Trigonometria na Circunferência

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1.1. Trigonometria na Circunferência 
1.1.1. Arcos e Ângulos 
Consideremos uma circunferência de centro O e um ângulo 
^
AO B , 
sendo A e B pontos comuns aos lados do ângulo e à circunferência. 
 
 
 
 
 
A circunferência é dividida em dois arcos: AXB

 e AYB

. 
 
A e B são as extremidades do arco. 
 
1.1.1.1. Casos Particulares 
 
Semicircunferência Arco nulo e Arco de uma volta 
 
 
 
A e B são extremidades de um diâmetro A e B são coincidentes e determinam dois 
arcos: um deles é um ponto (arco nulo) e o 
outro é a circunferência (arco de uma volta) 
 
1.1.2. Medidas de Arcos 
A medida de um arco AB

 em relação a um arco unitário u (não nulo e 
de mesmo raio que o arco dado) é o número real que exprime quantas vezes o arco u “cabe” 
no arco AB. São duas as unidades escolhidas para se medir arcos: o grau e o radiano. 
1.1.2.1. Grau (o) 
Grau é um arco unitário igual a 
1
360
 da 
circunferência que contém o arco a ser medido. 
 
 
Sendo que 
^
AO B é um ângulo central1 e AXB

 é o seu arco 
correspondente, dizemos que a medida (em graus) de um arco de 
circunferência é igual à medida do ângulo central correspondente. 
 
1
 Ângulo Central apresenta o vértice no centro da circunferência e seus lados são raios da mesma. 
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1.1.2.2. Radiano (rad) 
Radiano é um arco unitário cujo comprimento é 
igual ao raio da circunferência que contém o arco a ser medido. 
Sabemos que o comprimento da circunferência 
mede 2 r , em que r = raio. Pela definição de radiano, podemos escrever 2 rad. 
 
1.1.2.3. Conversão 
Para conversão de unidades, estabelecemos a 
seguinte relação: 
 
360º  2 rad ou, ainda, 180º   rad 
 
 
Exemplo: exprima 225º em radianos. 
 
180º   rad 
225º  x 
 
225 5
180 4
x rad
 
  
 
1.1.3. Medidas de Ângulos 
 
 
 
 
A medida em radianos de uma ângulo 
^
AO B é dado por 
^ l
AO B
r
 , 
em que l = comprimento do arco AB

, r = raio da circunferência. 
 
Exemplo: se o ângulo central 
^
AO B é tal que determina numa 
circunferência de raio r = 5 cm um arco AB

 de medida l = 8 cm, qual a medida de 
^
AO B ? 
^ 8
1,6
5
l
AO B rad
r
   
 
 
 
 
 
 
 
1.1.4. Ciclo Trigonométrico 
Tomemos sobre um plano um sistema cartesiano ortogonal uOv. 
Consideremos a circunferência de centro O e raio r = 1 (portanto, seu comprimento é igual a 
2 ) . Associemos a cada número real x, com 0 2x   , um único ponto P da circunferência 
do seguinte modo: 
 
 
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Se x = 0, então P coincide com A 
 
 
Se x > 0, então realizamos a partir de A um 
percurso de comprimento x, no sentido anti-
horário, e marcamos P como final do percurso 
 
 
A circunferência acima definida, com origem em A, é chamada ciclo, 
círculo ou circunferência trigonométrica. 
Se um ponto P está associado ao número x dizemos que P é a imagem 
de x no ciclo. 
1.1.5. Razões Trigonométricas na Circunferência 
Consideremos o ciclo trigonométrico definido acima e associemos quatro 
eixos: 
1. Eixo dos cossenos (u), apresenta direção: OA e sentido 
positivo: O A 
2. Eixo dos senos (v), apresenta direção: u , por 0 e sentido 
positivo: O B 
3. Eixo das tangentes (c), apresenta direção: ǁ v, por A e 
sentido positivo: o mesmo de v. 
4. Eixo das cotangentes (d), apresenta direção: ǁ u, por B e 
sentido positivo: o mesmo de u. 
 
 
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Os eixos u e v dividem a circunferência em quatro arcos: AB

,
'BA

, 
' 'A B

 
e 
'B A

 . Para localizar x no ciclo dizemos que: 
Se x está no 1º quadrante, então P AB

 
Se x está no 2º quadrante, então 
'P BA

 
Se x está no 3º quadrante, então 
' 'P A B

 
Se x está no 4º quadrante, então 
'P B A

 
 
Dado um número real  0,2x  , seja P sua imagem no ciclo, temos: 
 
 
1.1.5.1. Seno (sen x) 
Seno de x é a ordenada 1OP do ponto P em relação 
ao sistema uOv. 
Resumindo, fazendo x percorrer o intervalo  0,2 a 
imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo,no sentido anti-horário, e a ordenada 
de P varia segundo a tabela: 
 
x 0 + 
2

 
+  - 3
2

 
- 2 
sen x 0 cresce 1 decresce 0 decresce - 1 cresce 0 
 
1.1.5.2. Coseno (cos x) 
Cosseno de x é a abscissa 2OP do ponto P em 
relação ao sistema uOv. 
Resumindo, fazendo x percorrer o intervalo  0,2 a 
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imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo,no sentido anti-horário, e a abscissa de 
P varia segundo a tabela: 
 
x 0 + 
2

 
-  - 3
2

 
+ 2 
cos x 1 decresce 0 decresce -1 cresce 0 cresce 1 
 
1.1.5.3. Tangente (tg x) 
Assumindo que 
2
x

 e 
3
2
x

 , tangente de x é a 
medida algébrica de AT . 
Resumindo, fazendo x percorrer o intervalo  0,2 a 
imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo, no sentido anti-horário, e a medida 
algébrica AT varia segundo a tabela: 
 
x 0 + 
2

 
-  + 3
2

 
- 2 
tg x 0 cresce não 
existe 
cresce 0 cresce não 
existe 
cresce 0 
 
1.1.5.4. Cotangente (cotg x) 
Assumindo que  0, ,2x   , cotangente de x é a 
medida algébrica de BD . 
 
Resumindo, fazendo x percorrer o intervalo  0,2 a 
imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo,no sentido anti-horário, e a medida 
algébrica BD varia segundo a tabela: 
 
x 0 + 
2

 
-  + 3
2

 
- 2 
cotg x não 
existe 
decresce 0 decresce não 
existe 
decresce 0 decresce não 
existe 
 
1.1.5.5. Secante (sec x) 
Assumindo que 
3
,
2 2
x
  
  
 
, considerando s 
tangente ao ciclo em P e, sendo S sua intersecção com u, secante de x é a abscissa OS do 
ponto S. 
Resumindo, fazendo x percorrer o intervalo  0,2 a 
imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo,no sentido anti-horário, e a medida 
algébrica OS varia segundo a tabela: 
 
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x 0 + 
2

 
-  - 3
2

 
+ 2 
cotg x 1 cresce não 
existe 
cresce -1 decresce não 
existe 
decresce 1 
 
1.1.5.6. Cossecante (cossec x) 
Assumindo que  0, ,2x   , considerando s 
tangente ao ciclo em P e, sendo S sua intersecção com v, cossecante de x é a ordenada OC 
do ponto C. 
Resumindo, fazendo x percorrer o intervalo  0,2 a 
imagem de x (ponto P) dá uma volta completa no ciclo,no sentido anti-horário, e a medida 
algébrica OC varia segundo a tabela: 
 
x 0 
2
 
  3
2

 
 2 
cotg x não 
existe 
decresce 1 cresce não 
existe 
cresce -1 decresce não 
existe