Exercício De Cálculo 12

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Anderson Maicon De Souza 
 
Cálculo 1 
 Lista de Exercícios – Derivadas 
 
1) Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação: 
a) xxy 42 += R: 42 += x
dx
dy
 
b) ( )
2
2
x
xf = R: ( )
3
4
x
xf −= 
c) 
2
3
2
3 xx
y += R: ( )1
2
3 2 += x
dx
dy
 
d) 3 xy = R : 
3 23
1
xdx
dy
= 
e) ( ) ( )16
1
3 −





+= x
x
xxf R : 
( )
3
1
36
2
−+=
x
x
dx
xdf
 
f) x
ba
x
ba
x
y −
−
−
+
=
25
 R: 1
25 4
−
−
−
+
=
ba
x
ba
x
dx
dy
 
g) 
( )
2
3
3
1
x
x
y
+
= R: 
( ) ( )
2
52
1213
2
x
xx
dx
dy −+
= 
h) ( )( )2312 +−= xxxy R: ( )192 2 −+= xx
dx
dy
 
i) 
22
42
xb
x
y
−
= R: 
( )
( )222
223 24
xb
xbx
dx
dy
−
−
= 
j) 
xa
xa
y
+
−
= R: 
( )2
2
xa
a
dx
dy
+
−
= 
k) 
3






+
−
=
xa
xa
y R: 
( )
( )4
2
6
xa
xaa
dx
dy
+
−−
= 
l) 
x
x
y
−
+
=
1
1
 R: 
( ) 211
1
xxdx
dy
−−
= 
m) ( )331 xy += R: 
2
3
11








+=
xxxdx
dy
 
n) 
2
2
1
12
xx
x
y
+
−
= R: 
( )322
2
1
41
xx
x
dx
dy
+
+
= 
o) ( )522 axy −= R: ( )42210 axx
dx
dy
−= 
 
 
 
 
2) Nos exercícios abaixo encontrar a derivada das funções dadas. 
 
Anderson Maicon De Souza 
a) f(r) =  r² 
b) f(x) = 14 – ½ x –3 
c) f(x) = (3x5 – 1) ( 2 – x4) 
d) f(x) = 7(ax² + bx + c) 
e) f(t) = 
1
15²3
−
−+
t
tt
 
f) f(s) = (s² - 1) (3s-1)(5s² + 2s) 
g) f(t) = 
2
²2
−
−
t
t
 
h) 
64
2
2
1
)(
xx
xf += 
 
3) Calcular a derivada. 
a) f(x) = 10 (3x² + 7x +3)10 
b) f(x) = 3 )²26²3( −+ xx 
c) f(x) = 13
)13(2
²7
5
++
+
x
x
x
 
d) f(x) = 2e3x² + 6x + 7 
e) f(x) = 
xx
x
b
a
6²3
3
−
 
f) f(s) = 
2
1
 (a + bs)In(a + bs) 
g) f(x) = sen³ (3x² + 6x) 
h) f(t) = 
1
1
+
−
t
t
e
e
 
i) f(x) = 1/a (bx² + c) – Inx 
j) f(x) = sen² x + cos² x 
k) f(x) = e2x cos 3x 
l) f(x) = sen² (x/2).cos² (x/2) 
m) f(x) = log2 (3x – cos 2x) 
n) f(t) = e2 cos 2t 
 
4) Nos exercícios abaixo calcular as derivadas sucessivas até a ordem n indicada. 
a) y = 3x4 – 2x; n = 5 
b) y = 1/ex; n = 4 
 
5) Calcule as derivadas abaixo através da definição 
( ) ( )
.lim 00
0 x
xfxxf
x 
−+
→
 
 
Anderson Maicon De Souza 
a) f(x) = 3x + 2 
c) f(x) = 1 – 4x2 
b) f(x) = 
2
1
+x
 
d) f(x) = 2x2 – x – 1 
 
Respostas: 
a) 3 b) - 8x c) 
( )22
1
+
−
x
 d) 4x - 1 
e) ( ) 34 −= xxf 
f) ( ) xxf 25−= 
g) ( ) 32 −= xxf , no ponto x = 2 
h) ( ) xxxf 22 += , no ponto x = 3 
 i) ( ) 3xxf = 
 
6) Utilize a definição de derivada nas atividades abaixo: 
 a) Determine a derivada de f(x) = 5x2 no ponto x0 = 5. 
 b) Determine a derivada de f(x) = -3x + 2 no ponto x0 = 2. 
 c) Determine a derivada de f(x) = x2 – 6x + 2 no ponto x0 = 3. 
 d) Determine a derivada de f(x) = x2 + 3x + 7 no ponto x0 = 0. 
 e) Determine a derivada de f(x) = 
3 x no ponto x0 = 0. 
 
7) Para cada função f(x), determine a derivada f’(x) no ponto x0 indicado: 
643)()
5
5
935
)()
2
1
)()
04965)()
04)()
23)()
13)()
332)()
4)()
0
2
02
2
0
0
234
0
2
0
2
0
0
0
2
=+−=
=
+
−+
=
==
=−+−+=
=−=
=−=
=−=
=+=
==
xparaxxxfi
xpara
x
xx
xfh
xpara
x
xfg
xparaxxxxxff
xparaxxfe
xparaxxxfd
xparaxxfc
xparaxxfb
xparaxxfa
 
Respostas: a) 8 b)2 c) - 3 d) 1 e) 0 f) 9 g) - 1/4 h) 14/45 i) 9 
 
7) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x3 + x + 3 no ponto de abscissa x0 = 0. 
 
8) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x2 - 3 + 4 no ponto (1, f(1)). 
 
9) Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x2 + 3 que seja paralela reta 
y = 8x + 3. 
10) Encontre a reta tangente à curva 
x
x
y
−
+
=
3
6
 no ponto ( )2,0=P 
 
Anderson Maicon De Souza 
11) Encontre a reta tangente à curva 
2
2
2 24







 −
x
xx
 no ponto ( )4,1=P 
12) Obter a derivada da função 35
23 +−= xxy em um ponto genérico. 
13) Obter a derivada da função ( )22 32 −= xy no ponto ( )1,1=P 
14) Obter a derivada da função 
22 axy += em um ponto genérico. 
15) Obter a derivada da função ( ) ( ) 2
1
1
1
1 −
−=
−
= v
v
vf no ponto ( )1,2=P 
16) Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo onde S é dado em metros e t em 
segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores indicados: 
a) ( ) 1102 2 −+= tttS . Determine a velocidade no instante t = 3 s. 
b) ( ) tttS 32 += . Determine a velocidade no instante t = 2 s. 
c) ( ) 1223 +++= ttttS . Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 2 s. 
17) O movimento de um objeto ocorre ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a função horária: 
s = f(t) = t2 + 2t - 3 
 sabendo-se que a unidade de comprimento é o metro e de tempo, o segundo, calcule a velocidade no 
instante t0 = 2 s. 
 
18) Dada a função horária de um movimento retilíneo s = f(t) = 2t2 – t, determine a distância em km percorrida 
e a velocidade em km/h ao fim de 5 h. 
 
19) Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua velocidade obedece à 
função v(t) = 2t2 + 3t + 1. (velocidade: m/s; tempo: s) 
 
 
 
 
20) Determine a aceleração, no instante t = 1 s, de um móvel que tem velocidade variável segundo a 
expressão v(t) = t (t em segundos e v em metros/segundo). 
 
21) O lucro de uma empresa pela venda diária de x peças, é dado pela função: L(x) = -x 2 + 14x - 40. Quantas 
peças devem ser vendidas diariamente para que o lucro seja máximo? 
 Solução: Calculando a derivada da função encontramos y' = -2x + 14. A função tem valor máximo quando a derivada 
y' = 0. Assim, resolvendo -2x + 14 = 0 encontramos x = 7 peças. 
 
Anderson Maicon De Souza 
 
22) O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por ( ) 19253 2 ++= xxxC . Quantas unidades 
deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo? 
 
23) Em um retângulo de área igual a 64 m², determine o menor perímetro possível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regras de Derivação 
1) y = k → y’ = 0 
2) y = ax → y’ = a 
3) y = ax + b → y’ = a 
4) y = un → y = n.u n-1. u’ 
 y = xn → y’ = n.x n-1 
5) y = k.u → y’ = k.u’ 
6) y = u + v → y’ = u’ + v’ 
7) y = u.v → y’ = u.v’ + u’. v 
 
Anderson Maicon De Souza 
 y = 
v
u
 → y’ =
2
''
v
uvvu − 
8) y = a u → y = au.lna.u’ 
 y = k u → y’ = 
k kuk
u
1
'
−
 
9) y = ualog → y’ = 
au
u
ln
'
 
 y = ln u → y’ = 
u
u '
 
 y = axlog → y’ = 
x
a
ln
ln
 
10) y = cos u → y’ = -sen u . u’ 
11) y = sen u → y’ = cos u . u’ 
12) y = tg u → y’ = sec2 u . u’ 
13) y = cotg u → y’= sec u . tg u . u’ 
14) y = sec u → y’ = sec u . tg u . u’ 
15) y = cosec u → y’ = - cosc u . cotg u . u’ 
16) y = arc sen u → y’ = 
21
'
u
u
−
 
17) y = arc cos u → y’ = 
21
'
u
u
−
− 
18) y = arc tg u → y’ = 
21
'
u
u
+
 
19) y = arc cotgu → y’ = 
21
'
u
u
+
− 
20) y = arc cosu → y’ = 
1
'
2 −uu
u
 
21) y = arc cosu → y’ =
1
'
2 −
−
uu
u
 
 22) y = uv → y’ = v . uv-1 . u’ + uv . lnu. v