mat1260_gabaritotarefa8-2020 2

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Tarefa 8 - MAT 1260 – 2020.2
Gabarito
1) Considere os vetores u1, u2 e u3 de R3 cujas coordenadas na base canônica E = {i, j,k}
de R3 são
(u1)E = (1, 2, 1), (u2)E = (a, 0, 1), (u3)E = (0, b, c),
onde a, b, c são números reais todos diferentes de 0.
(a) Determine valores de a, b, c para que os vetores u1, u2 e u3 sejam linearmente depen-
dentes e o subespaço gerado por eles seja o plano vetorial
π = {v ∈ R3 : (v)E = (x, y, z), onde 2x+ y − 4z = 0}.
(b) Suponha agora que
β = {u1, u2, u3}
é uma base de R3 e que u é um vetor de R3 cujas coordenadas na base canônica E e
na base β são, respectivamente,
(u)E = (3, 4, 3) e (u)β = (1, 1, 1).
Determine os valores de a, b e c.
(c) Seja α = {v1,v2,v3} uma base de R3 e considere
δ = {v1 + v3,v1 + v2,v2 + v3}.
(c.1) Prove que δ é uma base de R3.
(c.2) Sabendo que as coordenadas do vetor w na base α são
(w)α = (1, 1, 1),
determine as coordenadas (w)δ de w na base δ.
Pontuação: (a) 0.4 pts., (b) 0.4 pts., (c.1) 0.3 pts., (c.2) 0.3 pts..
Resposta:
(a) Em primeiro lugar, os vetores
(u1)E = (1, 2, 1), (u2)E = (a, 0, 1), (u3)E = (0, b, c),
devem satisfazer a equação do plano
2x+ y − 4z = 0.
Ou seja a = 2 e b = 4c,
(u1)E = (1, 2, 1), (u2)E = (2, 0, 1), (u3)E = (0, 4c, c).
Como os vetores devem ser não nulos devemos ter c 6= 0.
Observe que três vetores coplanares são sempre linearmente dependentes. Podemos fazer
também o teste do produto misto:∣∣∣∣∣∣∣
1 2 1
2 0 1
0 4c c
∣∣∣∣∣∣∣ = c
∣∣∣∣∣∣∣
1 2 1
2 0 1
0 4 1
∣∣∣∣∣∣∣ = c(−4− 4 + 8) = 0.
Portanto, os vetores são linearmente dependentes.
Finalmente, para ver que os vetores geram o plano lembramos que dois vetores linear-
mente independentes do plano geram o plano. Como u1 e u2 não são paralelos (e portanto
são linearmente independentes) a afirmação está provada.
(b) Da definição de coordenadas em uma base
(3, 4, 3) = 1u1 + 1u2 + 1u3 = (1, 2, 1) + (a, 0, 1) + (0, b, c).
Obtemos
3 = 1 + a, 4 = 2 + b, 3 = 2 + c,
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a = 2, b = 2, c = 1.
Verifique que de fato obtemos uma base.
(c.1) Para ver que
δ = {v1 + v3,v1 + v2,v2 + v3}
é uma base de R3 é suficiente verificar que são linearmente independentes (lembre que três
vetores l.i. em R3 formam uma base). Consideramos uma combinação linear dos vetores de
δ igual ao vetor nulo:
0 = x(v1 + v3) + y(v1 + v2) + z(v2 + v3) = (x+ y)v1 + (y + z)v2 + (x+ z)v3.
Como os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes obtemos
(x+ y) = 0, (y + z) = 0, (x+ z) = 0.
Escalonando
(x+ y) = 0, (y + z) = 0, −y + z = 0.
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y = z, y = z = 0, x = 0.
Portanto, a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial e assim os vetores são
linearmente independentes.
(c.2) Suponhamos que (w)δ = (x, y, z), isto significa que
w = x(v1 + v3) + y(v1 + v2) + z(v2 + v3) = (x+ y)v1 + (y + z)v2 + (x+ z)v3.
Como (w)α = (1, 1, 1) e as coordenadas são únicas
x+ y = 1, y + z = 1, x+ z = 1.
Escalonando
x+ y = 1, y + z = 1, −y + z = 0.
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x = y = z = 1/2, (w)δ = (1/2, 1/2, 1/2).
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