Exercício Circulo de Mohr capítulo7_20082020

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Exercício 7.14 Para o estado de tensão dado, resolver utilizando o círculo de Mohr e 
não o método analítico o estado de tensão dado, determine as tensões normais e de 
cisalhamento depois que o elemento mostrado sofreu uma rotação de (a) 25° no sentido 
horário e (b) 10° no sentido anti-horário. 
 
 
x=56MPa; y=-84MPa; xy=42MPa 
𝜎𝑚é𝑑 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
= 
56 + −84
2
= −14,0𝑀𝑃𝑎 ; 
𝑅 = √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦 2 = √(
56 − −84
2
)
2
+ 422 = 81,63𝑀𝑃𝑎 = 𝜏𝑚á𝑥 
 
𝜎𝑚á𝑥 = 𝜎𝑚é𝑑 + 𝑅 = −14 + 81,63 = 67,63𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚í𝑚 = 𝜎𝑚é𝑑 − 𝑅 = −14 − 81,63 = −95,63𝑀𝑃𝑎 
2𝜃𝑝 = 𝑎𝑟𝑐 tan
2. 𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
= 𝑎𝑟𝑐 tan
2.42
56 − −84
= 30,96° 
 
Na página 459, do livro do Beer temos: A construção do círculo de Mohr para o estado plano de tensão é 
bastante simplificada se considerarmos separadamente cada face do elemento utilizado para definir as 
componentes de tensão. Das Figs. 7.17 e 7.18 observamos que, quando a tensão de cisalhamento que atua 
sobre determinada face tende a girar o elemento no sentido horário, o ponto do círculo de Mohr 
correspondente àquela face está localizado acima do eixo . Quando a tensão de cisalhamento em 
determinada face tende a rodar o elemento no sentido anti-horário, 
o ponto correspondente àquela face está localizado abaixo do eixo  
 
 
X(x; xy)(56;42) Y(y; xy)(-84;42) 
 
 
 
Calculando os valores, de acordo com o Círculo de MOHR: X´, Y´, XY´, X´´, Y´´ e XY´´. 
para o ângulo =25=50=> ´= 50-30,96=19,04º 
X´=méd + R.cos19,04º = -14 + 81,63.cos19,04º 
X´=-14 +77,16= 63,19 MPa 
Y´= méd - R.cos 19,04º = -14 - 81,63.cos19,04º = 
Y´= -14 – 77,16 = -91,16MPa 
XY´=R.sen  = 81,63.sen19,04º 
XY´= 26,63MPa. 
 
Para o ângulo =10=20=>´´= 30,96+20=50,96º 
X´´=méd + R.cos 50,96º = -14 + 81,63.cos50,96º = 
X´´=-14 + 51,41 = MPa 
Y´´= méd - R.cos 50,96º = -14 - 81,63.cos50,96º = 
Y´´= -14 – 51,41 = 65,41MPa 
XY´´=R.sen  = 81,63.sen50,96º 
XY´´= 63,4025MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7.15 Para o estado de tensão dado, resolver utilizando o círculo de Mohr e 
não o método analítico o estado de tensão dado, determine as tensões normais e de 
cisalhamento depois que o elemento mostrado sofreu uma rotação de (a) 25° no 
sentido horário e (b) 10° no sentido anti-horário. 
x=-60MPa; y=90MPa; xy=30MPa 
𝜎𝑚é𝑑 =
𝜎𝑥 + 𝜎𝑦
2
= 
−60 + 90
2
= 15,0𝑀𝑃𝑎 ; 
2𝜃𝑝 = 𝑎𝑟𝑐 tan
2. 𝜏𝑥𝑦
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
= 𝑎𝑟𝑐 tan
2.30
−60 − 90
= −21,80° 
𝑅 = √(
𝜎𝑥 − 𝜎𝑦
2
)
2
+ 𝜏𝑥𝑦 2 = √(
−60 − 90
2
)
2
+ 302 = 80,78𝑀𝑃𝑎 = 𝜏𝑚á𝑥 
𝜎𝑚á𝑥 = 𝜎𝑚é𝑑 + 𝑅 = 15 + 80,78 = 95,78𝑀𝑃𝑎 
𝜎𝑚í𝑚 = 𝜎𝑚é𝑑 − 𝑅 = 15 − 80,78 = −65,78𝑀𝑃𝑎 
Calculando os valores, de acordo com o Círculo de MOHR: X´, Y´, XY´, X´´, Y´´ e XY´´. 
para o ângulo =25=50=> ´= 50-21,8=28,2º 
X´=méd – R.cos28,2º = 15 – 80,78.cos28,2º = 
X´=15 –71,19= –56,192 MPa 
Y´= méd + R.cos 28,2º = 15 + 80,78.cos28,2º = 
Y´= 15 + 71,19 = 86,192MPa 
XY´=R.sen  = 80,78.sen28,2º 
XY´= 38,173MPa. 
 
Para o ângulo =10=20=>´´= 21,8+20=41,8º 
X´´=méd – R.cos 41,8º = 15 – 80,78.cos41,8º = 
X´´=15 – 60,22 = - 45,22MPa 
Y´´= méd + R.cos 41,8º = 15 + 80,78.cos41,8º = 
Y´´= 15 + 60,22 = 75,22MPa 
XY´´=R.sen  = 80,78.sen41,8º 
XY´´= 53,84MPa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X(x; xy) 
Y(y; xy) 
 
 
 
 
Exercício 7.13 Para o estado de tensão dado, resolver utilizando o círculo de Mohr e não o 
método analítico o estado de tensão dado, determine as tensões normais e de cisalhamento 
depois que o elemento mostrado sofreu uma rotação de (a) 25° no sentido horário e (b) 10° no 
sentido anti-horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 7.16 Para o estado de tensão dado, resolver utilizando o círculo de Mohr e não o método 
analítico o estado de tensão dado, determine as tensões normais e de cisalhamento depois que o 
elemento mostrado sofreu uma rotação de (a) 25° no sentido horário e (b) 10° no sentido anti-
horário.