Algebra linear prova final

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Álgebra Linear e Vetorial (MAD13)
Avaliação: 
Prova: 
Nota da Prova: 
Legenda: Resposta Certa
1. 
 a) 2. 
 b) 2 ou -2. 
 c) Raiz de 2.
 d) 1/2. 
2. O serviço de tutoria de uma IES realiza atendimento aos alunos por telefone ou e
mail. O número médio de ligações e e
Matemática, Pedagogia 
quadro 2 apresenta o número de dias trabalhados pelos tutores no mês de julho e 
agosto, determine o total de atendimentos (ligações e e
tutores nesses dois meses e assinal
 a) O total de atendimentos é 6854.
 b) O total de atendimentos é 7030.
 c) O total de atendimentos é 6873.
 d) O total de atendimentos é 7182.
3. Quando trabalhamos com vetores do espaço vetorial R³, pode
Álgebra Linear e Vetorial (MAD13) 
Avaliação Final (Objetiva) - Individual FLEX ( 
Cod.:649341) ( peso.:3,00) 
27506246 
8,00 
Resposta Certa Sua Resposta Errada 
. 
 
O serviço de tutoria de uma IES realiza atendimento aos alunos por telefone ou e
mail. O número médio de ligações e e-mails recebido diariamente pelos tutores de 
 e História é dado no quadro 1, a seguir. Considerando que o 
quadro 2 apresenta o número de dias trabalhados pelos tutores no mês de julho e 
agosto, determine o total de atendimentos (ligações e e-mails) realizados pelos 
tutores nesses dois meses e assinale a alternativa CORRETA: 
 
O total de atendimentos é 6854.
O total de atendimentos é 7030.
O total de atendimentos é 6873.
O total de atendimentos é 7182.
Quando trabalhamos com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto 
Individual FLEX ( 
 
 
O serviço de tutoria de uma IES realiza atendimento aos alunos por telefone ou e-
mails recebido diariamente pelos tutores de 
e História é dado no quadro 1, a seguir. Considerando que o 
quadro 2 apresenta o número de dias trabalhados pelos tutores no mês de julho e 
mails) realizados pelos 
 
se combinar o produto 
escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A 
esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade 
escalar. Em particular, o módulo deste resultado nos calcula o volume do 
paralelepípedo formado pelos três vetores. Baseado nisto, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas:
 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2, 
à 19. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2, 
à 12. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, 
7. 
( ) O volume do paralelepípedo formad
5. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) V - F - F - V.
 b) V - F - V - F.
 c) F - V - F - V.
 d) F - V - V - F.
4. Na Engenharia Civil, infelizmente, ainda é corrente o desenvolvimento de projetos 
de pontes rodoviárias sem se proceder a uma análise, mesmo que preliminar, acerca 
do comportamento dinâmico da estrutura. Efeitos dinâmicos a
irregularidades da pista, à oscilação dos veículos ao abordar a estrutura, à variação de 
velocidade dos veículos, entre outros, geralmente não são considerados na análise. 
Para tal análise dinâmica, é imprescindível a aplicação dos conceitos d
e autovetores estudados nos cursos básicos de engenharia (LIPSCHUTZ, 1977). 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 3X3, 
sabendo que tal matriz permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma 
Transformação Linear: 
 
FONTE: LIPSCHUTZ, S., Álgebra Linear, McGraw
 
 a) Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
 b) A matriz possui apenas um autovalor igual a ?1.
 c) A matriz possui autovalores que são iguais a 1, 2 e 3.
 d) A matriz possui apenas um autovalor igual a 1.
escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A 
esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade 
m particular, o módulo deste resultado nos calcula o volume do 
paralelepípedo formado pelos três vetores. Baseado nisto, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
) O volume do paralelepípedo formado por (2, -1, 3), (0, 2, -5), (1, 
) O volume do paralelepípedo formado por (2, -1, 3), (0, 2, -5), (1, 
) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, -2), (0, 1, 1), (1, 
) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, -2), (0, 1, 1), (1, 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
Na Engenharia Civil, infelizmente, ainda é corrente o desenvolvimento de projetos 
de pontes rodoviárias sem se proceder a uma análise, mesmo que preliminar, acerca 
do comportamento dinâmico da estrutura. Efeitos dinâmicos associados às 
irregularidades da pista, à oscilação dos veículos ao abordar a estrutura, à variação de 
velocidade dos veículos, entre outros, geralmente não são considerados na análise. 
Para tal análise dinâmica, é imprescindível a aplicação dos conceitos d
e autovetores estudados nos cursos básicos de engenharia (LIPSCHUTZ, 1977). 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 3X3, 
sabendo que tal matriz permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma 
 
FONTE: LIPSCHUTZ, S., Álgebra Linear, McGraw-Hill do Brasil Ltda, 1977.
Não há autovalores reais associados a essa Transformação Linear.
A matriz possui apenas um autovalor igual a ?1. 
A matriz possui autovalores que são iguais a 1, 2 e 3. 
A matriz possui apenas um autovalor igual a 1. 
escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A 
esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade 
m particular, o módulo deste resultado nos calcula o volume do 
paralelepípedo formado pelos três vetores. Baseado nisto, classifique V para as 
(1, -1, -2) é igual 
5), (1, -1, -2) é igual 
 0, -2) é igual à 
 0, -2) é igual à 
 
Na Engenharia Civil, infelizmente, ainda é corrente o desenvolvimento de projetos 
de pontes rodoviárias sem se proceder a uma análise, mesmo que preliminar, acerca 
ssociados às 
irregularidades da pista, à oscilação dos veículos ao abordar a estrutura, à variação de 
velocidade dos veículos, entre outros, geralmente não são considerados na análise. 
Para tal análise dinâmica, é imprescindível a aplicação dos conceitos de autovalores 
e autovetores estudados nos cursos básicos de engenharia (LIPSCHUTZ, 1977). 
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta os autovalores desta matriz 3X3, 
sabendo que tal matriz permite que sejam calculados autovalores, a partir de uma 
Hill do Brasil Ltda, 1977. 
 
5. Uma transformação linear pode ser vista como sendo uma fórmula para transformar 
vetores. Este artifício é altamente utilizado no processo de amplia
reflexão de figuras nos desenhos gráficos. Sendo assim, a respeito das 
transformações, associe os itens, utilizando o código a seguir:
 
I- Transformação de Reflexão.
II- Transformação de Ampliação.
III- Transformação de Contração.
 
( ) T(x,y) = 1/2(x, y). 
( ) T(x,y) = 3(x,y). 
( ) T(x,y) = (x, -y). 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
 a) II - I - III.
 b) III - II - I.
 c) II - III - I.
 d) III - I - II.
6. Leia atentamente a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 a) O valor da dim Im(T) = 3.
 b) O valor da dim Im(T) = 1.
 c) O valor da dim Im(T) = 4.
 d) O valor da dim Im(T) = 2.
7. Uma das utilidades do produto vetorial de vetores resulta em um outro vetor cuja 
norma resulta na área de um paralelogramo de lados congruentes à norma dos 
vetores utilizados na operação. Supondo que esses vetores perte
ponto e que eles possuem v = (
paralelogramo delimitado por estes vetores e assinale a alternativa CORRETA:
 a) 3.
 b) 5.
 c) 7.
 d) 9.
8. Em Álgebra Linear, podemos identificar o conjunto das matrizes linha, que são 
aquelas que possuem apenas uma linha como um espaço vetorial. Elas respeitam as 
operações elementares para esta definição. Sendo assim, este espaço vetorial (o das 
matrizes linha) possui um vetor oposto. Imagine uma matriz linha M = [1
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta seu vetor oposto:
 a) (-4, 2, 1). 
Uma transformação linear podeser vista como sendo uma fórmula para transformar 
vetores. Este artifício é altamente utilizado no processo de ampliação, contração e 
reflexão de figuras nos desenhos gráficos. Sendo assim, a respeito das 
transformações, associe os itens, utilizando o código a seguir: 
Transformação de Reflexão. 
Transformação de Ampliação. 
Transformação de Contração. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
Leia atentamente a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
 
O valor da dim Im(T) = 3.
O valor da dim Im(T) = 1.
O valor da dim Im(T) = 4.
O valor da dim Im(T) = 2.
Uma das utilidades do produto vetorial de vetores resulta em um outro vetor cuja 
norma resulta na área de um paralelogramo de lados congruentes à norma dos 
vetores utilizados na operação. Supondo que esses vetores pertencem a um mesmo 
ponto e que eles possuem v = (-1, 0, 2) e u = (4, 0, -1), determine a área do 
paralelogramo delimitado por estes vetores e assinale a alternativa CORRETA:
Álgebra Linear, podemos identificar o conjunto das matrizes linha, que são 
aquelas que possuem apenas uma linha como um espaço vetorial. Elas respeitam as 
operações elementares para esta definição. Sendo assim, este espaço vetorial (o das 
ossui um vetor oposto. Imagine uma matriz linha M = [1
Assinale a alternativa CORRETA que apresenta seu vetor oposto: 
Uma transformação linear pode ser vista como sendo uma fórmula para transformar 
ção, contração e 
reflexão de figuras nos desenhos gráficos. Sendo assim, a respeito das 
 
Leia atentamente a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
Uma das utilidades do produto vetorial de vetores resulta em um outro vetor cuja 
norma resulta na área de um paralelogramo de lados congruentes à norma dos 
ncem a um mesmo 
1), determine a área do 
paralelogramo delimitado por estes vetores e assinale a alternativa CORRETA: 
 
Álgebra Linear, podemos identificar o conjunto das matrizes linha, que são 
aquelas que possuem apenas uma linha como um espaço vetorial. Elas respeitam as 
operações elementares para esta definição. Sendo assim, este espaço vetorial (o das 
ossui um vetor oposto. Imagine uma matriz linha M = [1 2 -4]. 
 b) (1, 2, 4). 
 c) (-1, -2, 4).
 d) (4, -2, -1).
9. O Bloco Econômico MercoNorte é formado por três países do Hemisfério Norte. A 
matriz M a seguir mostra o volume de negócios realizados entre eles em 2016, na 
qual cada elemento a(ij) informa quanto o país i exportou para o 
euros. 
 a) Somente a opção IV está correta.
 b) Somente a opção I está correta.
 c) Somente a opção III está correta.
 d) Somente a opção II está correta.
10.As propriedades dos determinantes permitem que possamos realizar diversos 
cálculos sem a necessidade de opera
por exemplo, se o determinante de uma matriz A qualquer é igual a 5, se 
multiplicarmos uma linha da matriz por 2, o determinante da nova matriz passa a ser 
igual a 10. Visto isto, sejam A uma matriz quadrada
quadrada de ordem 3, tais que detA . detB = 1. O valor de det(3A) . det(2B) é:
 a) 6. 
 b) 72.
 c) 48.
 d) 36.
11.(ENADE, 2014) Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa 
modelar matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto, uma situação 
problema, depois de modelada, recaiu em um sistema de equações 
equações e n incógnitas, para o qual a matriz dos coeficientes foi denominada M.
 
Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do 
sistema (Pa) era igual ao posto da matriz dos coeficientes (Pc) e que ambos, (pa) e 
(Pc), têm valor equivalente ao número de incógnitas do sistema, ou seja, Pa = Pc = n.
 
Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, 
avalie as afirmações que se seguem.
O Bloco Econômico MercoNorte é formado por três países do Hemisfério Norte. A 
matriz M a seguir mostra o volume de negócios realizados entre eles em 2016, na 
qual cada elemento a(ij) informa quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de 
 
Somente a opção IV está correta.
Somente a opção I está correta. 
Somente a opção III está correta. 
e a opção II está correta. 
As propriedades dos determinantes permitem que possamos realizar diversos 
cálculos sem a necessidade de operacionalizá-los. Um exemplo disto é o fato em que, 
por exemplo, se o determinante de uma matriz A qualquer é igual a 5, se 
multiplicarmos uma linha da matriz por 2, o determinante da nova matriz passa a ser 
igual a 10. Visto isto, sejam A uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz 
quadrada de ordem 3, tais que detA . detB = 1. O valor de det(3A) . det(2B) é:
(ENADE, 2014) Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa 
modelar matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto, uma situação 
problema, depois de modelada, recaiu em um sistema de equações lineares com m 
equações e n incógnitas, para o qual a matriz dos coeficientes foi denominada M.
Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do 
sistema (Pa) era igual ao posto da matriz dos coeficientes (Pc) e que ambos, (pa) e 
(Pc), têm valor equivalente ao número de incógnitas do sistema, ou seja, Pa = Pc = n.
Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, 
avalie as afirmações que se seguem. 
 
O Bloco Econômico MercoNorte é formado por três países do Hemisfério Norte. A 
matriz M a seguir mostra o volume de negócios realizados entre eles em 2016, na 
país j, em bilhões de 
 
As propriedades dos determinantes permitem que possamos realizar diversos 
los. Um exemplo disto é o fato em que, 
por exemplo, se o determinante de uma matriz A qualquer é igual a 5, se 
multiplicarmos uma linha da matriz por 2, o determinante da nova matriz passa a ser 
de ordem 2 e B uma matriz 
quadrada de ordem 3, tais que detA . detB = 1. O valor de det(3A) . det(2B) é: 
 
(ENADE, 2014) Para realizar seu trabalho cotidiano, um engenheiro civil precisa 
modelar matematicamente algumas tarefas. Em determinado projeto, uma situação 
lineares com m 
equações e n incógnitas, para o qual a matriz dos coeficientes foi denominada M. 
Após a modelagem, o engenheiro descobriu que o posto da matriz ampliada do 
sistema (Pa) era igual ao posto da matriz dos coeficientes (Pc) e que ambos, (pa) e 
(Pc), têm valor equivalente ao número de incógnitas do sistema, ou seja, Pa = Pc = n. 
Admitindo que o modelo construído pelo engenheiro está matematicamente correto, 
 
I- A matriz M é singular.
II- O sistema de equações 
III- É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme 
modelado. 
IV- O valor de Pc é calculado obtendo
quadradas de M que tenham determinantes nã
 
É correto apenas o que se afirma em:
 a) I. 
 b) II. 
 c) II e IV.
 d) I e III. 
12.(ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta 
grande interesse. Questionam
o elevado custo do empreendimento relativamente à população 
quantidade de água a 
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s.
 
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de 
matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, bas
do Ministério da Integração Nacional.
 
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água.
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, 
em milhões, de habitantes que serão beneficiado
essas quantidades, obtém
 a) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 
 b) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o 
que pode provocar sérios danos ambientais.
 c) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais.
 d) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
 
A matriz M é singular. 
O sistema de equações lineares modelado admite uma única solução.
É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme 
O valor de Pc é calculado obtendo-se a maior ordem possíveldas submatrizes 
quadradas de M que tenham determinantes não nulos. 
É correto apenas o que se afirma em: 
(ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta 
grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, 
o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e a 
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s.
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de 
matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos 
do Ministério da Integração Nacional. 
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água. 
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, 
em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando
essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que:
 
O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 
Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o 
que pode provocar sérios danos ambientais. 
O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais. 
A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.
lineares modelado admite uma única solução. 
É impossível encontrar a solução do problema utilizando o sistema conforme 
se a maior ordem possível das submatrizes 
 
(ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta 
se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, 
beneficiada e a 
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s. 
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de 
se em dados obtidos 
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, 
s pelo projeto. Relacionando-se 
se o sistema de equações lineares AX = B, em que: 
O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 0. 
Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o 
A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes.