
seguinte, examinamos uma função do 
segundo grau dada por meio de uma tabela.
Exemplo 4
Suponha que uma espaçonave, lançada 
do solo, suba até uma altitude de 192 km, 
e depois caia no mar, totalizando um voo 
de 16 minutos. Determine a fórmula da 
função que dá a altitude y (em quilômetros) 
em função do tempo, t minutos após a 
decolagem.
a) Com os dados do problema, 
podemos fazer a seguinte tabela de 
valores:
TABELA 9
t (em minutos)
y (em quilômetros)
0 8 16
0 192 0
Fonte: Elaborada pelo autor.
b) Com os valores da tabela, podemos 
escrever y = a(t - 0) (t - 16) e, considerando 
que o ponto (8, 192) pertence à curva, 
192 = a (8 - 0) (8 - 16) → a = -3. 
c) Assim, a função tem como fórmula 
y = -3(t - 0) (t - 16) ou, efetuando o 
produto, y =-3t2 + 48ƒ, com 0≤ t ≤ 16.
unidade 3
039
CÁLCULO
EXERCÍCIOS 
RESOLVIDOS
Orientações:
A resolução e comentários dos exercícios contêm os diversos conceitos estudados e 
ajudam na fixação desses conceitos. Servem ainda como sugestões para a resolução das 
questões das atividades.
Sempre que tiver dúvida a respeito de qualquer afirmativa aqui feita, procure esclarecimento, 
revendo os textos estudados ou solicitando orientação pelo correio acadêmico.
Para o estudo desses exercícios, você deve dispor de lápis e papel. Não se pode fazer esse 
estudo como se faz a leitura de notícias de jornal; é preciso estar atento aos detalhes e, ao 
final, compor uma visão bem completa do problema.
1) Na figura, estão os gráficos da reta r e da parábola y = x2 - 3x. Determine a equação da reta 
r e o valor da ordenada b, sabendo que os pontos de interseção dessas curvas (a reta e a 
parábola) são B = (-1, y1) e A = (2, y2).
FIGURA 8
Solução
Os pontos B(-1, y1) e A(2, y2) pertencem à parábola y = x
2 - 3x . Portanto, y1 = (-1)
2 - 3(-1) = 4 e 
y2 = 2
2 - 3 • 2 = -2.
Assim, os pontos comuns à parábola e à reta r são (-1, 4) e (2, -2) . Então, r é a reta que passa 
por esses dois pontos e, em consequência, seu coeficiente angular é 
 
e sua 
equação é y - 4 = -2(x + 1) ou y = -2x + 2.
Fonte: Elaborada pelo autor.
unidade 3
040
CÁLCULO
Como o ponto (0, b) está sobre a reta r, temos: b = -2 • 0 + 2 → b =2 .
2) O gráfico da função ƒ(x) = ax2 + bx + c passa pelo ponto (5, 8) , tem vértice em (2, -1) e corta 
o eixo das ordenadas no ponto (0, 3) . Com base nessas informações: 
a) estabeleça a equação dessa função; 
b) determine as suas raízes;
c) esboce seu gráfico.
Solução
a) Se o ponto (5, 8) pertence ao gráfico da função ƒ(x) = ax2 + bx + c , podemos escrever: 
a • 52 + 5b +c = 8 → 25a + 5b + c = 8.
Como (2, -1) é o vértice da parábola ƒ(x) = ax2 + bx + c, 2 = - 
2a
b
 
→ b = -4a .
Já que o ponto (0, 3) pertence à parábola ƒ(x) = ax2 + bx + c , temos: a • 02 + b • 0 + c = 3 → c = 3 .
Usando as igualdades encontradas até aqui, podemos achar o valor dos parâmetros da 
equação da parábola, conforme indicado a seguir:
 
Então, a equação da parábola é ƒ(x) = x2 - 4x + 3 
b) Para determinar as raízes, resolvemos a equação:
x2 - 4x + 3 = 0 → x = 
2
4 ± 2
 
→ x = 1 ou x = 3
c) O gráfico da função ƒ(x) = x2 - 4x + 3 está a seguir:
GRÁFICO 18
Fonte: Elaborada pelo autor.
unidade 3
041
CÁLCULO
3) Escreva uma possível fórmula para a função quadrática cujo gráfico aparece a seguir:
GRÁFICO 19
Fonte: Elaborada pelo autor.
Solução
Supondo que a função tenha como raízes x = -2 e x = 3 , podemos afirmar que sua equação é 
da forma f(x) = k(x + 2)(x - 3) , uma vez que a função é quadrática. Além disso, estimando que 
o gráfico corte o eixo das ordenadas no ponto (0, 12) , temos: f(0) = 12 → k(0 + 2) (0 - 3) = 12 
→ k = - 2.
Portanto, uma possível fórmula para a função representada nesse gráfico é ƒ(x) = -2x2 + 2x + 12.
unidade 4
043
CÁLCULO
FUNÇÕES POTÊNCIAS 
E FUNÇÕES POLINOMIAIS
Começamos este capítulo com o estudo das funções potências. Preste atenção na influência que o grau tem na função potência, no formato de seu gráfico, nos fenômenos que é possível descrever com estas funções e no que ocorre quando a 
variável independente assume valores muito grandes em módulo, negativos ou positivos. 
A seguir, abordaremos as funções polinomiais. São as funções obtidas a partir das funções 
potências. Observe como o termo de maior grau comanda as funções polinomiais e o que 
ocorre quando a variável independente assume valores muito grandes em módulo, negativos 
ou positivos. Reconhecer o formato dos gráficos dessas funções o ajudará a identificar os 
fenômenos ou situações que é possível descrever com as mesmas.
unidade 4
044
CÁLCULO
FUNÇÕES 
POTÊNCIAS
No estudo de Geometria, as funções 
potência são utilizadas com bastante 
frequência. A título de ilustração, podemos 
considerar o perímetro P de um quadrado 
como função do comprimento de seu lado 
l; essa relação é dada pela fórmula P = 4l 
e nos diz que o perímetro é diretamente 
proporcional ao comprimento do lado ou 
à potência um de seu lado l; significa, por 
exemplo, que se dobrarmos a medida do 
lado de um quadrado, seu perímetro será 
duplicado, ou seja, será multiplicado por 21. 
Também a área A de um quadrado é função 
do comprimento de seu lado l e pode 
ser expressa pela equação A = l2. Essa 
igualdade nos diz que a área é diretamente 
proporcional ao quadrado do comprimento 
do lado; isso significa, por exemplo, que 
se dobrarmos o lado de um quadrado, a 
medida de sua área ficará quatro vezes 
maior, ou seja, será multiplicada por 22.
De modo semelhante, o volume V de um 
cubo é função do comprimento de sua 
aresta l, função que tem a fórmula V = l3. 
Essa equação estabelece que o volume 
do cubo é diretamente proporcional ao 
cubo de sua aresta; assim, por exemplo, 
se dobrarmos a aresta de um cubo, seu 
volume ficará oito vezes maior, ou seja, será 
multiplicado por 23. 
FUNÇÃO 
POTÊNCIA
Função potência é aquela na qual a 
variável dependente é proporcional a 
uma potência da variável independente. 
As funções potência são uma importante 
família de funções; elas aparecem em 
muitas situações como as do item 4.1 e as 
exemplificadas a seguir.
a) O volume V de uma esfera é proporcional 
à terceira potência de seu raio r: V= 
3
4
�r3. 
Desse modo, se dobrarmos o raio de uma 
esfera, seu volume aumentará oito vezes:
V= 
3
4
 
� (2r)3 = 8 • 
3
4
�r3.
b) A medida do lado l de um quadrado é 
proporcional à potência 
2
1
 da medida de sua 
área A: A = l1/2 ou A = √l. Se quadruplicarmos 
a área de um quadrado, seu lado será 
duplicado: l = (4A)1/2 = 2 • A1/2.
c) A Lei de Newton da Gravitação diz que a 
força de atração gravitacional g sobre uma 
massa unitária a uma distância r da Terra é 
proporcional ao inverso da potência dois de 
r: g = k • 
r2
1
 , onde k é uma constante positiva. 
Podemos escrever g = 
r2
k
 ou g = kr-2. Se 
dobrarmos a distância r, o valor de g ficará 
quatro vezes menor: g = k • .
4
1
unidade 4
045
CÁLCULO
A Tabela 10 mostra a influência de potências no valor das funções. Observe como essas 
potências interferem na taxa de variação de cada função quando x varia de uma unidade.
TABELA 10
x y = x ∆1y y = x
2 ∆2y y=x
3 ∆3y
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
0
1
2
3
4
5
1
1
1
1
1
1
3
5
7
9
0
1
2
3
4
5
0
1
4
9
16
25
0
1
8
27
64
125
1
7
19
37
61
Na Figura 9, você pode observar o efeito das potências no gráfico das funções.
FIGURA 9
Em geral, uma função potência tem a forma y = ƒ(x) = kxp, em que k e p são constantes 
quaisquer. Nos itens subsequentes, vamos comparar várias funções potências entre si. Se 
possível, faça esse estudo comparativo usando uma calculadora ou um software (Yag, winplot) 
para traçado degráficos.
FUNÇÕES COM POTÊNCIAS 
INTEIRAS E POSITIVAS
Primeiramente, vamos considerar funções 
do tipo y = xn, sendo n um número inteiro 
positivo. Essas funções se dividem em 
dois grupos: o de potências ímpares e o de 
potências pares.
unidade 4
046
CÁLCULO
Na Figura 10 estão os gráficos das funções 
y = x, y = x3 e y = x5. São funções potências 
ímpares de graus respectivamente iguais a 
1, 2 e 3.
FIGURA 10
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Toda função potência ímpar (y = x, y = x3 
e y = x5 ,etc.) é crescente e seu gráfico é 
simétrico em relação à origem. Também 
podemos notar que o gráfico de toda 
função potência ímpar da forma y = xn, com 
n> 1 , é “retorcido” na origem; à esquerda 
da origem, o gráfico tem concavidade 
voltada para baixo e, à direita da origem, 
o gráfico é côncavo para cima. Ainda 
podemos verificar que os gráficos têm 
pontos comuns em x = -1, x = 0 e x = 1; 
para 0< x < 1 , o gráfico da função y = x5 
está abaixo do gráfico de y = x3 que, por 
sua vez, está abaixo do gráfico de y = x ; 
quando x é maior do que 1, a ordem em 
que estão os gráficos é outra: o gráfico de 
y = x5 está acima do gráfico de y = x3 que, 
por sua vez, está acima do gráfico de y = x . 
As observações feitas anteriormente nos 
gráficos podem ser comprovadas por 
meio de desigualdades algébricas. Assim, 
querendo comparar as funções y = x3 e 
y = x5 , podemos investigar as soluções 
da inequação x3 ≤ x5. Resolvendo essa 
desigualdade, temos:
x3 ≤ x5 → x3 - x5 ≤ 0 → x3 (1 - x2) ≤ 0 
→ -1 ≤ x ≤ 0 ou x ≥ 1.
O resultado obtido algebricamente indica 
que o gráfico de y = x3 está abaixo do 
gráfico de y = x5 quando x estiver entre -1 e 
0, bem como quando x for maior do que 1.
Consideremos agora as funções potências 
pares. Na Figura 11 estão os gráficos 
das funções y = x2, y = x4 e y = x6, 
que são potências pares com graus 
respectivamente iguais a 2, 4 e 6.
FIGURA 11
Toda função potência par (y = x2, y = x4, 
y = x6 etc.) é decrescente para x pertencente 
ao intervalo (-∞, 0] e é crescente para x 
unidade 4
047
CÁLCULO
pertencente ao intervalo [0, +∞). Com 
isso, o gráfico tem a forma de U e é 
simétrico em relação ao eixo y. Todas as 
funções potências pares têm gráficos com 
concavidade voltada para cima, enquanto 
todas as funções potências ímpares (n > 1) 
têm gráficos côncavos para baixo se x < 0 e 
côncavos para cima se x > 0 .
A Figura 12 mostra um zoom feito no 
gráfico de funções potências para valores 
de x entre 0 e 1. Nesse intervalo, y = x é 
maior que y = x2, que é maior que y = x3, e 
assim por diante. 
FIGURA 12
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Os valores apresentados na Tabela 11 
confirmam o que foi observado na Figura 12.
TABELA 11
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
x
y = x
y = x2 
y = x3
y = x5
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0,5
0,5
0,25
0,125
0,03125
3
3
9
27
81
243
0,2
0,2
0,04
0,008
0,0032
2
2
4
8
16
32
0,8
0,8
0,64
0,512
0,32768
4
4
16
64
256
2024
1
1
1
1
1
5
5
25
125
625
3125
Na Figura 13, aparecem os gráficos de 
funções potências para valores de x 
maiores que 1. Podemos constatar que, 
quanto maior a potência de x, mais rápido 
cresce a função. Assim, o gráfico da função 
y = x5 está acima do gráfico da função 
y = x4 que é maior do que a função y = x2 . 
FIGURA 13
O que foi constatado por meio dos gráficos 
é confirmado pelos valores da Tabela 12.
TABELA 12
x
y = x
y = x2 
y = x3
y = x4
y = x5
Para x > 1, as potências mais altas 
crescem de maneira bem rápida e têm 
valores comparativamente muito maiores. 
Fazendo x = 1000 , por exemplo, x5 = 10005 
unidade 4
048
CÁLCULO
que é mil vezes maior do que x4 = 10004 . 
Por outro lado, para valores de x entre zero 
e um, as potências mais altas são bem 
menores; fazendo x = 0,001 , por exemplo, 
x5 = (0,001)5 é mil vezes menor do que 
x4 = (0,001)4.
FUNÇÕES COM 
POTÊNCIA ZERO OU COM 
POTÊNCIAS INTEIRAS 
NEGATIVAS
A função y = x0 é a função constante 
y = 1 e seu gráfico é uma reta horizontal. 
Dizer que uma função é constante 
significa dizer que, para qualquer valor da 
variável independente, o valor da variável 
dependente é sempre o mesmo. Assim, 
se ƒ(x) = 1, podemos escrever ƒ(-5) = ƒ(�) = 
ƒ(- √2) =1.
Usualmente, as potências negativas são 
escritas de duas maneiras: y = x-1 é a 
mesma função potência y = 
x
1
 ; a fórmula 
y = x-2 pode ser escrita na forma y = 
x2
1
 . 
Na Figura 14, estão os gráficos das funções 
y = 
x
1
 e y = 
x3
1
; na Figura 15, estão os gráficos 
de y = 
x2
1
 e y = 
x4
1
.
FIGURA 14
FIGURA 15
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Para as potências negativas ímpares 
(Figura 14), os gráficos são simétricos 
em relação à origem, ao passo que as 
potências negativas pares (Figura 15) têm 
gráficos simétricos em relação ao eixo y. 
Para valores de x maiores que um, o gráfico 
da função y = 
x4
1
 está abaixo do gráfico da 
função y = 
x2
1
 ; quando x está entre zero e 
um, ocorre o contrário, ou seja, o gráfico 
da função y = 
x4
1
 está acima do gráfico da 
unidade 4
049
CÁLCULO
função y = 
x2
1
 .
As funções com potências negativas são 
usadas para modelar diversos fenômenos 
ou situações, como a lei exibida no exemplo 
a seguir.
Exemplo 1
A Lei de Boyle para um gás ideal estabelece 
uma relação exata entre a pressão p 
e o volume v, dado que a temperatura 
permaneça constate: pv = k. Imagine, 
por exemplo, uma quantidade fixa de 
ar no interior do cilindro de um motor. 
Movimentando-se os pistões, o volume 
de ar diminui e a pressão aumenta ou, 
reciprocamente, o volume aumenta e a 
pressão diminui. Reescrevendo a Lei de 
Boyle, temos: p = 
v
k
 ou p = kv-1. A relação 
p = 
v
k
 
equivale a dizer que p é inversamente 
proporcional a v. Para valores positivos de 
k, o gráfico da função p = 
v
k
 tem a forma 
ilustrada a seguir.
GRÁFICO 20
Fonte: Elaborada pelo autor.
Essa curva é conhecida como uma 
hipérbole retangular. Por ser o valor da 
pressão sempre maior do que zero, o Gráfico 
20 apresenta apenas um ramo dessa 
hipérbole. O eixo vertical é uma assíntota 
da curva, mostrando que, à medida que o 
volume tende para zero, a pressão tende 
para infinito; o eixo horizontal também é 
uma assíntota da curva, indicando que, à 
medida que o volume tende para infinito, 
a pressão tende para zero. Para indicar 
que o volume tende para infinito, usa-se a 
notação v→+∞ (lê-se v tende a infinito); 
para indicar que a pressão tende para zero, 
escrevemos p → 0 (lê-se p tende a zero). 
Uma reta é assíntota de uma curva quando 
a distância entre um ponto móvel da curva 
e essa reta fica cada vez menor; significa 
dizer que a distância entre um ponto móvel 
da curva e a assíntota tende para zero. 
FUNÇÕES COM 
POTÊNCIAS 
FRACIONÁRIAS 
Observações feitas por biólogos têm 
mostrado que o número de espécies 
encontradas em uma ilha varia de acordo 
com o tamanho da mesma. Sendo A a área 
da ilha e N o número de espécies, tem-
se aproximadamente a função N = k 
ou N = kA1/3, onde k é uma constante que 
depende da região mundial em que se 
encontra a ilha.
unidade 4
050
CÁLCULO
A fórmula dessa função envolve uma 
potência fracionária de A, que é a variável 
independente. As funções potências 
fracionárias são da forma y = kxm/n ou 
y = k , com m e n inteiros, n > m e n ≠ 0. 
Com frequência, restringimos o domínio 
dessas funções para x ≥ 0 porque raízes em 
que n é par não estão definidas para x < 0. 
Muitas calculadoras não nos permitem 
elevar um número negativo a uma potência 
fracionária.
Na Figura 16, aparecem os gráficos das 
funções y = x , y = x1/2 e y = x1/3.
FIGURA 16
Fonte: Elaborada pelo autor.
Quando x está entre 0 e 1, o gráfico da 
função y = x1/3 fica acima de y = x1/2 que, 
por sua vez, fica acima de y = x. A Tabela13 
confirma essa observação.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
x
0
0,25
0,49
0,64
0,81
1
x
1
25
49
64
81
100
y = x1/2
0
0,5
0,7
0,8
0,9
1
y = x1/2
1
5
7
8
9
10
y = x
0
0,25
0,49
0,64
0,81
1
y = x
1
25
49
64
81
100
y = x1/3 
0
1
y = x1/3 
1
TABELA 13
Para x > 1, a situação fica invertida: o gráfico 
da função y = x1/3 fica abaixo de y = x1/2 que, 
por sua vez, fica abaixo de y = x. A Tabela 
14 confirma essa observação.
TABELA 14
Na Figura 17, estão os gráficos de y = x, 
y = x2 e y = x1/2, com x≥ 0 .
FIGURA 17
unidade 4
051
CÁLCULO
O gráfico de y = x2 cresce cada vez mais 
depressa quando x aumenta; ele é côncavo 
para cima. Enquanto isso, o gráfico de 
y = x1/2 cresce cada vez mais devagar e é 
côncavo para baixo. A taxa de crescimento 
de y = x é sempre a mesma e seu gráfico 
não tem concavidade. Mesmo assim, 
essas três funções tendem para infinito à 
medida que x aumenta.
FUNÇÕES 
POLINOMIAIS
As funções potências podem ser 
multiplicadas por um escalar e os 
resultados, somados. Por meio dessas 
duas operações feitas sobre funções 
potências com expoentes naturais – 
multiplicação por um escalar e adição 
– obtemos os polinômios ou as funções 
polinomiais da forma y = anx
n + an-1x
n-1 
+...+ a2x
2 + a1x + a0, em que n é um número 
natural, chamado grau do polinômio (desde 
que an ≠ 0). A função linear y = mx + b é a 
função polinomial y = a1x + a0 de grau um 
ou do primeiro grau; a função quadrática y 
= ax2 + bx + c é a função polinomial y = a2x
2 
+ a1x + a0 de grau dois ou do segundo grau.
O GRÁFICO DE 
UMA FUNÇÃO 
POLINOMIAL
A forma do gráfico de uma função 
polinomial depende de seu grau. Na Figura 
18 estão possíveis formas de gráficos de 
polinômios com an positivo, ou seja, com o 
coeficiente de an maior do que zero. 
FIGURA 18
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
O gráfico de polinômio de grau 2 (à 
esquerda) só dá uma “volta”; o de grau 3 dá 
duas “voltas”; o de grau 4, três “voltas” e o 
de grau 5, quatro “voltas”. De modo geral, 
o gráfico do polinômio de grau n dá, no 
máximo, (n - 1)voltas.
Na Figura 19 estão possíveis formas de 
gráficos de polinômios com an negativo, ou 
seja, com o coeficiente de xn menor do que 
zero. 
FIGURA 19
COMO ENCONTRAR 
A FÓRMULA DE 
UMA FUNÇÃO 
POLINOMIAL
Por meio de exemplos, vamos estudar 
como fazer para encontrar a fórmula ou 
a equação de uma função polinomial, 
quando conhecemos seu gráfico ou uma 
unidade 4
052
CÁLCULO
tabela de valores.
Exemplo 2
Encontre uma possível fórmula para 
o polinômio que o Gráfico 21 está 
representando.
GRÁFICO 21
Fonte: Elaborada pelo autor.
As interseções horizontais indicam os 
zeros da função e sugerem que o polinômio 
precisa ter os fatores (x + 3) e (x - 3). Então, 
podemos escrever: ƒ(x) = k(x + 3) (x - 3)
Para encontrar k, usamos o fato de que 
o gráfico de ƒ corta o eixo y no ponto de 
ordenada 5, o que nos permite escrever 
ƒ(0) = 5. Assim, temos: 5 = k(0 + 3)(0 - 3) 
→ k = 
9
5
 . Portanto, ƒ(x) = 
9
5
 (x + 3) (0 - 3) 
ou, efetuando o produto, ƒ(x) = 
9
5
 x2 + 5.
Outra maneira de resolver o problema é 
considerar o gráfico como sendo o de 
uma parábola côncava para baixo e cuja 
equação é do tipo ƒ(x) = ax2 + c . Os pontos 
(-3, 0), (3, 0) e (0, 5) pertencem ao gráfico de 
ƒ; daí podermos escrever ƒ(-3) = 0, ƒ(3) = 0 
e ƒ(0) = 5.
Portanto, temos o sistema de equações: 
 → c = 5 e a = 
9
5
. 
Assim, uma possível fórmula do polinômio 
é ƒ(x) = 
9
5
 x2 + 5.
Observe que g(x) = 
81
5
x4 + 5 também 
satisfaz às condições do problema: seu 
gráfico tem concavidade voltada para baixo 
e passa pelos pontos (-3, 0), (3, 0) e (0, 5). 
Isso nos leva a afirmar que o problema tem 
várias respostas e existem muitas funções 
polinomiais cujo gráfico se assemelha ao 
apresentado neste exemplo.
Exemplo 3
Encontre uma possível fórmula para a função 
polinomial dada pela tabela de valores:
TABELA 15
x
ƒ(x)
 -3 0 1 2
 0 -12 0 0
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Tabela 15, aparecem três zeros da 
função, fato que sugere como possível 
fórmula para o polinômio: 
ƒ(x) = k(x + 3) (x - 1)(x - 2).
unidade 4
053
CÁLCULO
Como (0, -12) é um ponto do gráfico, temos 
ƒ(0) = -12. Em consequência, podemos 
escrever k(0 + 3) (0 - 1)(0 - 2) = -12 → k = -2.
Assim, uma das possíveis fórmulas para 
esse polinômio é: 
ƒ(x) = -2(x + 3) (x - 1)(x - 2) ou, resolvendo o 
produto, ƒ(x) = -2x3 + 14x -12.
Um esboço do gráfico de f está na Figura 20.
FIGURA 20
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Exemplo 4
Encontre uma possível fórmula para o 
polinômio cujo gráfico é apresentado na 
Figura 21.
FIGURA 21
O gráfico se assemelha ao de um polinômio 
cúbico, ou seja, pode ser o gráfico de uma 
função polinomial de grau três, com zeros em 
x = -3 e em x = 2. Em x = -3, o gráfico cruza o eixo 
horizontal, ao passo que em x = 2, o gráfico toca 
o eixo horizontal, mas não o cruza. Dizemos que 
x = -3 é um zero simples ou uma raiz simples, 
enquanto x = 2 é um zero de segunda ordem ou 
uma raiz dupla da função. 
Para encontrar uma fórmula para f, imagine 
que seu gráfico estivesse um pouco mais 
para baixo, de modo que f tivesse um zero 
próximo de x = -3 (em x = -2,9 , por exemplo) 
e dois zeros perto de x = 2 (por exemplo, 
em x = 1,9 e em x = 2,1). Então, poderíamos 
escrever ƒ(x) ≈ k(x + 2,9) (x - 1,9) (x - 2,1). 
Agora, deslocando o gráfico de f para a posição 
original, o zero x = -2,9 se desloca para x = -3; o 
zero x = 1,9 vai para x = 2 e o zero x = 2,1 também 
chega em x = 2. Assim, podemos escrever:
ƒ(x) = k(x + 3)(x - 2)(x - 2) ou ƒ(x) = k(x + 3) (x - 2)2 .
Não é possível calcular k porque não foram 
dadas as coordenadas de outro ponto do 
gráfico de f fora do eixo x. Podemos atribuir 
a k qualquer valor positivo; com isso, iremos 
alongar ou contrair o gráfico, sem alterar os 
zeros da função.
Uma raiz dupla gera um fator repetido na 
fórmula da função. Observe que, para x > 2, o 
fator (x - 2)2 é positivo e, para x < 2, o fator 
(x - 2)2 ainda é positivo. Isso significa que a 
unidade 4
054
CÁLCULO
função f não troca de sinal na vizinhança 
de x = 2. Por outro lado, na vizinhança do 
zero simples, x = -3, a função f muda de 
sinal (no caso, passa de negativa para 
positiva).
A VARIAÇÃO DE SINAL 
DE UMA FUNÇÃO 
POLINOMIAL
Em diversas situações, interessa-nos 
saber como é a variação de sinal de uma 
função. Estudar o sinal de uma função é 
o mesmo do que determinar os valores da 
variável independente para os quais essa 
função ou a variável dependente é positiva 
ou negativa; merecem atenção também 
os zeros da função, valores da variável 
independente nos quais podem ocorrer 
mudanças de sinal da função.
Exemplo 5
A Figura 22 apresenta o gráfico da função 
f definida por y = x3 - 4x, cuja fórmula pode 
ser reescrita na forma de um produto 
y = x(x + 2) (x - 2). 
FIGURA 22
Fonte: Elaborada pelo autor.
O gráfico de f e a forma fatorada indicam 
que – 2, 0 e 2 são os zeros dessa função. 
Os zeros ou as raízes de f dividem o eixo x 
em quatro intervalos e, em cada um desses 
intervalos, a função tem o sinal indicado na 
Tabela 16.
TABELA 16
 -2 0 2
 -2 0 2
- + - +
- - + +
- + + +
- - - +
- + - +
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Nos intervalos em que o gráfico de f está 
abaixo de eixo x, o sinal de y é negativo (-); 
nos intervalos em que o gráfico de f está 
acima do eixo x , o sinal de y é positivo(+).
Podemos fazer o estudo da variação do 
sinal de y combinando os sinais dos fatores 
em que se decompõe a função polinomial. 
Para y = x(x + 2) (x - 2), temos a Tabela 17.
TABELA 17
x
x + 2
x - 2
y=x(x+2)(x-2)
Exemplo 6
A Figura 23 apresenta o gráfico de 
y = (x2 + 1) (3 - x) (x + 1) ou, na forma 
expandida, ƒ(x) = -x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 3.
unidade 4
055
CÁLCULO
FIGURA 23
Fonte: Elaborada pelo autor.
Por inspeção do gráfico e da forma fatorada, 
concluímos que a função f tem dois zeros: 
x = -1 e x = 3. Esses zeros dividem o eixo x 
em três intervalos e, em cada um deles, f 
tem um sinal, conforme indicado na Tabela 
18.
TABELA 18
 -1 3
+ - +
Fonte: Elaborada pelo autor.
Reiterando o que foi dito no Exemplo 6, nos 
intervalos em que o gráfico de f está abaixo 
do eixo x, o sinal de y é negativo (-); no 
intervalo em que o gráfico de f está acima 
do eixo x, o sinal de y é positivo (+).
A Tabela 19 traz o estudo da variação de 
sinal de f por meio da combinação de sinais 
dos fatores presentes na lei de definição da 
função.
TABELA 19
 -2 0 2
+ + +
+ + -
- + +
- + -
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
x2 + 1
-x + 3
x + 1
y=(x2+1)(3-x)(x+1)
FAZENDO X AUMENTAR 
ARBITRARIAMENTE
Outro aspecto que interessa no estudo 
de funções é saber o que acontece com 
a variável dependente quando a variável 
independente assume valores cada vez 
maiores, negativos ou positivos. Nos 
exemplos 6 e 7, abordados a seguir, vamos 
estar atentos a esses fatos.
Exemplo 7
O gráfico de ƒ(x) = x3 - 4x + 2 está 
representado na Figura 24 juntamente 
com o gráfico de g(x) = x3.
FIGURA 24
Quando x é numericamente grande, ou seja, 
quando x está bem para a esquerda ou bem 
para a direita, os gráficos dessas funções 
unidade 4
056
CÁLCULO
ficam cada vez mais próximos. Significa que, 
à medida que os valores de x aumentam, o 
valor de y no gráfico de ƒ tende a ser igual ao 
valor de y no gráfico de g. 
A fórmula de ƒ pode ser reescrita: 
ƒ(x) = x3 • (1 - 
x2
4
 + 
x3
2
); nessa forma, podemos 
observar que, para grandes valores de x, 
a expressão entre parênteses está bem 
perto de 1 e, portanto, y está bem perto 
de x3. Usando símbolos matemáticos, 
escrevemos: 
(Lê-se: “limite de x3 - 4x + 2, quando x tende 
para mais infinito, é igual a limite de x3, 
quando x tende para mais infinito”.)
Essa frase nos diz que, para valores de 
x numericamente grandes e positivos, 
podemos trocar ƒ(x) = x3 - 4x + 2 pela função 
g(x) = x3. 
De modo semelhante, para valores de 
x numericamente grandes e negativos, 
podemos trocar ƒ(x) = x3 - 4x + 2 pela função 
g(x) = x3. Usando a sintaxe matemática, 
escrevemos:
O código ƒ(x) substitui a pergunta: 
“De que valor se aproxima ƒ(x) quando x se 
torna arbitrariamente grande?”. 
Exemplo 8
Vamos observar os gráficos das funções 
ƒ(x) = x4 e g(x) = x4 + 2x3 - 5x2 - 6x, que estão 
nas três figuras a seguir.
FIGURA 25
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Na Figura 26, estamos olhando o gráfico 
bem de perto, os gráficos parecem muito 
diferentes. 
FIGURA 26
Quando nos afastamos um pouco, 
mantendo a mesma janela, os gráficos 
continuam parecendo bastante diferentes.
FIGURA 27
unidade 4
057
CÁLCULO
Entretanto, quando olhamos de longe, na Figura 27, esses dois gráficos são muito parecidos. 
Isso acontece porque o termo de maior grau, x4, domina os demais termos para valores 
grandes de x.
Na Tabela 20 estão os valores das duas funções e as diferenças entre elas para x = -20, 
x = -15, x = 15 e x = 20.
TABELA 20
Fonte: Elaborada pelo autor.
x
ƒ(x) = x4
 g(x) = x4 + 2x3 - 5x2 - 6x
ƒ(x) - g(x)
– 20
160 000
142 120
17 880
– 15
50 625
42 840
7 785
15
50 625
56 160
- 5 535
20
160 000
173 880
- 13 880
Apesar das diferenças serem grandes quando vistas na tabela, elas são muito pequenas se 
comparadas à escala vertical (-104 a -105) e, por isso, não podem ser vistas no gráfico.
A observação dos gráficos da Figura 27 e dos valores da Tabela 20 nos permite escrever, 
usando a simbologia matemática:
O símbolo x → ∞ indica que x tende para valores numericamente muito grandes, positivos 
ou negativos. 
unidade 5
059
CÁLCULO
Começamos este capítulo com o estudo do comportamento de funções racionais. Poderemos notar que, muitas vezes, fica mais fácil esboçar o gráfico de funções quando, em vez de fazer uma tabela, observarmos alguns aspectos qualitativos da 
função. Entre esses aspectos qualitativos, ocupam lugar de destaque os que se referem ao 
comportamento da função para valores próximos dos zeros do denominador e os que indicam 
o que acontece com a função quando a variável independente assume valores numericamente 
muito grandes.
A seguir, estudaremos como podemos obter novas funções a partir de uma função dada. 
Esse processo serve para abordar problemas que envolvem o deslocamento horizontal ou o 
deslocamento vertical de uma função, quando seu gráfico está representado em um sistema 
de coordenadas cartesianas. 
FUNÇÕES 
RACIONAIS
unidade 5
060
CÁLCULO
FUNÇÕES 
RACIONAIS
As funções racionais resultam da divisão 
de polinômios e podem ser escritas na 
forma ƒ(x) = 
q(x)
p(x)
 
, com q(x) ≠ 0. Elas 
têm certa semelhança com os números 
racionais, números da forma x = 
q
p
 , em que 
p e q são números inteiros, com q ≠ 0 . Em 
ambos os casos, é preciso fazer a ressalva 
de que o denominador é diferente de zero, 
porque zero não pode ser divisor.
ASSÍNTOTAS DO GRÁFICO 
DE UMA FUNÇÃO
A palavra assíntota vem do grego e 
significa “que não pode coincidir”. Uma 
reta s chama-se assíntota de uma curva 
C quando a distância entre a reta s e um 
ponto que se move sobre a curva C se 
aproxima de zero. Na Figura 28, estão retas 
que são assíntotas das curvas dadas.
FIGURA 28
Fonte: Elaborada pelo autor.
Frequentemente, o gráfico de uma função 
racional apresenta assíntotas verticais, 
assíntotas horizontais ou assíntotas 
oblíquas. As assíntotas verticais ocorrem 
nos valores de x que anulam o denominador. 
As assíntotas horizontais ocorrem quando 
f se aproxima de um determinado valor 
numérico à medida que x tende para um 
número arbitrariamente grande, positivo 
ou negativo. As assíntotas oblíquas 
ocorrem quando a diferença entre o grau 
do numerador e o grau do denominador, 
nessa ordem, for igual a um.
Como saber se existe assíntota 
horizontal?
Se o gráfico de uma função y = ƒ(x) se 
aproxima de uma reta horizontal y = c 
quando x assume valores muito grandes, 
positivos ou negativos, dizemos que a 
reta y = c é uma assíntota horizontal. 
Em linguagem matemática, escrevemos:
Se ƒ(x) → c, quando x → +∞ ou ƒ(x) → c, 
quando x → -∞, então y = c é uma 
assíntota horizontal.
Outro modo de escrever é:
Se ou , 
então y = c é uma assíntota horizontal.
unidade 5
061
CÁLCULO
Como saber se existe assíntota vertical?
Se o gráfico de uma função y = ƒ(x) se 
aproxima de uma reta vertical x = d quando 
x assume valores muito próximos de d, 
pela direita ou pela esquerda, dizemos 
que a reta x = d é uma assíntota vertical. 
Em linguagem matemática, escrevemos:
Se ƒ(x) → +∞ ou ƒ(x) → -∞, quando x → 
d+ ou x → d-, então x = d é uma assíntota 
vertical.
Outro modo de escrever é:
Se ou , 
então x = d é uma assíntota vertical.
ESTUDO DO 
COMPORTAMENTO DE 
FUNÇÕES RACIONAIS
Na sequência, analisamos o 
comportamento de funções racionais, por 
meio de exemplos. 
Exemplo 1
A Figura 29 apresenta o gráfico da função 
racional ƒ(x) = 
x2 - 4
x2 - 9 . O gráfico da função 
tem três ramos: um está à esquerda da reta 
x = -2 e abaixo da reta y = 1; outro está à 
direita da reta x = 2 e abaixo