Exercicios de base de autovetores e diagonalizacao de operadores (1)

Prévia do material em texto

Exerćıcios de Base de Autovetores, Diagonalização de Operadores
1. Dadas as matrizes A =
 3 −1 1−1 5 −1
1 −1 3
 e B =
 1 1 01 0 1
0 1 1
, é COR-
RETO afirmar:
a) A não é diagonalizável e B é diagonalizável.
b) β = {(−1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 2)} é uma base de autovetores de B,
e portanto B é diagonalizável.
c) A e B são diagonalizáveis, e β = {(−1, 0, 1), (1, 1, 1), (1,−2, 1)} é
uma base de autovetores para A e B.
d) A e B não são diagonalizáveis.
Gabarito: c
2. Dadas as matrizes A =
 3 1 11 5 1
1 1 3
 e B =
 2 −3 −4−3 2 0
−4 0 2
, é COR-
RETO afirmar:
a) A não é diagonalizável e B é diagonalizável.
b) A e B são diagonalizáveis, e β = {(−5, 3, 4), (5, 3, 4), (0,−4, 3)} é
uma base de autovetores para B.
c) β = {(−1, 0, 1), (1, 1, 1), (0, 1, 2)} é uma base de autovetores de A,
e portanto A é diagonalizável.
d) A e B não são diagonalizáveis.
Gabarito: b
3. Dadas as matrizes A =
 3 −1 1−1 5 −1
1 −1 3
 e B =
 1 0 01 1 0
1 1 1
, é COR-
RETO afirmar:
a) A é diagonalizável e B não é diagonalizável.
b) A possui 2 autovalores reais distintos e B possui três autovalores
reais distintos.
c) β = {(−1, 0, 1), (1, 1, 1), (1,−2, 1)} é uma base de autovetores para
A e B.
1
d) A e B são diagonalizáveis.
Gabarito: a
4. Dadas as matrizes A =
 4 −9 −42 −5 −2
−1 3 1
 e B =
 2 −1 16 −3 4
3 −2 3
, consi-
derando o espaços vetoriais reais, é CORRETO afirmar:
a) A e B não são diagonalizáveis.
b) A é diagonalizável e sua forma diagonal é
 −1 0 00 0 0
0 0 1
.
c) β = {(1, 1,−1), (1, 0, 1), (2, 1, 0)} é uma base de autovetores para
A.
d) β = {(1, 1,−1), (1, 0, 1), (3, 1, 0)} é uma base de autovetores para
B.
Gabarito: b
5. Dadas as matrizes A =
 3 0 40 0 0
4 0 −3
 e B =
 1 0 1−1 1 0
3 −2 1
, é COR-
RETO afirmar:
a) A e B não são diagonalizáveis.
b) A e B são diagonalizáveis.
c) A é diagonalizável e sua forma diagonal é
 −5 0 00 0 0
0 0 5
.
d) β = {(1, 0,−2), (2, 0, 1), (3, 0,−1)} é uma base de autovetores para
B.
Gabarito: c
2