Momento de Inércia - Relatório 9

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS 
 INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICEX 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
BELO HORIZONTE, MG, BRASIL 
 
 
 
 
 
 
 
 
Física Experimental Básica: Mecânica 
 
Relatório nº9 
 
Momento de Inércia 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autores: 
Leonardo Almeida Matos 
Pedro Enrique de Medeiros Pereira Daniel 
 
 
 
Belo Horizonte, 04 de Novembro de 2020 
 
 
 
 
Momento de Inércia: 
Turma:​ PU9A 
Autores:​ Leonardo Almeida Matos; Pedro Enrique de Medeiros Pereira Daniel 
Data:​ 04/11/2020 
 
Resultados: 
Os dados experimentais coletados pelas cinco observações mostram os tempos de 
rolamento do aro e da esfera em relação às distâncias das quais foram soltos os objetos, 
pode-se observar os valores a partir das ​Tabelas 1​ e ​2​: 
 
Tabela 1 - Tempos de rolamento do aro em função da distância percorrida: 
 
 
Tabela 2 - Tempos de rolamento da esfera em função da distância percorrida: 
 
Observação: incerteza da distância = ( , 05 m)± 0 0 
 
Faz-se necessário o cálculo do desvio padrão do tempo para cada distância apresentada, 
sendo assim, tem-se a incerteza dele determinada por: 
 
 
Aro x​1​ = 0,300 m x​2​ = 0,600 m x​3​ = 0,900 m x​4​ = 1,200 m x​5​ = 1,500 m 
t​1​(s) 1,27 1,71 2,04 2,44 2,66 
t​2​(s) 1,25 1,66 1,98 2,36 2,61 
t​3​(s) 1,15 1,63 1,97 2,35 2,60 
t​4​(s) 1,14 1,73 1,96 2,38 2,55 
t​5​(s) 1,12 1,61 2,07 2,45 2,73 
Esfera x​1​ = 0,300 m x​2​ = 0,600 m x​3​ = 0,900 m x​4​ = 1,200 m x​5​ = 1,500 m 
t​1​(s) 1,00 1,44 1,69 1,93 2,23 
t​2​(s) 0,97 1,47 1,70 1,96 2,19 
t​3​(s) 0,95 1,39 1,64 1,98 2,26 
t​4​(s) 0,94 1,30 1,66 1,91 2,17 
t​5​(s) 0,93 1,40 1,67 1,99 2,16 
Δt = √ . (t )15.(5−1) ∑
5
i=1
i − tmédio 
 
 
 
 
 
Para o desenvolvimento dos cálculos e do gráfico respectivo ao fenômeno observado no 
experimento, distendeu-se os dados para uma tabela que contemple as distâncias de soltura de 
cada objeto, seja o aro ou a esfera, assim como suas respectivas velocidades. 
Contudo, primeiro fez-se necessária a compreensão de como chegar à velocidade, 
introduzindo-a aos parâmetros do experimento. A partir das equações cinemáticas de 
velocidade e deslocamento em função da aceleração, obteve-se: 
 
v = a.t Equação (I) ​e ​x = a.t² Equação (II)2
1 
 
Substituindo-se, através da aceleração, ​(I)​ na equação ​(II)​: 
 
x = ​ . t² → v =​ 2t
1v
t
2.x 
Desvios Padrões para o Aro: 
Δt (0,300) = 0,02482 s 
Δt (0,600) = 0,04578 s 
Δt (0,900) = 0,04317 s 
Δt (1,200) = 0,04128 s 
Δt (1,400) = 0,06099 s 
Desvios Padrões para a Esfera: 
Δt (0,300) = 0,02482 s 
Δt (0,600) = 0,05762 s 
Δt (0,900) = 0,02135 s 
Δt (1,200) = 0,03007 s 
Δt (1,400) = 0,03763 s 
 
Com a equação em mãos, pode-se atribuir às ​Tabelas 3 e ​4 os valores de velocidades 
calculados em relação a cada distância para o aro e para a esfera: 
 
 
Tabela 3 - Distância percorrida do aro relacionada a sua velocidade: 
 
 
 
Tabela 4 - Distância percorrida da esfera relacionada a sua velocidade: 
 
 
Sendo a incerteza relativa dada por: 
 
v . Δ = v √( xΔx)2 + −( tΔt)2 
 
 
Distância ( 0,005 m)± Velocidade (m/s) 
0,3 0,50 
0,6 0,72 
0,9 0,90 
1,2 1,00 
1,5 1,14 
Distância ( 0,005 m)± Velocidade (m/s) 
0,3 0,63 
0,6 0,86 
0,9 1,08 
1,2 1,23 
1,5 1,36 
Incerteza das velocidades para o Aro: 
Δ​v​ (0,300) = 0,013 m/s 
Δ​v​ (0,600) = 0,021 m/s 
 
 
Para um objeto cuja sua simetria é cilíndrica ou esférica, a velocidade de rolamento é 
dada em função de seu momento de inércia, definida por: 
 
I = Equação (III).M .Rβ 2 
 
Tal que ​é determinado pela simetria e pela repartição da massa do objeto, sendo R oβ 
raio do deste e M a sua massa. Com isso, para a situação descrita no experimento, ilustrada na 
Imagem 1​, é imprescindível o uso da ​Equação (III)​ para a relação do parâmetro com aβ 
velocidade: 
 
 
Imagem 1: Esfera se deslocando em uma rampa de ângulo θ. ​(Fonte:) 
 
A ilustração mostra uma esfera que realiza um movimento de rotação sobre seu próprio 
eixo e um movimento de translação deslocando seu centro de massa no sentido do rolamento, 
em cima de uma superfície inclinada a qual faz um ângulo com a horizontal. A esfera parteθ 
do repouso e tem um deslocamento ‘x’ a partir de onde esta é solta, sendo a velocidade do 
corpo determinada pelo princípio de conservação da energia mecânica: 
Δ​v​ (0,900) = 0,020 m/s 
Δ​v​ (1,200) = 0,018 m/s 
Δ​v​ (1,400) = 0,027 m/s 
Incerteza das velocidades para a Esfera: 
Δ​v​ (0,300) = 0,019 m/s 
Δ​v​ (0,600) = 0,036 m/s 
Δ​v​ (0,900) = 0,015 m/s 
Δ​v​ (1,200) = 0,020 m/s 
Δ​v​ (1,400) = 0,024 m/s 
 
E​mecânica​ = E​cinética​ + E​potencial 
 
Como existem dois tipos de movimento que compõe o rolamento do corpo (rotação e 
translação), a energia cinética será definida pela soma deles, enquanto a energia potencial 
está em função da altura de soltura: 
 
Energia Cinética de rotação (ECR) = ​ , sendo = , ECR = .I .ω 2
1 2 ω2 v2
R2
I2
1 v2
R2
 
 
Energia Cinética de translação (ECT) = M .v 2
1 2 
 
Energia Potencial Gravitacional = M.g.h 
 
Somando-se todas as energias do sistema, a velocidade ‘​v​’ pode ser determinada, para 
que o cálculo mostre a dependência desta e , substitui-se a ​Equação (III)​ em ​ECR​, assim:β 
 
E​mecânica​ = ​( . + ) + (​M.g.h ) Equação (IV).β.M .R21 2
v2
R2
M .v 2
1 2 
 
Como a energia mecânica se conserva, a energia potencial se converte em cinética, 
dessa forma a energia cinética inicial é igual a zero e a potencial final também igual a zero​, 
evoluindo a ​Equação (IV)​ da seguinte forma: 
 
( . + )​final​ = (M.g.h )​inicial.β.M .R21 2
v2
R2
M .v 2
1 2
 
 
Sabendo-se que a altura pode ser substituída por uma relação entre o ângulo e o 
comprimento da superfície inclinada: 
 
sen = → ​h = sen . xθ x
h θ 
 
Isolando-se a velocidade, tem-se: 
 
v² =​ ​Equação (V).x1+β
2.g.senθ
 
 
Com a ​Equação (V)​ é possível desenvolver o ​Gráfico 1​ que representa a relação linear 
entre o quadrado da velocidade e a distância percorrida pelo aro e pela esfera: 
 
Gráfico 1 - Velocidade ao quadrado em função da distância:
 
 
Correlacionando-se a ​Equação (V)​ com a equação geral das retas, determina-se beta 
com os valores do seno de teta e da gravidade em mãos, pois, sendo a equação geral da reta 
determinada por: ​y = Ax + B​: 
 
Se em (V): y = v² e x = x​equação 
 
Então: 
 
A = ​e B = 01+β
2.g.senθ
 
 
Desenvolvendo-se a equação em ‘A’, isolando o termo : β 
 
= - ​1 β ( A2.g.senθ) 
 
Agora basta substituir os respectivos valores de ‘A’ para o aro e para a esfera, assim 
como o valor de ​sen ​e da gravidade:θ 
 
Para o Aro:​ = - ​1 → → = 0,9712 β ( AAro2.g.senθ) ( 2.g.hA xAro. ) β 
 
Para a Esfera: = - ​1 → → = 0,3671 β ( AEsfera2.g.senθ) ( 2.g.hA xEsfera. ) β 
 
Por fim, calcula-se a incerteza respectiva a cada parâmetro: 
 
Para o Aro: 
→ = 0,0364β Δ = β√( gΔg)2 + ( hΔh)2 + −( AAroΔAAro )2 + −( xΔx)2 β Δ 
 
Para a Esfera: 
→ = 0,00814β Δ = β√( gΔg)2 + ( hΔh)2 + −( AEsferaΔAEsfera)2 + −( xΔx)2 β Δ 
 
Com isso, os valores finais com suas respectivas incertezas são: 
 
, 7 , 4 βAro = 0 9 ± 0 0 
, 67 , 08βEsfera = 0 3 ± 0 0 
 
Discussão: 
O valor do momento de inércia representa o nível de dificuldade em se alterar o estado 
de movimento de um corpo em rotação. Ou seja, quanto maior o momento de inércia, maior 
será a força exigida para colocar o corpo em rotação. A ​Equação (III)​ demonstra que, para 
corpos circulares, o momento de inércia depende da massa do corpo, de seu raio e de sua 
constante ​β​. Esta constante ​β​, está relacionada à distribuição simétrica da massa do corpo em 
torno do eixo de rotação. 
Sabe-se que, para um aro perfeito, ​β​aro​ = 1​. Nos cálculos expostos acima, para o aro do 
experimento, encontra-se ​β​aro,exp​ = 0,97 +/- 0,04​. Ao se comparar os dois valores, pode se 
afirmar que o aro usado no experimento possuía uma boa distribuição de sua massa em torno 
do eixo de rotação. Ademais, devido à incertezacalculada, também pode-se afirmar que o aro 
é aproximadamente ou é de fato um aro 100% simétrico. 
Sabe-se que, para uma esfera perfeita, ​β​esfera​ = ⅖ = 0,4 ​. Nos cálculos expostos acima, 
para a esfera do experimento, encontra-se ​β​esfera,exp​ = 0,367 +/- 0,008​. Ao se comparar os dois 
valores, percebe-se que a esfera do experimento, apesar de ter ​β​esfera,exp​ relativamente próximo 
à ​β​efera​, não é 100% simétrica. Essa percepção se torna mais verdadeira ainda ao analisar a 
incerteza de ​β​esfera,exp​, que demonstra que, mesmo dentro dos limites de incerteza, o valor de 
β​esfera,exp​ não se atinge o valor de ​β​esfera​. 
Diante das análises feitas, pode-se afirmar que entre o aro e a esfera do experimento, o 
objeto que possui uma distribuição de massa em torno do eixo de rotação, de maneira mais 
simétrica, é o aro 
Contribuições: 
Para a realização deste relatório, a contribuição foi oriunda de ambas partes da dupla. 
Separação da Escrita: Resultados (Pedro Enrique de Medeiros Pereira Daniel); Discussão 
(Leonardo Almeida Matos); 
Análise Gráfica e Cálculos de incerteza: Análise e Cálculos (Pedro Enrique de Medeiros 
Pereira Daniel); Cálculos (Leonardo Almeida Matos). 
Referências: 
Movimento Retilíneo com Aceleração Constante. Departamento de Física UFMG, Ciclo 
Básico. Disponível em: 
<https://www.fisica.ufmg.br/ciclo-basico/wp-content/uploads/sites/4/2020/05/Movimento_ret
ilineo_com_aceleracao_constante.pdf>. Acesso: 26 de Outubro de 2020.