FORMAS Quadradas e F Bilineres

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Índice
1.Introdução	2
2.Formas bilineares e formas quadráticas	3
2.1.Formas bilineares	3
2.1.1.Definição	3
2.1.2.Formas Bilineares Simétrica e Anti-simétrica	5
2.1.3.Resultados Importantes	5
3.Formas quadráticas	7
3.1.Redução da quadrática a forma canónica	7
3.2.Cónicas	10
3.3.Equação reduzida de uma canónica	11
3.4.Classificação das cónicas	14
4.Conclusão	15
5.Referencias Bibliográficas	16
1.Introdução
A álgebra linear é na verdade um ramo muito importante da matemática pois sem ela na saberíamos certos conteúdos da matemática. Por exemplo formas bilineares e quadráticas, neste trabalho de pesquisa aborda e desenvolve assuntos relacionados com formas bilineares e quadráticas.E o presente trabalho tem como objectivos gerais conhecer as formas bilineares e quadráticas e os específicos são identificar formas bilineares simétricas das anti-simétricas, distinguir as quadráticas.
	
2.FORMAS BILINEARES E FORMAS QUADRÁTICAS
2.1.Formas bilineares
2.1.1.Definição
Seja V um espaço vectorial. Uma funçãof : V × V → R que satisfaz
f(λu,v) = λf(u,v), para todo u,v ∈V,λ ∈R;
f(u,λv) = λf(u,v), para todo u,v ∈V,λ ∈R; 
f(u + w,v) = f(u,v) + f(w,v), para todo u,v,w ∈V ; 
f(u,v + w) = f(u,v) + f(u,w), para todo u,v,w ∈V ;
Segundo CALLIOLI, C. A (1995) é chamada forma bilinear sobre V, ou simplesmente forma bilinear.
Nota: B (V) = {f:V × V → R é uma forma bilinear}.
Verifique que B(V) munido das operações de adição, 
(f + g)(u,v) := f(u,v) + g(u,v), 
Para todo (u,v) ∈V × V e de multiplicação por escalar, 
(λf)(u,v) =λf(u,v),
Para todo (u,v) ∈V × V e λ ∈R, ´e um espaçovectorial.
Exemplo 1:Seja f : R2 × R2 → R uma função definida por
f((x,y),(a,b)) = 3xa − 2xb + 5ya + 7yb.
Vamos mostrar que f é bilinear. De fato, para (x,y),(a,b) e (c,d) ∈R2 e λ ∈R, temos:
	i. 
f(λ(x,y),(a,b))
	
=
	
f((λx,λy),(a,b))
	
	=
	3(λx)a− 2(λx)b + 5(λy)a + 7(λy)b
	
	=
	λ(3xa − 2xb + 5ya + 7yb)
	
	=
	λf((x,y),(a,b)).
	ii. 
f((x,y),λ(a,b))
	=
	f((x,y),(λa,λb))
	
	=
	3x(λa) − 2x(λb) + 5y(λa) + 7y(λb)
	
	=
	λ(3xa − 2xb + 5ya + 7yb)
	
	=
	λf((x,y),(a,b)).
	iii. 
f((x,y),(a,b) + (c,d))
	
=
	
f((x,y),(a + c,b + d))
	
	=
	3x(a + c) − 2x(b + d) + 5y(a + c) + 7y(b + d)
	
	=
	(3xa − 2xb + 5ya + 7yb) + (3xc − 2xd + 5yc + 7yd)
	
	=
	f((x,y),(a,b)) + f((x,y),(c,d)).
	iv. 
f((x,y) + (c,d),(a,b))
	
=
	
f((x + c,y + d),(a,b))
	
	=
	3(x + c)a − 2(x + c)b + 5(y + d)a + 7(y + d)b
	
	=
	(3xa − 2xb + 5ya + 7yb) + (3ca − 2cb + 5da + 7db)
Pela Definição dada no exemplo anteriormente, concluímos que f é uma forma bilinear.
Exemplo2:Seja f : R2 × R2 → R dada por f((x,y),(a,b)) = −2xb + 2ya. Sejam (x,y),(a,b),(c,d) ∈R2 e λ ∈R. Note que f ´e uma forma bilinear, pois:
	i. f(λ(x, y),(a, b))
	=
	f((λx, λy),(a, b))
	
	=
	−2(λx)b+ 2(λy)a
	
	=
	λ(−2xb + 2ya)
	
	=
	λf((x, y),(a, b)).
	ii. f((x, y),λ(a, b))
	=
	f((x, y),(λa, λb))
	
	=
	−2x(λb) + 2y(λa)
	
	=
	λ(−2xb + 2ya)
	
	=
	λf((x, y),(a, b)).
	iii. f((x, y),(a, b) + (c, d))
	=
	f((x, y),(a + c, b + d))
	
	=
	−2x(b + d) + 2y(a + c)
	
	=
	(−2xb + 2ya) + (−2xd + 2yc)
	
	=
	f((x, y),(a, b)) + f((x, y),(c, d)).
	iv. f((x,y) + (c, d),(a, b))
	=
	f((x + c, y + d),(a, b))
	
	=
	−2(x + c)b + 2(y + d)a
	
	=
	(−2xb + 2ya) + (−2cb + 2da)
	
	=
	f((x, y),(a, b)) + f((c, d),(a, b)).
2.1.2.Formas Bilineares Simétrica e Anti-simétrica
Definição: Seja V um espaço vectorial. Seja f:V ×V → R para CALLIOLI, C. A (1995) uma forma bilinear. Dizemos que
i. fé simétrica se f(u, v) = f(v, u), para todo u, v ∈V ;
ii. fé anti-simétrica se f(u, v) = −f(v, u), para todo u, v ∈V. 
Exemplo 1: (Forma Bilinear Não-simétrica). A forma bilinear do exemplo 1 não é simétrica. Com efeito,
f((1,0),(0,1)) = −2 e f((0,1),(1,0)) = 5,
pela definição da forma no exemplo 1. Consequentemente,
f((1,0),(0,1)) ≠f((0,1),(1,0)).
Portanto, f, definida no exemplo 1, não é uma forma bilinear simétrica.
Exemplo 2. Seja V um espaçovectorial com produto interno (.,.). Vimos anteriormente que o produto interno é uma forma bilinear. Pela Definição, temos que (u,v) = (v,u), para todo u,v ∈V. 
Logo, (.,.) é uma forma bilinear simétrica.
2.1.3.Resultados Importantes
Teorema: Seja V um espaço vectorial com produto interno (.,.) e dimensão finita. Seja f: V × V → R uma forma bilinear. Então existe um único operador linear T: V → V tal que f(u, v) = (T(u),v), para todo u,v ∈ V. Além disso, f ´e simétrica se, e somente se, T é auto adjunto. SILVA, A (2007)
Demonstração. Seja v ∈ V um vector fixado. Seja g: V → R uma aplicação definida por g(u) = f(u, v), para todo u ∈ V. Note que, através da Definição, chegamos a
	g(λu + w) = f(λu + w, v) = λf(u, v) + f(w, v) = λg(u) + g(w),
para todo u, w ∈ V e λ ∈R. Consequentemente, g é um funcional linear. Logo, pelo Teorema, existe um único w ∈ V tal que g(u) = (u, w), para todo u ∈ V. Defina o operador S : V → V dado por S(v) = w. Como dimV é finita, então existe única S∗: V → V. Seja T = S∗. Consequentemente, pela Definição, obtemos:
,
para todo u,v ∈ V. Vamos verificar que T éúnico. Suponha que existe um operador P: V → V linear tal que: 
para todo u,v ∈ V. Por conseguinte, (P(u)−T(u),v) = 0, para todo u,v ∈ V. Pela Proposição, temos que P(u)−T(u) = 0, para todo u ∈ V. Por fim, T(u) = P(u), para todo u ∈ V. Ou seja, T ´e o único que satisfaz f(u,v) = (T(u),v), para todo u,v ∈ V. Assim,f(u,v) = f(v,u) se, e somente se, (T(u),v) = (T(v),u). Portanto, T éAuto adjunto.
Exemplo: Seja f : R2 → R dado por f((x, y),(a, b)) = −2xb + 2ya. Vimos no exemplo anterior, que f é uma forma bilinear. Seja T: R2 → R2 um operador linear definido por
T(x,y) = (2y,−2x), entao
f((x, y),(a, b)) = −2xb + 2ya = ((2y,−2x),(a, b)) = (T(x, y),(a, b)),
para todo (x, y),(a, b) ∈R2. Vimos no exemplo anterior, que é anti-simétrica.
Na Observação da Definição de formas bilineares, informamos que B(V) é um espaço vectorial. Com o Teorema, faz sentido perguntarmos se é possível compararmos dimL(V) com dimB(V ) (aqui L(V ) = {T : V → V é linear} e dimVé finita), já que existe uma relação entre uma forma bilinear e um operador linear. Vejamos o corolário a seguir que responde a esta indagação. SILVA, A (2007)
Corolário: seja V um espaço vectorial com produto interno (.,.) e dimensão finita. Então B(V) é isomorfo a L(V). Em particular, dimB(V) = dimL(V ) = (dimV)2.
3.Formas quadráticas
A matriz simétrica real, Associa ao vector , referido a base canónica 
O polinómio , que é um polinómio do 2º grau x e y chamado forma quadrática no plano.
Na forma matricial esse polinómio é representado por:
Sendo a matriz simétrica A, a matriz da forma quadrática, assim a cada vector corresponde um numero real:
Para BUENO, H. P (2006) estamos designando tanto o par quanto a matriz simplesmente por . É fácil identificar em que contexto cada um estará sendo usado.
Exemplo:A matriz simétrica real , define no IR2 a forma quadrática 
Ou, na forma matricial:
Ao vector 
3.1.Redução da quadrática a forma canónica
A forma quadrática no plano pode ser expressa por:
Onde:são os valores próprios da matriz A;são as componentes do vector V na base , isto é, 
Sendo os vectores próprios unitários associados a e.
De facto, Tendo uma vista que a matriz P para S, pois:
E, portanto:
, Podemos escrever:
, ou ainda:
Como P diagonaliza A ortogonalmente (conforme as propriedades)
, Conclui-se que:
, ou:
ou, ainda:
A forma é denominada forma canónica da forma quadrática no plano ou também forma quadrática diagolizada.
Exemplos:
1. A forma quadrática:, pode ser expressa por:
De facto:
A forma quadrática 
é definida pela matriz:
Mas os valores próprios da matriz A, conforme o problema resolvido no numero anterior são . Logo, a forma canónica da forma quadrática é:
2. Por outro lado, os vectores próprios unitários associados a e são, respectivamente, .
Logo:
Como equivale , em
Pois Pt = P-1 pelo facto de P ser matriz . façamos calcular VP a partir de Vs.
Supondo que , vem:
Isto é, 
Assim:
Na verdade o que acabamos de fazer foi uma mudança de base ou uma mudança de referencial. O vector V, que na base canónica S é Vs= (1, 2), a baseP dos vectores próprios unitários e Vp = (–1, 2). Como na base canónica individualiza o sistema cartesiano rectangularxOy e a base P o sistema rectangular x’Oy’, podemos dizer que um ponto tem coordenadas (1, 2) em relação ao próprio sistema tem coordenadas (–1, 2) em relação ao segundo sistema. BUENO, H. P (2006)
A figura abaixo ilustra este exemplo.
Essa mudança de referencial corresponde a uma rotação de um angulo do sistema xOy para o sistema x’Oy’. A matriz responsável por essa rotação é a matriz ortogonal P. 
Se tivermos o cuidado de dispor os vectores próprios unitários da matriz P de modo que det P = 1, ela sempre representara uma rotação e a transformação e coordenadas 
Que ira ocorrer no estudo das cónicas, a seguir, será sempre uma rotação.
3.2.Cónicas
As coordenadas x e y dos pontos M do plano são componentes dos vectores V que satisfazem a equação de uma canónica. Como ilustra a figura abaixo.
3.3.Equação reduzida de uma canónica
Segundo BUENO, H. P (2006), o nosso propósito é o reconhecimento e a análise da equação de uma canónica. Dividimos esse trabalho em duas etapas, sendo a primeira constituída de três passos.
Seja a equação de uma canónica:
1ª etapa: eliminação do termo em xy
1º passo: escrever a equação na forna matricial.
(os colchetes serão dispensados nas matriz 1×1: [t] e [0].)
Ou:
, onde:
2º passo: calculam-se os valores próprios de e e os valores próprios unitários e da matriz simétrica A.
3º passo: substitui-se na equação do 1º passo a forma quadrática.
, pela forma canónica:
, e:
, por:
Tendo o cuidado para que det P = 1. A fim que essa transformação seja uma rotação.
Assim, a rotação do 1º passo se transforma em:
Ou:
Que é a equação cónica dada anteriormente, porem referida ao sistema x’Oy’, cujos eixos são determinados pela base P = {u1, u2}, conforme sugere a figura.
Observamos que enquanto a equação do 1º passo apresenta o termo misto xy, a equação acima é desprovida dele, portanto, na passagem da equação do 1º passo para a equação acima ocorreu uma simplificação.
2ª etapa: transição de eixos
Conhecida a equação da cónica 
Para obter-se a equação reduzida efectua-se uma nova mudança de coordendas, que consiste na translação do ultimo referencial x’Oy’ para o novo, o qual chamaremos XO’Y. a analise das duas possibilidades é feita a seguinte.
1º. Sundo e diferentes de zero, pode-se escrever:
, ou:
Fazendo:. E, por meio das formula de translação:
Vem: 
E, finalmente: 
A equação acima é a equação reduzida de uma cónica do centro e, como se ve, o primeiro membro é forma canónica da forma quadrática no plano.
2º. Se um dos valores próprios for igual a zero, , por exemplo, a equação conhecida da cónica fica:
. Ou:
Fazendo, por meio de um translação:
Vem: 
Esta é a equação reduzida de uma cónica sem centro.
Observação: se em lugar de fosse , a equação reduzida da cónica sem centro seria: 
3.4.Classificação das cónicas
1. A equação de uma cónica de centro é:
	
a) e forem de mesmo sinal, a cónica será do género eclipse.
b) e forem de sinais contrários, a cónica será do género hipérbole.
2. A equação de uma cónica sem centro é:
	
Ou:
	
Uma equação representada por qualquer uma dessas equações é do género parábola.
4.Conclusão
Chegando ao fim do trabalho, conclui que para um espaço vectorial é chamada forma bilinear sobre V, ou simplesmente forma bilinear quando obedece algumas propriedades, e está dividida em formas bilineares simétricas e anti-simétrica: f é simétrica se f (u, v) = f (v, u), para todo u, v ∈V; e f é anti-simétrica se f (u, v) = −f (v, u), para todo u, v ∈V.
O espaço vectorial V. para a funçãof : V × V → R sendo uma forma bilinear simétrica. Também uma aplicação Q:V → R, definida por q(v) = f(v, v), para todo v ∈V, é chamada forma quadrática sobre V.
5.Referencias Bibliográficas
CALLIOLI, C. A., DOMINGUES, H. H.,COSTA, R. C. F. Álgebra Linear. 6ª. ed, São Paulo, Editora Actual, 1995.
SILVA, A.Introdução `a Álgebra. 1ª. Ed. Editora Universitária UFPB, João Pessoa. 2007.
BUENO, H. P. Álgebra Linear - Um Segundo Curso. 1ª. ed. Rio de Janeiro, SBM. 2006.