2ª Lista de Exercícios Cálculo Vetorial UFMA

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Maranhão
Departamento de Matemática
Disciplina: Cálculo Vetorial Professor: Geilson Reis
2a Lista de Exerćıcios
1. Determinar o vetor ~v tal que ~v · (1, 4,−3) = −7 e ~v × (4,−2, 1) = (3, 5,−2).
2. Dados os vetores ~u = (3, 6, 2), ~v = (−4, 1, 3) e ~w = (1, 2, 0), determinar ~a de modo que ~a⊥~w e
~a× ~u = ~v.
3. Dado ~u = (1,−2, 1), determinar vetores ~v e ~w de modo que os três sejam mutuamente ortogonais.
4. Dados os vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (−1, 1, 2), determinar
a) um vetor unitário simultaneamente ortogonal a ~u e ~v;
b) um vetor de norma 5 simultaneamente ortogonal a ~u e ~v.
5. Mostrar que o quadrilátero ABCD de vértices A(4,1,2), B(5,0,1), C(-1,2,-2) e D(-2,3-1) é um
paralelogramo e calcular sua área.
6. Dois vértices consecutivos de um paralelogramo são A(2,-4,0), B(1,-3,-1) e o ponto médio das
diagonais é M(3,2,-2). Calcular a área do paralelogramo.
7. Calcular o valor de m ∈ R para que a área do paralelogramo determinado pelos vetores ~u =
(m,−3, 1) e ~v = (1,−2, 2) seja igual a
√
26.
8. Dado um triângulo ABC. Demonstre a lei dos senos para este triângulo usando produto vetorial.
9. Mostre que ||~u× ~v||2 = ||~u||2 · ||~v||2− < ~u,~v >2.
10. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v sabendo que suas diagonais são
~a1 = (−1, 3, 4) e ~a2 = (1,−1, 2).
11. Calcular a distância do ponto P(4,3,3) à reta que passa por A(1,2,-1) e B(3,1,1).
12. Calcular z, sabendo-se que A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,Z) são vértices de um triângulo de área 6.
13. Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são coplanares?
14. Um paraleleṕıpedo é determinado pelos vetores ~u = (3,−1, 4), ~v = (2, 0, 1) e ~w = (−2, 1, 5).
Calcular seu volume e a altura relativa á base definida pelos vetores ~u e ~v.
15. Calcular o valor de m para que o volume do paraleleṕıpedo determinado pelos vetores ~v1 =
(0,−1, 2), ~v2 = (−4, 2,−1) e ~v3 = (3,m,−2) seja igual a 33. Calcular a altura deste paraleleṕıpedo
relativa á base definida por ~v1 e ~v2.
16. O ponto A(1,-2,3) é um dos vértices de um paraleleṕıpedo e os três vértices adjacentes são B(2,-
1,-4),C(0,2,0) e D(-1,m,1). Determinar o valor de m para que o volume deste paraleleṕıpedo seja
igual a 20 u.v. (unidades de volume)
17. Dados os pontos A(2,1,1), B(-1,0,1) e C(3,2,-2), determinar o ponto D do eixo Oz para que o
volume do paraleleṕıpedo determinado por ~AB, ~AC e ~AD seja 25 u.v.
18. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A(2,0,0), B(2,4,0), C(0,3,0) e
P(2,-2,9). Qual a altura do tetradro relativa ao vértice P?
19. Sabendo que os vetores ~AB = (2, 1,−4), ~AC = (m,−1, 3) e ~AD = (−3, 1,−2) determinam um
tetraedro de volume 3, calcular o valor de m.
20. Três vértices de um tetraedro de volume 6 são A(-2,4,-1), B(-3,2,3) e C(1,-2,-1). Determinar o
quarto vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo Oy.
21. Calcular a distância do ponto D(2,5,2) ao plano determinado pelos pontos A(3,0,0), B(0,-3,0) e
C(0,0,3).
22. Bom trabalho!!!!!!!!
2