Aula_11

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4- Método de Diferenças Finitas Aplicado 
às Equações Diferenciais Parciais. 
4.1- Aproximação de Funções.
4.1.1- Aproximação por Polinômios.
4.1.2- Ajuste de Dados: Mínimos Quadrados.
4.2- Derivadas e Integrais Numéricas.
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração 
Numérica. 
4.3- Solução de Equações Diferenciais Ordinárias.
4.4- Solução de Equações Diferenciais Parciais.
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS
4.2- Derivadas e Integrais Numéricas.
Na aula anterior (4.1) aproximamos funções desconhecidas por 
outras funções conhecidas (polinômios, etc). Foi visto duas 
formas de aproximação: Interpolação por Polinômios e 
aproximação por Mínimos Quadrados. 
Agora estudaremos algumas formas de aproximar as derivadas 
e integrais de funções desconhecidas por outras funções 
conhecidas (polinômios).
Note que as operações de derivada e integral são lineares:
 
)(integrais )()(
)(derivadas )()(
)(ou )()( e )()(
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=≈≈
∫∫∫ b
a
b
a
n
b
a
n
dxI
dx
dD
dxxpdxxf
dx
xdp
dx
xdf
oo
oo
oL
)),(())(())()(( 2121 xfxfxfxf LLL +=+
número. um é onde )),(())(( 11 ααα xfxf LL =
)()()( erro com )()( xpxfxexpxf nnn −=≈
4.2- Derivadas e Integrais Numéricas.
Logo o erro verifica:
Escolhendo como um polinômio que interpola a função
em (n+1) pontos e representando este polinômio na forma de 
Lagrange segue: 
onde não depende de e são determinados uma
única vez, sendo válidos para qualquer função (Regra).
é uma Regra de Aproximação para , 
onde os pontos são chamados nós (pontos de discretização)
e pesos ou coeficientes. Estudaremos algumas Regras para 
aproximar derivadas e integrais.
)).(())(())()(())(( xpxfxpxfxe nnn LLLL −=−=
)(xpn )(xf
( )
( ) .)( e )( com )()()()( 10 ikik
n
ik
k ki
k
i
n
i
iinn xlxx
xxxlxlxfxLxp δ=−
−=== ∏∑
≠=
=
( ) ∑∑∑
===
==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=≈
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iin wxfxlxfxlxfxpxf
000
)()()()()())(())(( LLLL
( ))(xlw ii L= f(x)
∑
=
≈
n
i
ii wxfxf
0
)())((L
iw
ix
))(( xfL
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
Como aproximar derivadas de uma função por formulas de 
diferenças finitas baseadas apenas nos valores dos nós ( ) e 
da função nestes pontos ( )?
Faremos o desenvolvimento para uma função de uma variável, 
mas esta metodologia pode ser estendia para funções de 
várias variáveis. No desenvolvimento a seguir é assumido que 
a função e suas derivadas são continuas num intervalo 
[a,b]. 
Sendo assim, podemos aproximar esta função por um 
polinômio representado como uma Serie de Taylor entorno do 
ponto : 
)( ixf
ix
))(()())(()())(( xpD
dx
xdpxfD
dx
xdfxf nn =≈==L
)(xf
( ) ( ) ( ) ( )( ) )1( )(
!
1)(
!2
1)(
!1
1)()( 122
2 +−+−++−+−+= nnn
n
xxOxx
dx
xfd
n
xx
dx
xfdxx
dx
xdfxfxf L
],[ bax∈
A aproximação mais familiar para de acordo com a 
definição de derivada seria para algum h pequeno:
dx
xdf )(
{ formula difference-forward )(Adiantado Direito Lado
0
 )()())(()()(lim)(
h
xfhxfxfD
h
xfhxf
dx
xdf
h
−+=≈−+= +→
{ formula difference-backward )(Retardado Esquerdo Lado
0
 )()())(()()(lim)(
h
hxfxfxfD
h
xfhxf
dx
xdf
h
−−=≈−+= −→
( ) { formula difference-centered Centrada Diferença0 ))(())((2
1
2
)()())(()( xfDxfD
h
hxfhxfxfD
dx
xdf
−+ +=−−+=≈
Note que é o valor 
médio da aproximação por 
ambos lados (centrada). 
Este valor aproxima melhor 
a derivada da função que 
as diferenças laterais 
(adiantada ou retardada).
))((0 xfD
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
Por que parece ser mais precisa que ou ?
Analisemos o erro de cada aproximação! Para isto é comum 
usar a expansão em Serie de Taylor entorno do ponto :
Logo:
Para h pequeno o erro é dominado pelo termo:
( ) ou )(
6
1)(
2
1)()()())(( 323
3
2
2
hOh
dx
xfdh
dx
xfd
dx
xdf
h
xfhxfxfD +++=−+=+
))((0 xfD ))(( xfD+ ))(( xfD−
( ) ( ) ( ) ( )( ) )1( )(
!
1)(
!2
1)(
!1
1)()( 122
2 +−+−++−+−+= nnn
n
xxOxx
dx
xfd
n
xx
dx
xfdxx
dx
xdfxfxf L
( ) )2( )(
!
1)(
6
1)(
2
1)()()( 133
3
2
2
2
+++++++=+= nnn
n
hOh
dx
xfd
n
h
dx
xfdh
dx
xfdh
dx
xdfxfhxxf L
( ) )3( )(
!
)1()(
6
1)(
2
1)()()( 133
3
2
2
2
++−++−+−=−= nnn
nn
hOh
dx
xfd
n
h
dx
xfdh
dx
xfdh
dx
xdfxfhxxf L
],[ bax∈
( )323322
derivada da oaproximaçã na erro
)(
6
1)(
2
1)())(( hOh
dx
xfdh
dx
xfd
dx
xdfxfD ++=−+
444 3444 21
h
dx
xfd
2
2 )(
2
1
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
Similarmente temos:
Para h pequeno o erro é dominado pelo termo:
Para h pequeno o erro é dominado pelo termo:
( ) ou )(
6
1)(
2
1)()()())(( 323
3
2
2
hOh
dx
xfdh
dx
xfd
dx
xdf
h
hxfxfxfD ++−=−−=−
( )323322
derivada da oaproximaçã na erro
)(
6
1)(
2
1)())(( hOh
dx
xfdh
dx
xfd
dx
xdfxfD ++−=−−
444 3444 21
h
dx
xfd
2
2 )(
2
1−
( ) ou )(
3
1)(
2
)()())(( 323
3
0 hOhdx
xfd
dx
xdf
h
hxfhxfxfD ++=−−+=
( )3233
derivada da oaproximaçã na erro
0
)(
3
1)())(( hOh
dx
xfd
dx
xdfxfD +=−
444 3444 21
2
3
3 )(
3
1 h
dx
xfd
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
Resumindo o erro de cada aproximação:
onde C+, C- e Co são constantes específicas para cada função. 
Ou seja, o erro é uma função de h na forma: 
( ) )(Retardada ) ordem (primeira )(
2
1)())(( 22
2
derivada da oaproximaçã na erro
hhChOh
dx
xfd
dx
xdfxfD −− ≈+−=−
444 3444 21
( ) (Centrada) ) ordem (segunda )(
3
1)())(( 220
32
3
3
derivada da oaproximaçã na erro
0 hhChOhdx
xfd
dx
xdfxfD ≈+=−
444 3444 21
( ) )(Adiantada ) ordem (primeira )(
2
1)())(( 22
2
derivada da oaproximaçã na erro
hhChOh
dx
xfd
dx
xdfxfD ++ ≈+=−
444 3444 21
) ordem (de )( mChhe m≈
)(he
hmCChhe m loglog)log())(log( +=≈
Num gráfico com escala log-log o erro se 
comporta como uma linha reta com 
inclinação igual à ordem de precisão. 
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
É possível aproximar a primeira derivada com ordem de 
precisão maior que 2? SIM.
Por exemplo, 
Existe alguma metodologia que permita obter as formulas de 
diferenças finitas? SIM. Destacamos duas formas:
1- Usando a Serie de Taylor para aproximar junto com o método 
dos coeficientes indeterminados.
2- Usando um Polinômio de Interpolação para aproximar a 
função e aproximamos a derivada da função pela derivada do 
Polinômio de Interpolação.
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
h
hxfhxfxfhxfxfD
dx
xdf
6
)2()(6)(3)(2))(()( 3
−+−−++=≈
( ) ) ordem (terceira )(
12
1)())(( 333
43
4
4
derivada da oaproximaçã na erro
3 hhChOhdx
xfd
dx
xdfxfD ≈+=−
444 3444 21
1-Metodologia para obter as formulas de diferenças finitas 
usando a Serie de Taylor para aproximar junto com o método 
dos coeficientes indeterminados.
Por exemplo, suponha que queremos aproximar a derivada da 
função pelo lado esquerdo conhecendo três pontos apenas.
Os coeficientes a,b e c devem ser determinados de forma a 
obter o menor erro possível. Expandindo em Serie de Taylor: 
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
?)( ≈
dx
xdf ))2(),2(( e ))(),(( )),(,( hxfhxhxfhxxfx −−−−
)2()()())(()( 2 hxcfhxbfxafxfDdx
xdf−+−+=≈
( )1333222 )(!)1()(61)(21)()()( ++−++−+−=− nnn
nn
hOh
dx
xfd
n
h
dx
xfdh
dx
xfdh
dx
xdfxfhxf L
( )1333222 )2()(!)1()2()(61)2()(212)()()2( ++−++−+−=− nnn
nn
hOh
dx
xfd
n
h
dx
xfdh
dx
xfdh
dx
xdfxfhxf L
Substituindo as expansões em:
Para obter maior precisão na derivada primeira devemos 
escolher ou
Erro:
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
)2()()())((2 hxcfhxbfxafxfD −+−+=
L++−
+++−++=
3
3
3
2
2
2
2
)(]8[
6
1 
)(]4[
2
1)(]2[)(][))((
dx
xfdhcb
dx
xfdhcb
dx
xdfhcbxfcbaxfD
0]4[
2
1,1]2[,0][ 2 =+=+−=++ hcbhcbcba
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=−==⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
−=+
=++
adosindetermin escoeficient os
para restrições trêscolocar 
podemos apenas portanto
nós, três temosque Note
2
1,2,
2
3
é sistema deste soluçãoA 
 
04
/12
0
h
c
h
b
h
a
cb
hcb
cba
h
hxfhxfxfxfD
dx
xdf
2
)2()(4)(3))(()( 2
−+−−=≈
( )3 33 2 32 3 3( ) 1 ( ) 1 ( )( ( )) [ 8 ] 6 12df x d f x d f xD f x b c h h O hdx dx dx− = − + + = +L
E as derivadas de ordem maior? Derivada de segunda ordem!
Suponha que queremos obter uma formula de diferenças finitas 
centrada para aproximar a derivada segunda conhecendo 
apenas três pontos igualmente espaçados. 
Usaremos a expansão em Serie Taylor junto com o método dos 
coeficientes indeterminados! (Pode ser usado outros métodos)
Substituindo e agrupando termos obtemos:
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
?)(2
2
≈
dx
xfd
)()()())(()( 22
2
hxcfxbfhxafxfD
dx
xfd +++−=≈
( )1333222 )(!)1()(61)(21)()()( ++−++−+−=− nnn
nn
hOh
dx
xfd
n
h
dx
xfdh
dx
xfdh
dx
xdfxfhxf L
( )1333222 )(!1)(61)(21)()()( +++++++=+ nnn
n
hOh
dx
xfd
n
h
dx
xfdh
dx
xfdh
dx
xdfxfhxf L
))(),(( e ))(),(( )),(,( hxfhxhxfhxxfx ++−−
Para obter a maior precisão possível na derivada segunda 
devemos escolher os coeficientes como:
Erro da aproximação?
Erro:
4.2.1- Aproximação de Derivadas por Diferenças Finitas.
( )1
3
3
3
3
2
2
2
2
)(
!
1])1([ 
)(
6
1][)(][
2
1)(][)(][
)()()())((
++−+++
−+++−+++=
+++−=
n
n
n
nn hO
dx
xfdh
n
ac
h
dx
xfdhac
dx
xfdhac
dx
xdfhacxfcba
hxcfxbfhxafxfD
L
ou 1][
2
1,0][,0][ 2 =+=−=++ hachaccba
⎟⎟
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
=−==
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
=++
centradas. diferenças das
icacarateríst uma é Isto zeros.
 são deimpar potencia de
 termosos todosque Note
1,2,1
é sistema deste soluçãoA 
 
1
0
222
2
h
h
c
h
b
h
a
h
a
ac
cba
2
2
2
2 )]()(2)([))(()(
h
hxfxfhxfxfD
dx
xfd ++−−=≈
( )4442222 )(121)())(( hOdx xfdhdx xfdxfD +=−
Existem várias Regras de Integração Numérica: Regra do 
Trapézio, Regra de Simpson, Quadratura de Newton-Cotes, 
Quadratura de Gauss, etc. Destacamos aqui a Quadratura de 
Gauss.
Teorema Fundamental do Cálculo:
O problema da Integração Numérica consiste em determinar o 
valor da integral definida a partir de (n+1) valores conhecidos da 
função integrando.
Esta é a Formula Geral para as Quadraturas. Resta encontrar os 
pesos e os pontos de quadraturas.
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração Numérica.
],[ em )( onde ,)()()( baxf
dx
dFaFbFdxxf
b
a
=−=∫
∑∫∫
=
=≈
n
i
ii
b
a
n
b
a
wxfdxxpdxxf
0
)()()(
Quadratura de Gauss!
Considere uma função definida em . O problema 
consiste em determinar os pontos de quadratura e os pesos 
para que a Formula de Quadratura seja exata quando a função 
integrando é um polinômio de maior grau possível N. 
Esta formula possui 2m constantes ( e ). Lembrando que 
um polinômio de grau 2m-1 é determinado por 2m coeficientes 
segue que N=2m-1.
Para que (1) seja verificado para qualquer polinômio de grau 
2m-1 é necessário e suficiente que (1) seja verificado para o 
conjunto de polinômios:
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração Numérica.
)1( )()()(
1
1
1
1
1
∑∫∫
=−−
==
m
i
iiN wxfdxxpdxxf
]1,1[−)(xf
ix iw
ix iw
{ }122 ,,,,1 −mxxx L)arbitrário (polinômio )( 12
0
∑−
=
=
m
k
k
kN xCxp
Considerando que: 
se substituímos o conjunto de polinômios em (1) obtemos um 
sistema não linear de 2m equações. 
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração Numérica.
12,,2,1,0 ,)()1( )()()(
1
1
11
1
1
1
1
−==⇒== ∑∫∑∫∫
=−=−−
mkwxdxxwxpdxxpdxxf
m
i
i
k
i
k
m
i
iiNN L
∑∑ ∑
∑ ∑∑ ∫∫ ∑∫
==
−
=
−
= =
−
= −−
−
=−
==
====
m
i
iNi
m
i
k
i
m
k
ki
m
k
m
i
i
k
ik
m
k
k
k
m
k
k
kN
xpwxCw
wxCdxxCdxxCdxxp
11
12
0
12
0 1
12
0
1
1
1
1
12
0
1
1
)()(
)()(
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=+
−−=
+
−
∫
impar é se 0
par é se 
1
2
1
)1(1 11
1 k
k
k
k
dxx
k
k
Este sistema não linear é de difícil solução. Entretanto, em lugar 
do conjunto de polinômios podemos usar 
polinômios da forma , onde são os 
polinômios de Legendre. O grau deste novo conjunto de 
polinômios não é maior que 2m-1 e se usamos eles na formula 
de quadratura (1) obtemos:
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração Numérica.
)2( 
 polinômio o para ,0)(
 polinômio o para ,
12
2)(
 polinômio o para ,0
 polinômio o para ,2
1212
1
2222
1
1
1
0
1
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
=
−=
=
=
−−
=
−−
=
=
=
∑
∑
∑
∑
mm
i
m
i
i
mm
i
m
i
i
m
i
ii
m
i
i
xxw
x
m
xw
xxw
xw
LLLLLLLLLLLL
{ }122 ,,,,1 −mxxx L
)1,,2,1,0( )( −= mkxPx mk L )(xPm
Por outra parte, os polinômios de Legendre tem a seguinte 
propriedade de ortogonalidade: 
Logo (3) se reduze a um sistema de m equações da forma:
Note que para qualquer peso este sistema é satisfeito se os 
pontos são os zeros do polinômio de Legendre . Os 
zeros dos polinômios de Legendre são todos reais e diferentes 
no intervalo (-1,1). Logo conhecendo estes zeros e substituindo 
eles no sistema (2) obtemos um sistema linear de m equações 
que permite determinar os pesos .
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração Numérica.
)3( 1,,2,1,0 ,)()()(
1
1
1
−==∑∫
=−
mkwxPxdxxPx
m
i
iim
k
im
k L
 com )( polinômio todopara 0)()(
1
1
mkxQdxxQxP kkm <=∫
−
)'3( 1,,2,1,0 ,0)()(
1
−==∑
=
mkwxPx
m
i
iim
k
i L
ix
iw
)(xPm
iw
Pode ser provado que a Formula de Quadratura
onde os são os zeros dos polinômios de Legendre e os pesos 
determinados da forma anterior é exata para todo polinômio de 
grau N<2m-1. Esta formula se conhece com o nome de 
Quadratura de Gauss.
Polinômios de Legendre e seus zeros!
Propriedades:
1) 
2)
3) tem m raízes reais diferentes no intervalo (-1,1)
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração Numérica.
)4( ,)()(
1
1
1
∑∫
=−
=
m
i
iiNN wxpdxxp
 com )( polinômio todopara 0)()(
1
1
mkxQdxxQxP kkm <=∫
−
( )[ ] L,2,1,0 ,1
!2
1)( 2 =−= mx
dx
d
m
xP mm
m
mm
ix
)(xPm
)(xPm
L,1,0 ,)1()1( ,1)1(=−=−= mPP mmm
A seguir listamos os cinco primeiros Polinômios de Legendre:
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração Numérica.
( )[ ]
( )
( )
( )⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
+−=
−=
−=
=
=
=−=
.33035
8
1)(
,35
2
1)(
,13
2
1)(
,)(
,1)(
,2,1,0 ,1
!2
1)(
24
4
3
3
2
2
1
0
2
xxxP
xxxP
xxP
xxP
xP
mx
dx
d
m
xP mm
m
mm L
A seguir listamos os pontos e pesos da Quadratura de Gauss:
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração Numérica.
m i xi Wi
1 1 0 2
2 1,2 (-/+) 0.57735027 1
3 1,3
2
(-/+) 0.77459667
0
0.55555556
0.88888889
4 1,4
2,3
(-/+) 0.86113631
(-/+) 0.33998104
0.34785484
0.65214516
5 1,5
2,4
3
(-/+) 0.90617985
(-/+) 0.53846931
0
0.23692688
0.47862868
0.56888889
Uma desvantagem da Quadratura de Gauss consiste em que os 
pontos e os pesos da formula são, em geral, números 
irracionais. Uma vantagem é o alto grau de precisão obtido com 
poucos pontos. 
O erro é da ordem:
Note que e 
4.2.2- Aproximação de Integrais por Regras de Integração Numérica.
)4( ,)()( e )()(
1
12
1
1
12
1
1
1
∑∫∑∫
=
−
−
−
=−
=≈
m
i
iimm
m
i
ii wxpdxxpwxfdxxf
m
mm
m dx
fd
mm
mR 2
2
3
412 )(
)12()!2(
)!(2 ξ
+=
+
∑∫
=−
−=
m
i
iim wxfdxxfR
1
1
1
)()(
.0
)12()!2(
)!(2lim 3
412
=+
+
∞→ mm
mm
m
1 1
)12()!2(
)!(2
3
412
≥∀<+
+
m
mm
mm
Frase do Dia
“Although to penetrate into the intimate 
mysteries of nature and thence to learn the 
true causes of phenomena is not allowed to 
us, nevertheless it can happen that a certain 
fictive hypothesis may suffice for explaining 
many phenomena.”
Leonhard Euler
(A mesma da Aula 9)