Aula Regressão

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3. ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 
3.1 ANÁLISE DE REGRESSÃO 
 
 
- Estudo da relação entre variáveis (dependente e independente); 
- Regressão é uma média; 
 
 
-Aplicação: 
 Empregado para facilitar a obtenção de variáveis de difícil mensuração. 
 Exemplo: Volume, Carbono, Matéria seca, diâmetros a várias alturas (afilamento), altura total, etc. 
Relação entre: (DAP e ht) x Volume 
 
 
 
Volume = f{DAP, Ht} 
- Conhecer inicialmente os dados antes de ajustar um modelo e verificar as tendências do modelo. 
3.2 Conceitos iniciais 
a) Variável dependente - é o y do modelo e depende dos valores de x; 
b) Variável independente - é o x do modelo e não depende do y do modelo; 
c) Ajuste - é o processo de se aplicar a regressão e encontrar os valores dos parâmetros do 
modelo; 
d) Modelo - é a forma geral ou genérica, sendo sua forma matemática antes do ajuste; 
y = a + bx + erro 
parâmetros do modelo: a e b 
0
2
4
6
8
10
12
14
0 5 10 15 20 25
HT (m)
DAP (cm)
Variável 1 Variável 2 
e) Equação - é a forma específica para os dados já ajustados pela regressão, contendo os valores 
dos parâmetros; 
y = 2,36 + 7,997x 
coeficientes da equação: 2,36 e 7,997 
3.3 Tipos de modelos 
 
a) lineares - são modelos que assumem a forma linear, ou seja, os parâmetros necessariamente se 
encontram na forma aditiva. 
formulação geral: 
a.1) linear simples - possui apenas uma variável independente no seu modelo. 
 Y = B0 + B1x1 + e (1) 
 2= + +y a bDAP HT ε (2) 
 
1
= + +y a b ε
Ht
 (3) 
a.2) linear múltiplo - possui mais uma variável independente no modelo; 
 Y = B0 + B1x1 + B2x2 + B3x3 + e (1) 
 
1 2
= + + +y a bx cx ε (2) 
 2 3= + + + +y a bDAP cDAP cDAP ε (3) 
b) não lineares - quando pelo menos 1 parâmetro não está na forma linear. 
 Y = B0x1
B1x2
B2 + e (1) 
 = (1- ) +
bx cy a e ε (2) 
3.4 Métodos de ajuste 
 
a) Máxima verossimilhança 
 
b) Programação Linear (goal programming) 
 
c) Inteligência artificial 
 
d) Método dos mínimos quadrados ordinais- a regressão é uma média, e por isso o método tem 
como finalidade encontrar uma curva média que 
minimize o somatório do quadrado dos desvios 
(erros) entre os dados e a curva projetada. 
3.5. Pressuposições e condições de uso 
 
a) Estimar somente dentro do limite estudado, tem-se maior segurança; 
b) A variável y deve ter distribuição normal ou aproximadamente normal (teste de Shapiro-Wilk); 
c) Os dados devem ter variância homogênea (teste de Bartlett); 
d) Os resíduos devem ser independentes (teste de Durbin-Watson); 
e) Validação da base de dados (análise exploratória): 
 - identificação de erros de digitação/medição; 
 - valores inconsistentes; 
 - falta de medições; 
 - presença de caracteres alfanuméricos; 
3.6. Informações necessárias para o ajuste de um modelo 
 - modelo volumétrico? 
 - modelo hipsométrico? 
 - função de afilamento? 
3.7. Regressão do ponto de vista matricial 
 
1 1
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
l l
l l l l
l l
l l
Y XB erro
X Y X XB
X X X Y X X X X B
X X X Y IB
B X X X Y
 


 




 
 
3.8. Análise de variância (ANOVA) e medidas de precisão 
 
a) ANOVA 
 
Análise de variância (ANOVA) 
FV GL SQ QM Fcal 
Regressão P SQRegressão 
SQRegressão
P
 
QMRegressão
QMResíduo
 
Resíduo(erro) n-P-1 ou n-p* SQResíduo 
SQResíduo
n-P-1
 
Total n-1 SQTotal 
Onde: 
P - número de variáveis independentes no modelo / p* - desconsiderando b0 
n - número de observações. 
 
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 = ∑ (�̂� − �̅�)
2𝑛
𝑖=1 - é a variação explicada pela regressão 
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ (𝑦 − �̅�)
2𝑛
𝑖=1 - é a variação total das observações. 
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜 = ∑ (𝑦 − �̂�)
2𝑛
𝑖=1 ou SQResíduo = SQTotal - SQRegressão - variação não explicada pela regressão 
(erro). 
 
b) Medidas de precisão 
 
b.1) R2 (coeficiente de determinação) - indica o quanto das variações de y são explicadas pelas variáveis 
independentes em porcentagem. 
𝑅2 =
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑔𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
100 ou 𝑅2 =
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙−𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
100 
 
Exemplo: R2 = 89,5% - significa que 89,5% de toda a variação existente nos dados são explicadas pela 
regressão e apenas 10,5% são atribuídos ao erro. Assim, quanto mais 
próximo 1 ou 100% melhor. 
b.2) Rajustado2 (coeficiente de determinação) - idem acima, porém aplicado quando se deseja comprar 
modelos com diferentes números de 
parâmetros (p). 
𝑅2 = (1 − (
𝑛−1
𝑛−𝑝−1
)
𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜
𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
)100; n = número de observações 
c) Syx (erro padrão residual) - expressa o quanto em termos médios os valores estimados variam em 
relação aos valores observados. A unidade do erro padrão residual é a 
mesma da variável dependente ou em porcentagem. 
𝑆𝑦𝑥 = √𝑄𝑀𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 ou 𝑆𝑦𝑥 (%) = 
𝑆𝑦𝑥
�̅�
100 
Exemplo: Syx = 1,25 m3 - indica que ao se estimar o volume pela equação ajustada o erro será de 1,25 m3 
em média, para mais ou para menos. 
d) Gráfico de resíduo 
 É uma representação gráfica do comportamento dos resíduos ao longo de todo o intervalo de dado 
estudado, sendo expressa de várias formas. 
Exemplo: 
- y x yest (mais comum); 
- yest x X; 
- Resíduo(%) x X; 
ˆ-
Re (%) = 100
Y Y
siduo
Y
 
- Resíduo padronizado x X; 
ˆ-
R =
Y Y
padronizado
Syx
 
3.9. Critério de seleção do melhor modelo 
 Gráfico de resíduo > Syx > 𝑅𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜
2 
Exemplo hipotético: 
Modelo R2 Syx Syx(%) 
1 98,84 0,00930 6,34 
2 99,22 0,00936 6,38 
3 98,85 0,00937 6,39 
4 98,94 0,00933 6,36 
 
>> melhor modelo o 1