Cap 4 - Transformada de Fourier V3

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SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
Agostinho Luiz da Silva Castro
Universidade Federal do Pará
Instituto de Tecnologia
Faculdade de Engenharia da Computação e Telecomunicações
2o Período de 2020
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Dos estudos anteriores, representamos um sinal periódico através das Séries de 
Fourier
 Os sinais usados eram periódicos.
 Para o caso de sinais não periódicos, o que acontece? ou, o que teremos?
 A integral de Fourier pode ser visualizada como a forma limite da Série de Fourier de 
um sinal quando o período do sinal tender para o infinito.
2
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 Assumamos o sinal, não periódico, abaixo e, a partir deste, construamos um sinal 
periódico
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𝑓(𝑡)
𝑡0
𝑇0
𝑓𝑇0 (𝑡)
𝑡0
𝑇0
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CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Do slide anterior, podemos verificar:
 A repetição da função deve ser tal que não haja sobreposição;
 Os intervalos de repetição podem ser vistos como o período “novo sinal”;
 𝑓 𝑡 = lim
𝑇0→∞
𝑓𝑇0 𝑡
 Como, agora, temos um sinal periódico, podemos usar a Série de Fourier para representá-
lo. Usando-se a SEF para essa tarefa, teremos.
4
𝑓𝑇0 𝑡 =෍
−∞
+∞
𝐹𝑛𝑒
𝑗𝑛𝜔0𝑡 ∵ 𝐹𝑛 =
1
𝑇
න
−
𝑇
2
𝑇
2
𝑓𝑇0 𝑡 𝑒
−𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡
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Uma observação é: integrar 𝑓𝑃 𝑡 no interval de −
𝑇
2
≤ 𝑡 ≤ +
𝑇
2
tem o mesmo efeito
que integrar 𝑓 𝑡 no interval de −∞ ≤ 𝑡 ≤ ∞ , logo
5
𝑓𝑇0 𝑡 =෍
−∞
+∞
𝐹𝑛𝑒
𝑗𝑛𝜔0𝑡 ∵ 𝐹𝑛 =
1
𝑇
න
−
𝑇
2
𝑇
2
𝑓𝑇0 𝑡 𝑒
−𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡
𝐹𝑛 =
1
𝑇
න
−∞
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡
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Podemos ainda notar que 𝐹𝑛𝑇 é uma função de 𝑛𝜔0, fazendo-se 𝑛𝜔0= 𝜔𝑛 então
Sendo assim
Quando 𝑇 → ∞, 𝜔0 tenderá para um valor infinitesimal (𝜔0 → 0). Logo podemos substituir 
𝜔 por uma notação mais apropriada
6
𝐹(𝜔𝑛) = 𝐹𝑛(𝑛𝜔0) = 𝐹𝑛𝑇 = න
−∞
∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡
𝑓𝑇0 𝑡 = σ−∞
∞ 𝐹(𝑛𝜔0)
𝑇
𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 =
1
𝑇
σ−∞
∞ 𝐹(𝜔𝑛) 𝑒
𝑗𝜔𝑛𝑡
Δ𝜔0=
2𝜋
𝑇
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𝑓𝑇0 𝑡 = σ−∞
∞ 𝐹(𝑛𝜔0)
2𝜋
𝑒𝑗𝑛Δ𝜔0𝑡Δ𝜔0 =
1
2𝜋
σ−∞
∞ 𝐹(𝜔𝑛) 𝑒
𝑗Δ𝜔𝑛𝑡Δ𝜔𝑛
T =
2𝜋
Δ𝜔0
𝑓 𝑡 = lim
𝑇0→∞
𝑓𝑇0 = lim𝑇0→∞
1
2𝜋
෍
−∞
∞
𝐹(𝜔𝑛) 𝑒
𝑗Δ𝜔𝑛𝑡Δ𝜔𝑛
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋
න
−∞
+∞
𝐹(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
Então
e
operando-se o limite, obteremos
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Δ𝜔0
Δ𝜔0
෍
−∞
∞
𝐹(𝜔𝑛) 𝑒
𝑗Δ𝜔𝑛𝑡Δ𝜔𝑛
A soma do lado direito da equação pode 
ser entendida como a área sob a função
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Integral de Fourier (Par de Transformadas de Fourier)
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋
න
−∞
+∞
𝐹(𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔𝐹 𝜔 = න
−∞
+∞
𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑t
Transformada de Fourier Direta Transformada de Fourier Inversa 
𝐹 𝑓 = න
−∞
+∞
𝑓(𝑡)𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑t 𝑓 𝑡 = න
−∞
+∞
𝐹(𝑓)𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓
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Integral de Fourier (Par de Transformadas de Fourier)
Notação
𝐹 𝜔 = ℱ[𝑓 𝑡 ] 𝑓 𝑡 = ℱ−1 [𝐹 𝜔 ]
𝐹 𝜔 ⟺ 𝑓 𝑡
Representação do Par de Transformadas
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Integral de Fourier (Par de Transformadas de Fourier)
Como 𝐹 𝜔 é uma quantidade complexa, podemos fazer
Podemos ainda ter
𝐹 𝜔 = 𝐹 𝜔 𝑒𝑗∠𝐹 𝜔
𝐹 −𝜔 = න
−∞
+∞
𝑓(𝑡)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑t
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Integral de Fourier (Par de Transformadas de Fourier)
Se 𝑓(𝑡) for real, pode-se mostrar que
e
𝐹 𝜔 = −𝐹 𝜔
∠𝐹 −𝜔 = −∠𝐹 𝜔
Se 𝑓(𝑡) é real :
• o espectro de magnitude é uma função par 
• o espectro de fase é uma função ímpar
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Condições para a existência da Transformada de Fourier (Dirichlet)
• f(t) deve ser absolutamente integrável em um período
• f(t) deve conter um número finito de descontinuidade, máximos e mínimos.
• f(t) não deve assumir amplitudes infinitas.
• f(t) não deve ter descontinuidades infinitas
න
−∞
+∞
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 < ∞
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Exemplo
Determine a Transformada de Fourier do sinal abaixo. Esboce os espectros de amplitude e 
fase (exponencial unilateral)
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Exemplo
Determine a Transformada de Fourier do sinal abaixo. Esboce os espectros de amplitude e 
fase.
𝐹 𝜔 = න
−∞
+∞
𝑔(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑t= න
0
+∞
𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑t=න
0
+∞
𝑒−(𝑎𝑡+𝑗𝜔𝑡)𝑑t
𝐹 𝜔 = න
−∞
+∞
𝑒− 𝑎+𝑗𝜔 𝑡𝑑t= ቤ
1
−(𝑎 + 𝑗𝜔)
𝑒− 𝑎+𝑗𝜔 𝑡
0
∞
𝐹 𝜔 =
0− 1
−(𝑎 + 𝑗𝜔)
=
1
(𝑎 + 𝑗𝜔)
→ 𝑎 > 0
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Exemplo
Determine a Transformada de Fourier do sinal abaixo. Esboce os espectros de amplitude e 
fase.
𝐹 𝜔 =
1
(𝑎 + 𝑗𝜔)
→ 𝑎 > 0
𝐹 𝜔 =
1
(𝑎+𝑗𝜔)
→
1
𝑎2+𝜔2
𝑒−𝑗𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
𝜔
𝑎
)
𝐹 𝜔 =
1
𝑎2 +𝜔2
→→ 𝜃(𝜔) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
𝜔
𝑎
)
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Exemplo
Determine a Transformada de Fourier do sinal abaixo. Esboce os espectros de amplitude e 
fase.
1
𝑎
1
𝑎
𝜃(𝜔) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(
𝜔
𝑎
)𝐹 𝜔 =
1
𝑎2 + 𝜔2
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Exemplo
Determine a Transformada de Fourier do sinal abaixo. Esboce os espectros de amplitude e 
fase (exponencial bilateral)
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Exemplo
Determine a Transformada de Fourier do sinal abaixo. Esboce os espectros de amplitude e 
fase (exponencial bilateral)
𝐹 𝜔 = න
−∞
+∞
𝑔(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑t= න
−∞
0
𝑒𝑎𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑t+න
0
+∞
𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑t
𝐹 𝜔 =
2𝑎
(𝑎2 +𝜔2)
𝑔(𝑡)
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Exemplo
Determine a Transformada de Fourier do sinal abaixo. Esboce os espectros de amplitude e 
fase (exponencial bilateral)
𝐹 𝜔 =
2𝑎𝐴
(𝑎2 +𝜔2)𝑔(𝑡)
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Função Porta, Gate, rect, Π, Pulso Unitário
rect 𝑡 ,Π(t)
𝜏
2
−
𝜏
2
AΠ
𝜏
2
= 𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡
𝜏
2
=
𝐴,−
𝜏
2
< 𝑡 <
𝜏
2
0, 𝑡 >
𝜏
2
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Exemplo
Verifique se as Transformada de Fourier dos sinal abaixo.
𝑓1(𝑡)
1
1−1
AΠ
𝜏
2
= 𝐴𝑟𝑒𝑐𝑡
𝜏
2
⟺ A𝜏𝑠𝑖𝑛𝑐(
𝜏𝜔
2
)
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Exercício
Determine a Transformada de Fourier da função f t = 𝛿 𝑡
𝑓 𝑡 = 𝛿 𝑡
𝐹 𝜔 = න
−∞
+∞
𝑓(𝑡)𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑t= න
−∞
∞
𝛿 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑t ∞−׬
+∞
𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑥 𝑡 𝑑t= 𝑥(𝑡0)
𝐹 𝜔 = න
−∞
∞
𝛿 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑t =𝑒0 = 1
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Exercício
𝐴𝛿 𝑡 ⟺ 𝐴
⟺
𝐴𝛿 𝑡
𝑡
𝐴
𝜔
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Exercício
Determine a Transformada Inversa de Fourier da Função Impulso F 𝜔 = 𝛿 𝜔
𝐹 𝜔 = 𝛿 𝜔
𝑓(𝑡) =
1
2𝜋
න
−∞
+∞
𝐹 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔=
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝛿 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 ∞−׬
+∞
𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑥 𝑡 𝑑t= 𝑥(𝑡0)
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋
∞−׬
∞
𝛿 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =
1
2𝜋
𝑒0
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Exercício
𝐴 ⟺ 2π𝐴𝛿 𝑡
⟺
2π𝐴𝛿 𝜔
𝑡
𝐴
𝜔
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Exercício
Determine a Transformada Inversa de Fourier da Função Impulso F 𝜔 = 𝛿 𝜔 − 𝜔0
𝐹 𝜔 = 𝛿 𝜔 − 𝜔0
𝑓(𝑡) =
1
2𝜋
න
−∞
+∞
𝐹 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔=
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝛿 𝜔 − 𝜔0 𝑒
𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 ∞−׬
+∞
𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑥 𝑡 𝑑t= 𝑥(𝑡0)
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋
∞−׬
∞
𝛿 𝜔 − 𝜔0 𝑒
𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =
1
2𝜋
𝑒𝑗𝜔0𝑡
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Exercício
Determine a Transformada Inversa de Fourier da Função Impulso F 𝜔 = 𝛿 𝜔 − 𝜔0
1
2𝜋
𝑒𝑗𝜔0𝑡 ⟺ 𝛿 𝜔 − 𝜔0
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋
∞−׬
∞
2𝜋𝛿 𝜔 − 𝜔0 𝑒
𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =
1
2𝜋
2𝜋𝑒𝑗𝜔0𝑡 = 𝑒𝑗𝜔0𝑡
𝑒𝑗𝜔0𝑡 ⟺ 2𝜋𝛿 𝜔 − 𝜔0
𝑒−𝑗𝜔0𝑡 ⟺ 2𝜋𝛿𝜔 + 𝜔0
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Exercício
Determine a Transformada de Fourier da função 𝑓 𝑡 = cos(𝜔0𝑡).
𝑓 𝑡 = cos(𝜔0𝑡)
𝐹 𝜔 = න
−∞
+∞
𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝑒−𝑗𝜔0𝑡
2
𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑t=
1
2
න
−∞
∞
𝑒𝑗𝜔0𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 +
1
2
න
−∞
∞
𝑒−𝑗𝜔0𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑓 𝑡 =
𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝑒−𝑗𝜔0𝑡
2
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Exercício
Determine a Transformada de Fourier da função 𝑓 𝑡 = cos(𝜔0𝑡).
𝐹 𝜔 = න
−∞
+∞
𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝑒−𝑗𝜔0𝑡
2
𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑t =
1
2
න
−∞
∞
𝑒𝑗𝜔0𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 +
1
2
න
−∞
∞
𝑒−𝑗𝜔0𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡
𝐹 𝜔 =
1
2
ℱ 𝑒𝑗𝜔0𝑡 +
1
2
ℱ 𝑒−𝑗𝜔0𝑡 =
1
2
2𝜋𝛿 𝜔 − 𝜔0 +
1
2
2𝜋𝛿 𝜔 + 𝜔0
𝐹 𝜔 = 𝜋𝛿 𝜔 + 𝜔0 + 𝜋𝛿 𝜔 − 𝜔0
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Exercício
Determine a Transformada de Fourier da função 𝑓 𝑡 = cos(𝜔0𝑡).
cos(𝜔0𝑡)⟺ 𝜋𝛿 𝜔 + 𝜔0 + 𝜋𝛿 𝜔 − 𝜔0
⟺
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Condições para a existência da Transformada de Fourier (Dirichlet)
• f(t) deve ser absolutamente integrável em um período
• f(t) deve conter um número finito de descontinuidade, máximos e mínimos.
• f(t) não deve assumir amplitudes infinitas.
• f(t) não deve ter descontinuidades infinitas
න
−∞
+∞
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 < ∞
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• A integrabilidade absoluta de 𝑓 𝑡 é uma condição suficiente mas não necessária
para a existência da transformada de Fourier
• Algumas funções como: cosseno, seno, degrau unitário, função constante… não
satisfazem a condição de integrabilidade e, rigorosamente, não deveriam ter
transformada de Fourier.
• Porém, estas funções singulares têm Transformada de Fourier no limite.
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• Algumas transformadas de Fourier de Funções Singulares.
• (um bom exercício é deduzir os pares de transformadas )
sen 𝜔0𝑡 ⟺ 𝑗𝜋𝛿 𝜔 + 𝜔0 − 𝑗𝜋𝛿 𝜔 − 𝜔0
⟺
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• Algumas transformadas de Fourier de Funções Singulares.
• (um bom exercício é deduzir os pares de transformadas )
Função degrau unitário → 𝑢 𝑡 ⟺ 𝜋𝛿 𝜔 +
1
𝑗𝜔
Função sinal → 𝑠𝑔𝑛 𝑡 ⟺
2
𝑗𝜔
𝑠𝑔𝑛 𝑡 ቊ
1, 𝑡 > 0
−1, 𝑡 < 0
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• Retornando a questão da integrabilidade absoluta, o que acontece com as função
periódicas?
• Rigorosamente (já comentamos) não deveria existir a Transformada de Fourier pois
• Porém, a transformada existe no limite.
න
−∞
+∞
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = ∞ para toda a função periódica
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Vamos assumir que uma função periódica 𝑓𝑃 𝑡 exista em um interval −
𝜏
2
,−
𝜏
2
𝑓𝑃 𝑡 =෍
−∞
+∞
𝐹𝑛𝑒
𝑗𝑛𝜔0𝑡
ℱ[𝑓𝑃 𝑡 ] = ℱ ෍
−∞
+∞
𝐹𝑛𝑒
𝑗𝑛𝜔0𝑡 =෍
−∞
+∞
𝐹𝑛 ℱ 𝑒
𝑗𝑛𝜔0𝑡 =෍
−∞
+∞
𝐹𝑛2𝜋𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔0
ℱ[𝑓𝑃 𝑡 ] = 2𝜋෍
−∞
+∞
𝐹𝑛𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔0
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Vamos assumir que uma função periódica 𝑓𝑃 𝑡 exista somente em um interval −
𝜏
2
,−
𝜏
2
A função densidade spectral (Transformada de Fourier) de um sinal periódico é formado
por impulsos localizados na frequências harmonicas do sinal ponderado por 2𝜋 vezes o 
coeficientes correspondente. Esses impulsos são equidistantes.
ℱ[𝑓𝑃 𝑡 ] = 2𝜋෍
−∞
+∞
𝐹𝑛𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔0
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Exemplo:
Determine a Transformada de Fourier para função apresentada abaixo
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Exemplo:
Determine a Transformada de Fourier para função apresentada abaixo
De exercícios passados, podemos resgatar
que:
𝐹𝑛 =
𝐴𝛿
𝑇
𝑠𝑖𝑛𝑐(
𝑛𝐴𝛿
𝑇
)
𝑓𝑃 𝑡 =
𝐴𝛿
𝑇
෍
−∞
+∞
𝑠𝑖𝑛𝑐(
𝑛𝐴𝛿
𝑇
)𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡
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Exemplo:
Determine a Transformada de Fourier para função apresentada abaixo
𝑓𝑃 𝑡 =
𝐴𝛿
𝑇
෍
−∞
+∞
𝑠𝑖𝑛𝑐(
𝑛𝐴𝛿
𝑇
)𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡
𝛿 =
1
20
𝑠 , T =
1
4
,𝜔0 = 8𝜋
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42
Exemplo:
Determine a Transformada de Fourier para função apresentada abaixo
𝛿𝑇 𝑡 = 𝛿 𝑡 + 𝛿 𝑡 − 𝑇 + 𝛿 𝑡 − 2𝑇 + ⋯+ 𝛿 𝑡 − 𝑛𝑇 +⋯
+𝛿 𝑡 + 𝑇 + 𝛿 𝑡 + 2𝑇 +⋯+ 𝛿(𝑡 + 𝑛𝑇)
𝛿𝑇 𝑡 =෍
−∞
∞
𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
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Exemplo:
Determine a Transformada de Fourier para função apresentada abaixo
𝛿𝑇 𝑡 =෍
−∞
+∞
𝐹𝑛𝑒
𝑗𝑛𝜔0𝑡
𝐹𝑛 =
1
𝑇
න
−
𝑇
2
𝑇
2
𝛿𝑇 𝑡 𝑒
−𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 =
1
𝑇
න
−
𝑇
2
𝑇
2
𝛿 𝑡 𝑒−𝑗𝑛𝜔0𝑡𝑑𝑡 =
1
𝑇
𝑒0 =
1
𝑇
𝛿𝑇 𝑡 =
1
𝑇
෍
−∞
+∞
𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡
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44
Exemplo:
Determine a Transformada de Fourier para função apresentada abaixo
𝛿𝑇 𝑡 =
1
𝑇
෍
−∞
+∞
𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡
ℱ[𝛿𝑇 𝑡 ] = ℱ
1
𝑇
෍
−∞
+∞
𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡 =
1
𝑇
෍
−∞
+∞
ℱ[𝑒𝑗𝑛𝜔0𝑡] =
1
𝑇
෍
−∞
+∞
2𝜋𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔0
ℱ[𝛿𝑇 𝑡 ] =
2𝜋
𝑇
෍
−∞
+∞
𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔0 = 𝜔0෍
−∞
+∞
𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔0
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Exemplo:
ℱ[𝛿𝑇 𝑡 ] =
2𝜋
𝑇
෍
−∞
+∞
𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔0 = 𝜔0෍
−∞
+∞
𝛿 𝜔 − 𝑛𝜔0
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46
Transformadas de Fourier
𝑓 𝑡 𝐹(𝜔)
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47
Transformadas de Fourier
𝑓 𝑡 𝐹(𝜔)
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Transformadas de Fourier
𝑓 𝑡 𝐹(𝜔)
Fonte da Tabela: LATHI, B.P., Signal Processing and Linear Systems. Berkeley-Cambridge Press, 1998. 
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Propriedades da Transformada de Fourier
 Nosso estudo aponta para uma análise de um sinal em dois domínios: tempo e 
frequência.
 Temos duas descrições da mesma função: tempo e frequência.
 Dualidade entre o tempo e frequência
 Qual a relação entre os dois domínios? 
49
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50𝒇 𝒕 =
𝟏
𝟐𝝅
න
−∞
+∞
𝑭(𝝎)𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝝎
𝑭 𝝎 = න
−∞
+∞
𝒇(𝒕)𝒆−𝒋𝝎𝒕𝒅t
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 Linearidade (aditividade)
 Assumindo dois sinais 𝑥 𝑡 e 𝑦 𝑡 com suas respectivas Transformadas de Fourier 𝑋 𝜔 e 
𝑌 𝜔 , então
𝑎𝑥 𝑡 + 𝑏𝑦 𝑡 ⟺ 𝑎𝑋 𝜔 + 𝑏𝑌(𝜔)
sendo a e b constantes
51
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CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Simetria (dualidade)
 Assumindo 𝑥 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 , então
𝑋 𝑡 ⟺ 2𝜋𝑥 −𝜔
Se 𝑥 𝑡 é um função par 𝑓 𝜔 = 𝑓 −𝜔
𝑋 𝑡 ⟺ 2𝜋𝑥 𝜔
52
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CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Simetria
53
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CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Escalonamento no Domínio do Tempo
 Assumindo 𝑥 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 , se fizermos 𝜏 = 𝑎𝑡 , sendo a uma constante, teremos
𝑥 𝑎𝑡 ⟺
1
𝑎
𝑋
𝜔
𝑎
54
A propriedade do escalonamento no tempo estabelece que a compressão de um
sinal no domínio do tempo é equivalente a expansão no domínio da frequência.
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CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Deslocamento no Domínio do Tempo
 Assumindo 𝑥 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 , então
𝑥 𝑡 − 𝑡0 ⟺ 𝑋 𝜔 𝑒
−𝑗𝜔𝑡0
55
A propriedade do deslocamento no tempo estabelece que o deslocamento no
tempo de um sinal não tem efeito sobre o espectro de amplitudes porém, o
espectro de fase fica alterado por um fator de (𝜔𝑡0) (variação linear da fase )
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Deslocamento no Domínio da Frequência
 Assumindo 𝑥 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 , então
𝑥 𝑡 𝑒𝑗𝜔0𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 −𝜔0
56
A propriedade do deslocamento na frequência estabelece que a multiplicação,
no tempo, do sinal x(t) por 𝑒𝑗𝜔0𝑡 , resulta em um deslocamento do espectro por
um fator 𝜔0.
Teorema da Modulação – translação do espectro de uma posição para outra.
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CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Deslocamento no Domínio da Frequência
 Assumindo 𝑥 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 , então
57
Teorema da Modulação – translaçãodo espectro de uma posição para outra.
𝑥 𝑡 𝑒𝑗𝜔0𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 −𝜔0
𝑥 𝑡 cos(𝜔0𝑡) = 𝑥 𝑡
𝑒𝑗𝜔0𝑡+𝑒−𝑗𝜔0𝑡
2
= 𝑥 𝑡
𝑒𝑗𝜔0𝑡
2
+ 𝑥 𝑡
𝑒−𝑗𝜔0𝑡
2
⟺
1
2
[𝑋 𝜔 −𝜔0 +𝑋 𝜔 +𝜔0 ]
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CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Diferenciação e Integração no Domínio do Tempo
 Assumindo 𝑥 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 , então
58
𝑑𝑛𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑛
⟺ (𝑗𝜔)𝑛𝑋 𝜔
න
−∞
𝑡
𝑥 𝜏 𝑑𝜏 ⟺
1
𝑗𝜔
𝑋 𝜔 + 𝜋𝑋 0 δ(𝜔)
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CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Diferenciação no Domínio da Frequência
 Assumindo 𝑥 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 , então
59
(−𝑗𝑡)𝑛𝑥 𝑡 ⟺
𝑑𝑛𝑋(𝜔)
𝑑𝜔𝑛
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Multiplicação no Domínio do Tempo e da Frequência
 Assumindo 𝑥 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 e y 𝑡 ⟺ 𝑌 𝜔 , então
 Teorema da Multiplicação
 Teorema da Convolução
60
𝑥 𝑡 .𝑦 𝑡 ⟺
1
2𝜋
𝑋 𝜔 ∗ 𝑌(𝜔)
𝑥 𝑡 ∗ 𝑦 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 .𝑌(𝜔)
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
61𝒇 𝒕 =
𝟏
𝟐𝝅
න
−∞
+∞
𝑭(𝝎)𝒆𝒋𝝎𝒕𝒅𝝎
𝑭 𝝎 = න
−∞
+∞
𝒇(𝒕)𝒆−𝒋𝝎𝒕𝒅t
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Exemplo: Determine a Transformada de Fourier do sinal da Figura 1, a 
Transformada de Fourier Inversa do sinal da Figura 2 e determine o par de 
transformadas aplicando a propriedade da simetria.
62Figura 1 Figura 2
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Solução:
63
𝐹 𝜔 = න
−∞
+∞
𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑t
𝐹 𝜔 = ׬
−
𝜏
2
+
𝜏
21. 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑t =
1
−𝑗𝜔
𝑒−𝑗𝜔𝑡
−
𝜏
2
+
𝜏
2 =
1
−𝑗𝜔
𝑒−𝑗𝜔
𝜏
2 − 𝑒+𝑗𝜔
𝜏
2
𝐹 𝜔 =
1
𝜔
.
𝑒+𝑗𝜔
𝜏
2 − 𝑒−𝑗𝜔
𝜏
2
𝑗
.
2
2
=
2
𝜔
sen(𝜔
𝜏
2
)
𝜏
𝜏
= 𝜏
sen(𝜔
𝜏
2)
𝜏
2
𝜔
𝐹 𝜔 = 𝜏
sen(𝜔
𝜏
2)
𝜏
2
𝜔
= 𝜏 sinc(𝜔
𝜏
2
)1. 𝑟𝑒𝑐𝑡
𝑡
𝜏
= ቐ
1,−
𝜏
2
< 𝑡 <
𝜏
2
0, 𝑓𝑜𝑟𝑎
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Solução:
64
𝐹 𝜔 = 𝜏 sinc(𝜔
𝜏
2
)
1. 𝑟𝑒𝑐𝑡
𝑡
𝜏
= ቐ
1,−
𝜏
2
< 𝑡 <
𝜏
2
0, 𝑓𝑜𝑟𝑎
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Solução:
65
2π. 𝑟𝑒𝑐𝑡
𝜔
𝜏
= ቐ
2π,−
𝜏
2
< 𝑡 <
𝜏
2
0, 𝑓𝑜𝑟𝑎
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋
න
−∞
+∞
𝐹 𝜔 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔
𝑓 𝑡 =
1
2𝜋
න
−
𝜏
2
+
𝜏
2
2𝜋𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝜔 =
2𝜋
2𝜋
1
−𝑗𝑡
𝑒𝑗𝜔𝑡
−
𝜏
2
+
𝜏
2 =
1
−𝑗𝑡
[𝑒𝑗𝑡
𝜏
2−𝑒−𝑗𝑡
𝜏
2]
𝑓 𝑡 =
2
𝑡
[𝑒𝑗𝑡
𝜏
2−𝑒−𝑗𝑡
𝜏
2]
2𝑗
=
2
𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝜏
2
= 𝜏
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝜏
2
𝑡
𝜏
2
𝑓 𝑡 = 𝜏
𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝜏
2
𝑡
𝜏
2
= 𝜏. 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑡
𝜏
2
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Solução:
66
2π. 𝑟𝑒𝑐𝑡
𝜔
𝜏
= ቐ
2π,−
𝜏
2
< 𝑡 <
𝜏
2
0, 𝑓𝑜𝑟𝑎
𝑓 𝑡 = 𝜏. 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑡
𝜏
2
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Solução:
 Simetria
 Assumindo 𝑥 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 , então
𝑋 𝑡 ⟺ 2𝜋𝑥 −𝜔
Se 𝑥 𝑡 é um função par 𝑓 𝜔 = 𝑓 −𝜔
𝑋 𝑡 ⟺ 2𝜋𝑥 𝜔
67
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Solução:
 Simetria:
68
𝑋 𝑡 ⟺ 2𝜋𝑥 −𝜔
𝐹 𝜔 = 𝜏 sinc(𝜔
𝜏
2
)
1. 𝑟𝑒𝑐𝑡
𝑡
𝜏
⟺ 𝜏 sinc(𝜔
𝜏
2
)
𝐹 𝑡 = 𝜏sinc(𝑡
𝜏
2
)
𝑓 𝑡 = 𝑟𝑒𝑐𝑡
𝑡
𝜏
𝑓 −𝜔 = 𝑟𝑒𝑐𝑡
−𝜔
𝜏
Se 𝑥 𝑡 é um função par 𝑓 𝜔 = 𝑓 −𝜔
𝑋 𝑡 ⟺ 2𝜋𝑥 𝜔
𝑓 𝜔 = 𝑟𝑒𝑐𝑡
𝜔
𝜏
𝜏. sinc(𝑡
𝜏
2
)⟺ 2𝜋. 𝑟𝑒𝑐𝑡
𝜔
𝜏
𝐹 𝑡 ⟺ 2𝜋𝑓 𝜔
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Solução:
69
𝑋 𝑡 ⟺ 2𝜋𝑥 −𝜔
𝑟𝑒𝑐𝑡
𝑡
𝜏
⟺ 𝜏 sinc(𝜔
𝜏
2
)
𝜏. sinc(𝑡
𝜏
2
)⟺ 2𝜋. 𝑟𝑒𝑐𝑡
𝜔
𝜏
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Observação: Largura de Faixa, Largura de Banda (bandwidth)
 É a diferença entre a mais alta e a mais baixa frequência de um sinal.
 A largura de faixa da função 𝑟𝑒𝑐𝑡, estritamente falando, é infinita. Porém, a maior parte 
de sua energia está concentrada nas baixas frequências e, de forma aproximada, pode-se 
estimar a largura de banda do sinal pulso retangular de t segundos igual a Τ2𝜋 𝜏 rad/s
( Τ1 𝜏 Hz)
70
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Desafio! Ainda usando o par de transformadas: A. 𝑟𝑒𝑐𝑡 𝑡
∆
⟺ 𝐴.∆. sinc(𝜔
∆
2
). 
Observe a propriedade do escalonamento aplicada no tempo (compressão e 
expansão). O que ocorre com o representação no domínio da frequência?
 Dica: observe que 𝑥 𝑎𝑡 ⟺
1
𝑎
𝑋
𝜔
𝑎
e como ∆ varia. 
71
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Exemplo: Propriedade da Diferenciação
 Prove, usando a propriedade da diferenciação, que a Transformada de Fourier do sinal
pulso triangular (Figura 1) é representada pela Figura 2
72Figura 1
Figura 2
Δ
𝑡
𝜏
⟺
𝜏
2
𝑠𝑖𝑛𝑐2
𝜔𝜏
2
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Exemplo: Propriedade da Diferenciação
 Prove, usando a propreidade da diferenciação, que a Transformada de Fourier do sinal
pulso triangular (Figura 1) é representada pela Figura 2
73Figura 1
Figura 2
𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡
⟺ (𝑗𝜔)F 𝜔
𝑑𝑛𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑛
⟺ (𝑗𝜔)𝑛𝑋 𝜔
𝑑2𝑓(𝑡)
𝑑𝑡2
⟺ (𝑗𝜔)2𝐹 𝜔
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Densidade Espectral de Energia
 A energia de um sinal pode ser expressa no domínio da frequência resgatando-se a expressão
74
𝐸 ≜ න
−∞
∞
𝑥(𝑡) 2𝑑𝑡
𝐸 = න
−∞
∞
𝑥∗ 𝑡 𝑥(𝑡)𝑑𝑡 = න
−∞
∞
𝑥∗ 𝑡 [
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋(𝜔)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑 𝜔]𝑑𝑡
𝐸 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋(𝜔) [න
−∞
∞
𝑥∗ 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡]𝑑𝜔
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Densidade Espectral de Energia
 A energia de um sinal pode ser expressa no domínio da frequência resgatando-se a expressão
75
𝐸 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋(𝜔) [න
−∞
∞
𝑥∗ 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡]𝑑𝜔
𝐸 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋(𝜔) [න
−∞
∞
𝑥 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡]∗ 𝑑𝜔
𝐸 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋(𝜔)𝑋∗(𝜔) 𝑑𝜔
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Densidade Espectral de Energia
 A energia de um sinal pode ser expressa no domínio da frequência resgatando-se a 
expressão
76
= න
−∞
∞
𝑋(𝜔) 2 𝑑𝑓
A equação acima é o Teorema de Parserval que nos permite determinar
a energia do sinal no domínio do tempo e/ou no domínio da frequência. 
𝐸 ≜ න
−∞
∞
𝑥 𝑡 2𝑑𝑡 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋(𝜔) 2 𝑑𝜔
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Densidade Espectral de Energia
77
Energia Total = área sob 𝐹(𝜔) 2
dividida por 2𝜋
𝐸 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝐹(𝜔) 2 𝑑𝜔
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Densidade Espectral de Energia
78
Energia Total = área sob 𝐹(𝜔) 2
dividida por 2𝜋
Δ𝜔 → 0
Δ𝐸𝑓 =
1
2𝜋
𝐹(𝜔) 2Δ𝜔
Δ𝜔
2𝜋
= Δ𝑓 𝐻𝑧
Δ𝐸𝑓 = 𝐹(𝜔)
2Δ𝑓
𝐹(𝜔) 2 → 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝐻𝑧
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Densidade Espectral de Energia
 Para sinais reais 𝐹(𝜔) = 𝐹(−𝜔) e 𝐹(𝜔) 2 é uma função par.
 A contribuição para energia é expressa por
79
𝐸 =
1
𝜋
න
0
∞
𝐹(𝜔) 2 𝑑𝜔
𝐸 =
1
𝜋
න
𝜔1
𝜔2
𝐹(𝜔) 2 𝑑𝜔
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Densidade Espectral de Energia
 A energia de um sinal pode ser expressa no domínio da frequência, resgatando-se a 
expressão
80
𝐸 ≜ න
−∞
∞
𝑥 𝑡 2𝑑𝑡 =
1
2𝜋
න
−∞
∞
𝑋(𝜔) 2 𝑑𝜔
𝛹𝑥(𝑡) = 𝑋(𝜔)
2 → 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎
Energia Total = área sob a função densidade spectral de potência dividida por 2𝜋
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Densidades Espectrais de Energia da Entrada e da Saída de um Sistema
 Considerando
81
𝑥 𝑡 → excitação → 𝑋(𝜔)
𝑅 𝜔 2, 𝑋(𝜔) 2 → 𝑓𝑢𝑛çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑟𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎
r 𝑡 → resposta/saí𝑑𝑎 → 𝑅(𝜔)
𝑅 𝜔 = 𝐻 𝜔 .𝑋(𝜔)
𝑅 𝜔 2 = 𝐻 𝜔 2. 𝑋 𝜔 2
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Densidade Espectral de Energia
 Exemplo: Verifique o Teorema de Parserval calculando a energia do sinal 𝑓 𝑡 =
𝑒−𝑎𝑡𝑢 𝑡 , 𝑎 > 0 tanto no tempo quanto no da frequência. Verifique a largura de 
faixa tal que a energia seja 95% da energia de 𝑓 𝑡 .
 Solução:
82
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Largura de faixa/bandaEssencial
 A maior parte da energia de um sinal está concentrada em em uma determinada 
faixa de frequências (B Hz), sendo que a contribuição para a energia do sinal das
components acima de B Hz são desprezíveis. 
 Pode-se, portanto, suprimir o espectro acima de B Hz sem, contudo, causar muito 
efeito na energia.
 Para a largura de faixa (B Hz) denomina-se de Largura de Faixa Essencial
 O critério para se determinar essa largura de faixa do sinal depende da 
aplicação
83
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Aplicação da Análise de Fourier em SLIT
 No capítulo 2, vimos que podemos esboçar a saída de um SLIT através da integral 
de convolução entre a entrada e a resposta ao impulse.
 Assumindo que os sinais y(t), x(t) e h(t) tenham transformadas de Fourier e usando
o Teorema da Convolução, podemos obter
84
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡) = න
−∞
+∞
𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Aplicação da Análise de Fourier em SLIT
85
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡) = න
−∞
+∞
𝑥 𝜏 ℎ 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏
𝑥 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔
𝑦 𝑡 ⟺ 𝑌(𝜔)
ℎ(𝑡)⟺𝐻 (𝜔)
𝑥 𝑡 ∗ 𝑦 𝑡 ⟺ 𝑋 𝜔 .𝑌(𝜔)
𝑌 𝜔 = 𝑋 𝜔 .𝐻(𝜔) 𝐻 𝜔 = 𝐻(𝜔) 𝑒𝑗𝜃(𝜔)
Resposta em Amplitude
Resposta em Fase
𝐻 𝜔 =
𝑌 𝜔
𝑋 𝜔
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Transmissão sem Distorção
 O sinal de entrada de um Sistema é modificado de acordo com as características do 
sistema
86
𝑌 𝜔 = 𝑋 𝜔 .𝐻(𝜔)
𝑌 𝜔 𝑒𝑗∠𝑌 𝜔 = 𝑋 𝜔 𝑒𝑗∠𝑋 𝜔 . 𝐻 𝜔 𝑒𝑗∠𝐻 𝜔
𝑌 𝜔 𝑒𝑗∠𝑌 𝜔 = 𝑋 𝜔 . 𝐻 𝜔 𝑒𝑗∠𝑋 𝜔 +𝑗∠𝐻 𝜔 = 𝑋 𝜔 . 𝐻 𝜔 𝑒𝑗[∠𝑋 𝜔 +∠𝐻 𝜔 ]
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Transmissão sem Distorção
 A amplitude de 𝑋 𝜔 é modificada para 𝑋 𝜔 . 𝐻 𝜔 e a fase ∠𝑋 𝜔
para ∠𝑋 𝜔 + ∠𝐻 𝜔
 O espectros de 𝑋 𝜔 e ∠𝐻 𝜔 mostram como o sistema modifica as amplitudes e 
fases para as várias componentes do sinal de entrada
87
𝑌 𝜔 𝑒𝑗∠𝑌 𝜔 = 𝑋 𝜔 . 𝐻 𝜔 𝑒𝑗[∠𝑋 𝜔 +∠𝐻 𝜔 ]
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Transmissão sem Distorção
 Um exemplo típico da aplicação da análise de Fourier é em sistemas de
comunicação onde se deseja que a informação que chegue no destino seja uma
réplica do sinal que é transmitido.
 Dessa forma, um sistema é dito sem distorção, se em sua saída é uma réplica da
entrada, ou seja
88
𝑦 𝑡 = 𝑘𝑥(𝑡 − 𝑡𝑜)
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Transmissão sem Distorção
89
𝑦 𝑡 = 𝑘𝑥(𝑡 − 𝑡𝑜)
ℱ[𝑦 𝑡 ] = ℱ[𝑘𝑥 𝑡 − 𝑡𝑜 ]
𝑌(𝜔) = 𝑘𝑋(𝜔)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑜
𝐻(𝜔) =
𝑌(𝜔)
𝑋(𝜔)
= 𝑘𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑜
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Transmissão sem Distorção
 Conclusão: a função de transferência para um sistema sem distorção indica que a resposta
em amplitude deve ser constante e a resposta em fase linear (em função de 𝜔)
90
𝐻(𝜔) =
𝑌(𝜔)
𝑋(𝜔)
= 𝑘𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑜
𝐻(𝜔)
𝜔
𝑘
∠𝐻 𝜔
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Largura de faixa, Largura de banda (bandwidth)
 A largura de banda do SISTEMA pode ser interpretada como uma especificação 
da “planura” da resposta em amplitude ou ganho. 
 A largura de faixa é comumente definida como o intervalo de frequências, na qual 
H(w)permanece dentro de 1
2
vezes o seu valor na metade da faixa.
91
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Filtros
 Como resultado de limitações físicas não se pode construir um sistema com uma largura de 
banda infinita. 
 Na prática não há possibilidade de se projetar sistemas de largura de faixa infinita;
 Neste caso, faz-se uma truncagem do sinal e transmite-se através de um dispositivo sem 
distorção;
 O resultado será uma transmissão, sem distorção, truncada;
 Estes dispositivos são chamados de filtros, que no caso sem distorção, são ideais.
92
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Filtros
 Três são os tipos de filtros que comumente se referencia, a saber: filtro passa-baixas, filtro passa-
altas e filtro passa-faixa. 
 O filtro passa-baixas é caracterizado por deixar passar as baixas frequências, situadas abaixo de uma 
frequência chamada de frequência de corte wc , atenuando as acima. 
 Os filtros passa-altas são caracterizados por deixarem passar somente as altas frequências situadas 
acima da frequência de corte, filtrando as abaixo desta.
 O filtro passa-faixa é caracterizado por deixar passar as frequências situadas dentro de uma faixa de 
frequência delimitada pelas frequências wi e ws que se encontram em torno da frequência de corte do 
filtro. Fora da faixa a resposta de amplitude é zero. 
93
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Filtros Ideiais
94
??
??
??** Largura de faixa: B ou W
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Desafio!
 Um filtro passa-baixas ideal está representado pela Figura 1 (característica de amplitude e 
fase). A partir dessa representação, podemos expressar a função de transferência do filtro
como: 𝐻𝐿𝑃 𝜔 = 𝑟𝑒𝑐𝑡(
𝜔
2𝐵
)𝑒−𝑗𝜔𝑡0 . Determine a resposta ao impulse do filtro. O 
filtro ideal é causal ou não causal? Realizável ou não fisicamente?
95
𝐻(𝜔)
𝜔
1
∠𝐻 𝜔 = −𝜔𝑡0
−𝐵 𝐵
** Largura de faixa: B ou W
Figura 1
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Exercício: Para o circuito mostrado na Figura 1, determine quais as 
perdas percentuais em termos de energia fornecida pela fonte e a que sai
do circuito.
96
10𝑘Ω
15𝑒−5𝑡 𝑢 𝑡 𝑉
Figura 1
SINAIS E SISTEMAS
CAPÍTULO 4 – TRANSFORMADA DE FOURIER
 Exercício: Para o Sistema apresentado na Figura 1, esboce os espectros
de amplitudes de 𝑓1 𝑡 , 𝑓2 𝑡 , as representações espectrais de 𝐻1 𝜔 =
𝑟𝑒𝑐𝑡(
𝜔
40000𝜋
), 𝐻2 𝜔 = 𝑟𝑒𝑐𝑡(
𝜔
20000𝜋
) e determine a largura de faixa de 
𝑦 𝑡 .
97
Figura 1
𝐻2 𝜔
𝑓1 𝑡 = 10
4𝑟𝑒𝑐𝑡(104𝑡)
𝑓2 𝑡 = 𝛿(𝑡)
𝑦 𝑡 = 𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡
𝑦1 𝑡
𝑦2 𝑡
𝐻1 𝜔
+